§ 28. Вариациялық қатар

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 4 бөлім: Статистика элементтері. 167–171-беттер.

Нені үйренесің

• Статистика, бас жиынтық және кездейсоқ таңдама дегеніміз не екенін түсінуді.
• Вариациялық қатарды жай сандар жиынынан ажыратуды.
• Варианта, қатардың ең кіші және ең үлкен мәндерін атауды.
• Өз деректеріңнен (бой, температура, масса) вариациялық қатар құрастыруды.

Ой қозғау

Оқулықта бұл жерде қайталауға арналған тапсырма жоқ, сондықтан өзіміз жаттығып алайық.

• Өсу ретімен орналастыр: $5;\ -2;\ 0;\ 7;\ -6$. $-6;\ -2;\ 0;\ 5;\ 7$. Есіңде болсын: сан түзуінде солға қарай орналасқан сан кіші болады.
• Қайсысы кіші: $-9$ па, әлде $-3$ пе? $-9$. $-9°$ аяз $-3°$ азғана суықтан қатты.
• Қайсысы үлкен: $-1$ ме, әлде $0$ ме? $0$.

Тақырыпты талдаймыз

Статистика дегеніміз не

Алматыда қанша бесінші сынып оқушысының телефоны бар? Астанада қаңтардағы орташа температура қандай? Мұндай сұрақтарға математикалық статистика жауап береді: ол фактілерді жинайды, ретке келтіреді және қорытынды жасауға көмектеседі.

💡 Қорытынды фактіге сүйенгенде ғана жақсы болады, «маған солай көрінеді» дегенге емес.

Бүтін жиын және оның бөлшегі

Бас жиынтық — зерттегіміз келетін барлық объектілер жиыны. Оны сұраққа қарай таңдайды:

• емен жапырақтарының өлшемдері қызықтырса — бұл барлық емендердің барлық жапырақтары;
• күздегі температура қызықтырса — күзде термометр көрсеткен барлық мәндер;
• жетінші сынып оқушыларының бойы қызықтырса — барлық жетінші сынып оқушылары.

Бас жиынтықтың элементтері кез келген объектілер болуы мүмкін: заттар, адамдар, табиғи құбылыстар.

Барлығын өлшеп шығу мүмкін емес. Сондықтан бір бөлігін алады — кездейсоқ таңдама: бас жиынтықтан кез келген ретпен таңдап алынған элементтер. Елдегі 13 жастағы барлық балалар үшін таңдама ретінде өзің оқитын мектептегі құрдастарың болады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сұраңыз: «Сыныпта қандай шырынды жақсы көретінін білгіміз келсе, кімнен сұраймыз?». Дұрыс жауап: әртүрлі балалардан, тек достарымыздан емес. «Кездейсоқ» таңдама дәл осылай жұмыс істейді.

Вариациялық қатар

Бақылау нәтижелерін қалауынша жазуға болады. Мысалы, қарашаның 5-інен 18-інің аралығындағы температура: $-3°,\ 0°,\ -3°,\ -6°,\ -7°,\ -12°,\ -11°,\ 0°,\ 0°,\ -7°,\ -9°,\ -10°,\ -12°,\ -10°$. Бұл — күндер бойынша жазылған тізбек, онда шамалардың реті жоқ.

📌 Объектілер жиынтығының өсуі немесе кемуі бойынша реттелуі вариациялық қатар деп аталады. Вариациялық қатардың әр мүшесі варианта деп аталады.

Сол температураларды өсу ретімен жазсақ: $-12°,\ -12°,\ -11°,\ -10°,\ -10°,\ -9°,\ -7°,\ -7°,\ -6°,\ -3°,\ -3°,\ 0°,\ 0°,\ 0°$.

