§ 31. Екі өрнектің квадраттары айырымының формуласы

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 5 бөлім: Қысқаша көбейту формулалары. 181–187-беттер.

Нені үйренесің

• Қысқаша көбейту формулалары деген не және олар не үшін керек екенін түсінуді.
• $(a-b)(a+b)$ көбейтіндісін жақшаларды бір-бірлеп ашпай, бірден жазуды.
• Квадраттар айырымын көбейткіштерге жіктеуді.
• $101\cdot 99$ және $71^2-59^2$ сияқты мысалдарды ойша есептеуді.
• $x^2-16=0$ түріндегі теңдеулерді осы формуламен шешуді.

Ой қозғау

Көпмүшені көпмүшеге көбейтуді еске түсірейік. Жауаптарды басып ашуға болады.

• $(x+2)(x-3)$ қалай көбейтіледі? Бірінші жақшаның әр мүшесін екінші жақшаның әр мүшесіне көбейтеміз: $x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$.
• Асықпасақ, $(a+b)(a-b)$ неге тең болады? $a^2-ab+ab-b^2$. Ортадағылар қысқарады! Сабақтың басты жаңалығы осы.
• $(3x)^2$ бірмүшесінің квадратын қалай жазамыз? $9x^2$: санды да, әріпті де квадраттаймыз.
• $0{,}49$ санын квадрат түрінде қалай жазамыз? $0{,}49=0{,}7^2$.
• $(y^2)^2$ неге тең? $y^4$: көрсеткіштерді көбейтеміз.

Тақырыпты талдаймыз

Ортадағы мүше неге жоғалады

Екі жақша алайық: айырым $a-b$ және қосынды $a+b$. «Әрқайсысын әрқайсысына» ережесімен көбейтеміз:

$(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2.$

$+ab$ және $-ab$ қосылғыштары бір-бірін жояды. Тек квадраттар айырымы қалады.

📌 Квадраттар айырымының формуласы: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Сөзбен: екі өрнектің квадраттарының айырымы олардың айырымы мен қосындысының көбейтіндісіне тең. Оны солдан оңға (көбейткіштерге жіктейміз) және оңнан солға (тез көбейтеміз) қарай оқуға болады.

Формуланы көзбен көрейік

Қабырғасы $a=6$ шаршыны алайық та, оның бұрышынан қабырғасы $b=4$ шаршыны қиып алайық. Екі тіктөртбұрыштан тұратын «бұрыш» қалады: $6\cdot 2=12$ және $4\cdot 2=8$. Барлығы $20$. Ал формула бойынша: $(6-4)(6+4)=2\cdot 10=20$. Сәйкес келді!

Қалай қолданамыз: екі мысал

1. $25-m^2=5^2-m^2=(5-m)(5+m)$. 25 саны — $5^2$.

2. $y^4-0{,}49x^2=(y^2)^2-(0{,}7x)^2=(y^2-0{,}7x)(y^2+0{,}7x)$. Мұндағы $y^4$ — $y^2$-тың квадраты, ал $0{,}49x^2$ — $0{,}7x$-тің квадраты.

💡 Айла: әр қосылғыш үшін алдымен «бұл кімнің квадраты?» деген сұраққа жауап бер. Содан кейін ғана формулаға қой.

⚠️ Жиі кететін қате. Квадраттар қосындысы $x^2+9$ осы формуламен көбейткіштерге жіктелмейді. Және $(a-b)^2$ — бұл $a^2-b^2$ емес! Сандармен тексер: $a=5$, $b=3$ болғанда $(5-3)^2=4$, ал $5^2-3^2=16$.

Формула есептеулерде

$71^2-59^2$ былай есептеледі: $(71-59)(71+59)=12\cdot 130=1560$. Квадраттап жатудың қажеті жоқ!

Өмірден қарапайым мысал: $101\cdot 99=(100+1)(100-1)=100^2-1^2=9999$. Теңгемен қайтарым ақшаны да осылай тез санауға болады: $52\cdot 48=50^2-2^2=2496$.

Әріпті тағы бір мысал: $\left(\frac13x+8y\right)\left(\frac13x-8y\right)=\left(\frac13x\right)^2-(8y)^2=\frac19x^2-64y^2$.

Формула теңдеулерді шешеді

$1{,}69-z^2=0$ теңдеуін қалай шығарамыз? $1{,}69=1{,}3^2$ екенін байқаймыз. Сонда

$(1{,}3-z)(1{,}3+z)=0.$

Көбейтінді көбейткіштердің бірі нөлге тең болғанда нөлге тең: $z=1{,}3$ немесе $z=-1{,}3$. Жауабын былай жазады: ${-1{,}3;,1{,}3}$ (шешімдер жиыны).

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан $+ab-ab$ ортаңғы мүшесінің неге жоғалатынын түсіндіріп беруін сұраңыз. Мұны түсінсе, формуланы жаттаудың қажеті болмайды. Және $49\cdot 51$-ді ойша есептеп көруді ұсыныңыз.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Квадраттар айырымының формуласын алу үшін қандай ережелерді қолдандық? Көпмүшені көпмүшеге көбейту ережесін және ұқсас мүшелерді біріктіруді ($ab$ және $-ab$ қосылғыштары қысқарады).
• $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ формуласын екі тәсілмен қалай оқуға болады? Солдан оңға: «квадраттар айырымы айырым мен қосындының көбейтіндісіне тең». Оңнан солға: «екі өрнектің айырымы мен қосындысының көбейтіндісі олардың квадраттарының айырымына тең».
• $71^2-59^2$ қалай есептелді? $(71-59)(71+59)=12\cdot 130=1560$.
• $\left(\frac13x+8y\right)\left(\frac13x-8y\right)$ қалай ықшамдалды? Бұл қосындының айырымға көбейтіндісі: $\frac19x^2-64y^2$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 31.1

Көбейтуді орындаңдар: 1) $(x+y)(x-y)$; 2) $(n-m)(n+m)$; 3) $(k-2)(k+2)$; 4) $(3-c)(3+c)$; 5) $(4+b)(4-b)$; 6) $(a-7)(a+7)$; 7) $\left(\frac17+x\right)\left(\frac17-x\right)$; 8) $\left(a-\frac29\right)\left(a+\frac29\right)$; 9) $\left(\frac56+m\right)\left(\frac56-m\right)$; 10) $(0{,}4+n)(0{,}4-n)$; 11) $(k+1{,}1)(k-1{,}1)$; 12) $(d-2{,}2)(d+2{,}2)$.

