§ 34. Екі өрнектің кубтарының қосындысы мен кубтарының айырымының формулалары

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 5 бөлім: Қысқаша көбейту формулалары. 200–204-беттер.

Нені үйренесің

• $a^3+b^3$ және $a^3-b^3$ формулаларын көпмүшелерді көбейту арқылы дәлелдеуді.
• Бұл формулаларды сөзбен оқуды: «айырымның толымсыз квадраты» және «қосындының толымсыз квадраты».
• Кубтардың қосындысы мен айырымын, оның ішінде бөлшектер мен дәрежелер қатысқанда да, көбейткіштерге жіктеуді.
• $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ түріндегі көбейтіндіні кубтардың қосындысына айналдыруды.
• Осы формулалармен өрнектерді ықшамдауды, теңдеулер мен теңсіздіктер шешуді, тепе-теңдіктерді дәлелдеуді.

Ой қозғау

Мұнда сандағы немесе бірмүшедегі кубты тани білу керек. Жауаптарын басып аш.

• $0{,}008$ санын куб түрінде қалай жазамыз? $0{,}2^3$, өйткені $0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}2=0{,}008$.
• $\frac1{27}$ санын куб түрінде қалай жазамыз? $\left(\frac13\right)^3$.
• Кубы $64x^6$ болатын өрнек қандай? $4x^2$, себебі $(4x^2)^3=64x^6$.
• $(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)$ қалай ашылады? Бұл — № 33.21, 2-тармақ: $a^3-27b^3$ шығады. Ортаңғы қосылғыштар қысқарды, мұны есіңде сақта.
• $(a-b)^2$ неге тең? $a^2-2ab+b^2$. Айырымның квадратында ортасында $2ab$ тұратынын, $ab$ емес екенін ұмытпа.

Тақырыпты талдаймыз

Ортасы қысқаратын формула

Бұрын $(a+b)^3$ формуласында төрт қосылғыш шығатын. Енді басқа жақшалар жұбын алайық: $a+b$ қосындысы және «толымсыз квадрат» $a^2-ab+b^2$. Көбейтеміз:

$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3.$

$-a^2b$ және $+a^2b$ қосылғыштары қысқарады, $ab^2$ да солай. Тек кубтар қалады.

📌 Кубтардың қосындысы: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Сөзбен айтқанда: екі өрнектің кубтарының қосындысы осы екі өрнектің қосындысы мен олардың айырымының толымсыз квадратының көбейтіндісіне тең.

📌 Кубтардың айырымы: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Сөзбен айтқанда: екі өрнектің кубтарының айырымы осы екі өрнектің айырымы мен олардың қосындысының толымсыз квадратының көбейтіндісіне тең.

Екінші формуланы өзің дәлелде: $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ көбейтіп, ортасын қысқарт.

Неге «толымсыз»

Айырымның толық квадраты — $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Ал кубтардың қосындысы формуласында $a^2-ab+b^2$ тұр: ортасында $2ab$ емес, тек $ab$. Сондықтан оны толымсыз квадрат дейді.

💡 Таңбалар суретін есте сақта. Кубтардың қосындысында: $(+)\ (-)\ (+)$ — бірінші жақшада плюс, екінші жақшаның ортасында минус. Кубтардың айырымында: $(-)\ (+)\ (+)$.

⚠️ Жиі кететін қате. Екінші жақшада екі еселенген көбейтінді жоқ: $a^3+b^3\ne(a+b)^3$ және $a^3+b^3\ne(a+b)(a^2+2ab+b^2)$. «Толымсыз» деген сөз еске салады: екі еселену жоқ.

Көбейткіштерге қалай жіктейміз

Алдымен әр қосылғыш үшін «бұл кімнің кубы?» деген сұраққа жауап бер, сосын формулаға қой.

