§ 27. y = k/x (k ≠ 0) функциясы, оның графигі және қасиеттері — Алгебра 7 сынып, Әбілқасымова: талдау және жауаптар
Ookul.kz · сабақ талдау
Орысша

Кез келген есепті бірге талдайық!

§ 27. y = k/x (k ≠ 0) функциясы, оның графигі және қасиеттері

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 бөлім: Функция. Функцияның графигі. 159–165-беттер.

Нені үйренесің

  • $y = \frac{k}{x}$ функциясының қасиеттерін атауды: анықталу облысы, мәндерінің жиыны, таңбасы, нөлдері.
  • Гиперболаны кесте бойынша салуды және оның екі тармағы бар екенін көруді.
  • $k$ гиперболаны қалай өзгертетінін және ол қай ширектерде жататынын түсінуді.
  • Теңдеулерді шешуді және графиктердің қиылысуын табуды.
  • Графиктің нүктесі бойынша $k$-ны, кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндерді табуды.

Ой қозғау

  • Нөлге бөлуге бола ма? Жоқ. $\frac{5}{0}$ өрнегінің мағынасы жоқ.
  • $x = 4$ болғанда $\frac{1}{x}$ неге тең? $x = -4$ болғанда ше? $\frac{1}{4}$ және $-\frac{1}{4}$.
  • $x$ нөлге өте жақын болса, мысалы $x = 0{,}01$, $\frac{1}{x}$ бөлшегі не болады? $100$ шығады: бөлімі кіші болған сайын бөлшек үлкен.
  • Таңбалары әртүрлі екі санның бөліндісінің таңбасы қандай? Минус. Ал таңбалары бірдей болса — плюс.
  • $y = kx$ функциясы қалай аталады? Тура пропорционалдық. Бүгін оның «қарсы жағын» қарастырамыз.

Тақырыпты талдаймыз

$y = \frac{k}{x}$ қандай функция

$k$ саны нөлге тең емес. Формула былай дейді: $k$ санын алып, $x$-ке бөл. Бұл кері пропорционалдық: $x$ өссе, $|y|$ азаяды.

Өмірден мысал: $120$ км жол. Жылдамдығы $x$ км/сағ, уақыты $y = \frac{120}{x}$ сағат. Жылдамдығы 60 болса, уақыты 2 сағат. Жылдамдығы 120 болса, уақыты 1 сағат.

Қасиеттерін ретімен қарастырамыз

1) Анықталу облысы. Нөлге бөлуге болмайды, қалғанының бәріне болады:

$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty).$

2) Мәндерінің жиыны. $\frac{k}{x}$ бөлшегі ешқашан нөлге тең емес (алымы $k \ne 0$). Ал кез келген басқа мәнді алуға болады: $y = c$ шығу үшін $x = \frac{k}{c}$ ал. Сондықтан

$E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty).$

Графиктің қайда орналасатыны осыдан көрінеді: $k > 0$ болса I және III ширектерде, $k < 0$ болса II және IV ширектерде.

3) Таңбатұрақтылық аралықтары.

  • $k > 0$ болғанда: $(0; +\infty)$ аралығында оң, $(-\infty; 0)$ аралығында теріс.
  • $k < 0$ болғанда: $(-\infty; 0)$ аралығында оң, $(0; +\infty)$ аралығында теріс.

4) Нөлдері. Нөлдері жоқ: алымы $k \ne 0$ болатын бөлшек нөлге тең бола алмайды. Демек, график $Ox$ осімен қиылыспайды. $Oy$ осімен де қиылыспайды: $x = 0$ болғанда функцияның мағынасы жоқ.

📌 $y = \frac{k}{x}$ ($k \ne 0$) функциясы: $D = E = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, нөлдері жоқ. $k > 0$ болғанда график I және III ширектерде, $k < 0$ болғанда II және IV ширектерде.