Қалай ойлаймыз. Әр жақшалар жұбында бірдей екі өрнек бар: біреуінде олар қосылады, екіншісінде азайтылады. Демек, жауабы: «біріншінің квадраты минус екіншінің квадраты», мұндағы бірінші — екі жақшада да алдымен тұрғаны.

Шешуі.

1. $x^2-y^2$; 2) $n^2-m^2$; 3) $k^2-4$; 4) $9-c^2$; 5) $16-b^2$; 6) $a^2-49$; 7) $\frac1{49}-x^2$; 8) $a^2-\frac4{81}$; 9) $\frac{25}{36}-m^2$; 10) $0{,}16-n^2$; 11) $k^2-1{,}21$; 12) $d^2-4{,}84$.

Жауабы: 1) $x^2-y^2$; 2) $n^2-m^2$; 3) $k^2-4$; 4) $9-c^2$; 5) $16-b^2$; 6) $a^2-49$; 7) $\frac1{49}-x^2$; 8) $a^2-\frac4{81}$; 9) $\frac{25}{36}-m^2$; 10) $0{,}16-n^2$; 11) $k^2-1{,}21$; 12) $d^2-4{,}84$.

№ 31.2

Амалды орындаңдар: 1) $(x-5)(5+x)$; 2) $(8+y)(y-8)$; 3) $(10-k)(k+10)$; 4) $\left(a+\frac23b\right)\left(a-\frac23b\right)$; 5) $\left(\frac49x-y\right)\left(y+\frac49x\right)$; 6) $\left(\frac4{15}n-m\right)\left(m+\frac4{15}n\right)$; 7) $(9x-5y)(9x+5y)$; 8) $(-4a+3b)(3b+4a)$; 9) $(13k-2d)(2d+13k)$; 10) $\left(\frac54c+\frac37d\right)\left(\frac37d-\frac54c\right)$; 11) $\left(\frac13x-3y\right)\left(3y+\frac13x\right)$; 12) $\left(\frac15a+\frac19b\right)\left(\frac19b-\frac15a\right)$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда қосылғыштардың орны ауыстырылған, бірақ мәні сол. Екі жақшада да плюспен тұрған өрнекті тап (ол айырымда да, қосындыда да «бірінші» болады), ал таңбасы ауысатынын бөлек қара. Сонда «плюспен тұрғанның квадраты минус таңбасы ауысқанның квадраты».

Шешуі.

1. $(x-5)(x+5)=x^2-25$.
2. $(y+8)(y-8)=y^2-64$.
3. $(10-k)(10+k)=100-k^2$.
4. $a^2-\frac49b^2$.
5. $(\frac49x-y)(\frac49x+y)=\frac{16}{81}x^2-y^2$.
6. $\frac{16}{225}n^2-m^2$.
7. $81x^2-25y^2$.
8. $(3b-4a)(3b+4a)=9b^2-16a^2$.
9. $(13k-2d)(13k+2d)=169k^2-4d^2$.
10. $(\frac37d-\frac54c)(\frac37d+\frac54c)=\frac9{49}d^2-\frac{25}{16}c^2$.
11. $\frac19x^2-9y^2$.
12. $(\frac19b-\frac15a)(\frac19b+\frac15a)=\frac1{81}b^2-\frac1{25}a^2$.

Жауабы: 1) $x^2-25$; 2) $y^2-64$; 3) $100-k^2$; 4) $a^2-\frac49b^2$; 5) $\frac{16}{81}x^2-y^2$; 6) $\frac{16}{225}n^2-m^2$; 7) $81x^2-25y^2$; 8) $9b^2-16a^2$; 9) $169k^2-4d^2$; 10) $\frac9{49}d^2-\frac{25}{16}c^2$; 11) $\frac19x^2-9y^2$; 12) $\frac1{81}b^2-\frac1{25}a^2$.

№ 31.3

Көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $a^2-49$; 2) $64-b^2$; 3) $c^2-2{,}25$; 4) $2{,}89-d^2$; 5) $\frac{64}{81}-x^2$; 6) $\frac{100}{121}-y^2$; 7) $z^2-\frac{169}{196}$; 8) $t^2-\frac{400}{441}$; 9) $25x^2-36$; 10) $-16+49y^2$; 11) $0{,}64-\frac19z^2$; 12) $\frac{64}{81}t^2-36$; 13) $\frac9{16}-\frac1{144}a^2$; 14) $\frac{25}{64}b^2-\frac1{81}$; 15) $2{,}56x^2-\frac{225}{361}$; 16) $\frac{81}{100}-0{,}04c^2$.

Қалай ойлаймыз. Әр саннан түбір аламыз: $49=7^2$, $2{,}25=1{,}5^2$, $\frac{64}{81}=\left(\frac89\right)^2$. Содан кейін $(a-b)(a+b)$ формуласын қолданамыз.

Шешуі.

1. $(a-7)(a+7)$. 2) $(8-b)(8+b)$. 3) $(c-1{,}5)(c+1{,}5)$. 4) $(1{,}7-d)(1{,}7+d)$. 5) $\left(\frac89-x\right)\left(\frac89+x\right)$. 6) $\left(\frac{10}{11}-y\right)\left(\frac{10}{11}+y\right)$. 7) $\left(z-\frac{13}{14}\right)\left(z+\frac{13}{14}\right)$. 8) $\left(t-\frac{20}{21}\right)\left(t+\frac{20}{21}\right)$. 9) $(5x-6)(5x+6)$. 10) $49y^2-16=(7y-4)(7y+4)$. 11) $\left(0{,}8-\frac z3\right)\left(0{,}8+\frac z3\right)$. 12) $\left(\frac89t-6\right)\left(\frac89t+6\right)$. 13) $\left(\frac34-\frac a{12}\right)\left(\frac34+\frac a{12}\right)$. 14) $\left(\frac58b-\frac19\right)\left(\frac58b+\frac19\right)$. 15) $\left(1{,}6x-\frac{15}{19}\right)\left(1{,}6x+\frac{15}{19}\right)$. 16) $(0{,}9-0{,}2c)(0{,}9+0{,}2c)$.

