§ 33. Екі өрнектің қосындысының кубы мен айырымының кубы формулалары

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 5 бөлім: Қысқаша көбейту формулалары. 195–200-беттер.

Нені үйренесің

• $(a+b)^3$ формуласын қосындының квадратынан және көпмүшені көпмүшеге көбейту ережесінен қорытып шығаруды.
• Екі өрнектің қосындысының кубын және айырымының кубын, оның ішінде бөлшектер мен ондық бөлшектер қатысқанда да, жіктеп жазуды.
• «Жіктелген» кубты танып, көпмүшені қайтадан $(a\pm b)^3$ түріне келтіруді.
• Жақшаның кубы кездесетін өрнектерді ықшамдауды, теңдеулер мен теңсіздіктер шешуді.
• Кубтар қатысатын тепе-теңдіктерді дәлелдеуді.

Ой қозғау

Мұнда қосындының квадраты мен жақшаларды көбейту ғана керек. Жауаптарын басып аш.

• $(a+b)^2$ неге тең? $a^2+2ab+b^2$.
• $(x+3)(x+3)$ қалай көбейтіледі? Әр мүшені әр мүшеге: $x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$.
• $(a+b)^3$ өрнегін көбейтінді түрінде қалай жазамыз? $(a+b)(a+b)(a+b)$, яғни $(a+b)^2\cdot(a+b)$.
• $2x$ бірмүшесін кубқа қалай шығарамыз? $(2x)^3=8x^3$: кубқа сан да, әріп те шығады.
• $(t^2)^3$ неге тең? $t^6$: көрсеткіштер көбейтіледі.

Тақырыпты талдаймыз

Куб — тағы бір рет көбейтілген квадрат

Қосындының кубы — $(a+b)$-ны өз-өзіне үш рет көбейту. Оны екі қадамға бөлейік: алдымен $(a+b)^2$, сосын тағы бір жақша.

$(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b).$

Әр қосылғышты әр қосылғышқа көбейтеміз:

$a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$

📌 Екі өрнектің қосындысының кубы: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Сөзбен айтқанда: бірінші өрнектің кубы, плюс үш еселенген бірінші өрнектің квадраты мен екінші өрнектің көбейтіндісі, плюс үш еселенген бірінші өрнек пен екінші өрнектің квадратының көбейтіндісі, плюс екінші өрнектің кубы.

💡 Заңдылықты есіңе сақта. $a$-ның дәрежесі кемиді: $a^3,\ a^2,\ a^1,\ a^0$. $b$-ның дәрежесі өседі: $b^0,\ b^1,\ b^2,\ b^3$. Ал коэффициенттер: $1,\ 3,\ 3,\ 1$.

Айырымның кубы — сол қосылғыштар, тек таңбалары басқа

$b$ орнына $-b$ қойсақ, $b$-ның тақ дәрежелерінің таңбасы өзгереді. Мынаны аламыз:

📌 Екі өрнектің айырымының кубы: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$. Таңбалар кезектеседі: плюс, минус, плюс, минус.

Өзің дәлелдеп көр: $(a-b)^2(a-b)$ көбейт — дәл осы шығуы керек.

Екі формула — бір теңдікпен

Екі формуланы бірге жазуға болады: $(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$. Жоғарғы таңбалар бірге, төменгі таңбалар бірге алынады.

Адаспау үшін: екі мысал

1) $(4m+3n)^3$ өрнегін ашамыз. Бірінші өрнек — $4m$, екіншісі — $3n$.

$(4m)^3+3(4m)^2\cdot3n+3\cdot4m\cdot(3n)^2+(3n)^3=64m^3+144m^2n+108mn^2+27n^3.$

2) $\left(\frac14p-s\right)^3$ өрнегін ашамыз (таңбалар кезектеседі):

$\frac1{64}p^3-3\cdot\frac1{16}p^2\cdot s+3\cdot\frac14p\cdot s^2-s^3=\frac1{64}p^3-\frac3{16}p^2s+\frac34ps^2-s^3.$

⚠️ Жиі кететін қате. $(a+b)^3\ne a^3+b^3$. Ортаңғы қосылғыштарды ұмытып кету — ең көп кездесетін қателік. Сандармен тексер: $(1+2)^3=27$, ал $1^3+2^3=9$.

Формуланы кері бағытта оқимыз

Көпмүшеде төрт мүше болып, ол кубқа ұқсаса, мынаны тексер: екі шеткі мүше — кубтар, ал ортаңғылары — үш еселенген көбейтінділер. Сонда оны қайтадан жинап жазамыз.

Мысал. $t^6+15t^4k+75t^2k^2+125k^3$. Бірінші мүше: $t^6=(t^2)^3$. Соңғысы: $125k^3=(5k)^3$. Ортаңғысы: $3\cdot(t^2)^2\cdot5k=15t^4k$ ✓ және $3\cdot t^2\cdot(5k)^2=75t^2k^2$ ✓. Демек, бұл — $(t^2+5k)^3$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан формуланы бөлшектеп дауыстап айтқызыңыз: «бірінші өрнектің кубы, плюс үш еселенген бірінші өрнектің квадраты мен екіншісінің көбейтіндісі…». Бұл жазуды жаттаудан гөрі тезірек жатталады. Сандармен де тексеріңіздер: $a=1$, $b=1$ қойсаңыз, сол жақта $8$, оң жақта $1+3+3+1=8$ шығуы керек.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қосындының кубы және айырымның кубы формулаларын бір теңдікпен қалай жазады? $(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$: жоғарғы таңбалар бірге, төменгі таңбалар бірге алынады.
• Формуланы қорытқанда қандай ережелер қолданылды? Көпмүшені көпмүшеге көбейту, қосындының (айырымның) квадраты формуласы және ұқсас мүшелерді біріктіру.
• Қосындының куб формуласын қалай оқиды? Екі өрнектің қосындысының кубы бірінші өрнектің кубына, плюс үш еселенген бірінші өрнектің квадраты мен екінші өрнектің көбейтіндісіне, плюс үш еселенген бірінші өрнек пен екінші өрнектің квадратының көбейтіндісіне, плюс екінші өрнектің кубына тең.
• Айырымның куб формуласын қалай оқиды? Сол сияқты, тек таңбалары кезектеседі: екінші және төртінші қосылғыштардың алдында минус тұрады.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 33.1

Көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $(2+x)^3$; 2) $(a-2)^3$; 3) $(5-b)^3$; 4) $(y+3)^3$; 5) $(a-c)^3$; 6) $(c+d)^3$; 7) $(z-t)^3$; 8) $(k+m)^3$.

