§ 4. Дәрежені дәрежеге шығару

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 бөлім: Бүтін көрсеткішті дәреже. 38–41-беттер.

Нені үйренесің

• $(a^m)^n$ дегеніміз не екенін және көрсеткіштердің неге көбейтілетінін түсінуді.
• Дәрежені дәрежеге шығаруды $(a^m)^n=a^{mn}$ ережесімен орындауды.
• Дәрежелерді көбейту, бөлу және дәрежеге шығару бар өрнектерді ықшамдауды.
• Осындай өрнектердің мәнін берілген сандар бойынша есептеуді.
• Дұрыс теңдіктерді қате теңдіктерден ажыратуды және тепе-теңдіктерді дәлелдеуді.

Ой қозғау

Өткен сабақтардағы екі ережені еске түсір: олар қазір керек болады.

• $a^m\cdot a^n$ неге тең? Негізі өзгермейді, көрсеткіштер қосылады: $a^{m+n}$.
• $a^m:a^n$ неге тең ($m\ge n$ болса)? Көрсеткіштер азайтылады: $a^{m-n}$.
• $a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a$ өрнегін қалай қысқа жазамыз? $a^5$: бес бірдей көбейткіш.
• $7+7+7+7+7$ қосындысы неге тең және оны көбейтумен қалай жазамыз? $5\cdot 7=35$. Дәл осы ой қазір басты кілт болады.

Тақырыпты талдаймыз

Негізі де дәреже болатын дәреже

$(a^7)^5$ өрнегіне қара. Сыртында 5 көрсеткіші, ішінде $a^7$ негізі тұр. Былай оқимыз: «$a^7$-ні бес рет алып, көбейт».

$(a^7)^5=a^7\cdot a^7\cdot a^7\cdot a^7\cdot a^7=a^{7+7+7+7+7}=a^{35}.$

Негіздері бірдей дәрежелерді көбейткенде көрсеткіштер қосылатын. 7-нің бес рет қосылуы — бұл $5\cdot 7=35$.

📌 Ереже. $(a^m)^n=a^{mn}$. Дәрежені дәрежеге шығару үшін негізін өзгеріссіз қалдырып, дәреже көрсеткіштерін көбейтеді.

Нені қоюға болады

Бұл параграфта $a$ — кез келген сан (рационал сан), ал $m$ мен $n$ — бүтін теріс емес сандар (0, 1, 2, …). Негіз бөлшек те, теріс сан да, әріп те бола алады.

⚠️ Жиі кететін қате. Екі ережені шатастырады. $a^3\cdot a^4=a^{7}$ көбейткенде көрсеткіштер қосылады, ал $(a^3)^4=a^{12}$ дәрежеге шығарғанда көбейтіледі. Кішкентай мысалмен тексер: $(2^2)^3=4^3=64$, ал $2^{2\cdot 3}=2^6=64$. Сәйкес келді, демек, көбейтеміз.

Бір мысалдағы екі ереже

Дәрежені дәрежеге шығару көбіне бөлумен немесе көбейтумен бірге келеді. Реті мынадай: алдымен дәрежеге шығарамыз, содан кейін көбейтеміз немесе бөлеміз.

Мысал. $(c^6)^3:c^{15}$ өрнегін ықшамдайық. Алдымен $(c^6)^3=c^{18}$. Сосын $c^{18}:c^{15}=c^3$.

Тағы бір мысал. $(d^2)^5\cdot d^4$ өрнегін ықшамдайық. $d^{10}\cdot d^4=d^{14}$ шығады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бала «қосу» мен «көбейтуді» шатастырса, дәрежені мағынасы бойынша жаздырыңыз: $(a^2)^3=a^2\cdot a^2\cdot a^2$. Бұл 10 секундқа ғана созылады және әрдайым көмектеседі. Сұраңыз: «Ал мұнда көрсеткіштер неге қосылады?».