Өзің ойлан (оқулықтағы сұрақтарға жауаптар):

• 5–18 қарашадағы тізбек неліктен вариациялық қатар болмайды? Сандар өсу бойынша да, кему бойынша да орналаспаған: $-3°$-тан кейін $0°$ тұр, одан кейін қайтадан $-3°$.
• $-12°,\ -12°,\ -11°,\ \dots,\ 0°,\ 0°,\ 0°$ қатары вариациялық қатар бола ма? Иә, сандар кемімейді: $-12°$-тан $0°$-қа дейін өседі. Қайталануға болады.
• Ал $0°,\ 0°,\ 0°,\ -3°,\ -3°,\ \dots,\ -12°,\ -12°$ қатары ше? Бұл да иә: ол кему бойынша реттелген.

⚠️ Жиі кететін қате. Вариациялық қатарда сандар қайталанбайды деп ойлайды. Қайталана алады. Бастысы — тәртіп бұзылмауы керек.

Қатар неліктен жай тізімнен ыңғайлы

Вариациялық қатардан бірден көрінетіндер:

• ең кіші мән (басында) және ең үлкен мән (соңында);
• қай мәндер басқаларынан жиі кездесетіні.

Алайда варианталар өте көп болса, қатар ұзарып, ыңғайсыз болады. Ол үшін жиіліктер кестесі бар — ол келесі параграфта.

Өзіңді тексер

• Бас жиынтық дегеніміз не? Зерттеу қажет, жалпы сипаттамасы бар барлық объектілер немесе құбылыстар жиыны.
• Ол қандай объектілерден тұруы мүмкін? Кез келгенінен: заттар, адамдар, табиғи құбылыстар.
• Кездейсоқ таңдама дегеніміз не? Бас жиынтықтан кез келген ретпен таңдап алынған элементтер.
• Вариациялық қатар және варианта дегеніміз не? Қатар — өсу немесе кему бойынша реттелген деректер; варианта — оның әр мүшесі.
• Вариациялық қатар кез келген тізбектен несімен артық? Ең кіші және ең үлкен мәндер, жиі кездесетін мәндер бірден көрінеді.
• Бас жиынтық пен таңдамаға мысал келтір. Мысалы, Алматыдағы барлық 7-сынып оқушылары және сенің мектебіңдегі 7 «Б» сыныбының оқушылары.
• $1,854,570;\ 1,916,822;\ 1,977,011;\ 2,101,485;\ 2,211,198$ қатары (Астана тұрғындарының 2019–2023 жылдардағы саны) вариациялық қатар бола ма? Иә: сандар өсіп отыр, яғни қатар реттелген.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 28.1

Берілген тізбектердің арасынан вариациялық қатарды атаңдар: 1) $1, 12, 13, 15, 16, 21, 22, 24, 26$; 2) $-17, -15, -13, -11, -10, -9, -8, -5, -4$; 3) $111, 112, 113, 125, 126, 121, 122, 124, 126$; 4) $101, 102, 103, 105, 216, 221, 222, 224, 326, 334, 339$.

Қалай ойлаймыз. Солдан оңға қарай жүр және тексер: әрбір келесі сан алдыңғыдан кем емес (немесе бәрінде артық емес).

Шешуі.

1. $1<12<13<15<16<21<22<24<26$ — өсу бойынша.
2. $-17<-15<-13<-11<-10<-9<-8<-5<-4$ — өсу бойынша (түзуде оңырақ тұрса, сан үлкен).
3. $111,112,113,125,126$, одан әрі $121$ — ол $126$-дан кіші. Тәртіп бұзылған.
4. $101<102<103<105<216<221<222<224<326<334<339$ — өсу бойынша.

Жауабы: вариациялық қатарлар — 1), 2) және 4).

№ 28.2

Өз сыныбыңдағы әр баланың бойының ұзындығын жазыңдар. Жазылған мәндер вариациялық қатар бола ма? Жауаптарыңды түсіндіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Сынып журналының тізімі бойынша жазсаң, бой «қалай келсе, солай» болады. Қатар реттегеннен кейін ғана вариациялық болады.

Шешуі.

