§ 30. Жиілік полигоны

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 4 бөлім: Статистика элементтері. 175–180-беттер.

Нені үйренесің

• Абсолюттік және салыстырмалы жиіліктердің полигонын салуды.
• Полигоннан деректерді оқуды: барлығы неше бақылау, қай варианта ең жиі кездеседі.
• Полигоннан жиіліктерді пайызбен табуды.

Ой қозғау

• Координаталар жазықтығында $(7;\ 3)$ нүктесін қалай белгілейміз? $x$ осінен $7$-ні, $y$ осінен $3$-ті табамыз. Нүкте екеуі «қиылысқан» жерде тұрады.
• Абсолюттік жиіліктердің қосындысы неге тең? Барлық бақылаулар санына.
• Салыстырмалы жиілікті қалай табады? Абсолюттік жиілікті бақылаулар санына бөледі.

Тақырыпты талдаймыз

Кестеден суретке

Мысал. 25 оқушы 12 тапсырмадан тұратын тест орындады. Әр тапсырма 1 балмен бағаланған. Нәтижелері үлкенінен кішісіне қарай: $12, 12, 12, 11, 11, 11, 11, 10, 10, 10, 10, 10, 9, 9, 9, 9, 9, 8, 8, 8, 7, 7, 7, 6, 6$.

Жиіліктер кестесін құрамыз (барлығы $N=25$):

Тексеру: $2+3+3+5+5+4+3=25$; $0{,}08+0{,}12+0{,}12+0{,}2+0{,}2+0{,}16+0{,}12=1$.

Абсолюттік жиілік полигоны

Жазықтықта $(x;\ n)$ нүктелерін белгілейміз: көлденең — варианта, тігінен — оның абсолюттік жиілігі. Көрші нүктелерді кесінділермен қосамыз — сынық сызық шығады.

📌 Буындары абсциссалары түрлі варианталар, ординаталары осы варианталардың абсолюттік жиілігі болатын нүктелерді қосатын сынық сызық абсолюттік жиіліктің полигоны деп аталады.

Алгоритм.

1. $Ox$ осінде $x$ варианталарын көрсет.
2. $Oy$ осінде $n$ жиілігін көрсет.
3. Координаталары $(x;\ n)$ болатын нүктелерді сал.
4. Нүктелерді кесінділермен қос.

Салыстырмалы жиілік полигоны

Бәрі дәл осылай, тек тігінен салыстырмалы жиіліктерді $W$ саламыз.

📌 Алгоритмі сол: $(x;\ W)$ нүктелері және олардың арасындағы кесінділер.

💡 Абсолюттік және салыстырмалы жиілік полигондарының пішіні бірдей: салыстырмалы жиіліктер — сол сандардың $N$-ге бөлінгені.

Кесте мен полигонды қалай оқимыз

Сыныпта бақылау жұмысы жазылды: «3» бағасын 4 оқушы, «4» — 12, «5» — 9 оқушы алды. Барлығы $4+12+9=25$.

Оқимыз: «3» алғандар $25$ адамның $4$-еуі, бұл $16%$. «4» — $12$ адам, $48%$. «5» — $9$ адам, $36%$. Полигонда бұл сандар нүктелердің биіктігінен көрінеді.

⚠️ Жиі кететін қате. Қай оське не салу керегін шатастырады. Есіңде болсын: варианталар (нені өлшедік) — көлденең, жиіліктер (неше рет) — тік бойынша.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан дайын полигон бойынша үш сұраққа жауап беруін сұраңыз: ең биік нүкте қайда, ең төмені қайда, барлығы неше бақылау. Егер ол үддесе, тақырып меңгерілген.

Түсінгеніңді тексер

Ақиқат жауапты көрсет:

• Жиілік полигоны қандай сызық? Сынық.
• Жиілік полигоны мәліметтерінің берілу түрін көрсет. График түрінде.
• Варианталар қай осьте белгіленеді? Абсциссалар осінде.
• Жиіліктер қай осьте белгіленеді? Ординаталар осінде.

Өзіңді тексер

• Абсолюттік жиілік полигоны дегеніміз не? Абсциссалары — варианталар, ординаталары — абсолюттік жиіліктер болатын нүктелерді қосатын сынық сызық.
• Салыстырмалы жиілік полигоны дегеніміз не? Сол, тек ординаталары — салыстырмалы жиіліктер.
• Оны қалай салады? $Ox$ осінде варианталарды, $Oy$ осінде жиіліктерді белгілеп, $(x;\ n)$ немесе $(x;\ W)$ нүктелерін салып, кесінділермен қосады.
• Полигоннан нені оқуға болады? Әр варианта неше рет (немесе қандай үлесі) кездесетінін, қайсысы ең жиі екенін, барлығы неше бақылау екенін.
• Полигон қандай сызық? Сынық, түзу де, қисық та емес.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 30.1