Гиперболаны саламыз

$y = \frac{1}{x}$ және $y = -\frac{1}{x}$ үшін кесте құрайық. $x = 0$ болғанда мән болмайды, сондықтан кестеде сызықша тұр.

$x$ $-2$ $-1$ $-\frac{1}{2}$ $0$ $\frac{1}{2}$ $1$ $2$
$y = \frac{1}{x}$ $-\frac{1}{2}$ $-1$ $-2$ мәні болмайды $2$ $1$ $\frac{1}{2}$
$y = -\frac{1}{x}$ $\frac{1}{2}$ $1$ $2$ мәні болмайды $-2$ $-1$ $-\frac{1}{2}$

График екі бөлек бөліктен тұрады, оларды $x = 0$ арқылы қосуға болмайды. Әр бөлікті тегіс сызықпен саламыз. Екеуі бірге гипербола деп аталады.

Суретте не көрінеді:

  • Тармақтар осьтерге ұмтылады: $x = 0$ маңында график жоғары немесе төмен кетеді, $|x|$ үлкен болғанда $Ox$ осіне жабысады.
  • $k > 0$ болғанда әр тармақ кемиді; $k < 0$ болғанда әр тармақ өседі.

📕 Оқулықта (161-бет) $k > 0$ болғанда функция $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ аралықтарында кемиді (ал $k < 0$ болғанда өседі) делінген. Дұрысы: $(-\infty; 0)$ және $(0; +\infty)$ аралықтарының әрқайсысында жеке-жеке, ал бірігуінде олай емес. Мысалы, $-1 < 1$, бірақ $\frac{1}{-1} = -1 < \frac{1}{1} = 1$, яғни $x$ өскенде мән де өсті.

🌟 «Гипербола» сөзін де «парабола» сияқты ежелгі гректер ойлап тапқан: ол «артықтық», «асып кету» деген мағына береді.

$k$ не істейді

$x$-тің бірдей мәндерінде $y = \frac{2}{x}$, $y = \frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{2x}$ функцияларын салыстырайық.

$x$ $-4$ $-2$ $-1$ $-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $1$ $2$ $4$
$y = \frac{2}{x}$ $-\frac{1}{2}$ $-1$ $-2$ $-4$ $4$ $2$ $1$ $\frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{x}$ $-\frac{1}{4}$ $-\frac{1}{2}$ $-1$ $-2$ $2$ $1$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$
$y = \frac{1}{2x}$ $-\frac{1}{8}$ $-\frac{1}{4}$ $-\frac{1}{2}$ $-1$ $1$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{8}$

$\frac{2}{x}$ функциясының мәндері модулі бойынша $\frac{1}{x}$-тікінен екі есе үлкен, ал $\frac{1}{2x}$-тікі екі есе кіші. $|k|$ неғұрлым үлкен болса, тармақтар осьтерден соғұрлым алыс.

📌 $y = \frac{2}{x}$ графигі $y = \frac{1}{x}$ графигінен $Oy$ бойымен 2 есе созу арқылы, ал $y = \frac{1}{2x}$ графигі 2 есе қысу арқылы шығады. $y = -\frac{k}{x}$ графигі — $y = \frac{k}{x}$ графигінің $Ox$ осіне қатысты шағылысуы. Координаталар басы — гиперболаның симметрия центрі.

⚠️ Жиі кететін қате. Гиперболаның тармақтарын $Oy$ осі арқылы сызықпен қосуға болмайды: $x = 0$ болғанда функция жоқ. Екі бөлек сызық сыз да, осьтерді қиып өтпе.

💡 Өзің байқап көр. Бір координаталық жүйеде $y = -\frac{1}{x}$, $y = -\frac{1}{2x}$ және $y = -\frac{2}{x}$ гиперболаларын сал. Үшеуі де II және IV ширектерде жатады, ал ең «алыс» тармақтары $-\frac{2}{x}$-ке тиесілі.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сұраңыз: «Жылдамдықты екі есе арттырсақ, жолдағы уақытқа не болады?» Міне, бұл — $y = \frac{k}{x}$, ал графигі — гипербола.