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Дәрежені дәрежеге шығару ережесін қолдану үшін дәреженің негізі мен көрсеткіші қандай болуы керек? Негізі — кез келген рационал сан немесе өрнек, көрсеткіштері — бүтін теріс емес сандар (осы параграфта).
• Дәрежені дәрежеге шығару амалын әр уақытта орындауға бола ма? Иә, көрсеткіштер осы жиыннан болса. Мысалы, $(0^2)^3=0^6=0$ да орындалады. Ереже еш жерде бұзылмайды.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 4.1

Негізі $b$ болатын дәреже түрінде жазыңдар: 1) $(b^2)^3$; 2) $(b^3)^2$; 3) $(b^4)^3$; 4) $(b^2)^4$.

Қалай ойлаймыз. Көрсеткіштерді көбейтеміз, $b$ негізіне тиіспейміз.

Шешуі.

1. $2\cdot 3=6$; 2) $3\cdot 2=6$; 3) $4\cdot 3=12$; 4) $2\cdot 4=8$.

Жауабы: 1) $b^6$; 2) $b^6$; 3) $b^{12}$; 4) $b^8$.

№ 4.2

Негізі $b$ болатын дәреже түрінде он екі өрнекті жазыңдар: 1) $(b^5)^2\cdot b^3$; 2) $b\cdot(b^3)^4$; 3) $b^8\cdot(b^{10})^3$; 4) $b^6\cdot(b^4)^8$; 5) $(b^7)^5\cdot b$; 6) $(b^{11})^4\cdot b^{10}$; 7) $(b^5)^{10}:b^{31}$; 8) $b^{43}:(b^9)^4$; 9) $(b^6)^{12}\cdot b^{59}$; 10) $b^{100}:(b^5)^4$; 11) $(b^{17})^5:b^{81}$; 12) $b^{79}:(b^{13})^6$.

Қалай ойлаймыз. Әр мысалда алдымен жақшадағы дәреженің көрсеткіштерін көбейтеміз, содан кейін көбейтуде қосамыз, бөлуде азайтамыз. Жалғыз $b$-ның көрсеткіші 1 екенін ұмытпа.

Шешуі.

1. $b^{10}\cdot b^3=b^{13}$.
2. $b\cdot b^{12}=b^{13}$.
3. $b^8\cdot b^{30}=b^{38}$.
4. $b^6\cdot b^{32}=b^{38}$.
5. $b^{35}\cdot b=b^{36}$.
6. $b^{44}\cdot b^{10}=b^{54}$.
7. $b^{50}:b^{31}=b^{19}$.
8. $b^{43}:b^{36}=b^{7}$.
9. $b^{72}\cdot b^{59}=b^{131}$.
10. $b^{100}:b^{20}=b^{80}$.
11. $b^{85}:b^{81}=b^4$.
12. $b^{79}:b^{78}=b^1=b$.

Жауабы: 1) $b^{13}$; 2) $b^{13}$; 3) $b^{38}$; 4) $b^{38}$; 5) $b^{36}$; 6) $b^{54}$; 7) $b^{19}$; 8) $b^7$; 9) $b^{131}$; 10) $b^{80}$; 11) $b^4$; 12) $b$.

№ 4.3

Ықшамдаңдар: 1) $(a^4)^2\cdot(a^3)^4$; 2) $(b^4b)^6$; 3) $(c^5)^8:(c^6)^6$; 4) $(d^8d^2)^3$; 5) $(c^9)^5:(c^4)^{10}$; 6) $(k^{11})^7:(k^{10})^6$.

Қалай ойлаймыз. Жақшада $b^4b$ көбейтіндісі болса, алдымен оны бір дәрежеге жинаймыз: $b^4\cdot b^1=b^5$.

Шешуі.

1. $a^8\cdot a^{12}=a^{20}$.
2. $(b^5)^6=b^{30}$.
3. $c^{40}:c^{36}=c^4$.
4. $(d^{10})^3=d^{30}$.
5. $c^{45}:c^{40}=c^5$.
6. $k^{77}:k^{60}=k^{17}$.