$13; 15; 13; 12; 12; 12; 13; 14; 13; 15; 13; 12; 12$ сандар қатарының арифметикалық ортасын, модасын және құлашын табыңдар. 1) Берілген мәліметтер үшін вариациялық қатар құрастырыңдар. 2) Варианталардың абсолюттік және салыстырмалы жиіліктерін табыңдар. 3) Таңдама нәтижелерін жиілік полигоны арқылы көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Алдымен реттейміз, сосын жиіліктерді санаймыз. Орташа — қосындыны мүшелер санына бөлу. Мода — ең жиі мән. Құлаш — ең үлкені минус ең кішісі.

Шешуі.

1. Барлығы $13$ сан. Вариациялық қатар: $12,12,12,12,12,13,13,13,13,13,14,15,15$.
2. Жиіліктер: $12$ — 5 рет, $13$ — 5 рет, $14$ — 1 рет, $15$ — 2 рет. Тексеру: $5+5+1+2=13$.
3. Қосынды: $12\cdot5+13\cdot5+14+15\cdot2=60+65+14+30=169$.
4. Орташасы: $169:13=13$.
5. Мода: ең үлкен жиілігі $5$ болатын екі варианта — $12$ және $13$.
6. Құлаш: $15-12=3$.
7. Салыстырмалы жиіліктер: $\frac{5}{13}\approx0{,}38$; $\frac{5}{13}\approx0{,}38$; $\frac{1}{13}\approx0{,}08$; $\frac{2}{13}\approx0{,}15$.

Жауабы: арифметикалық орташасы $13$; мода $12$ және $13$; құлаш $3$. Абсолюттік жиіліктер $5; 5; 1; 2$.

№ 30.2

Мектеп өмірінен вариациялық қатар құрастырыңдар, абсолюттік және салыстырмалы жиіліктерін, олардың қосындыларының мәндерін табыңдар. Мәліметтерді жиілік полигоны арқылы кескіндеңдер.

Қалай ойлаймыз. Санауға оңай нәрсені ал: 10 сыныптасыңның алгебрадан алған бағалары, сабақтан қалу саны, апта бойы оқыған беттер саны.

Шешуі. Үлгі. 10 оқушының өзіндік жұмыстан алған бағалары: $4, 5, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 5, 4$.

1. Вариациялық қатар: $3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5$.
2. Жиіліктер: «3» — 2, «4» — 5, «5» — 3. Қосындысы: $2+5+3=10$.
3. Салыстырмалы: $0{,}2;\ 0{,}5;\ 0{,}3$. Қосындысы: $1$.
4. Полигон: $(3;2)$, $(4;5)$, $(5;3)$ нүктелері кесінділермен қосылған.

Жауабы: үлгі жоғарыда; сенде сандар өзгеше болады. Абсолюттік жиіліктердің қосындысы бақылаулар санына, ал салыстырмалы жиіліктердің қосындысы $1$-ге тең.

№ 30.3

Кездейсоқ таңдама нәтижесінде 7-сыныптардың 30 оқушысының бойларының ұзындығы белгілі (сантиметрмен алынған): $166, 165, 163, 166, 168, 165, 168, 170, 165, 165, 165, 165, 164, 168, 165, 164, 161, 162, 164, 166, 165, 166, 167, 164, 163, 168, 167, 167, 165, 162$. Осы таңдама үшін вариациялық қатар құрастырыңдар. Вариациялық қатар бойынша абсолюттік және салыстырмалы жиіліктер кестесін құрастырыңдар және мына сұрақтарға жауап беріңдер: 1) оқушылар бойларының ұзындығының ең кіші және ең үлкен мәндері қандай? 2) бойының ұзындығы 168 см болатын оқушылар қанша пайызды құрайды? 3) таңдамада оқушылар бойының қандай ұзындығы жиі кездескен?

Қалай ойлаймыз. Әр мән неше рет кездескенін сана. Қосындысы $30$ болуы керек.

Шешуі.

1. Мәндер бойынша санаймыз: $161$ — 1, $162$ — 2, $163$ — 2, $164$ — 4, $165$ — 9, $166$ — 4, $167$ — 3, $168$ — 4, $170$ — 1.
2. Тексеру: $1+2+2+4+9+4+3+4+1=30$.
3. Вариациялық қатар: $161; 162, 162; 163, 163; 164\times4; 165\times9; 166\times4; 167\times3; 168\times4; 170$.

4. Бойы $168$ см: $\frac{4}{30}=\frac{2}{15}\approx13{,}3%$.
5. Ең жиі: $165$ см (9 рет).