1) $n^6+\frac8{125}m^3$. $n^6=(n^2)^3$ және $\frac8{125}m^3=\left(\frac25m\right)^3$. Сонда

$n^6+\frac8{125}m^3=\left(n^2+\frac25m\right)\left(n^4-\frac25mn^2+\frac4{25}m^2\right).$

2) $8c^3+(3-2c)(9+6c+4c^2)$ өрнегін ықшамдаймыз. Екінші бөлігі — кубтардың айырымы $3^3-(2c)^3=27-8c^3$. Сонда $8c^3+27-8c^3=27$.

Бұл сандарда жұмыс істей ме

1001 санының «құпиясын» ашайық: $1001=1000+1=10^3+1^3=(10+1)(100-10+1)=11\cdot91=11\cdot7\cdot13$. Міне, 7, 11 және 13 бөлгіштері осыдан шығады.

Графикті көрейік

$y=x^3-8$ графигі $x$ осін бір ғана рет, $x=2$ нүктесінде қияды. Бұл $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ жіктелуіне меңзейді: бірінші жақша $x=2$ түбірін береді, ал екінші жақша кез келген $x$ үшін оң болады да, түбір бермейді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан кез келген жіктеу алдында айтқызыңыз: «бұл қосынды ма, айырым ба? кімнің кубтары?». Егер екі қосылғыш та нақты кубтар болса, формула жұмыс істейді. Таңбаларға кеңес: екінші жақшаның ортасындағы таңба кубтардың арасындағы таңбаға әрдайым қарама-қарсы.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Кубтардың қосындысы (айырымы) формуласы қосындының (айырымның) кубы формуласынан несімен ерекшеленеді? Қосындының кубы төрт қосылғышқа ашылады: $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Ал кубтардың қосындысы $a^3+b^3$ — екімүше, ол көбейткіштерге жіктеледі: $(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
• Неге «айырымның толымсыз квадраты» дейді? Айырымның толық квадратында $a^2-2ab+b^2$ ортасында $2ab$ тұр. Кубтардың қосындысы формуласында ортасында тек $ab$ тұр, сондықтан квадрат «толымсыз».
• Кубтардың айырымы формуласын қалай оқиды? Екі өрнектің кубтарының айырымы осы өрнектердің айырымы мен олардың қосындысының толымсыз квадратының көбейтіндісіне тең.
• Жіктеудің дұрыстығын қалай тексереді? Жақшаларды көбейтеді: бастапқы кубтар шығуы керек.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 34.1

Көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $a^3+x^3$; 2) $y^3-b^3$; 3) $t^3-n^3$; 4) $m^3+k^3$; 5) $z^3-8$; 6) $64+s^3$; 7) $125-x^3$; 8) $1000+y^3$.

Қалай ойлаймыз. Кубтардың қосындысы: $(\text{бірінші}+\text{екінші})\cdot(\text{бірінші}^2-\text{бірінші}\cdot\text{екінші}+\text{екінші}^2)$. Кубтардың айырымында таңбалар «минус, плюс, плюс».

Шешуі.

1. $(a+x)(a^2-ax+x^2)$.
2. $(y-b)(y^2+yb+b^2)$.
3. $(t-n)(t^2+tn+n^2)$.
4. $(m+k)(m^2-mk+k^2)$.
5. $8=2^3$: $(z-2)(z^2+2z+4)$.
6. $64=4^3$: $(4+s)(16-4s+s^2)$.
7. $125=5^3$: $(5-x)(25+5x+x^2)$.
8. $1000=10^3$: $(10+y)(100-10y+y^2)$.

Жауабы: 1) $(a+x)(a^2-ax+x^2)$; 2) $(y-b)(y^2+yb+b^2)$; 3) $(t-n)(t^2+tn+n^2)$; 4) $(m+k)(m^2-mk+k^2)$; 5) $(z-2)(z^2+2z+4)$; 6) $(4+s)(16-4s+s^2)$; 7) $(5-x)(25+5x+x^2)$; 8) $(10+y)(100-10y+y^2)$.