Жауабы: 1) $a^{20}$; 2) $b^{30}$; 3) $c^4$; 4) $d^{30}$; 5) $c^5$; 6) $k^{17}$.

№ 4.4

Ықшамдаңдар: 1) $(b^4)^6\cdot(b^5)^4$; 2) $(b^{16})^4:(b^3)^{20}$; 3) $(b^9)^{12}:(b^{10})^{10}$; 4) $(b^{30})^3:(b^4)^{20}$; 5) $(b^3)^7\cdot(b^5)^5$; 6) $(b^7)^6:(b^8)^5$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен әр жақшадағы көрсеткіштерді көбейтеміз, сосын нәтижелердің арасында қосамыз немесе азайтамыз.

Шешуі.

1. $b^{24}\cdot b^{20}=b^{44}$.
2. $b^{64}:b^{60}=b^4$.
3. $b^{108}:b^{100}=b^8$.
4. $b^{90}:b^{80}=b^{10}$.
5. $b^{21}\cdot b^{25}=b^{46}$.
6. $b^{42}:b^{40}=b^2$.

Жауабы: 1) $b^{44}$; 2) $b^4$; 3) $b^8$; 4) $b^{10}$; 5) $b^{46}$; 6) $b^2$. Оқулықтағы жауаптармен сәйкес келеді.

№ 4.5

1. Өрнекті дәреженің квадраты түрінде жазыңдар: 1) $a^6$; 2) $x^{20}$; 3) $y^{22}$; 4) $z^{48}$. 2. Өрнекті дәреженің кубы түрінде жазыңдар: 1) $a^6$; 2) $x^{21}$; 3) $y^{30}$; 4) $z^{72}$.

Қалай ойлаймыз. Бұл ереженің кері бағыты. Квадрат — көрсеткіш 2, демек, көрсеткішті 2-ге бөлеміз. Куб — 3-ке бөлеміз.

Шешуі.

1. Квадрат: $6:2=3$; $20:2=10$; $22:2=11$; $48:2=24$.
2. Куб: $6:3=2$; $21:3=7$; $30:3=10$; $72:3=24$.

Жауабы: 1. 1) $(a^3)^2$; 2) $(x^{10})^2$; 3) $(y^{11})^2$; 4) $(z^{24})^2$. 2. 1) $(a^2)^3$; 2) $(x^7)^3$; 3) $(y^{10})^3$; 4) $(z^{24})^3$.

№ 4.6

Есептеңдер: 1) $(5^2)^2-600$; 2) $(3^3)^2+271$; 3) $1000-5\cdot(2^3)^2$; 4) $\left(\left(\frac12\right)^4\right)^2\cdot 320$; 5) $(2^4)^2-200$; 6) $\left(\left(\frac23\right)^2\right)^3\cdot\frac{3645}{32}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен дәрежені дәрежеге шығарамыз, сосын санды есептейміз, содан кейін қалған амалдарды орындаймыз.

Шешуі.

1. $5^4=625$; $625-600=25$.
2. $3^6=729$; $729+271=1000$.
3. $(2^3)^2=2^6=64$; $5\cdot 64=320$; $1000-320=680$.
4. $\left(\frac12\right)^8=\frac1{256}$; $\frac{320}{256}=\frac54=1\frac14$.
5. $2^8=256$; $256-200=56$.
6. $\left(\frac23\right)^6=\frac{64}{729}$; $\frac{64}{729}\cdot\frac{3645}{32}=\frac{2\cdot 3645}{729}=2\cdot 5=10$ (себебі $3645=5\cdot 729$).

Жауабы: 1) 25; 2) 1000; 3) 680; 4) $1\frac14$; 5) 56; 6) 10. 1, 2, 3, 5-тармақтар оқулықтағы жауаптармен сәйкес; 4 және 6 үшін жауаптарда мән жоқ, өзіміз тексердік.