Қалай ойлаймыз. Әр жақшада бірінші және екінші өрнекті тап, таңбасына қарай формуланы таңда да, қой.

Шешуі.

1. $(2+x)^3=8+3\cdot4\cdot x+3\cdot2\cdot x^2+x^3=x^3+6x^2+12x+8$.
2. $(a-2)^3=a^3-3a^2\cdot2+3a\cdot4-8=a^3-6a^2+12a-8$.
3. $(5-b)^3=125-3\cdot25b+3\cdot5b^2-b^3=125-75b+15b^2-b^3$.
4. $(y+3)^3=y^3+9y^2+27y+27$.
5. $(a-c)^3=a^3-3a^2c+3ac^2-c^3$.
6. $(c+d)^3=c^3+3c^2d+3cd^2+d^3$.
7. $(z-t)^3=z^3-3z^2t+3zt^2-t^3$.
8. $(k+m)^3=k^3+3k^2m+3km^2+m^3$.

Жауабы: 1) $x^3+6x^2+12x+8$; 2) $a^3-6a^2+12a-8$; 3) $125-75b+15b^2-b^3$; 4) $y^3+9y^2+27y+27$; 5) $a^3-3a^2c+3ac^2-c^3$; 6) $c^3+3c^2d+3cd^2+d^3$; 7) $z^3-3z^2t+3zt^2-t^3$; 8) $k^3+3k^2m+3km^2+m^3$.

№ 33.2

Көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $(4x+1)^3$; 2) $(1-3y)^3$; 3) $(5z-2)^3$; 4) $(4x-3)^3$; 5) $(a+2x)^3$; 6) $(2y-3)^3$; 7) $(p-3q)^3$; 8) $(3n-2m)^3$.

Қалай ойлаймыз. Енді бірінші немесе екінші өрнектің коэффициенті бар. Оны түгел қажетті дәрежеге шығару керек: $(4x)^2=16x^2$.

Шешуі.

1. $(4x)^3+3(4x)^2\cdot1+3\cdot4x\cdot1+1=64x^3+48x^2+12x+1$.
2. $1-3\cdot3y+3\cdot9y^2-27y^3=1-9y+27y^2-27y^3$.
3. $125z^3-3\cdot25z^2\cdot2+3\cdot5z\cdot4-8=125z^3-150z^2+60z-8$.
4. $64x^3-3\cdot16x^2\cdot3+3\cdot4x\cdot9-27=64x^3-144x^2+108x-27$.
5. $a^3+3a^2\cdot2x+3a\cdot4x^2+8x^3=a^3+6a^2x+12ax^2+8x^3$.
6. $8y^3-3\cdot4y^2\cdot3+3\cdot2y\cdot9-27=8y^3-36y^2+54y-27$.
7. $p^3-3p^2\cdot3q+3p\cdot9q^2-27q^3=p^3-9p^2q+27pq^2-27q^3$.
8. $27n^3-3\cdot9n^2\cdot2m+3\cdot3n\cdot4m^2-8m^3=27n^3-54n^2m+36nm^2-8m^3$.

Жауабы: 1) $64x^3+48x^2+12x+1$; 2) $1-9y+27y^2-27y^3$; 3) $125z^3-150z^2+60z-8$; 4) $64x^3-144x^2+108x-27$; 5) $a^3+6a^2x+12ax^2+8x^3$; 6) $8y^3-36y^2+54y-27$; 7) $p^3-9p^2q+27pq^2-27q^3$; 8) $27n^3-54n^2m+36nm^2-8m^3$.

№ 33.3

Көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $(0{,}2a+5)^3$; 2) $(4-0{,}5b)^3$; 3) $(0{,}6c-5)^3$; 4) $\left(\frac12d-2\right)^3$; 5) $\left(\frac13t+3\right)^3$; 6) $\left(2-\frac14k\right)^3$.

Қалай ойлаймыз. Ондық және жай бөлшектермен де сол жұмыс. $0{,}2^2=0{,}04$, $\left(\frac12\right)^2=\frac14$ деп мұқият есептейміз.

Шешуі.

1. $0{,}008a^3+3\cdot0{,}04a^2\cdot5+3\cdot0{,}2a\cdot25+125=0{,}008a^3+0{,}6a^2+15a+125$.
2. $64-3\cdot16\cdot0{,}5b+3\cdot4\cdot0{,}25b^2-0{,}125b^3=64-24b+3b^2-0{,}125b^3$.
3. $0{,}216c^3-3\cdot0{,}36c^2\cdot5+3\cdot0{,}6c\cdot25-125=0{,}216c^3-5{,}4c^2+45c-125$.
4. $\frac18d^3-3\cdot\frac14d^2\cdot2+3\cdot\frac12d\cdot4-8=\frac18d^3-\frac32d^2+6d-8$.
5. $\frac1{27}t^3+3\cdot\frac19t^2\cdot3+3\cdot\frac13t\cdot9+27=\frac1{27}t^3+t^2+9t+27$.
6. $8-3\cdot4\cdot\frac14k+3\cdot2\cdot\frac1{16}k^2-\frac1{64}k^3=8-3k+\frac38k^2-\frac1{64}k^3$.

