§ 32. Екі өрнектің қосындысының квадратының және айырымының квадратының формулалары

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 5 бөлім: Қысқаша көбейту формулалары. 187–195-беттер.

Нені үйренесің

• $(a+b)^2$ және $(a-b)^2$ жақшаларын «әрқайсысын әрқайсысына» көбейтпей, бірден ашуды.
• Үшмүшедегі «толық квадратты» танып, оны қайтадан жақшаға жинауды.
• $101^2$ және $98^2$ сияқты квадраттарды ойша есептеуді.
• Үшмүшелерді көбейткіштерге жіктеуді, өрнектерді ықшамдауды, жақшаның квадраты бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді.

Ой қозғау

Қажет болатынды еске түсірейік. Жауаптарды басып ашуға болады.

• $(a+b)^2$ дегеніміз не? Бұл $(a+b)\cdot(a+b)$: жақшаның өзіне көбейтіндісі.
• $(a-b)(a+b)$ неге тең? $a^2-b^2$: ортаңғы қосылғыштар қысқарады (бұл § 31).
• $(5n)^2$ қалай квадраттаймыз? $25n^2$: санды да, әріпті де квадраттаймыз.
• $1{,}96$ санын квадрат түрінде қалай жазамыз? $1{,}96=1{,}4^2$.
• $(x+3)(x+3)$ «әрқайсысын әрқайсысына» ережесімен қалай көбейтіледі? $x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$.

Тақырыпты талдаймыз

$(a+b)^2$ неге $a^2+b^2$ емес

Жақшаны өзіне көбейтейік:

$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2.$

Екі бірдей $ab$ қосылғышы қысқармайды, қосылады. «Екі еселенген көбейтінді» $2ab$ осыдан шығады.

📌 Қосындының квадраты: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Сөзбен: екі өрнектің қосындысының квадраты бірінші өрнектің квадраты плюс бірінші өрнек пен екінші өрнектің екі еселенген көбейтіндісі плюс екінші өрнектің квадратына тең.

Формуланы көзбен көрейік

Жер телімі — қабырғасы $a+b$ шаршы. $a=4$ м, $b=2$ м болсын. Сонда қабырғасы $6$ м, ауданы $36$ м². Телімді төрт бөлікке кесеміз: $a^2=16$ шаршы, $ab=8$ екі тіктөртбұрыш және кішкентай $b^2=4$ шаршы. Қосындысы: $16+8+8+4=36$. Сәйкес келеді!

⚠️ Жиі кететін қате. $(a+b)^2\ne a^2+b^2$. Суретте екі $ab$ тіктөртбұрышының жоғалып кеткені көрініп тұр. Сандармен тексер: $(4+2)^2=36$, ал $4^2+2^2=20$.

Айырымның квадраты

$b$ орнына $-b$ қойсақ, минус үшін формула шығады:

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$

Оқулықта сұралғандай, өзіміз дәлелдейік: $(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$.

📌 Айырымның квадраты: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Қосындыдан айырмашылығы біреу ғана: $2ab$ алдында минус тұр. Екі формуланы бір теңдікпен жазуға болады: $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$.

Геометрия: қабырғасы $a=5$ шаршыны алып, ені $b=2$ жолақтарды алып тастаймыз. Квадраты $(a-b)^2=9$ шаршы қалады. Бүтін $25$ шаршы $(a-b)^2=9$-дан, $(a-b)\cdot b=6$ екі тіктөртбұрыштан және $b^2=4$ шаршыдан құралады: $9+6+6+4=25$.

Формулаларды екі бағытта оқимыз

Солдан оңға: жақшаларды ашамыз. Мысалы: $(5n+2m)^2=25n^2+20nm+4m^2$. Мұнда $a=5n$, $b=2m$, ал $2ab=2\cdot5n\cdot2m=20nm$.

Оңнан солға: үшмүшені «жинаймыз». Мысалы: $0{,}49c^2+1{,}4cd+d^2$. Бірінші мүше $(0{,}7c)^2$, соңғысы $d^2$, ал ортаңғысы $1{,}4cd=2\cdot0{,}7c\cdot d$. Демек, бұл $(0{,}7c+d)^2$.

Теориядан тағы екі үлгі:

• $\left(\frac17n-3m^2\right)^2=\frac1{49}n^2-\frac67nm^2+9m^4$;
• $0{,}36a^6-9{,}6a^3b+64b^2=(0{,}6a^3-8b)^2$.

💡 Үшмүше толық квадрат болады, егер екі мүшесі нақты квадрат болса, ал ортаңғысы олардың түбірлерінің екі еселенген көбейтіндісіне тең болса. Тең болмаса, жинауға болмайды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан $(a+b)^2$ өрнегінде $2ab$ қайдан шыққанын екі тіктөртбұрышы бар сурет бойынша түсіндіруін сұраңыз. Суретті түсінген бала бұл формуланы $a^2+b^2$ деп шатастырмайды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қосындының квадраты мен айырымының квадраты формулаларының ұқсастығы мен айырмашылығын ата. Екеуі де үшмүше береді: біріншінің квадраты, екі еселенген көбейтінді, екіншінің квадраты. Айырмашылығы біреу ғана: қосындыда $2ab$ алдында плюс, айырымда минус тұр. Соңғы мүше $b^2$ әрдайым плюспен.
• Формуланы солдан оңға немесе оңнан солға қолдану неге байланысты? Өрнектің түріне байланысты. Квадраттағы жақшаны көрсең, аш (солдан оңға). Екі нақты квадраты және дұрыс ортаңғы мүшесі бар үшмүшені көрсең, жина (оңнан солға).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 32.1

Көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $(m-3)^2$; 2) $(x+5)^2$; 3) $(6+y)^2$; 4) $(b-9)^2$; 5) $(4+d)^2$; 6) $(p+q)^2$; 7) $(z^2-y)^2$; 8) $(a+1)^2$.

Қалай ойлаймыз. $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ формуласын аламыз: біріншінің квадраты, екі еселенген көбейтінді, екіншінің квадраты.

Шешуі.

1. $m^2-2\cdot m\cdot3+9=m^2-6m+9$.
2. $x^2+10x+25$.
3. $36+12y+y^2$.
4. $b^2-18b+81$.
5. $16+8d+d^2$.
6. $p^2+2pq+q^2$.
7. $(z^2)^2-2z^2y+y^2=z^4-2z^2y+y^2$.
8. $a^2+2a+1$.