Жауабы: шешуін қара: әр тармақта түбірлердің айырымы мен сол түбірлердің қосындысы көбейтіледі.

№ 31.4

Екімүшені көбейтінді түрінде жазыңдар: 1) $c^2-0{,}49$; 2) $16-k^2$; 3) $400-m^2$; 4) $t^2-225$; 5) $1{,}69-b^2$; 6) $y^2-\frac{16}{81}$; 7) $25x^2-4$; 8) $\frac{25}{36}-64y^2$.

Қалай ойлаймыз. Жіктеу сол: әр қосылғыш — бір нәрсенің квадраты.

Шешуі.

1. $(c-0{,}7)(c+0{,}7)$. 2) $(4-k)(4+k)$. 3) $(20-m)(20+m)$. 4) $(t-15)(t+15)$. 5) $(1{,}3-b)(1{,}3+b)$. 6) $\left(y-\frac49\right)\left(y+\frac49\right)$. 7) $(5x-2)(5x+2)$. 8) $\left(\frac56-8y\right)\left(\frac56+8y\right)$.

Жауабы: 1) $(c-0{,}7)(c+0{,}7)$; 2) $(4-k)(4+k)$; 3) $(20-m)(20+m)$; 4) $(t-15)(t+15)$; 5) $(1{,}3-b)(1{,}3+b)$; 6) $\left(y-\frac49\right)\left(y+\frac49\right)$; 7) $(5x-2)(5x+2)$; 8) $\left(\frac56-8y\right)\left(\frac56+8y\right)$.

№ 31.5

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ формуласының көмегімен есептеңдер: 1) $13^2-9^2$; 2) $20^2-19^2$; 3) $2{,}2^2-2{,}8^2$; 4) $3{,}5^2-3{,}7^2$; 5) $\left(\frac56\right)^2-\left(\frac23\right)^2$; 6) $\left(\frac79\right)^2-\left(\frac16\right)^2$; 7) $\left(\frac5{12}\right)^2-\left(\frac34\right)^2$; 8) $\left(\frac3{10}\right)^2-\left(\frac45\right)^2$; 9) $\left(\frac8{15}\right)^2-\left(\frac45\right)^2$; 10) $\left(2\frac17\right)^2-\left(2\frac17\right)^2$; 11) $\left(3\frac13\right)^2-\left(4\frac12\right)^2$; 12) $\left(5\frac16\right)^2-\left(7\frac13\right)^2$; 13) $51^2-41^2$; 14) $54^2-46^2$; 15) $76^2-24^2$; 16) $328^2-172^2$; 17) $\left(3\frac23\right)^2-\left(2\frac13\right)^2$; 18) $\left(7\frac59\right)^2-\left(4\frac49\right)^2$.

Қалай ойлаймыз. Негіздерді қосамыз да, азайтамыз, содан кейін екі нәтижені көбейтеміз. Бөлшектерді квадраттап жатқаннан әлдеқайда оңай.

Шешуі.

1. $(13-9)(13+9)=4\cdot 22=88$.
2. $(20-19)(20+19)=39$.
3. $(2{,}2-2{,}8)(2{,}2+2{,}8)=-0{,}6\cdot 5=-3$.
4. $(3{,}5-3{,}7)(3{,}5+3{,}7)=-0{,}2\cdot 7{,}2=-1{,}44$.
5. $\left(\frac56-\frac23\right)\left(\frac56+\frac23\right)=\frac16\cdot\frac32=\frac14$.
6. $\left(\frac79-\frac16\right)\left(\frac79+\frac16\right)=\frac{11}{18}\cdot\frac{17}{18}=\frac{187}{324}$.
7. $\left(\frac5{12}-\frac34\right)\left(\frac5{12}+\frac34\right)=-\frac13\cdot\frac76=-\frac7{18}$.
8. $\left(\frac3{10}-\frac45\right)\left(\frac3{10}+\frac45\right)=-\frac12\cdot\frac{11}{10}=-\frac{11}{20}$.
9. $\left(\frac8{15}-\frac45\right)\left(\frac8{15}+\frac45\right)=-\frac4{15}\cdot\frac43=-\frac{16}{45}$.
10. Негіздері бірдей: айырым нөлге тең, демек, бүкіл өрнек $=0$.
11. $\left(\frac{10}3-\frac92\right)\left(\frac{10}3+\frac92\right)=-\frac76\cdot\frac{47}6=-\frac{329}{36}=-9\frac5{36}$.
12. $\left(\frac{31}6-\frac{22}3\right)\left(\frac{31}6+\frac{22}3\right)=-\frac{13}6\cdot\frac{75}6=-\frac{325}{12}=-27\frac1{12}$.
13. $10\cdot 92=920$.
14. $8\cdot 100=800$.
15. $52\cdot 100=5200$.
16. $156\cdot 500=78,000$.
17. $\left(\frac{11}3-\frac73\right)\left(\frac{11}3+\frac73\right)=\frac43\cdot 6=8$.
18. $\left(\frac{68}9-\frac{40}9\right)\left(\frac{68}9+\frac{40}9\right)=\frac{28}9\cdot 12=\frac{112}3=37\frac13$.

Жауабы: 1) 88; 2) 39; 3) $-3$; 4) $-1{,}44$; 5) $\frac14$; 6) $\frac{187}{324}$; 7) $-\frac7{18}$; 8) $-\frac{11}{20}$; 9) $-\frac{16}{45}$; 10) 0; 11) $-\frac{329}{36}$; 12) $-\frac{325}{12}$; 13) 920; 14) 800; 15) 5200; 16) 78 000; 17) 8; 18) $\frac{112}3$.