Енді гиперболаға нүкте қой.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

  • $y = \frac{1}{x}$ гиперболасынан $y = -7 \cdot \frac{1}{x}$ және $y = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{x}$ гиперболаларын қалай аламыз? $y = -\frac{7}{x}$ үшін: $Oy$ бойымен 7 есе созып, $Ox$ осіне қатысты шағылыстырамыз. $y = \frac{1}{7x}$ үшін: $Oy$ бойымен 7 есе қысамыз.
  • $y = \frac{k}{x}$ және $y = -\frac{k}{x}$ гиперболалары бір-біріне қатысты қалай орналасқан? Олар $Ox$ осіне қатысты симметриялы (және $Oy$ осіне қатысты да: біреуінің тармақтары I және III ширектерде, екіншісінікі II және IV ширектерде).
  • Неліктен координаталар басы $y = \frac{k}{x}$ гиперболасының симметрия центрі болады? Себебі $\frac{k}{-x} = -\frac{k}{x}$. $(x; y)$ нүктесі графикте жатса, $(-x; -y)$ нүктесі де сонда жатады. Бұл екі нүкте координаталар басымен бір түзудің бойында, оның екі жағында, бірдей қашықтықта орналасады.
  • $y = \frac{11}{x}$ және $y = -\frac{11}{x}$ гиперболалары қай ширектерде орналасқан? Біріншісі I және III ширектерде, екіншісі II және IV ширектерде.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 27.1

$A(2; 0{,}5)$, $B(-3; 4{,}3)$, $C(-10; -0{,}1)$, $M(-0{,}2; -5)$ нүктелері $y = \frac{1}{x}$ функциясының графигіне тиісті ме?

Қалай ойлаймыз. Нүктенің $x$-ін $\frac{1}{x}$ өрнегіне қоямыз: $y$ шықса, нүкте графикте жатады.

Шешуі.

  1. $\frac{1}{2} = 0{,}5$. Сәйкес келді.
  2. $\frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \ne 4{,}3$.
  3. $\frac{1}{-10} = -0{,}1$. Сәйкес келді.
  4. $\frac{1}{-0{,}2} = -5$. Сәйкес келді.

Жауабы: 1), 3), 4) тиісті; 2) тиісті емес.

№ 27.2

$y = \frac{3}{x}$ функциясының графигін салыңдар. График бойынша: 1) $x = -3$; $-0{,}6$; $5$; $30$ мәндеріне сәйкес функцияның мәндерін; 2) $y = -2$; $-1{,}5$; $0{,}5$; $2{,}5$; $4$ мәндеріне сәйкес аргументтің мәндерін анықтаңдар; 3) егер $y = f(x)$ болса, онда мыналарды табыңдар: $f(0{,}5) + f(3)$; $f(1) - f(-1{,}5)$; $f(2) - 2f(3)$; $f(-0{,}3) + 3f(1{,}5)$.

Қалай ойлаймыз. Кесте бойынша екі тармақты саламыз, мәндерді график бойынша оқимыз да бөлумен тексереміз: $y = \frac{3}{x}$ және $x = \frac{3}{y}$.

$x$ $-6$ $-3$ $-2$ $-1$ $-0{,}5$ $0{,}5$ $1$ $2$ $3$ $6$
$y = \frac{3}{x}$ $-0{,}5$ $-1$ $-1{,}5$ $-3$ $-6$ $6$ $3$ $1{,}5$ $1$ $0{,}5$

Шешуі.