1. Әркімнің бойын өлшеңдер немесе сұраңдар. Айталық, мынау шықты: $158, 162, 160, 165, 162, 159$ (см).
2. Журнал бойынша тізім реттелмеген: $162$-ден кейін $160$ тұр. Бұл вариациялық қатар емес.
3. Реттейміз: $158, 159, 160, 162, 162, 165$. Енді бұл вариациялық қатар.

Жауабы: журнал ретімен жазылған тізім вариациялық қатар болмайды, ал өсу немесе кему бойынша реттелгені болады. (Мысалдағы сандар шартты; сенде өз сандарың болады.)

№ 28.3

Астана қаласында 2025 жылдың 10 қаңтар мен 19 қаңтар аралығындағы ауа температурасының қатары берілген: $-6°C, -8°C, -7°C, -6°C, -5°C, -9°C, -11°C, -6°C, -9°C, -5°C$. Осы қатар вариациялық қатар бола ма? Жауабын түсіндіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Сандардың бір бағытта жүріп жатқанын тексер.

Шешуі.

1. $-6$, сонан соң $-8$ — кеміді, демек, төмен қарай.
2. Бірақ одан кейін $-8$, $-7$ — өсті, демек, жоғары қарай. Бағыт ауысты.
3. Қатар күндер бойынша жазылған, шамасы бойынша реттелмеген. Реттесек: $-11°, -9°, -9°, -8°, -7°, -6°, -6°, -6°, -5°, -5°$.

Жауабы: жоқ, бұл вариациялық қатар емес: сандар өсу бойынша да, кему бойынша да орналаспаған. Реттелген қатар: $-11, -9, -9, -8, -7, -6, -6, -6, -5, -5$.

№ 28.4

Сыныптастарыңның туған айлары туралы мәлімет жинаңдар. Жиналған мәліметтерді қолданып, айлардың ретіне қарай вариациялық қатар құрыңдар. Ең көп қайталанатын вариантаны, ең аз қайталанатын вариантаны, вариантаның ең кіші және ең үлкен мәндерін жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қаңтар — 1, ақпан — 2, …, желтоқсан — 12. Нөмірлерді жазып, реттеп шық.

Шешуі. 12 оқушысы бар шартты сыныпты алайық: туған айлары $3, 7, 11, 3, 5, 9, 3, 1, 12, 5, 7, 3$.

1. Реттейміз: $1, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 11, 12$.
2. Ең жиі: $3$ (4 рет). Ең аз (біреуден): $1, 9, 11, 12$.
3. Ең кіші мәні: $1$, ең үлкен мәні: $12$.

Жауабы: қатар сенің деректеріңе қарай құрастырылады. Мысалда: ең жиі варианта $3$, ең аз — $1, 9, 11, 12$, ең кіші мәні $1$, ең үлкені $12$.

B деңгейі

№ 28.5

Таңдаманың бас жиынтығын атаңдар (28.1-кесте): аю $60$ кг, қасқыр $50$ кг, түлкі $5$ кг, қоян $3{,}5$ кг, елік $25$ кг, бұлан $45$ кг, қабан $36$ кг. 28.1-кестесін қолданып, аңдар массаларының вариациялық қатарын жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Таңдама — жеті түрлі аң. Бас жиынтық — «осындай барлығы», яғни кеңірек жиын.

Шешуі.

1. Бас жиынтық: барлық жабайы аңдар (мысалы, Қазақстанның орман аңдары).
2. Массаларды өсу ретімен реттейміз: $3{,}5;\ 5;\ 25;\ 36;\ 45;\ 50;\ 60$ (кг).

Жауабы: бас жиынтық — өңірдегі барлық жабайы аңдар; вариациялық қатар: $3{,}5;\ 5;\ 25;\ 36;\ 45;\ 50;\ 60$ кг.