№ 31.6

Көбейткіштерді $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ формуласы арқылы қосынды немесе айырым түрінде жазып, мәнін есептеңдер: 1) $101\cdot 99$; 2) $102\cdot 98$; 3) $103\cdot 97$; 4) $104\cdot 96$; 5) $105\cdot 95$; 6) $106\cdot 94$.

Қалай ойлаймыз. Сандар 100-ден бірдей қашықтықта тұр: мысалы, $101=100+1$ және $99=100-1$. Бұл — қосындының айырымға көбейтіндісі!

Шешуі.

1. $(100+1)(100-1)=10,000-1=9999$.
2. $10,000-4=9996$.
3. $10,000-9=9991$.
4. $10,000-16=9984$.
5. $10,000-25=9975$.
6. $10,000-36=9964$.

Жауабы: 1) 9999; 2) 9996; 3) 9991; 4) 9984; 5) 9975; 6) 9964.

№ 31.7

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(5+b)(b-5)-b^2$; 2) $c^2+(9-c)(9+c)$; 3) $\left(\frac13-z\right)\left(\frac13+z\right)-\frac19$; 4) $-\frac{16}{49}+\left(\frac47-d\right)\left(d+\frac47\right)$; 5) $(0{,}9-a)(a+0{,}9)-a(1+a)$; 6) $k(5-k)+(1{,}2+k)(k-1{,}2)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен жақшалардың көбейтіндісіне формуланы қолданамыз, содан кейін ұқсас қосылғыштарды біріктіреміз.

Шешуі.

1. $(b^2-25)-b^2=-25$.
2. $c^2+(81-c^2)=81$.
3. $\left(\frac19-z^2\right)-\frac19=-z^2$.
4. $-\frac{16}{49}+\left(\frac{16}{49}-d^2\right)=-d^2$.
5. $(0{,}81-a^2)-a-a^2=-2a^2-a+0{,}81$.
6. $5k-k^2+(k^2-1{,}44)=5k-1{,}44$.

Жауабы: 1) $-25$; 2) $81$; 3) $-z^2$; 4) $-d^2$; 5) $-2a^2-a+0{,}81$; 6) $5k-1{,}44$.

№ 31.8

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $d=0{,}5$ болса, онда $(7+d)(d-7)+(d+3)(3-d)+40(d+1)$; 2) $x=-101$ болса, онда $x(2x-1)-(6+x)(x-6)+(x+10)(10-x)$; 3) $b=-\frac56$ болса, онда $1{,}2(b+1{,}2)+(0{,}5-b)(b+0{,}5)-(b+1{,}3)(1{,}3-b)$; 4) $c=\frac23$ болса, онда $(1{,}5+c)(c-1{,}5)-(c+8)(c-8)-2{,}5(c-24{,}5)$.

Қалай ойлаймыз. Мұндай ауыр өрнектерге сандарды қою қолайсыз: алдымен қысқа түрге дейін ықшамдаймыз.

Шешуі.

1. жоғарыдағы қадамдарды қара: $40d=40\cdot 0{,}5=20$.
2. $2x^2-x-(x^2-36)+(100-x^2)=2x^2-x-x^2+36+100-x^2=136-x$. $x=-101$ болғанда: $136+101=237$.
3. $1{,}2b+1{,}44+(0{,}25-b^2)-(1{,}69-b^2)=1{,}2b+1{,}44+0{,}25-1{,}69=1{,}2b$. $b=-\frac56$ болғанда: $1{,}2\cdot\left(-\frac56\right)=-1$.
4. $c^2-2{,}25-(c^2-64)-2{,}5c+61{,}25=-2{,}25+64+61{,}25-2{,}5c=123-2{,}5c$. $c=\frac23$ болғанда: $123-\frac53=121\frac13$.

Жауабы: 1) 20; 2) 237; 3) $-1$; 4) $121\frac13$ (яғни $\frac{364}3$).

№ 31.9

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x^2-16=0$; 2) $25-y^2=0$; 3) $3{,}24-z^2=0$; 4) $\frac{144}{169}-n^2=0$; 5) $7{,}29-m^2=0$; 6) $k^2-\frac{196}{625}=0$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағын $(\ldots-\ldots)(\ldots+\ldots)$ түрінде жіктейміз. Көбейткіштердің кем дегенде бірі нөлге тең болғанда, көбейтінді нөлге тең болады.

Шешуі.

1. $(x-4)(x+4)=0$, $x=4$ немесе $x=-4$.
2. $(5-y)(5+y)=0$, $y=\pm 5$.
3. $3{,}24=1{,}8^2$, $(1{,}8-z)(1{,}8+z)=0$, $z=\pm 1{,}8$.
4. $\left(\frac{12}{13}-n\right)\left(\frac{12}{13}+n\right)=0$, $n=\pm\frac{12}{13}$.
5. $7{,}29=2{,}7^2$, $m=\pm 2{,}7$.
6. $\left(k-\frac{14}{25}\right)\left(k+\frac{14}{25}\right)=0$, $k=\pm\frac{14}{25}$.

Жауабы: 1) ${-4;4}$; 2) ${-5;5}$; 3) ${-1{,}8;1{,}8}$; 4) $\left{-\frac{12}{13};\frac{12}{13}\right}$; 5) ${-2{,}7;2{,}7}$; 6) $\left{-\frac{14}{25};\frac{14}{25}\right}$.

№ 31.10

Өрнектің мәні $a$ айнымалысының мәніне тәуелді емес екенін дәлелдеңдер: 1) $(a-10)(10+a)+60-a^2$; 2) $0{,}64+a^2-(0{,}5+a)(a-0{,}5)$; 3) $(2{,}4-a)(a+2{,}4)+(1{,}9+a)(a-1{,}9)$; 4) $(17+a)(17-a)-(0{,}6-a)(a+0{,}6)$.

Қалай ойлаймыз. «$a$-ға тәуелді емес» дегеніміз: ықшамдағаннан кейін әріп қалмай, жай ғана сан шығады. Дәлелдеу үлгісі: ықшамдаймыз да, сан аламыз.