  1. $f(-3) = -1$; $f(-0{,}6) = -5$; $f(5) = 0{,}6$; $f(30) = 0{,}1$.
  2. $x = \frac{3}{y}$: $y = -2$ болғанда $x = -1{,}5$; $y = -1{,}5$ болғанда $x = -2$; $y = 0{,}5$ болғанда $x = 6$; $y = 2{,}5$ болғанда $x = 1{,}2$; $y = 4$ болғанда $x = 0{,}75$.
  3. $f(0{,}5) + f(3) = 6 + 1 = 7$. $f(1) - f(-1{,}5) = 3 - (-2) = 5$. $f(2) - 2f(3) = 1{,}5 - 2 \cdot 1 = -0{,}5$. $f(-0{,}3) + 3f(1{,}5) = -10 + 3 \cdot 2 = -4$.

Жауабы: 1) $-1$; $-5$; $0{,}6$; $0{,}1$. 2) $-1{,}5$; $-2$; $6$; $1{,}2$; $0{,}75$. 3) $7$; $5$; $-0{,}5$; $-4$.

№ 27.3

$y = \frac{2}{x}$; $y = \frac{4}{x}$; $y = -\frac{2}{x}$; $y = -\frac{4}{x}$; $y = \frac{0{,}5}{x}$ функцияларының графиктерін бір координаталық жазықтыққа салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр функцияға бөлшегі оңай есептелетін $x$ мәндерінің кестесін аламыз. $k > 0$ болғанда графиктер I және III ширектерде, $k < 0$ болғанда II және IV ширектерде.

Шешуі.

$x$ $-4$ $-2$ $-1$ $-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ $1$ $2$ $4$
$\frac{2}{x}$ $-\frac{1}{2}$ $-1$ $-2$ $-4$ $4$ $2$ $1$ $\frac{1}{2}$
$\frac{4}{x}$ $-1$ $-2$ $-4$ $-8$ $8$ $4$ $2$ $1$
$-\frac{2}{x}$ $\frac{1}{2}$ $1$ $2$ $4$ $-4$ $-2$ $-1$ $-\frac{1}{2}$
$-\frac{4}{x}$ $1$ $2$ $4$ $8$ $-8$ $-4$ $-2$ $-1$
$\frac{0{,}5}{x}$ $-\frac{1}{8}$ $-\frac{1}{4}$ $-\frac{1}{2}$ $-1$ $1$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{8}$

Жауабы: бес гипербола: $\frac{2}{x}$, $\frac{4}{x}$, $\frac{0{,}5}{x}$ — I және III ширектерде ($\frac{4}{x}$ осьтерден ең алыс, $\frac{0{,}5}{x}$ ең жақын); $-\frac{2}{x}$ және $-\frac{4}{x}$ — II және IV ширектерде.

№ 27.4

Функция $y = -\frac{5}{x}$ формуласымен берілген. $x = -5$; $-2$; $-1$; $1$; $2$; $5$ үшін кестені толтырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр $x$ мәнін $-\frac{5}{x}$ өрнегіне қоямыз. Таңба өзгереді: $x$ теріс болса плюс шығады, $x$ оң болса минус.

Шешуі.

$x$ $-5$ $-2$ $-1$ $1$ $2$ $5$
$y = -\frac{5}{x}$ $1$ $2{,}5$ $5$ $-5$ $-2{,}5$ $-1$

Жауабы: $y = 1$; $2{,}5$; $5$; $-5$; $-2{,}5$; $-1$.

B деңгейі

№ 27.5

1) $-\frac{5}{x} = 3x + 2$; 2) $-\frac{2{,}5}{x} = 5$; 3) $\frac{4}{x} = -x$; 4) $\frac{6}{x} = 4x - 3$ теңдеулерінің түбірлері бар ма?

Қалай ойлаймыз. Функцияларды теңестіріп, $x$-ке көбейтеміз ($x \ne 0$ болғанда). Квадрат немесе сызықтық теңдеу шығады; түбірлері бар-жоғын қараймыз. Графикпен айтсақ, бұл гипербола мен түзудің қиылысуы.

Шешуі.