№ 34.2

Көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $27-a^3$; 2) $b^3+125$; 3) $64-m^3$; 4) $8+q^3$; 5) $0{,}008+a^3$; 6) $0{,}216-b^3$; 7) $0{,}027+n^3$; 8) $0{,}125-m^3$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен негіз сандарын тап: $27=3^3$, $0{,}008=0{,}2^3$, $0{,}216=0{,}6^3$ және т.б.

Шешуі.

1. $(3-a)(9+3a+a^2)$.
2. $(b+5)(b^2-5b+25)$.
3. $(4-m)(16+4m+m^2)$.
4. $(2+q)(4-2q+q^2)$.
5. $(0{,}2+a)(0{,}04-0{,}2a+a^2)$.
6. $(0{,}6-b)(0{,}36+0{,}6b+b^2)$.
7. $(0{,}3+n)(0{,}09-0{,}3n+n^2)$.
8. $(0{,}5-m)(0{,}25+0{,}5m+m^2)$.

Жауабы: 1) $(3-a)(9+3a+a^2)$; 2) $(b+5)(b^2-5b+25)$; 3) $(4-m)(16+4m+m^2)$; 4) $(2+q)(4-2q+q^2)$; 5) $(0{,}2+a)(0{,}04-0{,}2a+a^2)$; 6) $(0{,}6-b)(0{,}36+0{,}6b+b^2)$; 7) $(0{,}3+n)(0{,}09-0{,}3n+n^2)$; 8) $(0{,}5-m)(0{,}25+0{,}5m+m^2)$.

№ 34.3

Көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $\frac18-b^3$; 2) $\frac1{27}+c^3$; 3) $\frac1{64}-d^3$; 4) $\frac1{125}+t^3$; 5) $\frac8{27}+z^3$; 6) $y^3-\frac{27}{64}$; 7) $k^3+\frac{27}{125}$; 8) $\frac1{216}-z^3$.

Қалай ойлаймыз. Куб бөлшек: алымы да, бөлімі де бөлек-бөлек куб. $\frac18=\left(\frac12\right)^3$, $\frac{27}{64}=\left(\frac34\right)^3$.

Шешуі.

1. $\left(\frac12-b\right)\left(\frac14+\frac12b+b^2\right)$.
2. $\left(\frac13+c\right)\left(\frac19-\frac13c+c^2\right)$.
3. $\left(\frac14-d\right)\left(\frac1{16}+\frac14d+d^2\right)$.
4. $\left(\frac15+t\right)\left(\frac1{25}-\frac15t+t^2\right)$.
5. $\left(\frac23+z\right)\left(\frac49-\frac23z+z^2\right)$.
6. $\left(y-\frac34\right)\left(y^2+\frac34y+\frac9{16}\right)$.
7. $\left(k+\frac35\right)\left(k^2-\frac35k+\frac9{25}\right)$.
8. $\left(\frac16-z\right)\left(\frac1{36}+\frac16z+z^2\right)$.

Жауабы: 1) $\left(\frac12-b\right)\left(\frac14+\frac b2+b^2\right)$; 2) $\left(\frac13+c\right)\left(\frac19-\frac c3+c^2\right)$; 3) $\left(\frac14-d\right)\left(\frac1{16}+\frac d4+d^2\right)$; 4) $\left(\frac15+t\right)\left(\frac1{25}-\frac t5+t^2\right)$; 5) $\left(\frac23+z\right)\left(\frac49-\frac{2z}3+z^2\right)$; 6) $\left(y-\frac34\right)\left(y^2+\frac{3y}4+\frac9{16}\right)$; 7) $\left(k+\frac35\right)\left(k^2-\frac{3k}5+\frac9{25}\right)$; 8) $\left(\frac16-z\right)\left(\frac1{36}+\frac z6+z^2\right)$.

№ 34.4

Көбейтіндіні көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $(a+2)(a^2-2a+4)$; 2) $(1-x^2)(1+x^2+x^4)$; 3) $(k-5)(k^2+5k+25)$; 4) $(3+m)(9-3m+m^2)$; 5) $(1+a^3)(1-a^3+a^6)$; 6) $(4-n^2)(16+4n^2+n^4)$; 7) $(25-5y^2+y^4)(5+y^2)$; 8) $(64+8z^3+z^6)(8-z^3)$.