Жауабы: 1) $m^2-6m+9$; 2) $x^2+10x+25$; 3) $36+12y+y^2$; 4) $b^2-18b+81$; 5) $16+8d+d^2$; 6) $p^2+2pq+q^2$; 7) $z^4-2z^2y+y^2$; 8) $a^2+2a+1$.

№ 32.2

Көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $\left(a+\frac17\right)^2$; 2) $\left(\frac19+b\right)^2$; 3) $\left(\frac n4+\frac m3\right)^2$; 4) $\left(\frac k2-\frac t5\right)^2$; 5) $\left(4\frac13-x\right)^2$; 6) $\left(y+3\frac14\right)^2$; 7) $\left(z-5\frac15\right)^2$; 8) $\left(4\frac12+t\right)^2$.

Қалай ойлаймыз. Сол әрекет, тек бөлшектермен. Аралас сандарды алдымен бұрыс бөлшекке айналдырамыз: $4\frac13=\frac{13}3$.

Шешуі.

1. $a^2+\frac27a+\frac1{49}$.
2. $\frac1{81}+\frac29b+b^2$.
3. $\frac{n^2}{16}+2\cdot\frac n4\cdot\frac m3+\frac{m^2}9=\frac{n^2}{16}+\frac{nm}6+\frac{m^2}9$.
4. $\frac{k^2}4-\frac{kt}5+\frac{t^2}{25}$.
5. $\left(\frac{13}3-x\right)^2=\frac{169}9-\frac{26}3x+x^2=18\frac79-8\frac23x+x^2$.
6. $\left(y+\frac{13}4\right)^2=y^2+\frac{13}2y+\frac{169}{16}=y^2+6\frac12y+10\frac9{16}$.
7. $\left(z-\frac{26}5\right)^2=z^2-\frac{52}5z+\frac{676}{25}=z^2-10\frac25z+27\frac1{25}$.
8. $\left(\frac92+t\right)^2=\frac{81}4+9t+t^2=20\frac14+9t+t^2$.

Жауабы: 1) $a^2+\frac27a+\frac1{49}$; 2) $\frac1{81}+\frac29b+b^2$; 3) $\frac{n^2}{16}+\frac{nm}6+\frac{m^2}9$; 4) $\frac{k^2}4-\frac{kt}5+\frac{t^2}{25}$; 5) $\frac{169}9-\frac{26}3x+x^2$; 6) $y^2+\frac{13}2y+\frac{169}{16}$; 7) $z^2-\frac{52}5z+\frac{676}{25}$; 8) $\frac{81}4+9t+t^2$.

№ 32.3

Дәреженің негізін қосынды немесе айырым түрінде жазып, мәнін есептеңдер: 1) $101^2$; 2) $102^2$; 3) $103^2$; 4) $104^2$; 5) $99^2$; 6) $98^2$; 7) $97^2$; 8) $96^2$.

Қалай ойлаймыз. 100-ге жуық санды $100\pm$ кіші сан түрінде жазамыз да, формуланы қолданамыз.

Шешуі.

1. $(100+1)^2=10,000+200+1=10,201$.
2. $(100+2)^2=10,000+400+4=10,404$.
3. $(100+3)^2=10,000+600+9=10,609$.
4. $(100+4)^2=10,000+800+16=10,816$.
5. $(100-1)^2=10,000-200+1=9801$.
6. $(100-2)^2=10,000-400+4=9604$.
7. $(100-3)^2=10,000-600+9=9409$.
8. $(100-4)^2=10,000-800+16=9216$.

Жауабы: 1) $10,201$; 2) $10,404$; 3) $10,609$; 4) $10,816$; 5) $9801$; 6) $9604$; 7) $9409$; 8) $9216$.

№ 32.4

Үшмүшені екімүшенің қосындысының квадраты түрінде жазыңдар: 1) $a^2+2a+1$; 2) $b^2-8b+16$; 3) $c^2+10c+25$; 4) $n^2+14n+49$; 5) $100-20z+z^2$; 6) $81+18b+b^2$.

Қалай ойлаймыз. Екі нақты квадратты табамыз, ал ортаңғы мүшені екі еселенген көбейтіндімен салыстырамыз. Жақшадағы таңбаны ортаңғы мүшеге қарап аламыз.

Шешуі.

1. $a^2+2\cdot a\cdot1+1^2=(a+1)^2$.
2. $b^2-2\cdot b\cdot4+4^2=(b-4)^2$.
3. $c^2+2\cdot c\cdot5+5^2=(c+5)^2$.
4. $n^2+2\cdot n\cdot7+7^2=(n+7)^2$.
5. $10^2-2\cdot10\cdot z+z^2=(10-z)^2$.
6. $9^2+2\cdot9\cdot b+b^2=(9+b)^2$.

Жауабы: 1) $(a+1)^2$; 2) $(b-4)^2$; 3) $(c+5)^2$; 4) $(n+7)^2$; 5) $(10-z)^2$; 6) $(9+b)^2$.

№ 32.5

Үшмүшені екімүшенің квадраты түрінде жазыңдар: 1) $0{,}16-0{,}8t+t^2$; 2) $z^2+1{,}4z+0{,}49$; 3) $0{,}36-1{,}2b+b^2$; 4) $2{,}25-3x+x^2$; 5) $y^2-3{,}2y+2{,}56$; 6) $3{,}61+3{,}8d+d^2$.

Қалай ойлаймыз. Ондық бөлшектер — нақты квадраттар: $0{,}16=0{,}4^2$, $2{,}25=1{,}5^2$, $2{,}56=1{,}6^2$, $3{,}61=1{,}9^2$.

Шешуі.

1. $0{,}4^2-2\cdot0{,}4\cdot t+t^2=(0{,}4-t)^2$.
2. $z^2+2\cdot z\cdot0{,}7+0{,}7^2=(z+0{,}7)^2$.
3. $(0{,}6-b)^2$: $2\cdot0{,}6\cdot b=1{,}2b$.
4. $(1{,}5-x)^2$: $2\cdot1{,}5\cdot x=3x$.
5. $(y-1{,}6)^2$: $2\cdot1{,}6=3{,}2$.
6. $(1{,}9+d)^2$: $2\cdot1{,}9=3{,}8$.

Жауабы: 1) $(0{,}4-t)^2$; 2) $(z+0{,}7)^2$; 3) $(0{,}6-b)^2$; 4) $(1{,}5-x)^2$; 5) $(y-1{,}6)^2$; 6) $(1{,}9+d)^2$.

