§ 29. Абсолюттік жиілік және салыстырмалы жиілік. Жиіліктер кестесі — Алгебра 7 сынып, Әбілқасымова: талдау және жауаптар
Ookul.kz · сабақ талдау
Орысша

Кез келген есепті бірге талдайық!

§ 29. Абсолюттік жиілік және салыстырмалы жиілік. Жиіліктер кестесі

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 4 бөлім: Статистика элементтері. 171–175-беттер.

Нені үйренесің

  • Әр вариантаның неше рет кездесетінін санауды (абсолюттік жиілік).
  • Вариантаның барлық бақылаулар арасындағы үлесін табуды (салыстырмалы жиілік) және оны пайызбен жазуды.
  • Жиіліктер кестесін құрастыруды және оны қосындылар арқылы тексеруді.

Ой қозғау

  • $\frac{3}{12}$ бөлшегінің ең қарапайым түрі қандай? $\frac{1}{4}$.
  • $\frac{1}{4}$-ті пайызбен қалай жазамыз? $\frac{1}{4}=0{,}25=25%$. $100%$-ға көбейтеміз.
  • Қандай қатарды вариациялық қатар дейді? Өсу немесе кему бойынша реттелген қатарды.

Тақырыпты талдаймыз

Неше рет екенін санаймыз

Өткен параграфтағы температуралардың вариациялық қатарын алайық:

$-12,\ -12,\ -11,\ -10,\ -10,\ -9,\ -7,\ -7,\ -6,\ -3,\ -3,\ 0,\ 0,\ 0$ (°C-пен).

Мәндер қайталанады, әрқайсысын бірнеше рет жазу ыңғайсыз. Тек әртүрлі мәндерді және әрқайсысы неше рет кездескенін жазайық.

📌 Вариантаның қанша рет бақыланғанын көрсететін сан вариантаның абсолюттік жиілігі деп аталады.

Варианта $-12$ $-11$ $-10$ $-9$ $-7$ $-6$ $-3$ $0$
Вариантаның абсолюттік жиілігі 2 1 2 1 2 1 2 3

Неліктен $-7°$ вариантасының жиілігі 2-ге, ал $0°$ жиілігі 3-ке тең? Өйткені қатарда $-7°$ екі рет, ал $0°$ үш рет тұр.

Қандай үлесі — салыстырмалы жиілік

Үш реттің үшеуі мен отыз реттің үшеуі — мүлде бөлек нәрсе. Сондықтан үлесті санайды.

📌 Вариантаның абсолюттік жиілігін бақылаудың жалпы санына қатынасын салыстырмалы жиілік деп атайды.

Пайызбен жазғымыз келсе, $100%$-ға көбейтеміз.

Барлығы 14 бақылау. $-12°$ үшін: $\frac{2}{14}=\frac{1}{7}\approx 14{,}3%$. $0°$ үшін: $\frac{3}{14}\approx 21{,}4%$. $-11°$ үшін: $\frac{1}{14}\approx 7{,}1%$.

Варианта $-12$ $-11$ $-10$ $-9$ $-7$ $-6$ $-3$ $0$
Абсолюттік жиілік 2 1 2 1 2 1 2 3
Салыстырмалы жиілік $\frac{1}{7}$ $\frac{1}{14}$ $\frac{1}{7}$ $\frac{1}{14}$ $\frac{1}{7}$ $\frac{1}{14}$ $\frac{1}{7}$ $\frac{3}{14}$
Пайызбен $\approx 14{,}3$ $\approx 7{,}1$ $\approx 14{,}3$ $\approx 7{,}1$ $\approx 14{,}3$ $\approx 7{,}1$ $\approx 14{,}3$ $\approx 21{,}4$

📕 Оқулықтағы 29.2-кестеде $\frac{1}{14}$ үшін «$\approx 7{,}2%$», $\frac{3}{14}$ үшін «$\approx 21{,}2%$» деп басылған, бірақ дұрысы «$\approx 7{,}1%$» және «$\approx 21{,}4%$»: $1:14=0{,}0714\ldots$, ал $3:14=0{,}2142\ldots$.

