§ 26. y = ax³ (a ≠ 0) функциясы, оның графигі және қасиеттері

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 бөлім: Функция. Функцияның графигі. 154–159-беттер.

Нені үйренесің

• $y = ax^{3}$ функциясының қасиеттерін атауды: анықталу облысы, мәндерінің жиыны, нөлі, өсуі мен кемуі.
• Кубтық параболаны мәндер кестесі бойынша салуды.
• $a$ коэффициентінің графикті қалай созатынын, қысатынын және айнадай шағылыстыратынын түсінуді.
• Нүктенің кубтық параболада жататын-жатпайтынын тексеруді, кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндерді табуды.
• Графиктің көмегімен теңдеулерді шешуді және қиылысу нүктелерін табуды.

Ой қозғау

• $(-2)^{3}$ неге тең? $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$. Теріс санның кубы теріс болады.
• $-2^{3}$ неге тең? Бұл да $-8$: кубқа тек екілікті шығарамыз, минус өз орнында қалады.
• Санның кубы теріс бола ала ма? Нөл бола ала ма? Ала алады: теріс санның кубы теріс, нөлдің кубы нөлге тең.
• Бірнеше көбейткіштің көбейтіндісі қашан нөлге тең болады? Ең болмағанда бір көбейткіш нөлге тең болғанда. Демек, $x \cdot x \cdot x = 0$ тек $x = 0$ болғанда ғана орындалады.
• Өткен сабақтағы $y = x^{2}$ графигінің тармақтары қайда бағытталған: жоғарыға ма, төменге ме? Жоғарыға. Ал кубтың суреті басқа болады, әрі қарай қара.

Тақырыпты талдаймыз

$y = ax^{3}$ қандай функция

Формула былай дейді: $x$ санын алып, текшеге шығар, содан кейін $a$ санына көбейт. $a$ саны нөлге тең емес. Мысалы, $y = x^{3}$, $y = -2x^{3}$, $y = \frac{1}{4}x^{3}$.

Қасиеттерін ретімен қарастырамыз

1) Анықталу облысы. Кез келген санды текшеге шығаруға да, $a$-ға көбейтуге де болады. Сондықтан $D(y) = (-\infty; +\infty)$, яғни бүкіл сан осі.

2) Мәндерінің жиыны. Квадраттың мәндері тек бір таңбалы болатын, ал кубтың таңбасы «тірі». $x < 0$ болғанда куб теріс, $x > 0$ болғанда оң, $x = 0$ болғанда нөлге тең. Демек, кез келген $a \ne 0$ үшін модулі жағынан үлкен оң сандар да, үлкен теріс сандар да шығады:

$E(y) = (-\infty; +\infty).$

Графиктің қайда орналасатыны осыдан көрінеді: $a > 0$ болса I және III ширектерде, $a < 0$ болса II және IV ширектерде.

3) Таңбатұрақтылық аралықтары.

• $a > 0$ болғанда: функция $(0; +\infty)$ аралығында оң, $(-\infty; 0)$ аралығында теріс.
• $a < 0$ болғанда: керісінше, $(-\infty; 0)$ аралығында оң, $(0; +\infty)$ аралығында теріс.

4) Функцияның нөлі. $ax^{3} = 0$ болсын. $a \ne 0$ болғандықтан, $x^{3} = 0$, яғни $x \cdot x \cdot x = 0$. Көбейтінді тек бір көбейткіш нөлге тең болғанда ғана нөл болады, сондықтан $x = 0$. Нөл біреу ғана, график координаталар басы арқылы өтеді.

📌 $y = ax^{3}$ ($a \ne 0$) функциясы: $D = E = (-\infty; +\infty)$, біреу ғана нөлі бар: $x = 0$. $a > 0$ болғанда бүкіл сан осінде өседі, $a < 0$ болғанда бүкіл сан осінде кемиді.

Кубтық параболаны саламыз

Кестені есептеп, нүктелерді белгілейміз.

Нүктелерді тегіс сызықпен қосамыз. Шыққан сызық кубтық парабола деп аталады. Нүктені басып, оның мәнін көр.