Жауабы: 1) $0{,}008a^3+0{,}6a^2+15a+125$; 2) $64-24b+3b^2-0{,}125b^3$; 3) $0{,}216c^3-5{,}4c^2+45c-125$; 4) $\frac18d^3-\frac32d^2+6d-8$; 5) $\frac1{27}t^3+t^2+9t+27$; 6) $8-3k+\frac38k^2-\frac1{64}k^3$.

№ 33.4

Көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $(4x+0{,}1y)^3$; 2) $(0{,}2a+30b)^3$; 3) $\left(\frac17a-7c\right)^3$; 4) $(0{,}3b-10c)^3$; 5) $(0{,}5x-2y)^3$; 6) $\left(\frac29n+\frac92m\right)^3$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда екі қосылғыштың да әрпі және коэффициенті бар. Алдымен $A^3$, $A^2B$, $AB^2$, $B^3$ мүшелерін бөлек жаз, сосын жина.

Шешуі.

1. $64x^3+3\cdot16x^2\cdot0{,}1y+3\cdot4x\cdot0{,}01y^2+0{,}001y^3=64x^3+4{,}8x^2y+0{,}12xy^2+0{,}001y^3$.
2. $0{,}008a^3+3\cdot0{,}04a^2\cdot30b+3\cdot0{,}2a\cdot900b^2+27000b^3=0{,}008a^3+3{,}6a^2b+540ab^2+27000b^3$.
3. $\frac1{343}a^3-3\cdot\frac1{49}a^2\cdot7c+3\cdot\frac17a\cdot49c^2-343c^3=\frac1{343}a^3-\frac37a^2c+21ac^2-343c^3$.
4. $0{,}027b^3-3\cdot0{,}09b^2\cdot10c+3\cdot0{,}3b\cdot100c^2-1000c^3=0{,}027b^3-2{,}7b^2c+90bc^2-1000c^3$.
5. $0{,}125x^3-3\cdot0{,}25x^2\cdot2y+3\cdot0{,}5x\cdot4y^2-8y^3=0{,}125x^3-1{,}5x^2y+6xy^2-8y^3$.
6. $\frac8{729}n^3+3\cdot\frac4{81}n^2\cdot\frac92m+3\cdot\frac29n\cdot\frac{81}4m^2+\frac{729}8m^3=\frac8{729}n^3+\frac23n^2m+\frac{27}2nm^2+\frac{729}8m^3$.

Жауабы: 1) $64x^3+4{,}8x^2y+0{,}12xy^2+0{,}001y^3$; 2) $0{,}008a^3+3{,}6a^2b+540ab^2+27000b^3$; 3) $\frac1{343}a^3-\frac37a^2c+21ac^2-343c^3$; 4) $0{,}027b^3-2{,}7b^2c+90bc^2-1000c^3$; 5) $0{,}125x^3-1{,}5x^2y+6xy^2-8y^3$; 6) $\frac8{729}n^3+\frac23n^2m+\frac{27}2nm^2+\frac{729}8m^3$.

№ 33.5

Екімүшенің кубы түрінде жазыңдар: 1) $x^3-3x^2+3x-1$; 2) $y^3-3y^2+3y-1$; 3) $8+12p+6p^2+p^3$; 4) $1-6q+12q^2-8q^3$; 5) $125-75a+15a^2-a^3$; 6) $0{,}008+0{,}12p+0{,}6p^2+p^3$.

Қалай ойлаймыз. Екі «шеткі» кубты тауып, олардан түбір шығар. Сосын ортаңғы қосылғыштарды тексер: олар үш еселенген көбейтінділер болуы керек. Таңбалары қосынды ма, айырым ба екенін көрсетеді.

Шешуі.

1. $x^3$ және $1=1^3$, таңбалар кезектеседі: $(x-1)^3$. Тексеру: $3x^2\cdot1$ және $3x\cdot1$ ✓.
2. Дәл солай: $(y-1)^3$.
3. $8=2^3$, $p^3$, бәрі плюс: $(2+p)^3$. Тексеру: $3\cdot4\cdot p=12p$ ✓, $3\cdot2\cdot p^2=6p^2$ ✓.
4. $1=1^3$, $8q^3=(2q)^3$, таңбалар кезектеседі: $(1-2q)^3$. Тексеру: $3\cdot1\cdot2q=6q$ ✓, $3\cdot4q^2=12q^2$ ✓.
5. $125=5^3$, $a^3$, таңбалар кезектеседі: $(5-a)^3$. Тексеру: $3\cdot25a=75a$ ✓, $3\cdot5a^2=15a^2$ ✓.
6. $0{,}008=0{,}2^3$, $p^3$: $(0{,}2+p)^3$. Тексеру: $3\cdot0{,}04p=0{,}12p$ ✓, $3\cdot0{,}2p^2=0{,}6p^2$ ✓.

Жауабы: 1) $(x-1)^3$; 2) $(y-1)^3$; 3) $(2+p)^3$; 4) $(1-2q)^3$; 5) $(5-a)^3$; 6) $(0{,}2+p)^3$.

№ 33.6

Екімүшенің кубы түрінде жазыңдар: 1) $a^3-6a^2b+12ab^2-8b^3$; 2) $27m^3+27m^2n+9mn^2+n^3$; 3) $8p^3+27q^3+54pq^2+36p^2q$; 4) $x^3y^3-6x^2y^2+12xy-8$.

Қалай ойлаймыз. 3-тармақта қосылғыштар араласып кеткен: алдымен $p$-ның дәрежесі кему ретімен орналастыр.

Шешуі.