№ 28.6

Мектепте спортпен шұғылданатын 7, 8-сыныптардың оқушылар санының бас жиынтығынан таңдамаға мысалдар келтіріңдер (28.2-кесте: волейбол, баскетбол, жүзу, жеңіл атлетика, теннис, футбол, гимнастика, күрес; жолдары — 7-сынып және 8-сынып). 1. Берілген бас жиынтықтан вариациялық қатар құрастырыңдар. 2. Вариантаның ең кіші және ең үлкен мәндерін жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Деректерді өзің ойлап тап немесе жинап ал: әр ұяшықта спорт түрімен қанша оқушы шұғылданады.

Шешуі. Толтыруға мысал (шартты сандар):

1. Барлық 16 санды жазып, реттейміз: $2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 10, 12, 18, 20$.
2. Ең кіші мәні $2$, ең үлкені $20$.

Жауабы: қатар сенің деректеріңе байланысты. Мысалда: $2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 10, 12, 18, 20$; ең кішісі $2$, ең үлкені $20$.

C деңгейі

№ 28.7

Ғылымға «статистика» ұғымын енгізген Готфрид Ахенвалль (1719—1772) туралы хабарлама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Жақсы хабарлама — 5–7 сөйлем: ол кім, қайдан, немен танымал, бұл сөз біз үшін неге маңызды.

Шешуі. Хабарлама үлгісі:

1. Готфрид Ахенвалль — XVIII ғасырдағы неміс ғалымы, 1719–1772 жылдары өмір сүрген.
2. Ол Гёттинген университетінде сабақ берді және мемлекеттердің құрылымын зерттеді: халқын, шаруашылығын, аумағын.
3. Мемлекеттерді сипаттауды «мемлекеттану» деп атаған. Ахенвалль оған «статистика» терминін ұсынды (латынның «мемлекет» ұғымына байланысты сөзінен).
4. Бүгінде статистика — деректерді жинау және талдау туралы ғылым, ол барлық жерде жұмыс істейді: медицинада, спортта, экономикада, ауа райында.
5. Сыныпта айтпас бұрын күндер мен деректерді энциклопедиядан тексер.

Жауабы: хабарлама үлгі бойынша құрастырылған; 1–2 дереккөзге сүйеніп, өз сөзіңмен жаз.

🌟 Алғашқы «статистиктер» мемлекет қолындағы мүмкіндікті түсіну үшін тұрғындар мен егінді санаған. Бүгінгі статистика бәрін санайды: лайктан бастап жауын-шашынға дейін.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 28.8

28.3-кестесін толтырыңдар. $x$-тің мәні: $-1;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7$. Жолдары: $y=2x-1$, $y=x^2$, $y=\frac{2}{x}$. Кейбір ұяшықтар толтырылған: бірінші жолда $x=3$ астында $5$, екінші жолда $x=7$ астында $49$, үшінші жолда $x=2$ астында $1$, $x=6$ астында $\frac{1}{3}$ тұр.

Қалай ойлаймыз. Әр $x$ үшін санды формулаға қой. Толтырылған ұяшықтар $x$-тің жетіспейтін мәндерін көрсетеді: $2x-1=5$ болғанда $x=3$, $x^2=49$ болғанда $x=7$, $\frac{2}{x}=1$ болғанда $x=2$.

Шешуі. Жолдарды есептейміз:

• $y=2x-1$: $-3;\ 1;\ 3;\ 5;\ 7;\ 9;\ 11;\ 13$.
• $y=x^2$: $1;\ 1;\ 4;\ 9;\ 16;\ 25;\ 36;\ 49$.
• $y=\frac{2}{x}$: $-2;\ 2;\ 1;\ \frac{2}{3};\ \frac{1}{2};\ \frac{2}{5};\ \frac{1}{3};\ \frac{2}{7}$.

Жауабы: кесте жоғарыда.

Жадынама

• «Қалай келсе, солай» жазылған деректер — әлі вариациялық қатар емес. Реттесең, дайын.
• Қатарда қайталануға болады.
• Қорытындыны таңдамаға қарап жасайды, бірақ ол бүкіл бас жиынтыққа қатысты.

Шағын тест