Шешуі.

1. $a^2-100+60-a^2=-40$.
2. $0{,}64+a^2-(a^2-0{,}25)=0{,}64+0{,}25=0{,}89$.
3. $(5{,}76-a^2)+(a^2-3{,}61)=2{,}15$.
4. $(289-a^2)-(0{,}36-a^2)=288{,}64$.

Жауабы: мәндері сәйкесінше $-40$; $0{,}89$; $2{,}15$; $288{,}64$ — әріп жоқ, демек, өрнектер $a$-ға тәуелді емес.

№ 31.11

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(x-1{,}6)(1{,}6+x)+5-x^2=2{,}44$; 2) $(2-0{,}9x)(0{,}9x+2)-10+0{,}81x^2=-6$; 3) $(x-1{,}5)(1{,}5+x)+(6-x)(6+x)=33{,}75$; 4) $(2{,}1-x)(x+2{,}1)-(5-x)(x+5)=-20{,}59$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағын ықшамдаймыз. Оң жақтағы сан шықса, тепе-теңдік дәлелденді.

Шешуі.

1. $x^2-2{,}56+5-x^2=2{,}44$ ✓.
2. $4-0{,}81x^2-10+0{,}81x^2=-6$ ✓.
3. $x^2-2{,}25+36-x^2=33{,}75$ ✓.
4. $4{,}41-x^2-25+x^2=-20{,}59$ ✓.

Жауабы: барлық тармақта сол жағы оң жағына тең, тепе-теңдіктер дәлелденді.

B деңгейі

№ 31.12

1) Тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары $x+2$ және $x-2$ өрнектерімен берілген. Тіктөртбұрыштың ауданын табу формуласын жазыңдар. $x=7$ см болғанда тіктөртбұрыштың ауданын есептеңдер. 2) Тіктөртбұрыш пішінді жер телімінің өлшемдері $3x+5$ және $3x-5$ өрнектерімен берілген. Жер телімінің ауданын табу формуласын жазыңдар. $x=6$ м болғанда жер телімінің ауданын есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Тіктөртбұрыштың ауданы — қабырғаларының көбейтіндісі. Бұл тағы да қосындының айырымға көбейтіндісі!

Шешуі.

1. $S=(x+2)(x-2)=x^2-4$. $x=7$ болғанда: $S=49-4=45$ см².
2. $S=(3x+5)(3x-5)=9x^2-25$. $x=6$ болғанда: $S=324-25=299$ м². (Тексеру: қабырғалары $23$ және $13$ м, $23\cdot 13=299$.)

Жауабы: 1) $S=x^2-4$, $45$ см²; 2) $S=9x^2-25$, $299$ м².

№ 31.13

Көбейтуді орындаңдар: 1) $(4a^2-y)(y+4a^2)$; 2) $(0{,}3b^3+x)(0{,}3b^3-x)$; 3) $(1{,}1c^2+z^2)(z^2-1{,}1c^2)$; 4) $(21d^2-k^3)(21d^2+k^3)$; 5) $(5a^3-4b^2)(4b^2+5a^3)$; 6) $(1{,}9c^4+6d)(6d-1{,}9c^4)$.

Қалай ойлаймыз. «Бірінші» және «екінші» өрнектерді табамыз. Әрқайсысын квадраттаймыз: $(4a^2)^2=16a^4$, $(0{,}3b^3)^2=0{,}09b^6$.

Шешуі.

1. $(4a^2)^2-y^2=16a^4-y^2$.
2. $0{,}09b^6-x^2$.
3. $(z^2-1{,}1c^2)(z^2+1{,}1c^2)=z^4-1{,}21c^4$.
4. $441d^4-k^6$.
5. $25a^6-16b^4$.
6. $(6d-1{,}9c^4)(6d+1{,}9c^4)=36d^2-3{,}61c^8$.

Жауабы: 1) $16a^4-y^2$; 2) $0{,}09b^6-x^2$; 3) $z^4-1{,}21c^4$; 4) $441d^4-k^6$; 5) $25a^6-16b^4$; 6) $36d^2-3{,}61c^8$.

№ 31.14

Көбейтуді орындаңдар: 1) $\left(\frac13a-\frac12b\right)\left(\frac13a+\frac12b\right)$; 2) $\left(1\frac47x^5-z^2\right)\left(1\frac47x^5+z^2\right)$; 3) $\left(\frac23m+\frac34n\right)\left(\frac23m-\frac34n\right)$; 4) $\left(m^6-2\frac13n^5\right)\left(2\frac13n^5+m^6\right)$.

Қалай ойлаймыз. Аралас сандарды бұрыс бөлшекке айналдырамыз: $1\frac47=\frac{11}7$, $2\frac13=\frac73$.

Шешуі.

1. $\frac19a^2-\frac14b^2$.
2. $\left(\frac{11}7\right)^2x^{10}-z^4=\frac{121}{49}x^{10}-z^4$ (яғни $2\frac{23}{49}x^{10}-z^4$).
3. $\frac49m^2-\frac9{16}n^2$.
4. $(m^6)^2-\left(\frac73n^5\right)^2=m^{12}-\frac{49}9n^{10}$.

Жауабы: 1) $\frac19a^2-\frac14b^2$; 2) $\frac{121}{49}x^{10}-z^4$; 3) $\frac49m^2-\frac9{16}n^2$; 4) $m^{12}-\frac{49}9n^{10}$.

№ 31.15

Көбейтуді орындаңдар: 1) $(0{,}2a-1{,}3b)(0{,}2a+1{,}3b)$; 2) $(0{,}1x^3+2{,}5z)(0{,}1x^3-2{,}5z)$; 3) $(a^5-b^2)(a^5+b^2)$; 4) $(x^4+y^3)(x^4-y^3)$; 5) $(7t^2-3y)(7t^2+3y)$; 6) $(4a^2+9c^4)(4a^2-9c^4)$.

Қалай ойлаймыз. Сол әдіс; дәрежені дәрежеге шығарғанда көрсеткіштерді көбейтеміз: $(a^5)^2=a^{10}$.