Жауабы: 1) ең кішісі $161$ см, ең үлкені $170$ см; 2) $\approx13{,}3%$; 3) $165$ см.

B деңгейі

№ 30.4

Әр түсті ойыншықтар жиынтығының 30.4-суретте берілген абсолюттік жиілігі полигонын қолданып (қызыл — 4, сары — 5, жасыл — 8, көк — 6, қоңыр — 2), табыңдар: 1) ойыншықтардың жалпы санын; 2) әр түстегі ойыншықтардың салыстырмалы жиілігін (мәнін ондық үлеске дейін дөңгелектеңдер); 3) қай түсті ойыншықтардың саны ең үлкен (ең кіші) екенін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Полигон нүктесінің биіктігі — сол түсті ойыншықтардың саны. Барлық биіктіктерді қосамыз.

Шешуі.

1. Барлығы: $4+5+8+6+2=25$ ойыншық.
2. Салыстырмалы жиіліктер: қызыл $4:25=0{,}16\approx0{,}2$; сары $5:25=0{,}2$; жасыл $8:25=0{,}32\approx0{,}3$; көк $6:25=0{,}24\approx0{,}2$; қоңыр $2:25=0{,}08\approx0{,}1$.
3. Ең көбі жасыл (8), ең азы қоңыр (2).

Жауабы: 1) $25$; 2) $0{,}2;\ 0{,}2;\ 0{,}3;\ 0{,}2;\ 0{,}1$ (қызыл, сары, жасыл, көк, қоңыр); 3) ең көбі — жасыл, ең азы — қоңыр.

№ 30.5

30.4-жаттығуындағы мәліметтерді қолданып, әр түсті ойыншықтар жиынтығының жиілік кестесін құрастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сол сандарды аламыз, $25$-тің үлесі жолын қосамыз.

Шешуі.

Тексеру: $4+5+8+6+2=25$; $16+20+32+24+8=100%$.

Жауабы: кесте жоғарыда.

C деңгейі

№ 30.6

Үш ойын кубигімен 50 тәжірибе жасаңдар. Нәтижелерін MS Excel-де жазып, әр тәжірибедегі ұпайлар қосындысының мәнін табыңдар. Вариациялық қатарды жазып, оның жиілік кестесін құрастырыңдар. Кестені қолданып, қосындының мәні 5; 10; 15 болу жиілігін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл — компьютердегі практикалық жұмыс. Үш кубиктің қосындысы $3$-тен $18$-ге дейін болады. Байқап көр, сосын теориямен салыстыр.

Шешуі.

1. Үш кубикті 50 рет лақтыр. Excel-де қосындыларды бір бағанға жаз.
2. Бағанды өсу ретімен сұрыпта — вариациялық қатар шығады.
3. Әр қосынды үшін жиілікті сана (СЧЁТЕСЛИ функциясы) да, $50$-ге бөл.
4. Не күтуге болады: барлық $216$ тең мүмкіндікті нәтиженің ішінде $5$ қосындысы $6$ тәсілмен ($\approx2{,}8%$), $10$ қосындысы $27$ тәсілмен ($12{,}5%$), $15$ қосындысы $10$ тәсілмен ($\approx4{,}6%$) шығады.
5. 50 тәжірибеде нәтижелер ауытқиды: $5$ қосындысы 0–3 рет, $10$ — шамамен 4–8 рет, $15$ — 1–3 рет түсуі мүмкін.

Жауабы: сенің тәжірибеңе қарай; ең жиі $10$ шамасындағы қосынды түседі, $5$ және $15$ сирегірек (теория бойынша шамамен $2{,}8%$, $12{,}5%$ және $4{,}6%$).

№ 30.7

Бақылау жұмысында оқушыларға 8 тапсырмадан тұратын тест берілді. 48 оқушының дұрыс жауаптарының саны 30.3-кестесінде көрсетілген. Дұрыс жауаптар саны $0;1;2;3;4;5;6;7;8$, абсолюттік жиілік: $0;0;0;1;5;14;16;x;6$. 1) $x$-тің абсолюттік жиілігін табыңдар. 2) Әр дұрыс жауаптың салыстырмалы жиілігін тауып, кестені толтырыңдар. 3) Абсолюттік және салыстырмалы жиіліктердің полигонын салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Барлығы 48 адам, демек, абсолюттік жиіліктердің қосындысы $48$ болуы керек.

Шешуі.

1. $0+0+0+1+5+14+16+x+6=42+x=48$, одан $x=6$.
2. Салыстырмалы жиіліктер $n:48$: $\frac{1}{48}$; $\frac{5}{48}$; $\frac{14}{48}=\frac{7}{24}$; $\frac{16}{48}=\frac{1}{3}$; $\frac{6}{48}=\frac{1}{8}$; $\frac{6}{48}=\frac{1}{8}$.