№ 32.6

Үшмүшені екімүшенің квадраты түрінде жазыңдар: 1) $\frac49+\frac43a+a^2$; 2) $\frac9{25}+\frac65b+b^2$; 3) $\frac{16}{49}+\frac87c+c^2$; 4) $\frac{100}{121}k^2-\frac{20}{11}tk+t^2$; 5) $m^2-\frac{22}{13}mn+\frac{121}{169}n^2$; 6) $\frac{400}{441}t^2+\frac{40}{21}nt+n^2$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектің түбірі — алымының түбірі мен бөлімінің түбірі: $\sqrt{\frac49}=\frac23$. Содан кейін ортаңғы мүшені тексереміз.

Шешуі.

1. $\left(\frac23\right)^2+2\cdot\frac23\cdot a+a^2$: $2\cdot\frac23=\frac43$ дұрыс. Нәтижесі $\left(\frac23+a\right)^2$.
2. $\left(\frac35+b\right)^2$: $2\cdot\frac35=\frac65$.
3. $\left(\frac47+c\right)^2$: $2\cdot\frac47=\frac87$.
4. $\left(\frac{10}{11}k-t\right)^2$: $2\cdot\frac{10}{11}=\frac{20}{11}$.
5. $\left(m-\frac{11}{13}n\right)^2$: $2\cdot\frac{11}{13}=\frac{22}{13}$.
6. $\left(\frac{20}{21}t+n\right)^2$: $2\cdot\frac{20}{21}=\frac{40}{21}$.

Жауабы: 1) $\left(\frac23+a\right)^2$; 2) $\left(\frac35+b\right)^2$; 3) $\left(\frac47+c\right)^2$; 4) $\left(\frac{10}{11}k-t\right)^2$; 5) $\left(m-\frac{11}{13}n\right)^2$; 6) $\left(\frac{20}{21}t+n\right)^2$.

№ 32.7

Үшмүшені екімүшенің квадраты түрінде жазыңдар: 1) $\frac{25}4+5x+x^2$; 2) $\frac9{16}-\frac32y+y^2$; 3) $\frac{49}{36}-\frac73z+z^2$; 4) $n^2-\frac94cn+\frac{81}{64}c^2$; 5) $m^2+\frac{11}6m+\frac{121}{144}$; 6) $t^2-\frac{17}5dt+\frac{289}{100}d^2$.

Қалай ойлаймыз. Сол тәсіл: шеткі мүшелерден түбір аламыз, содан кейін ортаңғысын тексереміз.

Шешуі.

1. $\left(\frac52+x\right)^2$: $2\cdot\frac52=5$.
2. $\left(\frac34-y\right)^2$: $2\cdot\frac34=\frac32$.
3. $\left(\frac76-z\right)^2$: $2\cdot\frac76=\frac73$.
4. $\left(n-\frac98c\right)^2$: $2\cdot\frac98=\frac94$.
5. $\left(\frac{11}{12}+m\right)^2$: $2\cdot\frac{11}{12}=\frac{11}6$.
6. $\left(t-\frac{17}{10}d\right)^2$: $2\cdot\frac{17}{10}=\frac{17}5$.

Жауабы: 1) $\left(\frac52+x\right)^2$; 2) $\left(\frac34-y\right)^2$; 3) $\left(\frac76-z\right)^2$; 4) $\left(n-\frac98c\right)^2$; 5) $\left(\frac{11}{12}+m\right)^2$; 6) $\left(t-\frac{17}{10}d\right)^2$. 1, 4, 5-тармақтар оқулықтағы жауаппен сәйкес келеді.

№ 32.8

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(x+5)\cdot6+(x-3)^2$; 2) $(y-4)^2-(y+2)\cdot8$; 3) $26-a^2-(5-a)^2$; 4) $(k+7)^2-14k-50$; 5) $0{,}3+b^2-(b-0{,}5)^2$; 6) $15+(0{,}4+c)^2-0{,}8c^2$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаларды формула бойынша ашамыз (жақша алдындағы минусты ұмытпа!) және ұқсас қосылғыштарды біріктіреміз.

Шешуі.

1. $6x+30+x^2-6x+9=x^2+39$.
2. $y^2-8y+16-8y-16=y^2-16y$.
3. $26-a^2-(25-10a+a^2)=26-a^2-25+10a-a^2=-2a^2+10a+1$.
4. $k^2+14k+49-14k-50=k^2-1$.
5. $0{,}3+b^2-(b^2-b+0{,}25)=0{,}3+b-0{,}25=b+0{,}05$.
6. $15+0{,}16+0{,}8c+c^2-0{,}8c^2=0{,}2c^2+0{,}8c+15{,}16$.

Жауабы: 1) $x^2+39$; 2) $y^2-16y$; 3) $-2a^2+10a+1$; 4) $k^2-1$; 5) $b+0{,}05$; 6) $0{,}2c^2+0{,}8c+15{,}16$.

№ 32.9

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(a-4b)^2-8ab-17b$; 2) $-9c^2+(3c+d)^2-d^2$; 3) $(5a-6)^2-(5a-6)(5a+6)$; 4) $(7b-t)(t+7b)+(7b+t)^2$; 5) $(9-8b)(2b+3)+(4b-1)^2$; 6) $(11c+3)^2-2c(5{,}5c+33)$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда екі формула араласқан: қосындының немесе айырымның квадраты және квадраттар айырымы (§ 31).

Шешуі.

1. $a^2-8ab+16b^2-8ab-17b=a^2-16ab+16b^2-17b$.
2. $-9c^2+9c^2+6cd+d^2-d^2=6cd$.
3. $25a^2-60a+36-(25a^2-36)=-60a+72$.
4. $(7b-t)(7b+t)=49b^2-t^2$; $(7b+t)^2=49b^2+14bt+t^2$; қосындысы $98b^2+14bt$.
5. $(9-8b)(2b+3)=18b+27-16b^2-24b=-16b^2-6b+27$; $(4b-1)^2=16b^2-8b+1$; қосындысы $-14b+28$.
6. $121c^2+66c+9-11c^2-66c=110c^2+9$.

Жауабы: 1) $a^2-16ab+16b^2-17b$; 2) $6cd$; 3) $72-60a$; 4) $98b^2+14bt$; 5) $28-14b$; 6) $110c^2+9$.