1. $a^3$ және $8b^3=(2b)^3$, таңбалар кезектеседі. Тексеру: $3a^2\cdot2b=6a^2b$ ✓, $3a\cdot4b^2=12ab^2$ ✓. Нәтиже: $(a-2b)^3$.
2. $27m^3=(3m)^3$, $n^3$, бәрі плюс. Тексеру: $3\cdot9m^2\cdot n=27m^2n$ ✓, $3\cdot3m\cdot n^2=9mn^2$ ✓. Нәтиже: $(3m+n)^3$.
3. Қайта жазамыз: $8p^3+36p^2q+54pq^2+27q^3$. Бұл — $(2p)^3$ және $(3q)^3$. Тексеру: $3\cdot4p^2\cdot3q=36p^2q$ ✓, $3\cdot2p\cdot9q^2=54pq^2$ ✓. Нәтиже: $(2p+3q)^3$.
4. $x^3y^3=(xy)^3$, $8=2^3$, таңбалар кезектеседі. Тексеру: $3(xy)^2\cdot2=6x^2y^2$ ✓, $3xy\cdot4=12xy$ ✓. Нәтиже: $(xy-2)^3$.

Жауабы: 1) $(a-2b)^3$; 2) $(3m+n)^3$; 3) $(2p+3q)^3$; 4) $(xy-2)^3$. Жауаптар оқулық жауаптарымен 1, 3, 4-тармақтарда сәйкес келді.

№ 33.7

Өрнекті ықшамдаңдар және мәнін табыңдар: 1) $(3a-1)^3-27a^3+5$, мұндағы $a=-1;\ 0;\ 1$; 2) $(0{,}7b-2)^3-(0{,}7b+2)^3$, мұндағы $b=-2;\ -1;\ 1$; 3) $(5x-4)^3+(5x-2)^3-250x^3$, мұндағы $x=0{,}5;\ 0;\ -1$; 4) $(0{,}2+5y)^3-(0{,}5+2y)^3-117y^3$, мұндағы $y=-1;\ 0;\ 2$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен кубтарды аш та, қысқарт, содан кейін ғана мән қой. Сонда сандар шағын шығады.

Шешуі.

1. $27a^3-27a^2+9a-1-27a^3+5=-27a^2+9a+4$. $a=-1$ болғанда: $-27-9+4=-32$. $a=0$ болғанда: $4$. $a=1$ болғанда: $-27+9+4=-14$.
2. $u=0{,}7b$ десек, $(u-2)^3-(u+2)^3=-12u^2-16$. Демек, өрнек $-12\cdot0{,}49b^2-16=-5{,}88b^2-16$ тең. $b=-2$ болғанда: $-23{,}52-16=-39{,}52$. $b=-1$ және $b=1$ болғанда: $-5{,}88-16=-21{,}88$.
3. $(125x^3-300x^2+240x-64)+(125x^3-150x^2+60x-8)-250x^3=-450x^2+300x-72$. $x=0{,}5$ болғанда: $-112{,}5+150-72=-34{,}5$. $x=0$ болғанда: $-72$. $x=-1$ болғанда: $-450-300-72=-822$.
4. $(0{,}2+5y)^3=0{,}008+0{,}6y+15y^2+125y^3$; $(0{,}5+2y)^3=0{,}125+1{,}5y+6y^2+8y^3$. Айырымнан $117y^3$ алсақ: $-0{,}117-0{,}9y+9y^2$. $y=-1$ болғанда: $9{,}783$. $y=0$ болғанда: $-0{,}117$. $y=2$ болғанда: $36-1{,}8-0{,}117=34{,}083$.

Жауабы: 1) $-27a^2+9a+4$; мәндері $-32;\ 4;\ -14$. 2) $-5{,}88b^2-16$; мәндері $-39{,}52;\ -21{,}88;\ -21{,}88$. 3) $-450x^2+300x-72$; мәндері $-34{,}5;\ -72;\ -822$. 4) $9y^2-0{,}9y-0{,}117$; мәндері $9{,}783;\ -0{,}117;\ 34{,}083$.

№ 33.8

Теңдеулерді шешіңдер: 1) $(x+1)^3-4x=5+x^2(x+3)$; 2) $(1-y)^3+8y=7+y^2(3-y)$; 3) $(x+1)^3+(x-1)^3-2x^3=12$; 4) $(1+y)^3+(1-y)^3-6y^2=3y-1$.

Қалай ойлаймыз. Әр теңдеуде $x^3$ (немесе $y^3$) екі жақтан да қысқарады, қарапайым сызықтық теңдеу қалады.

Шешуі.

1. $x^3+3x^2+3x+1-4x=5+x^3+3x^2$. $x^3$ және $3x^2$ қысқарады: $-x+1=5$, $x=-4$.
2. $1-3y+3y^2-y^3+8y=7+3y^2-y^3$. Қысқартамыз: $1+5y=7$, $5y=6$, $y=\frac65=1{,}2$.
3. $(x+1)^3+(x-1)^3=2x^3+6x$. Сонда $2x^3+6x-2x^3=12$, $6x=12$, $x=2$.
4. $(1+y)^3+(1-y)^3=2+6y^2$. Сонда $2+6y^2-6y^2=3y-1$, $2=3y-1$, $y=1$.

Жауабы: 1) $-4$; 2) $1{,}2$; 3) $2$; 4) $1$.

№ 33.9

Теңдеулерді шешіңдер: 1) $(2+x)^3-x^2(6+x)=11x+19$; 2) $(z-2)^3-z^2(z-6)=13z-7$; 3) $(y+3)^3-2y-30=y^2(9+y)$; 4) $(3-t)^3+3t+21=-t^2(t-9)$.

Қалай ойлаймыз. Кубты аш, $x^2(6+x)$ өрнегін де аш және т.с.с. Ең жоғарғы дәреже қысқарады.

Шешуі.