Суретте не көрінеді:

• $a > 0$ болғанда график сол жақ төменнен оң жақ жоғары қарай өрлейді: функция бүкіл түзуде өседі.
• $a < 0$ болғанда график сол жақ жоғарыдан оң жақ төмен қарай түседі: функция бүкіл түзуде кемиді.
• $(0; 0)$ нүктесі қисықты екі «жартыға» бөледі, олар координаталар басына қатысты симметриялы.

🌟 $y = x^{2}$ параболасы $Oy$ осіне қатысты симметриялы (сол жақ жартысы оң жақ жартысының айнадағы көрінісі). Кубтық параболаның симметриясы басқаша: суретті координаталар басының айналасында $180°$-қа бұрсаң, ол өзімен дәл беттеседі. Себебі: $(-x)^{3} = -x^{3}$, сондықтан $(x; y)$ және $(-x; -y)$ нүктелері графикте бірге жатады.

$a$ коэффициенті не істейді

Үш функцияны $x$-тің бірдей мәндерінде салыстырайық.

📌 $y = 2x^{3}$ графигі $y = x^{3}$ графигінен $Oy$ осі бойымен 2 есе созу арқылы, ал $y = \frac{1}{2}x^{3}$ графигі $Oy$ осі бойымен 2 есе қысу арқылы шығады. $y = -ax^{3}$ графигі — $y = ax^{3}$ графигінің $Ox$ осіне қатысты шағылысуы.

Қысқалық үшін «$y = x^{3}$ функциясының графигі болатын кубтық параболаны салу» деудің орнына «$y = x^{3}$ кубтық параболасын салу» дейді.

💡 Өзің байқап көр. Бір координаталық жүйеде $y = -x^{3}$, $y = -\frac{1}{2}x^{3}$ және $y = -2x^{3}$ функцияларының графиктерін сал. II және IV ширектерде үш қисық шығуы керек, ең тіктеуі — $-2x^{3}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Кубты квадратпен шатастырады: кубтық параболаны «тостаған» етіп сызады немесе $(-2)^{3} = 8$ деп санайды. Тексеріп көр: теріс санның кубы әрқашан теріс, сондықтан $a > 0$ болғанда графиктің сол жақ бөлігі төмен кетеді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан $y = x^{3}$ графигінің $x = -3$ болғандағы нүктесі қай жерде жататынын санды қоюдан бұрын болжатыңыз. «Жоғарыда» десе, теріс санның кубының таңбасы туралы сұраңыз.

Тәжірибеде тексер: графикке нүкте қой.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• $y = x^{3}$ кубтық параболасынан $y = -7x^{3}$ және $y = \frac{1}{7}x^{3}$ кубтық параболаларын қалай аламыз? $y = -7x^{3}$ үшін: $Oy$ осі бойымен 7 есе созып, $Ox$ осіне қатысты шағылыстырамыз. $y = \frac{1}{7}x^{3}$ үшін: $Oy$ осі бойымен 7 есе қысамыз.
• $y = 5x^{3}$ және $y = -5x^{3}$ кубтық параболалары бір-біріне қатысты қалай орналасқан? Олар $Ox$ осіне қатысты симметриялы: $x$-тің бірдей мәнінде біреуінің мәні $y$ болса, екіншісінің мәні $-y$ болады.
• Неліктен координаталар басы $y = ax^{3}$ кубтық параболасының центрлік симметриясы болады? Себебі $a(-x)^{3} = -ax^{3}$. Демек, $(x; y)$ нүктесі графикте жатса, $(-x; -y)$ нүктесі де сонда жатады. Бұл екі нүкте координаталар басынан әр жаққа, бірдей қашықтықта, бір түзудің бойында орналасады.
• $y = 7x^{3}$ және $y = -7x^{3}$ кубтық параболалары қай координаталық ширектерде орналасқан? Біріншісі I және III ширектерде, екіншісі II және IV ширектерде.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 26.1

$A(2; 16)$, $B(-1; -1)$, $C(3; 54)$, $D(-2; -8)$, $M(-0{,}2; -0{,}008)$, $R(-3; 27)$, $P(0{,}3; 1{,}27)$, $X(-5; -125)$ нүктелері $y = x^{3}$ функциясының графигіне тиісті ме?