№ 32.10

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $a(a-2b)-(3b+a)^2$; 2) $(m+8)^2-(m-2n)(m+2n)$; 3) $3(b-10)^2+8b-5b^2$; 4) $(n+15)^2-n(n-19)$; 5) $4c(9c-3)-(6c+1)^2$; 6) $(6-5m)(5m+6)+(5m-4)^2$.

Шешуі.

1. $a^2-2ab-9b^2-6ab-a^2=-8ab-9b^2$.
2. $m^2+16m+64-(m^2-4n^2)=16m+4n^2+64$.
3. $3(b^2-20b+100)+8b-5b^2=3b^2-60b+300+8b-5b^2=-2b^2-52b+300$.
4. $n^2+30n+225-n^2+19n=49n+225$.
5. $36c^2-12c-36c^2-12c-1=-24c-1$.
6. $(6-5m)(6+5m)=36-25m^2$; $(5m-4)^2=25m^2-40m+16$; қосындысы $52-40m$.

Жауабы: 1) $-8ab-9b^2$; 2) $16m+4n^2+64$; 3) $-2b^2-52b+300$; 4) $49n+225$; 5) $-24c-1$; 6) $52-40m$.

№ 32.11

Бірінші шаршының қабырғасының ұзындығы $x+3$, ал екінші шаршының қабырғасының ұзындығы $x-4$ өрнегімен берілген. 1) Әр шаршының ауданын табу формуласын жазыңдар. 2) Қабырғасының ұзындығы берілген екі шаршының қабырғаларының ұзындығына тең үшінші шаршының ауданын табу формуласын жазыңдар. 3) Егер $x=8$ см болса, онда әр шаршының ауданын есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Шаршының ауданы — қабырғасының квадраты. Үшінші шаршының қабырғасы: $(x+3)+(x-4)=2x-1$.

Шешуі.

1. $S_1=(x+3)^2=x^2+6x+9$; $S_2=(x-4)^2=x^2-8x+16$.
2. $S_3=(2x-1)^2=4x^2-4x+1$.
3. $x=8$ болғанда: $S_1=11^2=121$ см²; $S_2=4^2=16$ см²; $S_3=15^2=225$ см².

Жауабы: 1) $S_1=(x+3)^2$, $S_2=(x-4)^2$; 2) $S_3=(2x-1)^2$; 3) $121$ см², $16$ см², $225$ см².

№ 32.12

Екімүшенің қосындысының немесе айырымының квадраты түрінде жазыңдар: 1) $9y^2-12xy+4x^2$; 2) $25t^2+30t+9$; 3) $16k^2-40k+25$; 4) $121a^2-44ac+4c^2$; 5) $4n^2+52mn+169m^2$; 6) $36t^2-84ts+49s^2$; 7) $0{,}04x^2-1{,}2xy+9y^2$; 8) $36c^2+6cd+0{,}25d^2$; 9) $1{,}96k^2-14kt+25t^2$; 10) $\frac1{49}a^2+\frac2{21}ab+\frac19b^2$; 11) $\frac14x^2-\frac38xy+\frac9{64}y^2$; 12) $81d^2-\frac{27}2cd+\frac9{16}c^2$.

Қалай ойлаймыз. Бірінші және соңғы мүшелерден түбір аламыз, ал ортаңғысын тексереміз: ол осы түбірлердің екі еселенген көбейтіндісіне тең болуы керек.

Шешуі.

1. $(3y)^2-2\cdot3y\cdot2x+(2x)^2=(3y-2x)^2$.
2. $(5t)^2+2\cdot5t\cdot3+3^2=(5t+3)^2$.
3. $(4k-5)^2$: $2\cdot4\cdot5=40$.
4. $(11a-2c)^2$: $2\cdot11\cdot2=44$.
5. $(2n+13m)^2$: $2\cdot2\cdot13=52$.
6. $(6t-7s)^2$: $2\cdot6\cdot7=84$.
7. $(0{,}2x-3y)^2$: $2\cdot0{,}2\cdot3=1{,}2$.
8. $(6c+0{,}5d)^2$: $2\cdot6\cdot0{,}5=6$.
9. $(1{,}4k-5t)^2$: $2\cdot1{,}4\cdot5=14$.
10. $\left(\frac17a+\frac13b\right)^2$: $2\cdot\frac17\cdot\frac13=\frac2{21}$.
11. $\left(\frac12x-\frac38y\right)^2$: $2\cdot\frac12\cdot\frac38=\frac38$.
12. $\left(9d-\frac34c\right)^2$: $2\cdot9\cdot\frac34=\frac{27}2$.

Жауабы: 1) $(3y-2x)^2$; 2) $(5t+3)^2$; 3) $(4k-5)^2$; 4) $(11a-2c)^2$; 5) $(2n+13m)^2$; 6) $(6t-7s)^2$; 7) $(0{,}2x-3y)^2$; 8) $(6c+0{,}5d)^2$; 9) $(1{,}4k-5t)^2$; 10) $\left(\frac17a+\frac13b\right)^2$; 11) $\left(\frac12x-\frac38y\right)^2$; 12) $\left(9d-\frac34c\right)^2$.

№ 32.13

Үшмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $5x^2+20x+20$; 2) $2x^2-12x+18$; 3) $-3x^2+18x-27$; 4) $-2y^2-16y-32$; 5) $6x^2+12x+6$; 6) $-10a^2+20a-10$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарамыз (минус болса, минусымен бірге), ал жақшаның ішінде толық квадрат қалады.

Шешуі.

1. $5(x^2+4x+4)=5(x+2)^2$.
2. $2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$.
3. $-3(x^2-6x+9)=-3(x-3)^2$.
4. $-2(y^2+8y+16)=-2(y+4)^2$.
5. $6(x^2+2x+1)=6(x+1)^2$.
6. $-10(a^2-2a+1)=-10(a-1)^2$.

Жауабы: 1) $5(x+2)^2$; 2) $2(x-3)^2$; 3) $-3(x-3)^2$; 4) $-2(y+4)^2$; 5) $6(x+1)^2$; 6) $-10(a-1)^2$.

№ 32.14

Көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $a^3+2a^2+a$; 2) $x^2y-6xy+9y$; 3) $c^4-4c^3+4c^2$; 4) $2ay^2-4ay+2a$; 5) $\frac19a-\frac89ab+\frac{16}9ab^2$; 6) $0{,}5cd-acd+0{,}5a^2cd$.

Қалай ойлаймыз. Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарамыз, содан кейін толық квадрат.

Шешуі.