1. $8+12x+6x^2+x^3-6x^2-x^3=11x+19$. Сол жағы $8+12x$, демек $12x-11x=19-8$, $x=11$.
2. $z^3-6z^2+12z-8-z^3+6z^2=13z-7$. Сол жағы $12z-8$, демек $-z=1$, $z=-1$.
3. $y^3+9y^2+27y+27-2y-30=9y^2+y^3$. Сол жағы $y^3+9y^2+25y-3$, демек $25y=3$, $y=\frac3{25}=0{,}12$.
4. $27-27t+9t^2-t^3+3t+21=-t^3+9t^2$. Сол жағы $-t^3+9t^2-24t+48$, демек $-24t+48=0$, $t=2$.

Жауабы: 1) $11$; 2) $-1$; 3) $0{,}12$; 4) $2$.

№ 33.10

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(3a+b)^3-(a+3b)^3-18ab(a-b)=26(a^3-b^3)$; 2) $(x+4y)^3+(4x-y)^3+12xy(3x-5y)-128y^3=65(x^3-y^3)$.

Қалай ойлаймыз. Тепе-теңдікті дәлелдеу үшін сол жағын ашып, ұқсас мүшелерді біріктіреміз. Оң жағы шықса — дәлелденді.

Шешуі.

1. $(3a+b)^3=27a^3+27a^2b+9ab^2+b^3$ және $(a+3b)^3=a^3+9a^2b+27ab^2+27b^3$. Айырымы: $26a^3+18a^2b-18ab^2-26b^3$. $18ab(a-b)=18a^2b-18ab^2$ алсақ, $26a^3-26b^3=26(a^3-b^3)$ қалады. ✓
2. $(x+4y)^3=x^3+12x^2y+48xy^2+64y^3$; $(4x-y)^3=64x^3-48x^2y+12xy^2-y^3$. Қосындысы: $65x^3-36x^2y+60xy^2+63y^3$. $12xy(3x-5y)=36x^2y-60xy^2$ қоссақ: $65x^3+63y^3$ шығады. $128y^3$ алсақ: $65x^3-65y^3=65(x^3-y^3)$. ✓

Жауабы: екі тармақта да сол жағы ашылғаннан кейін оң жағына тең болды, тепе-теңдіктер дәлелденді.

B деңгейі

№ 33.11

Көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $(a^2-b^2)^3$; 2) $(m^2+n^2)^3$; 3) $(2a^2+b^2)^3$; 4) $(x^4-6y^2)^3$; 5) $(7m^3-n^4)^3$; 6) $\left(a^3-\frac13b^2\right)^3$; 7) $(0{,}3x^5-0{,}5y^2)^3$; 8) $\left(0{,}6x^4-\frac12y^3\right)^3$; 9) $\left(\frac15a^2+0{,}36^4\right)^3$.

Қалай ойлаймыз. Енді формуладағы «әріптер» — дәрежелердің өзі: $a^2$, $x^4$, $m^3$. $(a^m)^n=a^{mn}$ ережесін қадағала.

Шешуі.

1. $a^6-3a^4b^2+3a^2b^4-b^6$.
2. $m^6+3m^4n^2+3m^2n^4+n^6$.
3. $(2a^2)^3=8a^6$; $3\cdot4a^4\cdot b^2=12a^4b^2$; $3\cdot2a^2\cdot b^4=6a^2b^4$; $b^6$. Нәтиже: $8a^6+12a^4b^2+6a^2b^4+b^6$.
4. $x^{12}-3x^8\cdot6y^2+3x^4\cdot36y^4-216y^6=x^{12}-18x^8y^2+108x^4y^4-216y^6$.
5. $343m^9-3\cdot49m^6n^4+3\cdot7m^3n^8-n^{12}=343m^9-147m^6n^4+21m^3n^8-n^{12}$.
6. $a^9-3a^6\cdot\frac13b^2+3a^3\cdot\frac19b^4-\frac1{27}b^6=a^9-a^6b^2+\frac13a^3b^4-\frac1{27}b^6$.
7. $0{,}027x^{15}-3\cdot0{,}09x^{10}\cdot0{,}5y^2+3\cdot0{,}3x^5\cdot0{,}25y^4-0{,}125y^6=0{,}027x^{15}-0{,}135x^{10}y^2+0{,}225x^5y^4-0{,}125y^6$.
8. $0{,}216x^{12}-3\cdot0{,}36x^8\cdot\frac12y^3+3\cdot0{,}6x^4\cdot\frac14y^6-\frac18y^9=0{,}216x^{12}-0{,}54x^8y^3+0{,}45x^4y^6-0{,}125y^9$.
9. Мұнда екінші қосылғыш — $c=0{,}36^4$ саны, сондықтан формула бойынша: $\frac1{125}a^6+3\cdot\frac1{25}a^4\cdot c+3\cdot\frac15a^2\cdot c^2+c^3=\frac1{125}a^6+\frac3{25}\cdot0{,}36^4,a^4+\frac35\cdot0{,}36^8,a^2+0{,}36^{12}$.

📕 Оқулықтағы ықтимал қате. 9-тармақта екінші қосылғыш $0{,}36^4$ болып басылған. Мұнда әріпті өрнек (мысалы, $0{,}6b^4$) болуы керек еді деп ойлауға болады. Біз жазылғанындай шештік, сандарды дәреже күйінде қалдырдық.

Жауабы: 1) $a^6-3a^4b^2+3a^2b^4-b^6$; 2) $m^6+3m^4n^2+3m^2n^4+n^6$; 3) $8a^6+12a^4b^2+6a^2b^4+b^6$; 4) $x^{12}-18x^8y^2+108x^4y^4-216y^6$; 5) $343m^9-147m^6n^4+21m^3n^8-n^{12}$; 6) $a^9-a^6b^2+\frac13a^3b^4-\frac1{27}b^6$; 7) $0{,}027x^{15}-0{,}135x^{10}y^2+0{,}225x^5y^4-0{,}125y^6$; 8) $0{,}216x^{12}-0{,}54x^8y^3+0{,}45x^4y^6-0{,}125y^9$; 9) шешуіндегідей.