Қалай ойлаймыз. Нүктенің $x$-ін формулаға қоямыз: куб $y$-ке тең болса, нүкте графикте жатады.

Шешуі.

1. $2^{3} = 8 \ne 16$.
2. $(-1)^{3} = -1$. Сәйкес келді.
3. $3^{3} = 27 \ne 54$.
4. $(-2)^{3} = -8$. Сәйкес келді.
5. $(-0{,}2)^{3} = -0{,}008$. Сәйкес келді.
6. $(-3)^{3} = -27 \ne 27$ (таңбасы басқа).
7. $0{,}3^{3} = 0{,}027 \ne 1{,}27$.
8. $(-5)^{3} = -125$. Сәйкес келді.

Жауабы: 2), 4), 5), 8) тиісті; 1), 3), 6), 7) тиісті емес.

№ 26.2

$y = 0{,}5x^{3}$ функциясының графигін салыңдар. Графиктен: 1) $x = -1{,}25$; $-0{,}75$; $2{,}5$; $4$ мәндеріне сәйкес $y$-тің; 2) $y = -3$; $-1$; $4$; $4{,}8$ мәндеріне сәйкес $x$-тің мәндерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен кесте мен тегіс қисық, сосын мәндерді сурет бойынша оқимыз: $x$-тен жоғары немесе төмен графикке дейін, ал $y$-тен бүйірге графикке дейін.

Шешуі. Графиктен шамамен оқимыз, ал есептеумен тексереміз.

1. $x = -1{,}25$: $y = 0{,}5 \cdot (-1{,}953) \approx -0{,}98$ (шамамен $-1$). $x = -0{,}75$: $y = 0{,}5 \cdot (-0{,}422) \approx -0{,}21$. $x = 2{,}5$: $y = 0{,}5 \cdot 15{,}625 \approx 7{,}8$. $x = 4$: $y = 0{,}5 \cdot 64 = 32$.

2. $0{,}5x^{3} = y$ теңдеуінен $x^{3} = 2y$ шығады. $y = -3$: $x^{3} = -6$, $x \approx -1{,}8$. $y = -1$: $x^{3} = -2$, $x \approx -1{,}3$. $y = 4$: $x^{3} = 8$, $x = 2$. $y = 4{,}8$: $x^{3} = 9{,}6$, $x \approx 2{,}1$.

Жауабы: 1) $\approx -0{,}98$; $\approx -0{,}21$; $\approx 7{,}8$; $32$. 2) $\approx -1{,}8$; $\approx -1{,}3$; $2$; $\approx 2{,}1$ (графикпен шешкенде аздаған қателік болуы мүмкін).

№ 26.3

1) $y = x^{3}$, $y = 5x^{3}$, $y = \frac{1}{4}x^{3}$, $y = 4x^{3}$; 2) $y = -5x^{3}$, $y = -\frac{1}{4}x^{3}$, $y = -4x^{3}$, $y = -\frac{1}{2}x^{3}$ функцияларының графиктерін бір координаталық жазықтыққа салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ортақ кесте аламыз да, әр функцияға есептейміз. $|a|$ неғұрлым үлкен болса, график соғұрлым тіктеу, $|a|$ кіші болса — соғұрлым «жатық».

Шешуі. 1) Барлық $a > 0$, графиктер I және III ширектерде.

2. Барлық $a < 0$, графиктер II және IV ширектерде: әр график 1-тармақтағы сәйкес графиктің $Ox$ осіне қатысты шағылысуы ($-\frac{1}{2}x^{3}$ үшін $x = \pm 1$ болғанда мәндер $\mp\frac{1}{2}$, ал $x = \pm\frac{1}{2}$ болғанда $\mp\frac{1}{16}$).

Жауабы: екі сызба: 1) I және III ширектердегі төрт өспелі кубтық парабола, ең тіктеуі $5x^{3}$-ныкі; 2) II және IV ширектердегі төрт кемімелі парабола, ең тіктеуі $-5x^{3}$-ныкі.