Шешуі.

1. $0{,}04a^2-1{,}69b^2$.
2. $0{,}01x^6-6{,}25z^2$.
3. $a^{10}-b^4$.
4. $x^8-y^6$.
5. $49t^4-9y^2$.
6. $16a^4-81c^8$.

Жауабы: 1) $0{,}04a^2-1{,}69b^2$; 2) $0{,}01x^6-6{,}25z^2$; 3) $a^{10}-b^4$; 4) $x^8-y^6$; 5) $49t^4-9y^2$; 6) $16a^4-81c^8$.

№ 31.16

Көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $x^3-100x$; 2) $2y^3-32y$; 3) $0{,}16y^6-y^4$; 4) $\frac23x^5-\frac8{27}x^3$; 5) $\frac9{16}x^4-\frac{16}9x^2$; 6) $3y^5-\frac3{25}y^7$; 7) $x^4-0{,}49y^2$; 8) $-0{,}64z^4+t^6$; 9) $0{,}81a^8-b^2$; 10) $\frac{361}{400}m^2-n^{10}$; 11) $c^6-\frac{289}{324}d^4$; 12) $5{,}76x^{12}-\frac4{81}y^8$.

Қалай ойлаймыз. Ортақ көбейткіш болса, оны алдымен жақша сыртына шығарамыз. Содан кейін жақша ішінде квадраттар айырымы бар-жоғын қараймыз. 7–12-тармақтарда ортақ көбейткіш жоқ, бірден формуланы қолданамыз.

Шешуі.

1. $x(x^2-100)=x(x-10)(x+10)$.
2. $2y(y^2-16)=2y(y-4)(y+4)$.
3. $y^4(0{,}16y^2-1)=y^4(0{,}4y-1)(0{,}4y+1)$.
4. $\frac23x^3\left(x^2-\frac49\right)=\frac23x^3\left(x-\frac23\right)\left(x+\frac23\right)$.
5. $x^2\left(\frac9{16}x^2-\frac{16}9\right)=x^2\left(\frac34x-\frac43\right)\left(\frac34x+\frac43\right)$.
6. $3y^5\left(1-\frac{y^2}{25}\right)=3y^5\left(1-\frac y5\right)\left(1+\frac y5\right)$.
7. $(x^2-0{,}7y)(x^2+0{,}7y)$.
8. $t^6-0{,}64z^4=(t^3-0{,}8z^2)(t^3+0{,}8z^2)$.
9. $(0{,}9a^4-b)(0{,}9a^4+b)$.
10. $\left(\frac{19}{20}m-n^5\right)\left(\frac{19}{20}m+n^5\right)$.
11. $\left(c^3-\frac{17}{18}d^2\right)\left(c^3+\frac{17}{18}d^2\right)$.
12. $\left(2{,}4x^6-\frac29y^4\right)\left(2{,}4x^6+\frac29y^4\right)$.

Жауабы: шешуін қара.

№ 31.17

Көпмүшені көбейтінді түрінде жазыңдар: 1) $m^2-n^2-m+n$; 2) $9x^2-4y^2-3x+2y$; 3) $x^3+3x^2-4x-12$; 4) $81-(3-8y)^2$; 5) $(x+5)^2-16$; 6) $36-(y+1)^2$; 7) $(3x-7)^2-25$; 8) $(4-5x)^2-64$.

Қалай ойлаймыз. 1–3-тармақтарда қосылғыштарды топтап, бір топқа формуланы қолданамыз. 4–8-тармақтарда бүкіл «үлкен жақша» — бір квадрат, мысалы, $(3-8y)^2$.

Шешуі.

1. $(m^2-n^2)-(m-n)=(m-n)(m+n)-(m-n)=(m-n)(m+n-1)$.
2. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $(3x-2y)(3x+2y-1)$.
3. $x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x^2-4)=(x+3)(x-2)(x+2)$.
4. $9^2-(3-8y)^2=(9-3+8y)(9+3-8y)=(6+8y)(12-8y)$.
5. $(x+5-4)(x+5+4)=(x+1)(x+9)$.
6. $(6-y-1)(6+y+1)=(5-y)(7+y)$.
7. $(3x-7-5)(3x-7+5)=(3x-12)(3x-2)=3(x-4)(3x-2)$.
8. $(4-5x-8)(4-5x+8)=(-4-5x)(12-5x)$.

Жауабы: 1) $(m-n)(m+n-1)$; 2) $(3x-2y)(3x+2y-1)$; 3) $(x+3)(x-2)(x+2)$; 4) $(6+8y)(12-8y)$; 5) $(x+1)(x+9)$; 6) $(5-y)(7+y)$; 7) $(3x-12)(3x-2)$; 8) $(-4-5x)(12-5x)$.

№ 31.18

Есептеңдер: 1) $\frac{20^2-13^2}{31^2-24^2}$; 2) $\frac{17^2-22^2}{49^2-10^2}$; 3) $\frac{37^2-47^2}{72^2-12^2}$; 4) $\frac{100^2-60^2}{70^2-90^2}$.

Қалай ойлаймыз. Алымы да, бөлімі де — квадраттар айырымы. Жіктеп, бірдей көбейткіштерді қысқартамыз.

Шешуі.

1. $\frac{(20-13)(20+13)}{(31-24)(31+24)}=\frac{7\cdot 33}{7\cdot 55}=\frac{33}{55}=\frac35=0{,}6$.
2. $\frac{(17-22)(17+22)}{(49-10)(49+10)}=\frac{-5\cdot 39}{39\cdot 59}=-\frac5{59}$.
3. $\frac{(37-47)(37+47)}{(72-12)(72+12)}=\frac{-10\cdot 84}{60\cdot 84}=-\frac16$.
4. $\frac{(100-60)(100+60)}{(70-90)(70+90)}=\frac{40\cdot 160}{-20\cdot 160}=-2$.

Жауабы: 1) $0{,}6$; 2) $-\frac5{59}$; 3) $-\frac16$; 4) $-2$. Оқулықтағы жауаппен сәйкес келеді.