№ 33.12

Көпмүшені екімүшенің кубы түрінде жазыңдар: 1) $8x^3-60x^2y+150xy^2-125y^3$; 2) $64a^{15}+144a^{10}b^3+108a^5b^6+27b^9$; 3) $0{,}125a^9-0{,}15a^6b^4+0{,}06a^3b^8-0{,}008b^{12}$; 4) $0{,}216x^{12}+0{,}54x^8y^5+0{,}45x^4y^{10}+0{,}125y^{15}$.

Қалай ойлаймыз. Бірінші және соңғы мүшеден куб түбір шығар (дәреже көрсеткіштері 3-ке бөлінеді). Сосын ортаңғыларын тексер.

Шешуі.

1. $8x^3=(2x)^3$, $125y^3=(5y)^3$, таңбалар кезектеседі. Тексеру: $3\cdot4x^2\cdot5y=60x^2y$ ✓, $3\cdot2x\cdot25y^2=150xy^2$ ✓. Нәтиже: $(2x-5y)^3$.
2. $64a^{15}=(4a^5)^3$, $27b^9=(3b^3)^3$. Тексеру: $3\cdot16a^{10}\cdot3b^3=144a^{10}b^3$ ✓, $3\cdot4a^5\cdot9b^6=108a^5b^6$ ✓. Нәтиже: $(4a^5+3b^3)^3$.
3. $0{,}125a^9=(0{,}5a^3)^3$, $0{,}008b^{12}=(0{,}2b^4)^3$, таңбалар кезектеседі. Тексеру: $3\cdot0{,}25a^6\cdot0{,}2b^4=0{,}15a^6b^4$ ✓, $3\cdot0{,}5a^3\cdot0{,}04b^8=0{,}06a^3b^8$ ✓. Нәтиже: $(0{,}5a^3-0{,}2b^4)^3$.
4. $0{,}216x^{12}=(0{,}6x^4)^3$, $0{,}125y^{15}=(0{,}5y^5)^3$. Тексеру: $3\cdot0{,}36x^8\cdot0{,}5y^5=0{,}54x^8y^5$ ✓, $3\cdot0{,}6x^4\cdot0{,}25y^{10}=0{,}45x^4y^{10}$ ✓. Нәтиже: $(0{,}6x^4+0{,}5y^5)^3$.

Жауабы: 1) $(2x-5y)^3$; 2) $(4a^5+3b^3)^3$; 3) $(0{,}5a^3-0{,}2b^4)^3$; 4) $(0{,}6x^4+0{,}5y^5)^3$.

№ 33.13

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $(x^2+1)^3-3(x^2-1)^2-5x(x-2)+10$; 2) $(x-2)^3+20(2x-1)^3+x(x-5)$; 3) $(1-3y)^3-3(y+3)^3+10y(y^2-2)$; 4) $(y^3+2)^3-y^6(y^3-6)+2(y-2)^2$.

Қалай ойлаймыз. Қосылғыштарды бір-бірлеп аш, нәтижесін бағанға жаз, сосын дәрежелері бойынша ұқсас мүшелерді біріктір.

Шешуі.

1. $(x^2+1)^3=x^6+3x^4+3x^2+1$; $-3(x^2-1)^2=-3x^4+6x^2-3$; $-5x(x-2)=-5x^2+10x$; $+10$. Қосамыз: $x^6+0\cdot x^4+(3+6-5)x^2+10x+(1-3+10)=x^6+4x^2+10x+8$.
2. $(x-2)^3=x^3-6x^2+12x-8$; $20(2x-1)^3=160x^3-240x^2+120x-20$; $x(x-5)=x^2-5x$. Қосамыз: $161x^3-245x^2+127x-28$.
3. $(1-3y)^3=1-9y+27y^2-27y^3$; $-3(y+3)^3=-3y^3-27y^2-81y-81$; $10y(y^2-2)=10y^3-20y$. Қосамыз: $-20y^3+0\cdot y^2-110y-80$.
4. $(y^3+2)^3=y^9+6y^6+12y^3+8$; $-y^6(y^3-6)=-y^9+6y^6$; $2(y-2)^2=2y^2-8y+8$. Қосамыз: $12y^6+12y^3+2y^2-8y+16$.

Жауабы: 1) $x^6+4x^2+10x+8$; 2) $161x^3-245x^2+127x-28$; 3) $-20y^3-110y-80$; 4) $12y^6+12y^3+2y^2-8y+16$.

№ 33.14

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $(x+5)^3-(x+1)^3-4(3x^2-5)+10x-7$; 2) $(x-3)^3-x^2(x+6)-5x(5-3x)-19x+1$; 3) $(y+4)^3+(3y+1)^3-7y^2(4y+9)+24y^2+8$; 4) $(4y-5)^3-(4y+5)^3-48y(1-10y)+5-14y^2$.

Қалай ойлаймыз. Сол тәсіл: кубты аштық, жақшаларды аштық, ұқсас мүшелерді жияндық.

Шешуі.