B деңгейі

№ 26.4

$y = x^{3}$ функциясы графигінің көмегімен берілген сандарды салыстырыңдар: 1) $(-3)^{3}$ және $(-2)^{3}$; 2) $(-1{,}2)^{3}$ және $0{,}2^{3}$; 3) $4{,}4^{3}$ және $5{,}02^{3}$; 4) $0$ және $(-2)^{3}$.

Қалай ойлаймыз. $y = x^{3}$ функциясы өспелі: $Ox$ осінде нүкте қаншалықты оңға орналасса, графиктің нүктесі соншалықты жоғары болады. Демек, екі санның қайсысының кубы үлкен екенін санның өзі үлкен болуынан білеміз.

Шешуі.

1. $-3 < -2$, сондықтан $(-3)^{3} < (-2)^{3}$ (яғни $-27 < -8$).
2. $-1{,}2 < 0{,}2$, сондықтан $(-1{,}2)^{3} < 0{,}2^{3}$ (теріс сан оң саннан кіші).
3. $4{,}4 < 5{,}02$, сондықтан $4{,}4^{3} < 5{,}02^{3}$.
4. $(-2)^{3} = -8$, ал $0 > -8$. Былай да болады: $0 > -2$, демек $0^{3} > (-2)^{3}$.

Жауабы: 1)

№ 26.5

$x^{3} = 2x + 1$; $2x^{3} = -3x$; $0{,}4x + 2 = x^{3}$; $-1{,}2x - 1 = x^{3}$ теңдеулерінің түбірлері бола ма?

Қалай ойлаймыз. $y = x^{3}$ кубтық параболасын және түзуді (оң жақ бөлікті) саламыз. Олар қиылысса, теңдеудің түбірі бар. Кубтық параболаның ұштары қарама-қарсы жаққа шексіздікке кетеді, сондықтан кез келген түзу онымен кем дегенде бір рет қиылысады.

Шешуі.

1. $x = -1$: $(-1)^{3} = -1$ және $2 \cdot (-1) + 1 = -1$. Түбір бар (шын мәнінде үшеу: $x^{3} - 2x - 1 = (x + 1)(x^{2} - x - 1)$, тағы $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$).
2. $2x^{3} + 3x = 0$, $x(2x^{2} + 3) = 0$. Түбір $x = 0$ (екінші көбейткіш оң).
3. $y = 0{,}4x + 2$ түзуі мен $y = x^{3}$ параболасы: $x = 1$ болғанда куб $1 < 2{,}4$, $x = 2$ болғанда куб $8 > 2{,}8$. Демек, қиылысу 1 мен 2 арасында, түбір $x \approx 1{,}4$.
4. $y = -1{,}2x - 1$ түзуі мен $y = x^{3}$ параболасы: $x = -1$ болғанда куб $-1 < 0{,}2$, $x = 0$ болғанда куб $0 > -1$. Қиылысу $-1$ мен $0$ арасында, түбір $x \approx -0{,}6$.

Жауабы: төрт жағдайда да түбірлер бар.

💡 Оқулықтың жауаптарында тек 1), 2) және 4) тармақтар жазылған; үшіншісі түсіп қалған, бірақ онда да түбір бар ($x \approx 1{,}4$).

№ 26.6

Теңдеулерді шешіңдер: 1) $x^{3} = -8$; 2) $x^{3} = 125$; 3) $2x^{3} = -54$; 4) $-0{,}5x^{3} = -4$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен коэффициентке бөлеміз, $x^{3} = $ сан қалады. Сосын кубы сондай болатын санды іздейміз.

Шешуі.

1. $x^{3} = -8$, $(-2)^{3} = -8$, $x = -2$.
2. $x^{3} = 125$, $5^{3} = 125$, $x = 5$.
3. $x^{3} = -54 : 2 = -27$, $x = -3$.
4. $x^{3} = -4 : (-0{,}5) = 8$, $x = 2$.