№ 31.19

Есептеңдер: 1) $\frac{38^2-28^2}{47^2-19^2}$; 2) $\frac{53^2-25^2}{79^2-51^2}$; 3) $\frac{181^2-61^2}{319^2-77^2}$; 4) $\frac{200^2-380^2}{420^2-160^2}$.

Шешуі.

1. $\frac{10\cdot 66}{28\cdot 66}=\frac{10}{28}=\frac5{14}$.
2. $\frac{28\cdot 78}{28\cdot 130}=\frac{78}{130}=\frac35=0{,}6$.
3. $\frac{120\cdot 242}{242\cdot 396}=\frac{120}{396}=\frac{10}{33}$.
4. $\frac{(-180)\cdot 580}{260\cdot 580}=-\frac{180}{260}=-\frac9{13}$.

Қалай ойлаймыз. Сол әдіс: квадраттар айырымдарының екеуін де жіктейміз, бірдей көбейткішті қысқартамыз.

Жауабы: 1) $\frac5{14}$; 2) $0{,}6$; 3) $\frac{10}{33}$; 4) $-\frac9{13}$. Оқулықтағы жауаппен сәйкес келеді (оқулықта 4-тармақ $-\frac9{13}$).

№ 31.20

Көбейтіндіні көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $(5-a)(5+a)(25+a^2)$; 2) $(3x+2)(3x-2)(9x^2+4)$; 3) $\left(\frac13+2b\right)\left(\frac13-2b\right)\left(\frac19+4b^2\right)$; 4) $\left(6c^2-\frac27\right)\left(6c^2+\frac27\right)\left(36c^4+\frac4{49}\right)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бірінші екі жақшаны формуламен көбейтеміз, содан кейін нәтижені үшіншіге көбейтеміз: тағы да квадраттар айырымы шығады.

Шешуі.

1. $(25-a^2)(25+a^2)=625-a^4$.
2. $(9x^2-4)(9x^2+4)=81x^4-16$.
3. $\left(\frac19-4b^2\right)\left(\frac19+4b^2\right)=\frac1{81}-16b^4$.
4. $\left(36c^4-\frac4{49}\right)\left(36c^4+\frac4{49}\right)=1296c^8-\frac{16}{2401}$.

Жауабы: 1) $625-a^4$; 2) $81x^4-16$; 3) $\frac1{81}-16b^4$; 4) $1296c^8-\frac{16}{2401}$.

№ 31.21

Көбейтіндіні көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $(a-y)(a+y)(a^2+y^2)$; 2) $(7x+1)(7x-1)(49x^2+1)$; 3) $(x-6y^3)^2-(x+6y^3)^2$; 4) $(8+x^3)(8-x^3)(64+x^6)$; 5) $(25x^2+y^2)(5x+y)(5x-y)$; 6) $(16a^4+81b^4)(9b^2+4a^2)(4a^2-9b^2)$.

Қалай ойлаймыз. 3-тармақта екі өрнектің квадраттарының айырымы бар: $(\ldots)^2-(\ldots)^2$. Формуланы жақшалардың өзіне қолданамыз.

Шешуі.

1. $(a^2-y^2)(a^2+y^2)=a^4-y^4$.
2. $(49x^2-1)(49x^2+1)=2401x^4-1$.
3. $\big[(x-6y^3)-(x+6y^3)\big]\big[(x-6y^3)+(x+6y^3)\big]=(-12y^3)(2x)=-24xy^3$.
4. $(64-x^6)(64+x^6)=4096-x^{12}$.
5. $(25x^2+y^2)(25x^2-y^2)=625x^4-y^4$.
6. $(4a^2+9b^2)(4a^2-9b^2)=16a^4-81b^4$, сонан кейін $(16a^4+81b^4)(16a^4-81b^4)=256a^8-6561b^8$.

Жауабы: 1) $a^4-y^4$; 2) $2401x^4-1$; 3) $-24xy^3$; 4) $4096-x^{12}$; 5) $625x^4-y^4$; 6) $256a^8-6561b^8$.

C деңгейі

Әрі қарай күрделірек есептер. Бірден шықпаса, қынжылма: талпынғаның үшін бөлек бонус!

№ 31.22

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $x^4-3x^3-x^2+3x=0$; 2) $x^5-x^4-x+1=0$; 3) $(1-3x)^2=(3x+5)^2-96$; 4) $\left(\frac12-5x\right)^2+\frac34=(5x-4)^2$; 5) $x(x+2)-(x+3)(x-3)=13$; 6) $4x(x-1)-(2x+5)(2x-5)=1$.

Қалай ойлаймыз. 1–2-тармақтарда сол жағын көбейткіштерге жіктейміз. 3–6-тармақтарда жақшаларды ашамыз, бәрін бір жаққа шығарамыз да, сызықтық теңдеуді шешеміз.

Шешуі.

1. Жоғарыдағы қадамдарды қара.
2. $x^4(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^4-1)=(x-1)(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)^2(x+1)(x^2+1)$. $x^2+1$ көбейткіші ешқашан нөлге тең болмайды. Түбірлері: $1$ және $-1$.
3. $1-6x+9x^2=9x^2+30x+25-96$, демек $1-6x=30x-71$, $72=36x$, $x=2$.
4. $\frac14-5x+25x^2+\frac34=25x^2-40x+16$, демек $1-5x=-40x+16$, $35x=15$, $x=\frac37$.
5. $x^2+2x-(x^2-9)=13$, демек $2x+9=13$, $x=2$.
6. $4x^2-4x-(4x^2-25)=1$, демек $-4x+25=1$, $x=6$.

Жауабы: 1) ${-1;0;1;3}$; 2) ${-1;1}$; 3) ${2}$; 4) $\left{\frac37\right}$; 5) ${2}$; 6) ${6}$. 1, 2, 5, 6-тармақтар оқулықтағы жауаппен сәйкес келеді.