1. $(x+5)^3-(x+1)^3=(x^3+15x^2+75x+125)-(x^3+3x^2+3x+1)=12x^2+72x+124$. Әрі қарай $-12x^2+20+10x-7$. Барлығы: $82x+137$.
2. $x^3-9x^2+27x-27-x^3-6x^2-25x+15x^2-19x+1$. $x^2$ бойынша: $-9-6+15=0$. $x$ бойынша: $27-25-19=-17$. Бос мүше: $-27+1=-26$. Барлығы: $-17x-26$.
3. $(y+4)^3=y^3+12y^2+48y+64$; $(3y+1)^3=27y^3+27y^2+9y+1$; $-7y^2(4y+9)=-28y^3-63y^2$. $+24y^2+8$ қоссақ: $y^3$ бойынша $1+27-28=0$; $y^2$ бойынша $12+27-63+24=0$; $y$ бойынша $48+9=57$; бос мүше $64+1+8=73$. Барлығы: $57y+73$.
4. $(4y-5)^3-(4y+5)^3=-2(3\cdot16y^2\cdot5+125)=-480y^2-250$. Әрі қарай $-48y+480y^2+5-14y^2$. Барлығы: $-14y^2-48y-245$.

Жауабы: 1) $82x+137$; 2) $-17x-26$; 3) $57y+73$; 4) $-14y^2-48y-245$.

№ 33.15

Теңдеулерді шешіңдер: 1) $(x+2)^3-(x-2)^3=2x(6x+2)$; 2) $(x+3)^3-(x-4)^3=21x^2+7$; 3) $(x+2)^3+3x^2-11=(x+3)^3$; 4) $(x-3)^3=x^2(x-9)+27$.

Қалай ойлаймыз. Тағы да кубтар «кетеді», ал квадраттар тек шынымен қысқарылатын жерде ғана қалмайды.

Шешуі.

1. $(x+2)^3-(x-2)^3=12x^2+16$. Оң жағы $12x^2+4x$. Сонда $16=4x$, $x=4$.
2. $(x+3)^3-(x-4)^3=(x^3+9x^2+27x+27)-(x^3-12x^2+48x-64)=21x^2-21x+91$. $21x^2+7$-мен теңестіреміз: $-21x+91=7$, $x=4$.
3. Сол жағы $x^3+9x^2+12x-3$, оң жағы $x^3+9x^2+27x+27$. Сонда $12x-3=27x+27$, $-15x=30$, $x=-2$.
4. $x^3-9x^2+27x-27=x^3-9x^2+27$. Сонда $27x=54$, $x=2$.

Жауабы: 1) ${4}$; 2) ${4}$; 3) ${-2}$; 4) ${2}$. Оқулық жауабымен сәйкес келді.

№ 33.16

Теңдеулерді шешіңдер: 1) $(6-x)^3-x^2(16-x)=2x^2+116$; 2) $(y+7)^3+y(13-y^2)=21y^2+23$; 3) $(4-3z)^3+z(14+27z^2)=108z^2+77$; 4) $(5x+2)^3-25x(5x^2-4)=150x^2+21$.

Қалай ойлаймыз. Кубты ашамыз, ең жоғарғы дәреже көбейтіндімен қысқарады, сызықтық теңдеу қалады.

Шешуі.

1. $216-108x+18x^2-x^3-16x^2+x^3=2x^2+116$. Сол жағы $216-108x+2x^2$. Демек $100=108x$, $x=\frac{25}{27}$.
2. $y^3+21y^2+147y+343+13y-y^3=21y^2+23$. Сол жағы $21y^2+160y+343$. Демек $160y=-320$, $y=-2$.
3. $64-144z+108z^2-27z^3+14z+27z^3=108z^2+77$. Сол жағы $108z^2-130z+64$. Демек $-130z=13$, $z=-\frac1{10}=-0{,}1$.
4. $125x^3+150x^2+60x+8-125x^3+100x=150x^2+21$. Сол жағы $150x^2+160x+8$. Демек $160x=13$, $x=\frac{13}{160}$.

Жауабы: 1) $\frac{25}{27}$; 2) $-2$; 3) $-0{,}1$; 4) $\frac{13}{160}$.

C деңгейі

Мұнда есептер қиынырақ. Тіпті кеңеспен шығарсаң да — бұл өте жақсы, жарайсың!

№ 33.17

Теңсіздіктің шешімі болатын ең үлкен бүтін санды табыңдар: 1) $(2-3x)^3-54x^2\leqslant-27x^3-41x$; 2) $(3+2x)^3-36x^2\geqslant60x+8x^3$.

Қалай ойлаймыз. Кубты аш — куб мүшелер қысқарады, теңсіздік сызықтық болады. Ұмытпа: теріс санға бөлгенде теңсіздік таңбасы өзгереді.

Шешуі.

1. $8-36x+54x^2-27x^3-54x^2\leqslant-27x^3-41x$. Қысқартамыз: $8-36x\leqslant-41x$, $5x\leqslant-8$, $x\leqslant-1{,}6$. Ең үлкен бүтін сан — $-2$.
2. $27+54x+36x^2+8x^3-36x^2\geqslant60x+8x^3$. Қысқартамыз: $27+54x\geqslant60x$, $27\geqslant6x$, $x\leqslant4{,}5$. Ең үлкен бүтін сан — $4$.

Жауабы: 1) $-2$; 2) $4$.

№ 33.18

Теңсіздіктің шешімі болатын ең кіші бүтін санды табыңдар: 1) $(x-7)^3+42x^2\geqslant(x+7)^3+14-7x$; 2) $(6+x)^3-220x\leqslant2x^3-(x-6)^3+19$.

Қалай ойлаймыз. Қадамдары сол. $(x+7)^3$ және $(x-7)^3$ кубтарының қосындысы мен айырымын жұптап есептеген ыңғайлы: $7$-нің тақ дәрежелерінің таңбасы өзгереді.

Шешуі.

1. $(x+7)^3-(x-7)^3=42x^2+686$. Теңсіздік: $42x^2-(42x^2+686)\geqslant14-7x$, яғни $-686\geqslant14-7x$, $7x\geqslant700$, $x\geqslant100$. Ең кіші бүтін сан — $100$.
2. $(x+6)^3+(x-6)^3=2x^3+216x$. Теңсіздік: $2x^3+216x-220x-2x^3\leqslant19$, яғни $-4x\leqslant19$, $x\geqslant-4{,}75$. Ең кіші бүтін сан — $-4$.