1. $a(a^2+2a+1)=a(a+1)^2$.
2. $y(x^2-6x+9)=y(x-3)^2$.
3. $c^2(c^2-4c+4)=c^2(c-2)^2$.
4. $2a(y^2-2y+1)=2a(y-1)^2$.
5. $\frac19a(1-8b+16b^2)=\frac19a(1-4b)^2$.
6. $0{,}5cd(1-2a+a^2)=0{,}5cd(1-a)^2$.

Жауабы: 1) $a(a+1)^2$; 2) $y(x-3)^2$; 3) $c^2(c-2)^2$; 4) $2a(y-1)^2$; 5) $\frac19a(1-4b)^2$; 6) $0{,}5cd(1-a)^2$.

№ 32.15

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(x+11)^2-x^2=11$; 2) $69-(13-y)^2=-y^2$; 3) $44+z^2=(12+z)^2$; 4) $31-t^2=-(t-9)^2$.

Қалай ойлаймыз. Квадратты ашамыз, сонда екі жақтағы $x^2$ қысқарады. Сызықтық теңдеу қалады.

Шешуі.

1. $x^2+22x+121-x^2=11$; $22x=-110$; $x=-5$.
2. $69-169+26y-y^2=-y^2$; $26y=100$; $y=\frac{50}{13}=3\frac{11}{13}$.
3. $44+z^2=144+24z+z^2$; $24z=-100$; $z=-\frac{25}6=-4\frac16$.
4. $31-t^2=-t^2+18t-81$; $18t=112$; $t=\frac{56}9=6\frac29$.

Жауабы: 1) $-5$; 2) $3\frac{11}{13}$; 3) $-4\frac16$; 4) $6\frac29$.

№ 32.16

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(a-3)^2-(a+8)(a-8)=0$; 2) $(9-b)(b+9)+(4-b)^2=0$; 3) $(c-6)^2-(7+c)^2=0$; 4) $(d-10)^2+(4-d)(d+4)=0$.

Шешуі.

1. $a^2-6a+9-a^2+64=0$; $73=6a$; $a=\frac{73}6=12\frac16$.
2. $81-b^2+16-8b+b^2=0$; $97=8b$; $b=\frac{97}8=12\frac18$.
3. $c^2-12c+36-49-14c-c^2=0$; $-26c=13$; $c=-\frac12$.
4. $d^2-20d+100+16-d^2=0$; $116=20d$; $d=5{,}8$.

Жауабы: 1) $12\frac16$; 2) $12\frac18$; 3) $-\frac12$; 4) $5{,}8$.

№ 32.17

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x(x-4)=2+(x-1)^2$; 2) $(x+2)(x-3)-3=(x+1)^2$; 3) $y(5-y)=1-(y+2)^2$; 4) $(y-1)^2-(y+1)(y-7)=0$.

Шешуі.

1. $x^2-4x=2+x^2-2x+1$; $-2x=3$; $x=-1{,}5$.
2. $x^2-x-6-3=x^2+2x+1$; $-3x=10$; $x=-\frac{10}3=-3\frac13$.
3. $5y-y^2=1-y^2-4y-4$; $9y=-3$; $y=-\frac13$.
4. $y^2-2y+1-(y^2-6y-7)=0$; $4y+8=0$; $y=-2$.

Жауабы: 1) $-1{,}5$; 2) $-3\frac13$; 3) $-\frac13$; 4) $-2$.

№ 32.18

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $n^2-(n+1)^2>2$; 2) $(1-t)^2-t^2>3$; 3) $(m-2)^2-4<m^2$; 4) $m^2+9<(1-m)^2$.

Қалай ойлаймыз. Квадраттар қысқарады, сызықтық теңсіздік қалады. Теріс санға бөлгенде теңсіздік таңбасын керісінше өзгертеміз!

Шешуі.

1. $n^2-n^2-2n-1>2$; $-2n>3$; $n<-1{,}5$.
2. $1-2t+t^2-t^2>3$; $-2t>2$; $t<-1$.
3. $m^2-4m+4-4<m^2$; $-4m<0$; $m>0$.
4. $m^2+9<1-2m+m^2$; $2m<-8$; $m<-4$.

Жауабы: 1) $\left(-\infty;-1\frac12\right)$; 2) $(-\infty;-1)$; 3) $(0;+\infty)$; 4) $(-\infty;-4)$.

№ 32.19

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $x(x-5)-(x-3)^2<0$; 2) $(4+y)^2-y(6+y)>0$; 3) $(17-y)^2>y(y-13)-5$; 4) $z(z-10)>(3-z)^2$.

Шешуі.

1. $x^2-5x-x^2+6x-9<0$; $x<9$.
2. $16+8y+y^2-6y-y^2>0$; $2y>-16$; $y>-8$.
3. $289-34y+y^2>y^2-13y-5$; $294>21y$; $y<14$.
4. $z^2-10z>9-6z+z^2$; $-4z>9$; $z<-2{,}25$.

Жауабы: 1) $(-\infty;9)$; 2) $(-8;+\infty)$; 3) $(-\infty;14)$; 4) $\left(-\infty;-2\frac14\right)$.

№ 32.20

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $(x+9)(x-2)-(x-2)^2>0$; 2) $(10-x)^2+(x+10)(10-x)<0$; 3) $(5-x)(x+5)+(x-5)^2>0$; 4) $8x+(4+x)(2-x)+(1-x)^2>0$.

Шешуі.

1. $x^2+7x-18-x^2+4x-4>0$; $11x>22$; $x>2$.
2. $100-20x+x^2+100-x^2<0$; $200<20x$; $x>10$.
3. $25-x^2+x^2-10x+25>0$; $50>10x$; $x<5$.
4. $8x+8-2x-x^2+1-2x+x^2>0$; $4x+9>0$; $x>-2{,}25$.

Жауабы: 1) $(2;+\infty)$; 2) $(10;+\infty)$; 3) $(-\infty;5)$; 4) $\left(-2\frac14;+\infty\right)$.

B деңгейі

№ 32.21

Дәрежені көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $(3x-8y)^2$; 2) $(7z+11d)^2$; 3) $(3{,}5t-4k)^2$; 4) $(5k+1{,}2t)^2$; 5) $\left(\frac23a-\frac37b\right)^2$; 6) $\left(\frac78c-\frac47d\right)^2$.

Қалай ойлаймыз. Формула сол, бірақ енді «бірінші» және «екінші» — өздері сандары бар екімүшелер. $a^2$, $2ab$, $b^2$ мәндерін бөлек есептейміз.

Шешуі.