№ 31.23

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $(10-x)(x+10)+x^2\le x+90$; 2) $y^2-(y-8)(8+y)-4>32-y$; 3) $x(x+0{,}3)-(x-0{,}3)(x+0{,}3)\ge 0{,}1$; 4) $27-(1{,}2-y)(-y-1{,}2)<1{,}44-y^2-y$.

Қалай ойлаймыз. Екі жағын да формуламен ықшамдаймыз: квадраттар, әдетте, жойылады. Сызықтық теңсіздік қалады.

Шешуі.

1. $100-x^2+x^2\le x+90$, демек $100\le x+90$, $x\ge 10$.
2. $y^2-(y^2-64)-4>32-y$, демек $60>32-y$, $y>-28$.
3. $x^2+0{,}3x-x^2+0{,}09\ge 0{,}1$, демек $0{,}3x\ge 0{,}01$, $x\ge\frac1{30}$.
4. $(1{,}2-y)(-y-1{,}2)=-(1{,}2-y)(1{,}2+y)=-(1{,}44-y^2)$, демек $27+1{,}44-y^2<1{,}44-y^2-y$, $27<-y$, $y<-27$.

Жауабы: 1) $[10;+\infty)$; 2) $(-28;+\infty)$; 3) $\left[\frac1{30};+\infty\right)$; 4) $(-\infty;-27)$. Оқулықтағы жауаппен сәйкес келеді.

№ 31.24

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(1+a)(1-a)(1+a^2)-5+a^4=-4$; 2) $5a^2-3(a+1)(a-1)+8a^2+5=10a^2+8$; 3) $7(a^2+2)-4(a+3)(a-3)+3a^2+24=6a^2+74$; 4) $10(a^2-15)-12(a-4)(a+4)+8-a^2=50-3a^2$.

Қалай ойлаймыз. Тек сол жағын ықшамдап, оң жағымен салыстырамыз.

Шешуі.

1. $(1-a^2)(1+a^2)-5+a^4=1-a^4-5+a^4=-4$ ✓.
2. $5a^2-3(a^2-1)+8a^2+5=5a^2-3a^2+3+8a^2+5=10a^2+8$ ✓.
3. $7a^2+14-4(a^2-9)+3a^2+24=7a^2+14-4a^2+36+3a^2+24=6a^2+74$ ✓.
4. $10a^2-150-12(a^2-16)+8-a^2=10a^2-150-12a^2+192+8-a^2=50-3a^2$ ✓.

Жауабы: төрт тепе-теңдік те дәлелденді.

№ 31.25

1) $25a^4x^2z^{10}-9b^6y^2z^{10}$; 2) $(9a^4-4b^6)a^2b^2-12a^2b^8$ өрнегін көбейтінді түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ортақ көбейткішті шығарамыз, содан кейін квадраттар айырымын қолданамыз.

Шешуі.

1. $z^{10}(25a^4x^2-9b^6y^2)=z^{10}(5a^2x-3b^3y)(5a^2x+3b^3y)$.
2. $a^2b^2(9a^4-4b^6-12b^6)=a^2b^2(9a^4-16b^6)=a^2b^2(3a^2-4b^3)(3a^2+4b^3)$.

Жауабы: 1) $z^{10}(5a^2x-3b^3y)(5a^2x+3b^3y)$; 2) $a^2b^2(3a^2-4b^3)(3a^2+4b^3)$.

№ 31.26

$k$-ның қандай ең кіші натурал мәнінде: 1) $(k-3)^2-(k+3)^2$ өрнегі 15-ке; 2) $(7k+2)^2-(7k-2)^2$ өрнегі 21-ге бөлінеді?

Қалай ойлаймыз. Өрнекті формуламен ықшамдаймыз, содан кейін бөлінгіштік туралы ойлаймыз.

Шешуі.

1. $(k-3-k-3)(k-3+k+3)=(-6)(2k)=-12k$. $12k$ саны 15-ке бөлінеді, егер $4k$ саны 5-ке бөлінсе ($12=3\cdot 4$, ал 3 15-тің ішінде бар). Демек, $k$ саны 5-ке еселі. Ең кішісі: $k=5$ (тексеру: $12\cdot 5=60=15\cdot 4$).
2. $(7k+2-7k+2)(7k+2+7k-2)=4\cdot 14k=56k$. $56=7\cdot 8$, ал $21=3\cdot 7$. Жеті бар, $8k$ санының 3-ке бөлінуі керек, яғни $k$ саны 3-ке еселі. Ең кішісі: $k=3$ (тексеру: $56\cdot 3=168=21\cdot 8$).

Жауабы: 1) $k=5$; 2) $k=3$.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 31.27

Шаршы қабырғасының ұзындығы 13 см. Шаршы қабырғасының ұзындығын 2 см-ге арттырған. Шыққан шаршының ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жаңа қабырға: $13+2=15$ см. Бұл — қосындының квадраты $(a+b)^2$ формуласына дайындық.

Шешуі. $(13+2)^2=15^2=225$ см².

Жауабы: $225$ см².

№ 31.28

$4a^2-4a+1$ өрнегіне топтау тәсілін қолданып, екі бірдей көбейткіштерге жіктеңдер.

Қалай ойлаймыз. Ортаңғы $-4a$ мүшесін екі қосылғышқа бөлеміз: $-2a-2a$.

Шешуі. $4a^2-2a-2a+1=2a(2a-1)-(2a-1)=(2a-1)(2a-1)=(2a-1)^2$.

Жауабы: $(2a-1)(2a-1)=(2a-1)^2$. Бұл келесі параграфтағы айырымның квадраты формуласының хабаршысы!

Жадынама

• «Қосындының айырымға көбейтіндісін» көрсең, бірден «біріншінің квадраты минус екіншінің квадраты» деп жаз.
• Екі квадраттың арасында «минус» көрсең, $(\ldots-\ldots)(\ldots+\ldots)$ түрінде жікте.
• Ортақ көбейткіш болса, оны ертерек жақша сыртына шығар.
• $(a-b)^2\ne a^2-b^2$: бұлар әртүрлі өрнектер.
• Дәреженің квадраты: $(a^3)^2=a^6$.

Шағын тест