Қалай ойлаймыз. Бұл — формулаларды оңнан солға қолдану: «жақша + толымсыз квадрат» тұрғанын танып, бірден кубтарды жазамыз.

Шешуі.

1. $a^3+2^3=a^3+8$.
2. $1^3-(x^2)^3=1-x^6$.
3. $k^3-5^3=k^3-125$.
4. $3^3+m^3=27+m^3$.
5. $1^3+(a^3)^3=1+a^9$.
6. $4^3-(n^2)^3=64-n^6$.
7. $5^3+(y^2)^3=125+y^6$.
8. $8^3-(z^3)^3=512-z^9$.

Жауабы: 1) $a^3+8$; 2) $1-x^6$; 3) $k^3-125$; 4) $27+m^3$; 5) $1+a^9$; 6) $64-n^6$; 7) $125+y^6$; 8) $512-z^9$.

№ 34.5

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $(x-10)(x^2+10x+100)-x^3$; 2) $216-(a+6)(a^2-6a+36)$; 3) $y^3+(7-y)(49+7y+y^2)$; 4) $600-(8-z)(z^2+8z+64)$.

Қалай ойлаймыз. Жақшалардағы көбейтінді — таза куб. Жинап, есептейміз.

Шешуі.

1. $(x^3-1000)-x^3=-1000$.
2. $216-(a^3+216)=-a^3$.
3. $y^3+(343-y^3)=343$.
4. $600-(512-z^3)=88+z^3$.

Жауабы: 1) $-1000$; 2) $-a^3$; 3) $343$; 4) $z^3+88$.

№ 34.6

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $(a-1)(a^2+a+1)-a^2(a-8)$; 2) $(b+2)(b^2-2b+4)-b(b^2-1)$; 3) $2x^3+7(x^2-x+1)(x+1)$; 4) $y^3-(y-3)(y^2+3y+9)$.

Қалай ойлаймыз. Кубты жинаймыз, қалған жақшаларды ашамыз, ұқсас мүшелерді біріктіреміз.

Шешуі.

1. $(a^3-1)-a^3+8a^2=8a^2-1$.
2. $(b^3+8)-b^3+b=8+b$.
3. $2x^3+7(x^3+1)=9x^3+7$.
4. $y^3-(y^3-27)=27$.

Жауабы: 1) $8a^2-1$; 2) $8+b$; 3) $9x^3+7$; 4) $27$. Оқулық жауабымен сәйкес келді.

№ 34.7

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(2x-3)(4x^2+6x+9)-8x^3=2{,}7x$; 2) $(3+4x)(16x^2-12x+9)-64x^3=-10x$; 3) $(5-2x)(4x^2+10x+25)=2{,}5x-8x^3$; 4) $(6-5x)(36+30x+25x^2)=108x-125x^3$.

Қалай ойлаймыз. Жақшалар кубтардың айырымына немесе қосындысына жиналады, кубтар қысқарады, сызықтық теңдеу қалады.

Шешуі.

1. $(2x)^3-27-8x^3=-27$. Сонда $-27=2{,}7x$, $x=-10$.
2. $27+64x^3-64x^3=27$. Сонда $27=-10x$, $x=-2{,}7$.
3. $125-8x^3=2{,}5x-8x^3$. Сонда $125=2{,}5x$, $x=50$.
4. $216-125x^3=108x-125x^3$. Сонда $216=108x$, $x=2$.

Жауабы: 1) $-10$; 2) $-2{,}7$; 3) $50$; 4) $2$.

№ 34.8

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $(1-4x)(1+4x+16x^2)-6x^3\leqslant10x-70x^3$; 2) $99x^3-(1+5x)(1-5x+25x^2)\geqslant12x-26x^3$.

Қалай ойлаймыз. Сол тәсіл. Теріс санға бөлгенде таңбаны қадағала.

Шешуі.