№ 4.7

Егер $A=(2^{10})^4:(2^4)^9-6$ және $B=(5^5)^2:(5^3)^3+15$ болса, онда $2A-B=0$ теңдігі ақиқат бола ма?

Қалай ойлаймыз. $A$ мен $B$-ны бөлек тауып, орнына қоямыз.

Шешуі. $A=10$, $B=20$, демек, $2A-B=20-20=0$.

Жауабы: иә, теңдік ақиқат.

B деңгейі

№ 4.8

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $(b^5)^3\cdot(b^2)^7:(b^6)^4$, мұндағы $b=-2$; 2) $(a^2)^5\cdot(a^{10})^2:(a^{14})^2$, мұндағы $a=-\frac37$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен өрнекті ықшамдап, содан кейін ғана санды қоямыз. Олай есептеу әлдеқайда оңай.

Шешуі.

1. $b^{15}\cdot b^{14}:b^{24}=b^{29}:b^{24}=b^5$. $b=-2$ болғанда: $(-2)^5=-32$.
2. $a^{10}\cdot a^{20}:a^{28}=a^{30}:a^{28}=a^2$. $a=-\frac37$ болғанда: $\left(-\frac37\right)^2=\frac{9}{49}$.

Жауабы: 1) $-32$; 2) $\frac9{49}$.

№ 4.9

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(a^2)^4\cdot(a^3)^5:(a^3)^7=a^2$; 2) $(x^3)^6\cdot(x^2)^5=x^{28}$.

Қалай ойлаймыз. Тепе-теңдікті дәлелдеу — сол жағын оң жағы шыққанша түрлендіру.

Шешуі.

1. $(a^2)^4=a^8$; $(a^3)^5=a^{15}$; $(a^3)^7=a^{21}$. Сонда $a^8\cdot a^{15}:a^{21}=a^{23}:a^{21}=a^2$. Оң жағы шықты.
2. $(x^3)^6=x^{18}$; $(x^2)^5=x^{10}$. Сонда $x^{18}\cdot x^{10}=x^{28}$. Оң жағы шықты.

Жауабы: екі тепе-теңдік те дәлелденді.

№ 4.10

Ықшамдаңдар: 1) $\frac{(125b^2)^3}{25b^4}$; 2) $\frac{45x^{14}y^9}{-27x^{12}(-y^3)^3}$; 3) $\frac{-32c^{15}(d^4)^5}{24c^{13}d^{17}}$.

Қалай ойлаймыз. Сандар мен әріптерді бөлек қысқартамыз. Таңбаларды ұмытпа: минустың тақ дәрежесі минус береді.

Шешуі.

1. $(125b^2)^3=125^3\cdot b^6=5^9b^6$ (себебі $125=5^3$). Бөлгіші $25b^4=5^2b^4$. Бөлшек: $5^{9-2}b^{6-4}=5^7b^2$.
2. $(-y^3)^3=-y^9$. Бөлгіші: $-27x^{12}\cdot(-y^9)=27x^{12}y^9$. Қысқартамыз: $\frac{45}{27}=\frac53$, $x^{14-12}=x^2$, $y^{9-9}=1$. Шығады: $\frac{5x^2}{3}$.
3. $(d^4)^5=d^{20}$. Бөлшек $\frac{-32c^{15}d^{20}}{24c^{13}d^{17}}$: $-\frac{32}{24}=-\frac43$, $c^2$, $d^3$. Шығады: $-\frac{4c^2d^3}{3}$.

Жауабы: 1) $5^7b^2$; 2) $\frac{5x^2}{3}$; 3) $-\frac{4c^2d^3}{3}$. 1 және 3-тармақтар оқулықтағы жауаптармен сәйкес; 2-тармақтың жауабы жоқ.