1. $9x^2-2\cdot3x\cdot8y+64y^2=9x^2-48xy+64y^2$.
2. $49z^2+154zd+121d^2$.
3. $12{,}25t^2-28tk+16k^2$.
4. $25k^2+12kt+1{,}44t^2$.
5. $\frac49a^2-\frac47ab+\frac9{49}b^2$: $2\cdot\frac23\cdot\frac37=\frac47$.
6. $\frac{49}{64}c^2-cd+\frac{16}{49}d^2$: $2\cdot\frac78\cdot\frac47=1$.

Жауабы: 1) $9x^2-48xy+64y^2$; 2) $49z^2+154zd+121d^2$; 3) $12{,}25t^2-28tk+16k^2$; 4) $25k^2+12kt+1{,}44t^2$; 5) $\frac49a^2-\frac47ab+\frac9{49}b^2$; 6) $\frac{49}{64}c^2-cd+\frac{16}{49}d^2$.

№ 32.22

Дәрежені көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $(1{,}3m^2+4n^2)^2$; 2) $(2{,}5a^2+4b)^2$; 3) $\left(\frac52p-0{,}5q^3\right)^2$; 4) $\left(2{,}4m^3-\frac34t\right)^2$; 5) $\left(\frac74+0{,}6b^4\right)^2$; 6) $\left(\frac38a-\frac23b^4\right)^2$.

Қалай ойлаймыз. Дәрежелерді көбейтеміз: $(m^2)^2=m^4$, $(q^3)^2=q^6$, $(b^4)^2=b^8$.

Шешуі.

1. $1{,}69m^4+10{,}4m^2n^2+16n^4$.
2. $6{,}25a^4+20a^2b+16b^2$.
3. $\frac{25}4p^2-\frac52pq^3+0{,}25q^6$.
4. $5{,}76m^6-3{,}6m^3t+\frac9{16}t^2$.
5. $\frac{49}{16}+2{,}1b^4+0{,}36b^8$.
6. $\frac9{64}a^2-\frac12ab^4+\frac49b^8$.

Жауабы: 1) $1{,}69m^4+10{,}4m^2n^2+16n^4$; 2) $6{,}25a^4+20a^2b+16b^2$; 3) $6{,}25p^2-2{,}5pq^3+0{,}25q^6$; 4) $5{,}76m^6-3{,}6m^3t+\frac9{16}t^2$; 5) $\frac{49}{16}+2{,}1b^4+0{,}36b^8$; 6) $\frac9{64}a^2-\frac12ab^4+\frac49b^8$.

№ 32.23

Көпмүшені екінші көпмүшенің квадраты түрінде жазыңдар: 1) $a^{10}-10a^5b^8+25b^{16}$; 2) $a^6+6a^3x^4+9x^8$; 3) $81a^6-90a^3b^2c+25b^4c^2$; 4) $16x^2+24x^3+9x^4$.

Қалай ойлаймыз. Дәрежелерді екіге бөлеміз: $a^{10}=(a^5)^2$, $b^{16}=(b^8)^2$.

Шешуі.

1. $(a^5)^2-2\cdot a^5\cdot5b^8+(5b^8)^2=(a^5-5b^8)^2$.
2. $(a^3)^2+2\cdot a^3\cdot3x^4+(3x^4)^2=(a^3+3x^4)^2$.
3. $(9a^3)^2-2\cdot9a^3\cdot5b^2c+(5b^2c)^2=(9a^3-5b^2c)^2$.
4. $(4x)^2+2\cdot4x\cdot3x^2+(3x^2)^2=(4x+3x^2)^2$.

Жауабы: 1) $(a^5-5b^8)^2$; 2) $(a^3+3x^4)^2$; 3) $(9a^3-5b^2c)^2$; 4) $(4x+3x^2)^2$.

№ 32.24

Үшмүшені екімүшенің квадраты түрінде жазыңдар: 1) $x^2+2+\frac1{x^2}$; 2) $\frac{x^2}{y^2}-2+\frac{y^2}{x^2}$; 3) $\frac{a^2}{b^2}-2a+b^2$; 4) $\frac{a^2}{4b^2}+2+\frac{4b^2}{a^2}$; 5) $\frac1{4x^2}+1+x^2$; 6) $\frac{9x^2}{4y^2}-\frac1y+\frac1{9x^2}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектер қорқытпасын: $\frac{x^2}{y^2}=\left(\frac xy\right)^2$. Бастысы — ортаңғы мүшенің түбірлердің екі еселенген көбейтіндісіне тең екенін тексеру.

Шешуі.

1. $x^2=(x)^2$, $\frac1{x^2}=\left(\frac1x\right)^2$, $2\cdot x\cdot\frac1x=2$. Нәтижесі $\left(x+\frac1x\right)^2$.
2. $\left(\frac xy\right)^2$ және $\left(\frac yx\right)^2$, $2\cdot\frac xy\cdot\frac yx=2$. Нәтижесі $\left(\frac xy-\frac yx\right)^2$.
3. $\left(\frac ab\right)^2$ және $b^2$, $2\cdot\frac ab\cdot b=2a$. Нәтижесі $\left(\frac ab-b\right)^2$.
4. $\left(\frac a{2b}\right)^2$ және $\left(\frac{2b}a\right)^2$, түбірлердің көбейтіндісі $1$, екі еселенгені $2$. Нәтижесі $\left(\frac a{2b}+\frac{2b}a\right)^2$.
5. $\left(\frac1{2x}\right)^2$ және $x^2$, $2\cdot\frac1{2x}\cdot x=1$. Нәтижесі $\left(\frac1{2x}+x\right)^2$.
6. $\left(\frac{3x}{2y}\right)^2$ және $\left(\frac1{3x}\right)^2$, $2\cdot\frac{3x}{2y}\cdot\frac1{3x}=\frac1y$. Нәтижесі $\left(\frac{3x}{2y}-\frac1{3x}\right)^2$.

Жауабы: 1) $\left(x+\frac1x\right)^2$; 2) $\left(\frac xy-\frac yx\right)^2$; 3) $\left(\frac ab-b\right)^2$; 4) $\left(\frac a{2b}+\frac{2b}a\right)^2$; 5) $\left(\frac1{2x}+x\right)^2$; 6) $\left(\frac{3x}{2y}-\frac1{3x}\right)^2$.