1. $(1-64x^3)-6x^3\leqslant10x-70x^3$, яғни $1-70x^3\leqslant10x-70x^3$. Қысқартамыз: $1\leqslant10x$, $x\geqslant0{,}1$.
2. $(1+5x)(1-5x+25x^2)=1+125x^3$. Сонда $99x^3-1-125x^3=-26x^3-1$. Теңсіздік: $-26x^3-1\geqslant12x-26x^3$. Қысқартамыз: $-1\geqslant12x$, $x\leqslant-\frac1{12}$.

Жауабы: 1) $[0{,}1;\ +\infty)$; 2) $\left(-\infty;\ -\frac1{12}\right]$. Оқулық жауабымен сәйкес келді.

№ 34.9

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(5x-6)(25x^2+30x+36)-0{,}25(500x^3-864)=0$; 2) $91x^3-(3x-4)(9x^2+12x+16)-(3+4x)(9-12x+16x^2)=37$.

Қалай ойлаймыз. Жақшалар кубтарға айналады, $x$ жойылуы керек.

Шешуі.

1. $(5x)^3-6^3=125x^3-216$. $0{,}25\cdot500x^3=125x^3$, $0{,}25\cdot864=216$, демек $125x^3-216$ шегереміз. $0$ шығады. ✓
2. $(3x-4)(9x^2+12x+16)=27x^3-64$; $(3+4x)(9-12x+16x^2)=27+64x^3$. Сонда $91x^3-27x^3+64-27-64x^3=37$. ✓

Жауабы: сол жағы оң жағына тең, тепе-теңдіктер дәлелденді.

B деңгейі

№ 34.10

Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңдер: 1) $a^3-27b^3$; 2) $m^3n^3+k^3$; 3) $x^6-y^6$; 4) $k^6+(pq)^6$; 5) $(a-b)^3+b^3$; 6) $(x-2)^3-27$; 7) $8a^3+(a-b)^3$; 8) $27x^3-y^3(x-y)^3$.

Қалай ойлаймыз. Кейде куб негізі — жақшадағы тұтас өрнек: онда формулаға $a$ немесе $b$ орнына жақшаның өзін қоямыз. 3) өрнекті квадраттардың айырымы ретінде де, кубтардың айырымы ретінде де жіктеуге болады.

Шешуі.

1. $(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)$.
2. $(mn+k)(m^2n^2-mnk+k^2)$.
3. $x^6-y^6=(x^3-y^3)(x^3+y^3)=(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
4. $k^6=(k^2)^3$ және $(pq)^6=(p^2q^2)^3$: $(k^2+p^2q^2)(k^4-k^2p^2q^2+p^4q^4)$.
5. Мұнда $a-b$ және $b$: $(a-b+b)\left((a-b)^2-(a-b)b+b^2\right)=a(a^2-2ab+b^2-ab+b^2+b^2)=a(a^2-3ab+3b^2)$.
6. $(x-2)^3-3^3=(x-2-3)\left((x-2)^2+3(x-2)+9\right)=(x-5)(x^2-4x+4+3x-6+9)=(x-5)(x^2-x+7)$.
7. $(2a)^3+(a-b)^3=(2a+a-b)\left(4a^2-2a(a-b)+(a-b)^2\right)=(3a-b)(4a^2-2a^2+2ab+a^2-2ab+b^2)=(3a-b)(3a^2+b^2)$.
8. $(3x)^3-\left(y(x-y)\right)^3=(3x-xy+y^2)\left(9x^2+3xy(x-y)+y^2(x-y)^2\right)$.

Жауабы: 1) $(a-3b)(a^2+3ab+9b^2)$; 2) $(mn+k)(m^2n^2-mnk+k^2)$; 3) $(x-y)(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$; 4) $(k^2+p^2q^2)(k^4-k^2p^2q^2+p^4q^4)$; 5) $a(a^2-3ab+3b^2)$; 6) $(x-5)(x^2-x+7)$; 7) $(3a-b)(3a^2+b^2)$; 8) $(3x-xy+y^2)\left(9x^2+3xy(x-y)+y^2(x-y)^2\right)$.