№ 4.11

1) Тауардың алғашқы бағасы $(6^3)^3:(6^4)^2\cdot 50^2$ тг, жеңілдік кезінде тауардың бағасы $12\cdot 10^3$ тг болған. Жеңілдік кезінде тауардың бағасы қанша пайызға төмендеген? 2) 30% төмендеген кезде тауардың бағасы $(3^2)^3\cdot(3^3)^2:3^6$ теңгеге арзандады. Тауардың алғашқы бағасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен дәрежелерді қарапайым санға айналдырамыз, сосын пайызбен жұмыс істейміз.

Шешуі.

1. $(6^3)^3=6^9$, $(6^4)^2=6^8$, демек, $6^9:6^8=6$. Баға $6\cdot 50^2=6\cdot 2500=15,000$ тг болған. Енді $12\cdot 10^3=12,000$ тг. Төмендеуі: $15,000-12,000=3000$ тг. Бұл $\frac{3000}{15000}\cdot 100%=20%$.
2. $(3^2)^3=3^6$, $(3^3)^2=3^6$; $3^6\cdot 3^6:3^6=3^6=729$ тг. Бұл бағаның 30%-ы. Бүкіл баға: $729:0{,}3=2430$ тг.

Жауабы: 1) 20%-ға; 2) 2430 тг (тексеру: 2430-ның 30%-ы 729-ға тең).

C деңгейі

Бұл — ең қиын есептер. Әрекеттің өзі де жетістік: мұнда жақша көп, бірақ ереже сол күйінде.

№ 4.12

Есептеңдер: 1) $\frac{(13^5)^{11}\cdot(13^4)^{10}}{(13^{47})^2}$; 2) $\frac{(7^5)^6\cdot 7^{27}}{(7^{14})^4}$; 3) $\frac{(6^8)^9\cdot(6^4)^5}{(6^{24})^3\cdot(6^3)^6}$; 4) $\frac{(19^{11})^7\cdot(19^7)^2}{(19^{20})^3\cdot 19^{29}}$; 5) $\frac{(3^{15})^5\cdot(3^{12})^2}{(3^2)^{25}\cdot(3^3)^{16}}$; 6) $\frac{(2^{40})^3\cdot(2^{12})^5}{(2^{45})^2\cdot(2^{11})^8}$.

Қалай ойлаймыз. Үлкен сандарды есептеме. Алымы мен бөлімін негізі бірдей бір дәрежеге келтір: негіз біреу болғандықтан, бәрі көрсеткіштерді азайтуға әкеледі.

Шешуі.

1. Алымы: $13^{55}\cdot 13^{40}=13^{95}$. Бөлімі: $13^{94}$. Нәтиже $13^{1}=13$.
2. Алымы: $7^{30}\cdot 7^{27}=7^{57}$. Бөлімі: $7^{56}$. Нәтиже 7.
3. Алымы: $6^{72}\cdot 6^{20}=6^{92}$. Бөлімі: $6^{72}\cdot 6^{18}=6^{90}$. Нәтиже $6^2=36$.
4. Алымы: $19^{77}\cdot 19^{14}=19^{91}$. Бөлімі: $19^{60}\cdot 19^{29}=19^{89}$. Нәтиже $19^2=361$.
5. Алымы: $3^{75}\cdot 3^{24}=3^{99}$. Бөлімі: $3^{50}\cdot 3^{48}=3^{98}$. Нәтиже 3.
6. Алымы: $2^{120}\cdot 2^{60}=2^{180}$. Бөлімі: $2^{90}\cdot 2^{88}=2^{178}$. Нәтиже $2^2=4$.

Жауабы: 1) 13; 2) 7; 3) 36; 4) 361; 5) 3; 6) 4. 1–3-тармақтар оқулықпен сәйкес.

№ 4.13

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $(y^4)^5:(y^9)^2\cdot y^3$, мұндағы $y=-1$; 2) $(z^3)^9:(z^4)^6\cdot z$, мұндағы $z=-2$.

