Өзіңді тексер! III бөлім

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 бөлім: Функция. Функцияның графигі. 165–167-беттер.

Мұнда функциялар мен олардың графиктері туралы бәрі жиналған: $y=kx+b$, $y=x^2$, $y=x^3$, $y=\frac{k}{x}$. Әр сұраққа A–D төрт нұсқа берілген. Алдымен өзің шығар, содан кейін шешуі мен дұрыс әріпті қара.

💡 Бұл тесттегі басты тәсіл: нүктенің графикте жататынын тексеру үшін оның координаталарын формулаға қой. Теңдік орындалса — нүкте графикте жатыр.

Жаттығуларды шығарамыз

№ 1

$y=2x^2$ функциясының графигіне тиісті емес нүктені анықтаңдар. Нұсқалар: A. $(0;0)$; B. $(1;2)$; C. $(-1;2)$; D. $(-1;-2)$.

Қалай ойлаймыз. Әр нүктені формулаға қоямыз. Квадрат ешқашан теріс болмайды, сондықтан $y$ теріс бола алмайды.

Шешуі. A: $2\cdot 0^2=0$, дұрыс. B: $2\cdot 1^2=2$, дұрыс. C: $2\cdot(-1)^2=2$, дұрыс. D: $2\cdot(-1)^2=2$, ал $-2$ емес, демек, графикте жатпайды.

Жауабы: D.

№ 2

$y=-3x^3$ функциясының $x=-2$ болғандағы мәнін табыңдар. Нұсқалар: A. $-24$; B. $18$; C. $24$; D. $-18$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен теріс санның кубы (ол теріс болады), сосын $-3$-ке көбейту.

Шешуі. $(-2)^3=-8$. Сонда $-3\cdot(-8)=24$.

Жауабы: C ($24$).

№ 3

$y=ax^2$ функциясының $x=-3$ болғандағы мәні $-9$-ға тең. $a$-ның мәнін табыңдар. Нұсқалар: A. $1$; B. $-1$; C. $\frac{1}{3}$; D. $-\frac{1}{3}$.

Қалай ойлаймыз. $x$ пен $y$-ті формулаға қойып, бір белгісізі бар теңдеу аламыз.

Шешуі. $a\cdot(-3)^2=-9$, яғни $9a=-9$, одан $a=-1$.

Жауабы: B ($-1$).

№ 4

$y=-\frac{5}{x}$ функциясының графигіне тиісті емес нүктені анықтаңдар. Нұсқалар: A. $(1;5)$; B. $(-2;10)$; C. $\left(\frac{1}{5};-25\right)$; D. $(2;2{,}5)$.

Қалай ойлаймыз. Кері пропорционалдықта $xy=-5$. Нүкте координаталарының көбейтіндісі $-5$-ке тең болуы керек.

Шешуі. A: $1\cdot5=5$. B: $-2\cdot10=-20$. C: $\frac{1}{5}\cdot(-25)=-5$, сәйкес келеді. D: $2\cdot2{,}5=5$.

Жауабы: C.

📕 Оқулықта «тиісті емес нүктені» деп жазылған, бірақ графикте тек C нүктесі жатыр, ал A, B, D нүктелерінің үшеуі де графикте жатпайды. Сондықтан жауап C болу үшін шарт «графигіне тиісті нүктені анықтаңдар» болуы керек.

№ 5

$y=-\frac{14}{x}$ функциясының мәні өсетіндей $x$-тің барлық мәндерін көрсетіңдер. Нұсқалар: A. $(0;+\infty)$; B. $(-\infty;0)$; C. $R$; D. $(-\infty;0)$ және $(0;+\infty)$.

Қалай ойлаймыз. $y=\frac{k}{x}$ функциясында $k<0$ болса, график II және IV ширектерде жатады, әр тармағы солдан оңға қарай жоғары көтеріледі.

Шешуі. Мұндағы $k=-14<0$, демек, функция $(-\infty;0)$ және $(0;+\infty)$ аралықтарының әрқайсысында өседі. Нөлде функция анықталмаған, сондықтан $R$ толық жарамайды.

Жауабы: D.

⚠️ Жиі кететін қате. «Функция бүкіл анықталу облысында өседі» деп айтпа. Гиперболаның екі тармағын нөлдегі үзіліс бөліп тұр, сондықтан аралықтарды бөлек атайды.

№ 6

Графигі $A(-2;-4{,}5)$ нүктесі арқылы өтетін кері пропорционалдықты формуламен өрнектеңдер. Нұсқалар: A. $y=-\frac{9}{x}$; B. $y=\frac{9}{x}$; C. $y=-\frac{14}{x}$; D. $y=-\frac{2}{9x}$.

Қалай ойлаймыз. $y=\frac{k}{x}$ формуласынан $k=xy$ шығады.

Шешуі. $k=(-2)\cdot(-4{,}5)=9$. Формуласы $y=\frac{9}{x}$. Тексеру: $\frac{9}{-2}=-4{,}5$.