Жауабы: 1) $100$; 2) $-4$.

№ 33.19

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(b+5)^3-b(b-5)^2-25(1+b)^2=100$; 2) $5(1-b)^3+5b(1+b)^2-(1-5b)^2=4$; 3) $(2b-3)^3-4b^2(2b-6)+6b(2b-9)=-27$; 4) $(b+2)^3+(2b+1)^3-9b(b^2+2b+2)-10=-1$.

Қалай ойлаймыз. Барлық жақшаны аш. Барлық $b$ жойылуы керек — тек сан қалады.

Шешуі.

1. $(b^3+15b^2+75b+125)-(b^3-10b^2+25b)-(25+50b+25b^2)$. $b^2$ бойынша: $15+10-25=0$; $b$ бойынша: $75-25-50=0$; бос мүше $125-25=100$. ✓
2. $(5-15b+15b^2-5b^3)+(5b+10b^2+5b^3)-(1-10b+25b^2)$. $b^3$ бойынша: $0$; $b^2$ бойынша: $15+10-25=0$; $b$ бойынша: $-15+5+10=0$; бос мүше $5-1=4$. ✓
3. $(8b^3-36b^2+54b-27)-(8b^3-24b^2)+(12b^2-54b)$. $b^2$ бойынша: $-36+24+12=0$; $b$ бойынша: $54-54=0$; бос мүше $-27$. ✓
4. $(b^3+6b^2+12b+8)+(8b^3+12b^2+6b+1)-(9b^3+18b^2+18b)-10$. $b^3$ бойынша: $1+8-9=0$; $b^2$ бойынша: $6+12-18=0$; $b$ бойынша: $12+6-18=0$; бос мүше $8+1-10=-1$. ✓

Жауабы: барлық тармақта айнымалы қысқарып, оң жақтағы сан шықты; тепе-теңдіктер дәлелденді.

№ 33.20

Айнымалылардың кез келген мәнінде өрнектің мәні нөлге тең болатынын дәлелдеңдер: 1) $(a+x)^3-a(a+x)^2-x^2(2a+x)-a^2x$; 2) $(a-1)^3+3(a-1)^2+3(a-1)+1-a^3$; 3) $(x^3+y^3)^2-(x^2+y^2)^3+3x^2y^2(x+y)^2-8x^3y^3$; 4) $(m-3n)^3-(2m-3n)(3mn+(m-3n)^2)+m^3$.

Қалай ойлаймыз. Барлығы қысқарып, нөл қалатынын көрсету керек. Кейде таныс кубты байқау көмектеседі.

Шешуі.

1. $(a+x)^3-a(a+x)^2=(a+x)^2\cdot x=a^2x+2ax^2+x^3$. $x^2(2a+x)=2ax^2+x^3$ және $a^2x$ алсақ, $0$ қалады.
2. Байқа: $(a-1)^3+3(a-1)^2\cdot1+3(a-1)\cdot1^2+1^3=((a-1)+1)^3=a^3$ — бұл қосындының кубы. Сонда $a^3-a^3=0$.
3. $(x^3+y^3)^2=x^6+2x^3y^3+y^6$; $(x^2+y^2)^3=x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6$; $3x^2y^2(x+y)^2=3x^4y^2+6x^3y^3+3x^2y^4$. Қосамыз: $x^6,\ y^6,\ x^4y^2,\ x^2y^4$ қысқарады, $2x^3y^3+6x^3y^3-8x^3y^3=0$ қалады.
4. Ішінде: $3mn+(m-3n)^2=m^2-3mn+9n^2$. Сонда $(2m-3n)(m^2-3mn+9n^2)=2m^3-9m^2n+27mn^2-27n^3$. Ал $(m-3n)^3=m^3-9m^2n+27mn^2-27n^3$. Осы екеуінің айырымы: $-m^3$. $m^3$ қоссақ: $0$.

Жауабы: төрт жағдайда да өрнектің мәні $0$-ге тең.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 33.21

Амалдарды орындаңдар: 1) $(a+2b)(a^2+ab+b^2)$; 2) $(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)$.

Қалай ойлаймыз. Бұл — көпмүшені көпмүшеге «әрқайсысын әрқайсысына» көбейту. Нәтиже келесі параграфта керек болады.

Шешуі.

1. $a^3+a^2b+ab^2+2a^2b+2ab^2+2b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+2b^3$.
2. $a^3+3a^2b+9ab^2-3a^2b-9ab^2-27b^3=a^3-27b^3$. Ортаңғы қосылғыштар қысқарды!

Жауабы: 1) $a^3+3a^2b+3ab^2+2b^3$; 2) $a^3-27b^3$.

№ 33.22

Бірінші текшенің қабырғасының ұзындығы $a$ см-ге, ал екінші текшенің қабырғасының ұзындығы $b$ см-ге тең. Текшелер көлемдерінің қосындысын формула арқылы өрнектеңдер.

Қалай ойлаймыз. Текшенің көлемі — қабырғасының кубы.

Шешуі. Бірінші текше: $a\cdot a\cdot a=a^3$ см³. Екіншісі: $b^3$ см³. Қосамыз.

Жауабы: $V=a^3+b^3$ (см³).

Жадынама

• Қосындының кубы — $(a+b)^2(a+b)$.
• Қосындының кубында бәрі плюс, ал айырымның кубында таңбалар кезектеседі.
• $(5z-2)^3$ өрнегінде кубқа сан да, әріп те шығады: $(5z)^3=125z^3$.
• Теңдеулер мен теңсіздіктерде $x^3$ кубтары көбіне қысқарады.
• Тепе-теңдікті дәлелдеу — жақшаларды ашып, екінші жағын шығару.

Шағын тест