Жиіліктер кестесі және тексеру

Біз құрастырғанды жиіліктер кестесі дейді. Оны тексеру ыңғайлы:

📌 Жиілік кестесінің қасиеттері.

  1. Вариантаның абсолюттік жиіліктерінің қосындысы бақылаулардың жалпы санына тең.
  2. Салыстырмалы жиіліктерінің қосындысы $1$-ге тең.
  3. Пайызбен берілген салыстырмалы жиіліктердің қосындысы $100%$-ға тең.

Тексерейік: $2+1+2+1+2+1+2+3=14$ — барлық бақылау орнында. Бөлшектер: $\frac{2}{14}+\frac{1}{14}+\frac{2}{14}+\frac{1}{14}+\frac{2}{14}+\frac{1}{14}+\frac{2}{14}+\frac{3}{14}=\frac{14}{14}=1$.

⚠️ Жиі кететін қате. Дөңгелектеп есептелген пайыздардың қосындысы $99{,}9%$ немесе $100{,}1%$ болуы мүмкін. Бұл есептеу қателігі емес, дөңгелектеудің салдары.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бірге есептеп көріңіздер: аулада қандай бағалар немесе қандай түсті көліктер жиі кездеседі. Осындай «үй статистикасы» жиілік — жай ғана қайталануды санау екенін жақсы түсіндіреді.

Өзіңді тексер

  • Абсолюттік және салыстырмалы жиіліктерді есептеу үшін не білу керек? Варианта неше рет кездескенін және барлығы неше бақылау болғанын.
  • Жиіліктер кестесін қалай тексереді? Абсолюттік жиіліктердің қосындысы бақылаулардың жалпы санына, салыстырмалы жиіліктердің қосындысы бірге ($100%$) тең болуы керек.
  • $20, 20, 30, 10, 10, 20, 30, 20, 30, 20$ нәтижелері бойынша варианталардың жиіліктерін тап. Барлығы 10 бақылау. $10$ варианта: абсолюттік жиілігі 2, салыстырмалы жиілігі $0{,}2$. $20$ варианта: 5 рет, $0{,}5$. $30$ варианта: 3 рет, $0{,}3$.
  • Салыстырмалы жиілікті пайызбен қалай жазады? $100%$-ға көбейтеді.
  • Неліктен $-7°$ абсолюттік жиілігі екіге, ал $0°$ жиілігі үшке тең? Өйткені қатарда бұл мәндер дәл сонша рет кездескен.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 29.1

https://qrfiles.kz/AK7/kokshetay.html сайтын қолданып, Көкшетау қаласындағы 2024 жылдың маусым айындағы орташа ауа температурасының мәндерін табыңдар. Осы деректерді қолданып, 29.3-кестенің бірінші және екінші жолдарын толтырыңдар ($x$ варианталары және $n$ абсолюттік жиіліктері). $W$ салыстырмалы жиілігін $0{,}01$ дәлдікпен тауып, кестенің үшінші жолын толтырыңдар. Қай варианта жиі кездеседі? Кестенің көмегімен жауап беруге болатын сұрақтар құрастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Деректерді сайттан аламыз, онда 30 мән бар. Әртүрлі температураларды жазып, қайталануын санап, 30-ға бөлеміз.

Шешуі. Шартты деректермен көрсетейік (сенде сайттағы нақты деректер болады):

$x$, °C 14 15 16 17 18 19 20 21
$n$ 2 3 5 6 5 4 3 2
$W$ $0{,}07$ $0{,}10$ $0{,}17$ $0{,}20$ $0{,}17$ $0{,}13$ $0{,}10$ $0{,}07$
  1. Тексеру: $2+3+5+6+5+4+3+2=30$ күн.
  2. $W=n:30$: мысалы, $6:30=0{,}2$.
  3. Ең жиі: $17°C$ (6 күн).
  4. Кестеге сұрақтар: неше күн $18°$-тан жылырақ болды? Температурасы $20°$-тан төмен емес күндердің үлесі қандай? Қандай температура ең сирек болды?

Жауабы: сенің деректеріңе қарай; мысалда ең жиі $17°C$ кездеседі. Мысалда $W$ қосындысы дөңгелектеуге байланысты $1{,}01$ болды.