Жауабы: B.

№ 7

$y=\frac{20}{x}$ функциясының мәні оң мән болатын $x$-тің барлық мәндерін көрсетіңдер. Нұсқалар: A. $(0;+\infty)$; B. $(-\infty;0)$; C. $R$; D. $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Қалай ойлаймыз. Алымы оң бөлшек бөлімі оң болғанда ғана оң болады.

Шешуі. $\frac{20}{x}>0$ тек $x>0$ болғанда. $x<0$ болғанда мәні теріс.

Жауабы: A.

№ 8

$y=x^2$ және $y=x^3$ функцияларының графиктері неше нүктеде қиылысады? Нұсқалар: A. екі нүктеде; B. бір нүктеде; C. ортақ нүктелері жоқ; D. шексіз нүктеде.

Қалай ойлаймыз. Қиылысу нүктелері — $x^2=x^3$ теңдеуінің шешімдері.

Шешуі. $x^3-x^2=0$, $x^2(x-1)=0$. Түбірлері: $x=0$ және $x=1$. Нүктелері $(0;0)$ және $(1;1)$.

Жауабы: A (екі нүкте).

№ 9

Нүктелердің қайсылары $y=-x^3$ функциясының графигіне тиісті болады? Нұсқалар: A. $(1;1),(-1;-1)$; B. $(1;-1),(-1;-1)$; C. $(-1;1),(1;-1)$; D. $(1;1),(0;0)$.

Қалай ойлаймыз. Кубтық парабола — тақ функция: $x$ таңбасын өзгертсе, $y$ те таңбасын өзгертеді.

Шешуі. $x=1$ болғанда: $y=-1$. $x=-1$ болғанда: $y=-(-1)^3=1$. Нүктелері $(1;-1)$ және $(-1;1)$.

Жауабы: C.

№ 10

$y=3x^3$ және $y=\frac{3}{x}$ функцияларының графиктері неше нүктеде қиылысады? Нұсқалар: A. ортақ нүктелері жоқ; B. бір нүктеде; C. екі нүктеде; D. үш нүктеде.

Қалай ойлаймыз. Функцияларды теңестіріп, теңдеуді шешеміз ($x\ne0$ екенін ұмытпаймыз).

Шешуі. $3x^3=\frac{3}{x}$, $x$-ке көбейтеміз: $x^4=1$. Түбірлері: $x=1$ және $x=-1$. Нүктелері $(1;3)$ және $(-1;-3)$.

Жауабы: C (екі нүкте).

№ 11

1-суретте берілген $y=kx+b$ функциясының графигі бойынша $k$ мен $b$-ның таңбаларын анықтаңдар. Нұсқалар: A. $k>0;b>0$; B. $k>0;b<0$; C. $k<0;b<0$; D. $k<0;b>0$.

Қалай ойлаймыз. Түзу солдан оңға қарай жоғары көтерілсе, $k>0$. Егер ол $Oy$ осін нөлден төмен қиса, $b<0$.

Шешуі. Суретте түзу оңға қарай көтеріліп, $Oy$ осін координаталар басынан төмен қиып өтеді. Демек, $k>0$ және $b<0$.

Жауабы: B.

№ 12

2-суретте берілген $y=kx+b$ функциясының графигі бойынша $k$ мен $b$-ның таңбаларын анықтаңдар. Нұсқалар сол.

Қалай ойлаймыз. Түзу солдан оңға қарай төмендейді, демек, $k<0$. $Oy$ осін нөлден жоғары қияды, демек, $b>0$.

Шешуі. 2-суретте түзу төмен түсіп, $Oy$ осімен координаталар басынан жоғары кездеседі. Демек, $k<0$ және $b>0$.

Жауабы: D.

№ 13

1-кесте: тетіктердің түрі $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ — саны $25$, $24$, $31$, $27$, $33$. Келесі тұжырымдардың арасынан ақиқат тұжырымдарды көрсетіңдер: 1) тетіктер санын құрайтын сандар қатарының арифметикалық ортасы 30-ға тең; 2) тетіктер санын құрайтын сандар қатарының құлашы 6-ға тең; 3) тетіктер санын құрайтын сандар қатарының медианасы 31-ге тең; 4) $D+E$ өрнегі мәнінің $A+B+C$ өрнегі мәніне қатынасы $0{,}75$-ке тең.

Қалай ойлаймыз. Әр тұжырымды бөлек тексереміз: арифметикалық ортасын, құлашты (ең үлкені минус ең кішісі), медиананы (реттелген қатардың ортасындағы сан), қатынасты.

Шешуі. Жоғарыдағы қадамдарды қара.

Жауабы: тек 4) ақиқат.

Жадынама

Тест жауаптары:

• Нүктеге сенімсіз болсаң, оны формулаға қой.
• График гипербола болса, нөлде мән жоқ екенін ұмытпа.
• Қиылысу нүктелерін табу керек болса, формулаларды теңестір.

Шағын тест