  1. $-5 = 3x^{2} + 2x$, яғни $3x^{2} + 2x + 5 = 0$. Дискриминант $4 - 60 = -56 < 0$. Түбірлері жоқ. Графикте: гипербола II және IV ширектерде, ал $y = 3x + 2$ түзуі қасынан «өтіп кетеді».
  2. $-2{,}5 = 5x$, $x = -0{,}5$. Түбір бар.
  3. $4 = -x^{2}$, $x^{2} = -4$. Квадрат теріс бола алмайды: түбірлері жоқ (гипербола I және III ширектерде, $y = -x$ түзуі II және IV ширектерде).
  4. $6 = 4x^{2} - 3x$, $4x^{2} - 3x - 6 = 0$. Дискриминант $9 + 96 = 105 > 0$. Екі түбір бар.

Жауабы: 1) жоқ; 2) бар ($x = -0{,}5$); 3) жоқ; 4) бар (екі түбір).

№ 27.6

1) $4 = -\frac{2}{|x|}$; 2) $3 = \frac{4}{x}$; 3) $x = -\frac{2}{|x|}$; 4) $2x = -\frac{5}{x}$; 5) $x^{2} = \frac{1}{x}$; 6) $x^{3} = -x^{2}$; 7) $x^{2} = x + 2$; 8) $0{,}25x^{2} = \frac{2}{|x|}$ теңдеулерін графиктік тәсілмен шешіңдер.

Қалай ойлаймыз. Әр теңдеуде сол жақ бөліктің графигін де, оң жақ бөліктің графигін де саламыз да, олардың қай жерде қиылысатынын қараймыз. Ортақ нүктелердің абсциссалары — түбірлер. Тексеру үшін есептеп те шығарамыз.

Шешуі.

  1. Оң жақ бөлік $-\frac{2}{|x|}$ әрқашан теріс ($Ox$ осінен төмен), сол жағы $4$ (жоғары). Графиктер қиылыспайды. Түбірлері жоқ.
  2. $y = 3$ түзуі мен $\frac{4}{x}$ гиперболасы бір нүктеде қиылысады: $x = \frac{4}{3}$.
  3. Оң жақ бөлік теріс, демек $x < 0$ және $|x| = -x$: $x = \frac{-2}{-x} = \frac{2}{x}$, одан $x^{2} = 2$. $x = -\sqrt{2} \approx -1{,}4$ сәйкес келеді.
  4. $x \ne 0$ болғанда сол және оң жақ бөліктердің таңбалары әртүрлі: $2x^{2} = -5$ мүмкін емес. Түбірлері жоқ (түзу I және III ширектерде, гипербола II және IV ширектерде).
  5. $x \ne 0$ болғанда: $x^{3} = 1$, $x = 1$ (парабола мен гипербола $(1; 1)$ нүктесінде қиылысады).
  6. $x^{3} + x^{2} = 0$, $x^{2}(x + 1) = 0$: $x = 0$ және $x = -1$.
  7. $x^{2} - x - 2 = 0$, түбірлері $x = -1$ және $x = 2$ (парабола мен $y = x + 2$ түзуі $(-1; 1)$ және $(2; 4)$ нүктелерінде қиылысады).
  8. Виджетті қара: $x = -2$ және $x = 2$.

Жауабы: 1) түбірлері жоқ; 2) $\frac{4}{3}$; 3) $-\sqrt{2}$; 4) түбірлері жоқ; 5) $1$; 6) $-1$ және $0$; 7) $-1$ және $2$; 8) $-2$ және $2$.

№ 27.7

1) $y = -x + 3$; 2) $y = 2x$; 3) $y = x + 1$; 4) $y = -3x - 3{,}5$; 5) $y = -x^{2}$; 6) $y = -0{,}5x^{3}$; 7) $y = \frac{1}{3}x^{2}$; 8) $y = |x|$ функцияларының графиктері мен $f(x) = -\frac{5}{x}$ функциясының графигі қиылыса ма?