№ 29.2

Емтихан қорытындысы бойынша келесі статистикалық қатар алынған: $3, 3, 4, 4, 4, 5, 3, 3, 5, 5, 5, 4, 4, 3, 4, 4$. Деректерді қолданып, вариациялық қатар жазыңдар. Вариациялық қатарды қолданып, «4», «5» варианталарының абсолюттік және салыстырмалы жиіліктерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен барлығы неше баға екенін және қайсысы нешеу екенін сана.

Шешуі.

  1. Барлығы 16 баға.
  2. Үштік: 5, төрттік: 7, бестік: 4. Тексеру: $5+7+4=16$.
  3. Вариациялық қатар: $3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5$.
  4. «4» вариантасы: $n=7$, $W=\frac{7}{16}=0{,}4375\approx 43{,}8%$.
  5. «5» вариантасы: $n=4$, $W=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0{,}25=25%$.

Жауабы: «4» — абсолюттік жиілігі 7, салыстырмалы жиілігі $\frac{7}{16}$; «5» — абсолюттік жиілігі 4, салыстырмалы жиілігі $\frac{1}{4}$.

№ 29.3

20 адамның арасында олар сусынның қай түрін ұнататыны туралы сауалнама жүргізілді: 1 — шай, 2 — кофе, 3 — шырын. Нәтижесінде келесі деректер алынды: $1, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2$. Деректерді қолданып, вариациялық қатар жазыңдар. Вариациялық қатардың абсолюттік және салыстырмалы жиіліктерін, пайызбен берілген салыстырмалы жиіліктерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бірлерді, екілерді және үштерді бөлек санап, қосындысы 20 болатынын тексер.

Шешуі.

  1. Бір (шай): 6. Екі (кофе): 8. Үш (шырын): 6. Тексеру: $6+8+6=20$.
  2. Вариациялық қатар: алты $1$, сегіз $2$, алты $3$.
  3. Салыстырмалы жиіліктер: $\frac{6}{20}=0{,}3$; $\frac{8}{20}=0{,}4$; $\frac{6}{20}=0{,}3$.
  4. Пайызбен: $30%$, $40%$, $30%$. Қосындысы: $100%$.
Сусын шай (1) кофе (2) шырын (3)
Абсолюттік жиілік 6 8 6
Салыстырмалы жиілік $0{,}3$ $0{,}4$ $0{,}3$
Пайызбен $30%$ $40%$ $30%$

Жауабы: абсолюттік жиіліктер $6; 8; 6$, салыстырмалы жиіліктер $0{,}3; 0{,}4; 0{,}3$, немесе $30%; 40%; 30%$.

B деңгейі

№ 29.4

Оқушылар арасында сүйікті пәнді анықтау мақсатында сауалнама жүргізіңдер. Осы сауалнама нәтижесі негізінде мектепте оқытылатын пәндердің рейтингісін жасаңдар. Ол рейтингіде оқушылар жасына тәуелділігі байқала ма?

Қалай ойлаймыз. Бұл — шағын зерттеу. Деректерді жазасың, жиіліктерді санайсың және топтарды салыстырасың.

Шешуі.

  1. Сұралғандарды топқа бөліңдер: 5–6-сыныптар, 7–8, 9–11. Әр топта 20–30 адамнан.
  2. Әрқайсысы бір сүйікті пәнін атайды. Жауаптарды кестеге жазыңдар.
  3. Әр топ үшін пәндер бойынша абсолюттік және салыстырмалы жиіліктерді есептеңдер.
  4. Рейтинг — пәндер жиіліктің кемуі бойынша.
  5. Топтардың рейтингтерін салыстырыңдар: бірінші орындар әртүрлі болса (мысалы, кішілерде дене шынықтыру, үлкендерде информатика), тәуелділік бар.

Жауабы: нәтиже сауалнама деректеріне байланысты; жиіліктер кестесін, топтар бойынша рейтингті келтіріп, жасқа тәуелділік туралы қорытынды жасау керек.