№ 32.25

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(11a-b)^2+(9a+7b)(8a-13b)$; 2) $(18x+5y)(2x-4y)-(6x-3y)^2$; 3) $4x(3x-2y)-(10y-0{,}4x)^2$; 4) $(15a+2b)^2-(3a-7b)(3b-5a)$.

Қалай ойлаймыз. Квадратты формуламен ашамыз, ал екі әртүрлі жақшаның көбейтіндісін «әрқайсысын әрқайсысына» ережесімен көбейтеміз. Жақша алдындағы минусқа назар аудар.

Шешуі.

1. $121a^2-22ab+b^2+(72a^2-117ab+56ab-91b^2)=121a^2-22ab+b^2+72a^2-61ab-91b^2=193a^2-83ab-90b^2$.
2. $(36x^2-72xy+10xy-20y^2)-(36x^2-36xy+9y^2)=36x^2-62xy-20y^2-36x^2+36xy-9y^2=-26xy-29y^2$.
3. $12x^2-8xy-(100y^2-8xy+0{,}16x^2)=11{,}84x^2-100y^2$.
4. $225a^2+60ab+4b^2-(9ab-15a^2-21b^2+35ab)=225a^2+60ab+4b^2-44ab+15a^2+21b^2=240a^2+16ab+25b^2$.

Жауабы: 1) $193a^2-83ab-90b^2$; 2) $-26xy-29y^2$; 3) $11{,}84x^2-100y^2$; 4) $240a^2+16ab+25b^2$.

№ 32.26

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(2a-11)(11+2a)-(2a-5)^2=0$; 2) $(4+9b)^2+(9b+2)(2-9b)=0$; 3) $(2{,}5-8c)^2-(8c-1{,}5)(8c+1{,}5)=12{,}5$; 4) $\left(\frac34-5d\right)\left(5d+\frac34\right)+\left(5d-\frac34\right)^2=0$.

Шешуі.

1. $4a^2-121-4a^2+20a-25=0$; $20a=146$; $a=7{,}3$.
2. $16+72b+81b^2+4-81b^2=0$; $72b=-20$; $b=-\frac5{18}$.
3. $6{,}25-40c+64c^2-64c^2+2{,}25=12{,}5$; $-40c=4$; $c=-0{,}1$.
4. $\frac9{16}-25d^2+25d^2-\frac{15}2d+\frac9{16}=0$; $\frac98=\frac{15}2d$; $d=0{,}15$.

📕 Оқулықтың жауаптар бөлімінде 32.26(1) үшін «${7;3}$» деп басылған. Бұл — «7,3» санындағы үтірдің нүктелі үтірге айналып кеткені: шын мәнінде $a=7{,}3$ (өйткені $20a=146$). Жауабы: 1) $7{,}3$; 2) $-\frac5{18}$; 3) $-0{,}1$; 4) $0{,}15$.

№ 32.27

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(7-8x)(2x+1)+(4x-1)^2=0$; 2) $(2x-5)^2-(2x-3)(2x+3)=15$; 3) $(3x+5)(3x-5)-(3x-1)^2=-4$; 4) $(9x+2)(1-4x)+(5-6x)^2=-32$.

Шешуі.

1. $14x+7-16x^2-8x+16x^2-8x+1=0$; $-2x+8=0$; $x=4$.
2. $4x^2-20x+25-4x^2+9=15$; $34-20x=15$; $x=\frac{19}{20}=0{,}95$.
3. $9x^2-25-9x^2+6x-1=-4$; $6x=22$; $x=\frac{11}3=3\frac23$.
4. $9x-36x^2+2-8x+25-60x+36x^2=-32$; $-59x+27=-32$; $x=1$.

Жауабы: 1) $4$; 2) $0{,}95$; 3) $3\frac23$; 4) $1$.

№ 32.28

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $(3{,}5-x)(4x+1)+(2x+3)^2<0$; 2) $8(y-3)^2+(5-y)(3+8y)>2$; 3) $\left(3z+\frac13\right)^2-(1{,}5z+1)(6z-1)<0$; 4) $\left(7z-\frac17\right)^2-(24{,}5z+11)(2z-1)>\frac1{49}$.

Шешуі.

1. $14x+3{,}5-4x^2-x+4x^2+12x+9<0$; $25x+12{,}5<0$; $x<-0{,}5$.
2. $8(y^2-6y+9)=8y^2-48y+72$ және $(5-y)(3+8y)=15+37y-8y^2$. Қосындысы: $87-11y>2$; $-11y>-85$; $y<\frac{85}{11}=7\frac8{11}$.
3. $9z^2+2z+\frac19-(9z^2-1{,}5z+6z-1)<0$; $9z^2+2z+\frac19-9z^2-4{,}5z+1<0$; $-2{,}5z+\frac{10}9<0$; $z>\frac49$.
4. $49z^2-2z+\frac1{49}-(49z^2-24{,}5z+22z-11)>\frac1{49}$; $-2z+24{,}5z-22z+11>0$; $0{,}5z+11>0$; $z>-22$.

Жауабы: 1) $(-\infty;-0{,}5)$; 2) $\left(-\infty;7\frac8{11}\right)$; 3) $\left(\frac49;+\infty\right)$; 4) $(-22;+\infty)$.

№ 32.29

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $(4x-3)(4x+3)-(4x-1)^2<3x$; 2) $3(x-1)^2-3x(x-5)>21$; 3) $10(x-2)^2-5x(2x-1)<-30$; 4) $(5x+6)^2-(5x-6)^2>12$.

Шешуі.

1. $16x^2-9-16x^2+8x-1<3x$; $5x<10$; $x<2$.
2. $3x^2-6x+3-3x^2+15x>21$; $9x>18$; $x>2$.
3. $10x^2-40x+40-10x^2+5x<-30$; $-35x<-70$; $x>2$.
4. $(5x+6-5x+6)(5x+6+5x-6)=12\cdot10x=120x>12$; $x>0{,}1$.

Жауабы: 1) $(-\infty;2)$; 2) $(2;+\infty)$; 3) $(2;+\infty)$; 4) $(0{,}1;+\infty)$.

№ 32.30

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $(3x-1)^2-7<(9x+2)x+2$; 2) $2x(8x+3)+1>(5-4x)^2-1$; 3) $(0{,}3x+0{,}2)^2+0{,}58x>3{,}9-(2-0{,}3x)(2+0{,}3x)$; 4) $(0{,}2-0{,}8x)^2+11{,}16<(0{,}5+0{,}8x)^2-0{,}25$.

Шешуі.