Қалай ойлаймыз. Тағы да алдымен ықшамдаймыз.

Шешуі.

1. $y^{20}:y^{18}\cdot y^3=y^2\cdot y^3=y^5$. $y=-1$ болғанда $(-1)^5=-1$.
2. $z^{27}:z^{24}\cdot z=z^3\cdot z=z^4$. $z=-2$ болғанда $(-2)^4=16$.

Жауабы: 1) $-1$; 2) 16.

№ 4.14

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(a^{2k})^5:(2a^{3k})-1{,}5a^{7k}=-a^{7k}$; 2) $(y^{2n})^6:(5y^{5n})^2+0{,}96y^{2n}=y^{2n}$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда көрсеткіштер әріппен берілген ($2k$, $3k$), бірақ ереже сол: көрсеткіштерді көбейтеміз, азайтамыз.

Шешуі.

1. $(a^{2k})^5=a^{10k}$. $2a^{3k}$-ге бөлеміз: $\frac{a^{10k}}{2a^{3k}}=\frac12a^{7k}=0{,}5a^{7k}$. Сонда $0{,}5a^{7k}-1{,}5a^{7k}=-a^{7k}$.
2. $(y^{2n})^6=y^{12n}$, $(5y^{5n})^2=25y^{10n}$. Бөлеміз: $\frac{y^{12n}}{25y^{10n}}=\frac{y^{2n}}{25}=0{,}04y^{2n}$. Сонда $0{,}04y^{2n}+0{,}96y^{2n}=y^{2n}$.

Жауабы: екі тепе-теңдік те дәлелденді.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 4.15

Ақиқат теңдіктерді теріп жазыңдар: 1) $(ab)^2=a^2b^2$; 2) $(7^2\cdot 4^3)^2=7^2\cdot 4^9$; 3) $\left(\frac ab\right)^2=\frac{a^2}{b^2}$; 4) $\left(\frac47\right)^3=\frac{4^3}{7}$.

Қалай ойлаймыз. Ойлан: жақшадағы бүкіл өрнек дәрежеге шығады, демек, дәрежені екі көбейткіш те (немесе алым мен бөлім де) алады.

Шешуі.

1. Ақиқат: $(ab)^2=ab\cdot ab=a^2b^2$.
2. Жалған: екі көбейткіштің көрсеткіші де 2-ге көбейтіледі, $7^4\cdot 4^6$ шығады.
3. Ақиқат ($b\ne0$ болғанда).
4. Жалған: бөлімді де дәрежеге шығару керек: $\frac{4^3}{7^3}$.

Жауабы: ақиқаттары: 1) және 3).

№ 4.16

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $\left(\frac3{11}\right)^2$ және $\frac{3^2}{11^2}$; 2) $\left(\frac29\right)^3$ және $\frac{2^3}{9^3}$; 3) $(2^3b^2)^3$ және $2^9b^6$; 4) $(3^2a^3)^2$ және $3^4a^6$.

Қалай ойлаймыз. № 4.15-те білгенімізді қолданамыз: дәреже әр көбейткішке, ал бөлшекте алым мен бөлімге таратылады.

Шешуі.

1. $\left(\frac3{11}\right)^2=\frac{3^2}{11^2}=\frac9{121}$: тең.
2. $\left(\frac29\right)^3=\frac{2^3}{9^3}=\frac{8}{729}$: тең.
3. $(2^3b^2)^3=2^9b^6$: тең.
4. $(3^2a^3)^2=3^4a^6$: тең.

Жауабы: төрт тармақта да мәндер тең. Осылайша келесі параграфта талданатын ережені алдын ала көрдік.

Жадынама

• Ереже: $(a^m)^n=a^{mn}$.
• Көрсеткіштерді қоспаймыз, көбейтеміз.
• Бөлу мен көбейту бар өрнектерде алдымен дәрежелерді есептейміз.
• Сандарды қоймас бұрын өрнекті ықшамда.

Шағын тест