Қалай ойлаймыз. $-\frac{5}{x}$ өрнегін оң жақ бөлікке теңестіреміз, $x$-ке көбейтеміз де, түбірлері бар-жоғын тексереміз. Түбір бар болса, графиктер қиылысады.

Шешуі.

  1. $-5 = -x^{2} + 3x$, $x^{2} - 3x - 5 = 0$, $D = 9 + 20 = 29 > 0$. Қиылысады (екі нүктеде).
  2. $-5 = 2x^{2}$, мүмкін емес. Қиылыспайды (түзу I және III ширектерде, гипербола II және IV ширектерде).
  3. $-5 = x^{2} + x$, $x^{2} + x + 5 = 0$, $D = 1 - 20 < 0$. Қиылыспайды.
  4. $-5 = -3x^{2} - 3{,}5x$, $3x^{2} + 3{,}5x - 5 = 0$, $D = 12{,}25 + 60 > 0$. Қиылысады (екі нүктеде).
  5. $-5 = -x^{3}$, $x^{3} = 5$, $x = \sqrt[3]{5}$. Бір нүктеде қиылысады.
  6. $-5 = -0{,}5x^{4}$, $x^{4} = 10$, $x = \pm \sqrt[4]{10}$. Екі нүктеде қиылысады.
  7. $-5 = \frac{1}{3}x^{3}$, $x^{3} = -15$, $x = -\sqrt[3]{15}$. Бір нүктеде қиылысады.
  8. $x < 0$ болғанда: $-\frac{5}{x} = -x$, $x^{2} = 5$, $x = -\sqrt{5}$ сәйкес келеді. Бір нүктеде қиылысады.

Жауабы: 1) иә; 2) жоқ; 3) жоқ; 4) иә; 5) иә; 6) иә; 7) иә; 8) иә.

C деңгейі

Мұнда есептер қиынырақ. Бірден шықпаса қорықпа: байқап көр, талдаумен салыстыр, сонда бәрі орнына түседі.

№ 27.8

$y = \frac{4}{x}$ және $y = ax + b$ функцияларының графиктері: 1) тек бір нүктеде; 2) тек екі нүктеде; 3) үш нүктеде қиылысуы мүмкін бе?

Қалай ойлаймыз. Теңестіреміз: $\frac{4}{x} = ax + b$, $x$-ке көбейтіп, $ax^{2} + bx - 4 = 0$ аламыз. Осы теңдеудің түбірлер саны қиылысу нүктелерінің санына тең.

Шешуі.

  1. Иә. $a = 0$ болса, $bx = 4$ дәл бір түбір береді (мысалы $y = 2$: нүкте $(2; 2)$). Немесе жанама түзу: $y = -x + 4$ үшін $x^{2} - 4x + 4 = 0$, бір түбір $x = 2$.
  2. Иә. Мысалы, $y = x$: $\frac{4}{x} = x$, $x^{2} = 4$, нүктелері $(2; 2)$ және $(-2; -2)$.
  3. Жоқ. Бұл квадрат теңдеу ($a \ne 0$ болғанда), оның түбірі екіден аспайды, ал $a = 0$ болғанда тек біреу.

Жауабы: 1) иә; 2) иә; 3) жоқ.

№ 27.9

1) $y = \frac{2}{|x|}$; 2) $y = -\frac{2}{|x|}$; 3) $y = -\frac{1}{|-x|}$; 4) $y = \frac{-0{,}2}{|x|}$ функцияларының графигін салыңдар.

Қалай ойлаймыз. $|x|$ модулі әрқашан теріс емес, сондықтан мәннің таңбасын тек алымы анықтайды. $k > 0$ болса екі тармақ та $Ox$ осінен жоғары, $k < 0$ болса төмен. Және $|-x| = |x|$ екенін ұмытпа.