1. $9x^2-6x+1-7<9x^2+2x+2$; $-8x<8$; $x>-1$.
2. $16x^2+6x+1>25-40x+16x^2-1$; $46x>23$; $x>0{,}5$.
3. $0{,}09x^2+0{,}12x+0{,}04+0{,}58x>3{,}9-4+0{,}09x^2$; $0{,}7x>-0{,}14$; $x>-0{,}2$.
4. $0{,}04-0{,}32x+0{,}64x^2+11{,}16<0{,}25+0{,}8x+0{,}64x^2-0{,}25$; $11{,}2-0{,}32x<0{,}8x$; $11{,}2<1{,}12x$; $x>10$.

Жауабы: 1) $(-1;+\infty)$; 2) $(0{,}5;+\infty)$; 3) $(-0{,}2;+\infty)$; 4) $(10;+\infty)$.

C деңгейі

Мұнда ең қиын тапсырмалар. Біреуін шықсаң да, жарайсың: талпыныстың өзі — жеңіс!

№ 32.31

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $5(3-5a)^2-5(3a-7)(3a+7)-80a^2+150a-300$; 2) $3(a-1)^2+5(a+1)(a-1)-8a^2+6a$; 3) $(m-1)^2-4(m+1)^2+3m^2+10m$; 4) $5(1-y)^2-(3+y)^2-4y^2+16y$.

Қалай ойлаймыз. Жауабы, ең болмағанда, сан болады: әріптердің бәрі қысқарады.

Шешуі.

1. $5(9-30a+25a^2)-5(9a^2-49)-80a^2+150a-300=45-150a+125a^2-45a^2+245-80a^2+150a-300=-10$.
2. $3a^2-6a+3+5a^2-5-8a^2+6a=-2$.
3. $m^2-2m+1-4m^2-8m-4+3m^2+10m=-3$.
4. $5-10y+5y^2-9-6y-y^2-4y^2+16y=-4$.

Жауабы: 1) $-10$; 2) $-2$; 3) $-3$; 4) $-4$ (мәні айнымалыға тәуелді емес).

№ 32.32

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $\left(\frac35a^{3n+1}b^2+\frac23a^{n-1}b^3\right)^2-\frac4{45}a^{2n-2}b^5(9a^{2n+2}+5b)+\frac{16}{25}a^{6n+2}b^4=a^{6n+2}b^4$; 2) $\left(\frac56x^{2n-1}y^n-\frac35x^{n+1}y^2\right)^2-\frac1{36}x^{3n}y^{n+2}(25x^{n-2}y^{n-2}-36)=\frac9{25}x^{2n+2}y^4$.

Қалай ойлаймыз. Квадратты формуламен аш, екінші жақшаны аш, ал көбейткенде көрсеткіштерді қос ($a^m\cdot a^k=a^{m+k}$).

Шешуі.

1. Квадрат: $\frac9{25}a^{6n+2}b^4+2\cdot\frac35\cdot\frac23a^{4n}b^5+\frac49a^{2n-2}b^6=\frac9{25}a^{6n+2}b^4+\frac45a^{4n}b^5+\frac49a^{2n-2}b^6$. Екінші қосылғыш: $\frac4{45}a^{2n-2}b^5\cdot9a^{2n+2}=\frac45a^{4n}b^5$ және $\frac4{45}a^{2n-2}b^5\cdot5b=\frac49a^{2n-2}b^6$. Азайтқаннан кейін $\frac9{25}a^{6n+2}b^4$ қалады, ал $\frac{16}{25}a^{6n+2}b^4$ қосылғанда $a^{6n+2}b^4$ шығады. Дәлелдеу керегі осы еді.
2. Квадрат: $\frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n}-2\cdot\frac56\cdot\frac35x^{3n}y^{n+2}+\frac9{25}x^{2n+2}y^4=\frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n}-x^{3n}y^{n+2}+\frac9{25}x^{2n+2}y^4$. Екінші бөлігі: $\frac1{36}x^{3n}y^{n+2}\cdot25x^{n-2}y^{n-2}=\frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n}$ және $\frac1{36}x^{3n}y^{n+2}\cdot36=x^{3n}y^{n+2}$. Азайтамыз: $-x^{3n}y^{n+2}$ және $\frac{25}{36}x^{4n-2}y^{2n}$ қысқарады, $\frac9{25}x^{2n+2}y^4$ қалады. Дәлелдеу керегі осы еді.

Жауабы: екі тепе-теңдік те дәлелденді: сол жағы оң жағына түрленеді.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 32.33

Текше қабырғасының ұзындығы $a$ см-ге тең. Егер текшенің қабырғасын: 1) 2 см-ге ұлғайтқанда; 2) 3 см-ге қысқартқанда шығатын текшенің көлемін формула арқылы өрнектеңдер.

Қалай ойлаймыз. Текшенің көлемі — қабырғасының үшінші дәрежесі.

Шешуі.

1. Жаңа қабырға $a+2$, көлемі $V=(a+2)^3$.
2. Жаңа қабырға $a-3$, көлемі $V=(a-3)^3$.

Жауабы: 1) $V=(a+2)^3$ см³; 2) $V=(a-3)^3$ см³. Бұл — келесі параграфтағы қосындының кубы мен айырымының кубына нұсқау.

№ 32.34

Текше қабырғасының ұзындығы $a$ см. Текше қабырғасының ұзындығы 4 см-ге ұлғайған. Егер текше қабырғасының ұзындығы 8 см-ге тең болса, онда оның көлемі қаншаға артады?

Қалай ойлаймыз. Болғаны $8^3$, болды $(8+4)^3=12^3$. Азайтамыз.

Шешуі. $12^3=1728$, $8^3=512$. Айырымы: $1728-512=1216$ см³.

Жауабы: $1216$ см³-қа.

Жадынама

• Квадраттағы жақшаны ашамыз: біріншінің квадраты, екі еселенген көбейтінді, екіншінің квадраты.
• Ортаңғы мүше әрдайым $2ab$ ($ab$ емес!), таңбасы жақшадағы таңбаға сай.
• Соңғы мүше $b^2$ әрдайым плюспен.
• $25x^2-30x+9$ үшмүшесі $(5x-3)^2$ болып жиналады.
• Жіктер алдында ортақ көбейткішті шығар: $5x^2+20x+20=5(x+2)^2$.
• Теңдеулер мен теңсіздіктерде $x^2$ жиі қысқарады да, сызықтық қалады. Теріс санға бөлсең, теңсіздік таңбасын өзгерт.

Шағын тест