Жауабы: 1) $-2$; 2) $5$; 3) $-3$; 4) $2$.

№ 26.7

GeoGebra бағдарламасын қолданып, $y = -0{,}4x^{3}$ және $y = -0{,}3x + 5$ функцияларының графиктері қиылысады ма, анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Енгізу жолына екі формуланы да енгізіп, суретке қараймыз. Бірақ таңбалар бойынша өзіміз де көз жеткізе аламыз: теріс $x$ үшін бірінші функцияның куб мәні үлкен оң сандар береді.

Шешуі. $y = -0{,}4x^{3}$ кубтық параболасы кемиді: сол жағы жоғары кетеді, оң жағы төмен түседі. $y = -0{,}3x + 5$ түзуі — жатық сызық. $x = 0$ болғандағы мәндерді салыстырайық: параболада $0$, түзуде $5$ (түзу жоғары). $x = -3$ болғанда: параболада $-0{,}4 \cdot (-27) = 10{,}8$, түзуде $0{,}9 + 5 = 5{,}9$ (парабола жоғары). «Кім жоғары» реті ауысқандықтан, $-3$ пен $0$ аралығында олар қиылысады (шамамен $x \approx -2{,}4$).

Жауабы: иә, қиылысады.

№ 26.8

GeoGebra бағдарламасын қолданып, 1) $-0{,}3x^{3} = -4$; 2) $-0{,}3x^{3} = 5$; 3) $-0{,}3x^{3} = 1{,}4$ теңдеуін графиктік тәсілмен шешіңдер (жауабын ондық үлеске дейін дөңгелектеңдер).

Қалай ойлаймыз. $y = -0{,}3x^{3}$ функциясын және $y = $ сан көлденең түзуін саламыз, қиылысу нүктесінің абсциссасы $x$ болады. Есептеумен тексереміз: оң жақтағы санды $-0{,}3$-ке бөліп, $x^{3}$ неге тең екенін табамыз.

Шешуі.

1. $x^{3} = \frac{-4}{-0{,}3} \approx 13{,}3$. $2{,}4^{3} \approx 13{,}8$, ал $2{,}3^{3} \approx 12{,}2$ болғандықтан, $x \approx 2{,}4$.
2. $x^{3} = \frac{5}{-0{,}3} \approx -16{,}7$. $2{,}6^{3} \approx 17{,}6$, ал $2{,}5^{3} \approx 15{,}6$ болғандықтан, $x \approx -2{,}6$.
3. $x^{3} = \frac{1{,}4}{-0{,}3} \approx -4{,}7$. $1{,}7^{3} \approx 4{,}9$, ал $1{,}6^{3} \approx 4{,}1$ болғандықтан, $x \approx -1{,}7$.

Жауабы: 1) $x \approx 2{,}4$; 2) $x \approx -2{,}6$; 3) $x \approx -1{,}7$.

C деңгейі

Мұнда есептер қиынырақ. Бірден шықпаса қорықпа: байқап көр, талдаумен салыстыр, сонда бәрі орнына түседі.

№ 26.9

$a = 3$, $b = 2$; 2) $a = -3$, $b = 0{,}2$; 3) $a = 0{,}2$, $b = -0{,}2$; 4) $a = -4$, $b = -2$ болса, онда $y = ax^{2}$ және $y = bx^{3}$ функциялары графиктерінің неше қиылысу нүктесі бар?

Қалай ойлаймыз. Қиылысу нүктелерін $ax^{2} = bx^{3}$ теңдігінен табамыз: неше түбір болса, сонша нүкте.

Шешуі. Виджеттегі жалпы схема: түбірлер $x = 0$ және $x = \frac{a}{b}$, оның үстіне $\frac{a}{b} \ne 0$. Әр жағдайда екінші нүктені табайық.

1. $x = \frac{3}{2} = 1{,}5$, $y = 3 \cdot 2{,}25 = 6{,}75$.
2. $x = \frac{-3}{0{,}2} = -15$, $y = -3 \cdot 225 = -675$.
3. $x = \frac{0{,}2}{-0{,}2} = -1$, $y = 0{,}2 \cdot 1 = 0{,}2$.
4. $x = \frac{-4}{-2} = 2$, $y = -4 \cdot 4 = -16$.