3. Абсолюттік жиілік полигоны: $(3;1),(4;5),(5;14),(6;16),(7;6),(8;6)$ нүктелері (нөлдік мәндерді салмаса да болады). Салыстырмалы жиілік полигоны — сол $x$-тер, ординаталары төменгі жолдан.

Жауабы: 1) $x=6$; 2) кестені қара; 3) полигондар салынды.

№ 30.8

30.5-суретінде сақтандыру компаниясы қызметкерлерінің жасы бойынша топтардың жиілік полигоны берілген: 25–29 жас — 5, 30–34 жас — 10, 35–39 жас — 15, 40–44 жас — 10, 45–49 жас — 20, 50–54 жас — 5, 55–60 жас — 5 адам. 1) 39 жастан үлкен қызметкерлердің салыстырмалы жиілігін (%-бен) табыңдар. 2) 40 жастан кіші қызметкерлердің салыстырмалы жиілігін (%-бен) табыңдар. Жауаптарды ондық үлеске дейін дөңгелектеңдер.

Қалай ойлаймыз. Алдымен барлық қызметкерлерді тап. Сосын керекті топтарды қосып, бөл.

Шешуі.

1. Барлығы: $5+10+15+10+20+5+5=70$ адам.
2. 39 жастан үлкен: 40–44, 45–49, 50–54, 55–60 топтары: $10+20+5+5=40$ адам. $\frac{40}{70}\approx0{,}571$, яғни $57{,}1%$.
3. 40 жастан кіші: 25–29, 30–34, 35–39 топтары: $5+10+15=30$ адам. $\frac{30}{70}\approx0{,}429$, яғни $42{,}9%$.
4. Тексеру: $57{,}1+42{,}9=100%$.

Жауабы: 1) $57{,}1%$; 2) $42{,}9%$.

№ 30.9

10-тапсырмаға берілген дұрыс жауаптардың абсолюттік жиілігі $24$-ке, ал салыстырмалы жиілігі ақиқат жауаптардың $30%$-ына тең болса, онда тест тапсырмаларын қанша оқушы орындаған?

Қалай ойлаймыз. Салыстырмалы жиілік — бүтіннің бөлігі: $\text{жиілік}:\text{бақылаулар саны}$. Бақылаулар санын табу керек.

Шешуі.

1. $\frac{24}{N}=0{,}3$.
2. $N=24:0{,}3=80$.
3. Тексеру: $\frac{24}{80}=0{,}3=30%$.

Жауабы: $80$ оқушы.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 30.10

Амалды орындаңдар: 1) $2a^2(a^2-ab+b^2)$; 2) $a(a^2-2ab+b)-2ab$; 3) $x^2(a^2-3ax+x)+3ax^2$.

Қалай ойлаймыз. Бірмүшені жақшадағы әр қосылғышқа көбейтеміз, сосын ұқсас мүшелерді біріктіреміз.

Шешуі.

1. $2a^2\cdot a^2-2a^2\cdot ab+2a^2\cdot b^2=2a^4-2a^3b+2a^2b^2$.
2. $a\cdot a^2-a\cdot2ab+a\cdot b-2ab=a^3-2a^2b+ab-2ab=a^3-2a^2b-ab$.
3. $x^2a^2-x^2\cdot3ax+x^2\cdot x+3ax^2=a^2x^2-3ax^3+x^3+3ax^2$. Ұқсас мүшелер жоқ.

Жауабы: 1) $2a^4-2a^3b+2a^2b^2$; 2) $a^3-2a^2b-ab$; 3) $a^2x^2-3ax^3+x^3+3ax^2$.

№ 30.11

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $a(a^2-ab+b^2)+a^2b-ab^2=a^3$; 2) $a(a+2ax-x)-2a^2x-a^2+1=1-ax$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағындағы жақшаларды аш та, ұқсас мүшелерді біріктір. Оң жағы шығуы керек.

Шешуі.

1. $a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2=a^3$ — $-a^2b$ және $+a^2b$ қысқарады, $+ab^2$ мен $-ab^2$ да солай.
2. $a^2+2a^2x-ax-2a^2x-a^2+1$. $a^2$ мен $-a^2$, $2a^2x$ пен $-2a^2x$ қысқарады. Қалғаны $-ax+1=1-ax$.

Жауабы: сол жақтары оң жақтарына тең, тепе-теңдіктер дәлелденді.

Жадынама

• Салу: осьтер, нүктелер, кесінділер.
• Абсолюттік және салыстырмалы жиілік полигондарының пішіні сәйкес келеді.
• Барлық салыстырмалы жиіліктер қосылғанда $1$, яғни $100%$ шығады.

Шағын тест