№ 29.5

Бірінші тоқсанда математикадан 24 рет үй жұмысы берілген. 1) Оқушы үй жұмысын сегіз рет «5»-ке орындады. Тоқсан бойы оқушының үй жұмысын «5»-ке орындауының абсолюттік жиілігін табыңдар. 2) Оқушы үй жұмысын он екі рет «4»-ке орындады. Тоқсан бойы оқушының үй жұмысын «4»-ке орындауының абсолюттік жиілігін табыңдар. 3) Оқушы үй жұмысын он үш рет «4»-ке орындады. Тоқсан бойы оқушының үй жұмысын «4»-ке орындамауының абсолюттік жиілігін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Абсолюттік жиілік — жай ғана рет саны. 3-тармақта жалпы саннан алу керек.

Шешуі.

  1. «5» 8 рет болды — абсолюттік жиілігі $8$.
  2. «4» 12 рет болды — абсолюттік жиілігі $12$.
  3. Барлығы 24 рет, оның 13-інде «4». Басқа бағалар: $24-13=11$ рет.

Жауабы: 1) $8$; 2) $12$; 3) $11$.

C деңгейі

№ 29.6

Ойын кубигін лақтыру бойынша тәжірибені 30 рет жасаңдар. 1) Тәжірибе нәтижесінде түскен ұпайларды 29.4-кестеге жазыңдар (түсу саны бойынша алты нәтиже, он хаттама, абсолюттік және салыстырмалы жиілік). 2) Әр ұпайдың түсуінің абсолюттік және салыстырмалы жиіліктерін табыңдар. 3) Абсолюттік жиіліктердің және салыстырмалы жиіліктердің қосындысының мәндерін табыңдар. Қорытынды шығарыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр «хаттамада» үш реттен лақтыр, сонда 10 хаттама және 30 лақтыру болады. Әр ұпай неше рет түскенін сана.

Шешуі. Нәтижелер үлгісі (шартты):

Ұпай 1 2 3 4 5 6
Абсолюттік жиілік 4 6 5 5 6 4
Салыстырмалы жиілік $\frac{4}{30}\approx0{,}13$ $\frac{6}{30}=0{,}2$ $\frac{5}{30}\approx0{,}17$ $\frac{5}{30}\approx0{,}17$ $\frac{6}{30}=0{,}2$ $\frac{4}{30}\approx0{,}13$
  1. Абсолюттік жиіліктердің қосындысы: $4+6+5+5+6+4=30$ — лақтыру саны.
  2. Салыстырмалы жиіліктердің қосындысы: $\frac{30}{30}=1$ (дөңгелектегенде шамамен $1$ шығады).
  3. Қорытынды: абсолюттік жиіліктердің қосындысы тәжірибе санына, салыстырмалы жиіліктердің қосындысы бірге тең. Әр жақ шамамен $\frac{1}{6}\approx0{,}17$ жағдайда түседі.

Жауабы: сенің тәжірибеңе қарай; кез келген жағдайда абсолюттік жиіліктердің қосындысы $30$-ға, ал салыстырмалы жиіліктердің қосындысы $1$-ге тең.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 29.7

Координаталар жазықтығында $A(0;1)$, $B(2;3)$, $C(4;3)$, $M(6;4)$ нүктелерін белгілеңдер. Осы нүктелерді кесінділермен қосыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бірінші сан — көлденең ($x$), екіншісі — тігінен ($y$). Нүктелерді ретімен қосамыз: $A$, $B$, $C$, $M$.

Шешуі. Нүктелерді саламыз да, $ABCM$ сынық сызығын жүргіземіз: $A$-дан $B$-ға жоғары-оңға, $C$-ға дейін көлденең, сосын $M$-ге жоғары-оңға.

Жауабы: $ABCM$ сынық сызығы суреттегідей салынды.

Жадынама

  • Жиіліктер кестесі: варианталар бірінші жолда, жиіліктер солардың астында.
  • Кестені тексеру — жиіліктердің қосындылары.
  • Дөңгелектегеннен кейін пайыздар $100%$-дан сәл өзгеше болуы мүмкін.

Шағын тест

← § 28. Вариациялық қатар · § 30. Жиілік полигоны →