Шешуі. 1) $x > 0$ болғанда: $\frac{2}{|x|} = \frac{2}{x}$. $x < 0$ болғанда: $\frac{2}{|x|} = -\frac{2}{x}$. Гиперболаның оң тармағын қалдырамыз, сол тармағын жоғары шағылыстырамыз: $Oy$ осіне қатысты симметриялы I және II ширектердегі екі тармақ шығады.

  1. Айнадай төмен: III және IV ширектердегі екі тармақ.

  2. $|-x| = |x|$ болғандықтан, бұл $y = -\frac{1}{|x|}$: III және IV ширектердегі екі тармақ, 2-тармақтағыдан осьтерге жақынырақ.

  3. $y = -\frac{0{,}2}{|x|}$: III және IV ширектердегі екі тармақ, осьтерге өте жақын.

Жауабы: төрт график: 1) I және II ширектердегі екі тармақ; 2), 3), 4) III және IV ширектердегі екіден тармақ.

№ 27.10

$f(x) = \frac{2}{|x|}$ функциясының: 1) $[2{,}4; 5]$; 2) $[-2{,}4; -1]$; 3) $[-3{,}5; -0{,}5]$; 4) $[4; 12]$ аралықтарындағы ең үлкен және ең кіші мәндерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $x > 0$ болғанда $\frac{2}{|x|} = \frac{2}{x}$ функциясы кемиді: $x$ үлкен болған сайын мәні кіші. $x < 0$ болғанда ол өседі: $x$ нөлге жақындаған сайын мәні үлкен. Демек, мәндерге кесіндінің ұштарында жетеміз.

Шешуі.

  1. $[2{,}4; 5]$: кемиді. Ең үлкен мәні $f(2{,}4) = \frac{2}{2{,}4} = \frac{5}{6}$, ең кіші мәні $f(5) = 0{,}4$.
  2. $[-2{,}4; -1]$: өседі. Ең үлкен мәні $f(-1) = 2$, ең кіші мәні $f(-2{,}4) = \frac{5}{6}$.
  3. $[-3{,}5; -0{,}5]$: өседі. Ең үлкен мәні $f(-0{,}5) = 4$, ең кіші мәні $f(-3{,}5) = \frac{2}{3{,}5} = \frac{4}{7}$.
  4. $[4; 12]$: кемиді. Ең үлкен мәні $f(4) = 0{,}5$, ең кіші мәні $f(12) = \frac{1}{6}$.

Жауабы: 1) ең үлкені $\frac{5}{6}$, ең кішісі $0{,}4$; 2) ең үлкені $2$, ең кішісі $\frac{5}{6}$; 3) ең үлкені $4$, ең кішісі $\frac{4}{7}$; 4) ең үлкені $0{,}5$, ең кішісі $\frac{1}{6}$.

№ 27.11

$y = \frac{k}{x}$ функциясының графигі $M(-4; 2)$ нүктесі арқылы өтеді. Осы функцияның графигі: 1) $A(-1; 8)$; 2) $B(3; -9)$; 3) $C(0{,}5; -16)$; 4) $K(-3; 2\frac{2}{3})$ нүктелері арқылы өте ме?

Қалай ойлаймыз. Алдымен $M$ нүктесі бойынша $k$-ны табамыз, сосын қалған нүктелерді тексереміз: $xy$ көбейтіндісі $k$-ға тең болуы керек.

Шешуі. $2 = \frac{k}{-4}$, демек $k = 2 \cdot (-4) = -8$. Формула $y = -\frac{8}{x}$, яғни $xy = -8$.

  1. $-1 \cdot 8 = -8$. Өтеді.
  2. $3 \cdot (-9) = -27 \ne -8$. Өтпейді.
  3. $0{,}5 \cdot (-16) = -8$. Өтеді.
  4. $-3 \cdot 2\frac{2}{3} = -3 \cdot \frac{8}{3} = -8$. Өтеді.