Жауабы: төрт жағдайда да екіден қиылысу нүктесі бар: 1) $(0; 0)$ және $(1{,}5; 6{,}75)$; 2) $(0; 0)$ және $(-15; -675)$; 3) $(0; 0)$ және $(-1; 0{,}2)$; 4) $(0; 0)$ және $(2; -16)$.

№ 26.10

$y = 2x^{3}$ функциясының: 1) $[-2; 5]$; 2) $[-1; -0{,}5]$; 3) $[-3; 3{,}5]$ аралықтарындағы ең үлкен және ең кіші мәндерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $y = 2x^{3}$ функциясы бүкіл сан осінде өседі, сондықтан ең кіші мән кесіндінің сол ұшында, ең үлкен мән оң ұшында болады.

Шешуі.

1. $y(-2) = 2 \cdot (-8) = -16$; $y(5) = 2 \cdot 125 = 250$.
2. $y(-1) = -2$; $y(-0{,}5) = 2 \cdot (-0{,}125) = -0{,}25$.
3. $y(-3) = 2 \cdot (-27) = -54$; $y(3{,}5) = 2 \cdot 42{,}875 = 85{,}75$.

Жауабы: 1) ең кіші мәні $-16$, ең үлкен мәні $250$; 2) ең кіші мәні $-2$, ең үлкен мәні $-0{,}25$; 3) ең кіші мәні $-54$, ең үлкен мәні $85{,}75$.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 26.11

$y = -3x$; $y = 2x - 1$; $y = 3 - \frac{x}{3}$; $y = 0{,}5x + 1$ функцияларының қайсысы: 1) өспелі; 2) кемімелі болады?

Қалай ойлаймыз. $y = kx + b$ сызықтық функциясында бәрін $k$-ның таңбасы шешеді: $k > 0$ болса функция өседі, $k < 0$ болса кемиді.

Шешуі.

• $y = -3x$: $k = -3 < 0$, кемиді.
• $y = 2x - 1$: $k = 2 > 0$, өседі.
• $y = 3 - \frac{x}{3}$: $k = -\frac{1}{3} < 0$, кемиді.
• $y = 0{,}5x + 1$: $k = 0{,}5 > 0$, өседі.

Жауабы: 1) өспелі: $y = 2x - 1$ және $y = 0{,}5x + 1$; 2) кемімелі: $y = -3x$ және $y = 3 - \frac{x}{3}$.

№ 26.12

1) $y = -0{,}2x^{2}$; 2) $y = 5x^{2}$; 3) $y = -2x^{3}$ функциясының графигі қай ширектерде орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Дәрежесі мен коэффициентінің таңбасына қараймыз. Квадрат теріс емес, сондықтан парабола $Ox$ осінің бір жағында «отырады». Кубтың таңбасы $x$-тің таңбасындай, сондықтан кубтық парабола екі қарама-қарсы ширекті алады.

Шешуі.

1. $a = -0{,}2 < 0$, $y \le 0$ мәндері: III және IV ширектер.
2. $a = 5 > 0$, $y \ge 0$ мәндері: I және II ширектер.
3. $a = -2 < 0$: $x > 0$ болғанда мәні теріс (IV), $x < 0$ болғанда оң (II).

Жауабы: 1) III және IV; 2) I және II; 3) II және IV.

Жадынама

• $y = 2x^{3}$ графигі — $y = x^{3}$ графигін $Oy$ бойымен 2 есе созу, $y = \frac{1}{2}x^{3}$ — 2 есе қысу.
• $y = ax^{3}$ және $y = -ax^{3}$ графиктері $Ox$ осіне қатысты симметриялы.
• $x^{3} = c$ теңдеуінің кез келген $c$ үшін дәл бір түбірі бар: $y = x^{3}$ параболасы мен көлденең түзудің бір ғана ортақ нүктесі болады.
• Кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндер: функция монотонды, тек ұштарына қараймыз.

Шағын тест