Жауабы: 1) иә; 2) жоқ; 3) иә; 4) иә.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 27.12

Дүкендегі «балалар ойыншықтары» бөлімінде ойыншықтардың бағалары келесі тізбекті береді (28 баға, теңгемен): 480; 780; 250; 420; 420; 180; 250; 480; 480; 680; 250; 380; 540; 125; 430; 450; 380; 680; 990; 410; 690; 450; 360; 1200; 850; 800; 150; 250. 1) Бағасы 300 теңгеден 700 теңгеге дейін болатын қанша ойыншық бар? 2) Бағасы 600 теңгеден артық болатын ойыншықтар саны қанша? 3) Бағасы 600 теңгеден аспайтын қанша ойыншық бар?

Қалай ойлаймыз. Тізімдегі сәйкес сандарды жай ғана санаймыз. Адаспас үшін әр санды белгілеп отыр. «300-ден 700-ге дейін» дегенге 300 де, 700 де кіреді, «артық» — «үлкен», «аспайтын» — «кіші немесе тең» дегенді білдіреді.

Шешуі. Барлығы 28 баға.

  1. 300-ден 700-ге дейін: $480, 420, 420, 480, 480, 680, 380, 540, 430, 450, 380, 680, 410, 690, 450, 360$ — 16 баға.
  2. 600-ден артық: $780, 680, 680, 990, 690, 1200, 850, 800$ — 8 баға.
  3. 600-ден аспайтыны: қалғандары, $28 - 8 = 20$ баға. Тексеру: $8 + 20 = 28$.

Жауабы: 1) 16; 2) 8; 3) 20.

💡 Орыс басылымында екі баға басқаша болған (420 және 1150); қазақ оқулығында олар 410 және 150, сондықтан жауап та өзгерді.

№ 27.13

Ауа температурасы келесі тізбекпен берілген: $-12$°C; $-10$°C; $-9$°C; $-12$°C; $-11$°C; $-10$°C; $-9$°C; $-8$°C; $-9$°C; $-12$°C; $-11$°C; $-10$°C; $-10$°C; $-9$°C; $-8$°C. Осы тізбекті: 1) кему ретімен; 2) өсу ретімен жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі теріс саннан нөлге жақыны үлкен: $-8 > -9 > -10 > \ldots$ Кему — ең үлкеннен ең кішіге қарай. Барлығы 15 сан, бірде-бірін жоғалтпа.

Шешуі. Санап шығайық: $-8$ — 2 рет, $-9$ — 4 рет, $-10$ — 4 рет, $-11$ — 2 рет, $-12$ — 3 рет. Барлығы $2 + 4 + 4 + 2 + 3 = 15$.

  1. Кему ретімен: $-8; -8; -9; -9; -9; -9; -10; -10; -10; -10; -11; -11; -12; -12; -12$.
  2. Өсу ретімен: $-12; -12; -12; -11; -11; -10; -10; -10; -10; -9; -9; -9; -9; -8; -8$.

Жауабы: 1) $-8; -8; -9; -9; -9; -9; -10; -10; -10; -10; -11; -11; -12; -12; -12$; 2) кері ретпен ($-12$-ден $-8$-ге дейін).

Жадынама

  • $y = \frac{2}{x}$ графигі — $y = \frac{1}{x}$ графигін $Oy$ бойымен 2 есе созу, $y = \frac{1}{2x}$ — 2 есе қысу.
  • Гиперболаның тармақтары қосылмайды: $x = 0$ болғанда функция жоқ.
  • Гипербола мен басқа функция графигінің қиылысатынын білу үшін формулаларды теңестір, $x$-ке көбейт те, теңдеуді шеш.
  • $y = \frac{k}{|x|}$ функциясы: $Ox$ осінің бір жағындағы екі тармақ, $Oy$ осіне қатысты айнадай.

Шағын тест

← § 26. y = ax³ (a ≠ 0) функциясы, оның графигі және қасиеттері · Өзіңді тексер! III бөлім →