№ 34.11

Көбейтіндіні көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $\left(x+\frac13\right)\left(\frac19-\frac13x+x^2\right)$; 2) $\left(n-\frac12\right)\left(n^2+\frac12n+\frac14\right)$; 3) $\left(\frac12a+\frac13b\right)\left(\frac14a^2-\frac16ab+\frac19b^2\right)$; 4) $\left(\frac14y^2-yz+4z^2\right)\left(\frac12y+2z\right)$.

Қалай ойлаймыз. Формуланы танимыз: бір жақша — $a\pm b$, екіншісі — толымсыз квадрат. Екінші жақшаның ортасы дәл $ab$-ға тең екенін тексер.

Шешуі.

1. $a=x$, $b=\frac13$: $ab=\frac13x$ ✓, $b^2=\frac19$ ✓. Нәтиже: $x^3+\frac1{27}$.
2. $a=n$, $b=\frac12$: $n^3-\frac18$.
3. Бірінші өрнек $\frac12a$, екіншісі $\frac13b$: олардың көбейтіндісі $\frac16ab$ ✓, квадраттары $\frac14a^2$ және $\frac19b^2$ ✓. Нәтиже: $\frac18a^3+\frac1{27}b^3$.
4. Екінші көбейткіш: $\frac12y+2z$. Сонда $A=\frac12y$, $B=2z$: $A^2=\frac14y^2$ ✓, $AB=yz$ ✓, $B^2=4z^2$ ✓. Нәтиже: $\frac18y^3+8z^3$.

Жауабы: 1) $x^3+\frac1{27}$; 2) $n^3-\frac18$; 3) $\frac18a^3+\frac1{27}b^3$; 4) $\frac18y^3+8z^3$.

№ 34.12

Көпмүшені көбейтінді түрінде жазыңдар: 1) $m^3-n^3+2n-2m$; 2) $3a^3-3b^3+5a^2-5b^2$; 3) $x^6+y^6+x^2+y^2$; 4) $a^3-b^3+a^2-b^2$; 5) $x^4+xy^3-x^3y-y^4$; 6) $a^4-a^3b+ab^3-b^4$.

Қалай ойлаймыз. Қосылғыштарды жұптап топтаймыз: әр жұпта куб немесе квадрат формуласын қолдануға болатындай. Сосын ортақ жақшаны шығарамыз.

Шешуі.

1. $(m^3-n^3)-2(m-n)=(m-n)(m^2+mn+n^2)-2(m-n)=(m-n)(m^2+mn+n^2-2)$.
2. $3(a^3-b^3)+5(a^2-b^2)=(a-b)\left(3(a^2+ab+b^2)+5(a+b)\right)=(a-b)(3a^2+3ab+3b^2+5a+5b)$.
3. $(x^6+y^6)+(x^2+y^2)=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)+(x^2+y^2)=(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4+1)$.
4. $(a-b)(a^2+ab+b^2)+(a-b)(a+b)=(a-b)(a^2+ab+b^2+a+b)$.
5. $(x^4-y^4)-xy(x^2-y^2)=(x^2-y^2)(x^2+y^2)-xy(x^2-y^2)=(x^2-y^2)(x^2-xy+y^2)=(x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
6. $(a^4-b^4)-ab(a^2-b^2)=(a^2-b^2)(a^2+b^2-ab)=(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Жауабы: 1) $(m-n)(m^2+mn+n^2-2)$; 2) $(a-b)(3a^2+3ab+3b^2+5a+5b)$; 3) $(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4+1)$; 4) $(a-b)(a^2+ab+b^2+a+b)$; 5) $(x-y)(x+y)(x^2-xy+y^2)$; 6) $(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

№ 34.13

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $2a^3+9-2(a+1)(a^2-a+1)$; 2) $x(x+2)(x-2)-(x-3)(x^2+3x+9)$; 3) $3(b-1)^2+(b+2)(b^2-2b+4)-(b+1)^3$; 4) $(a-1)^3-4a(a+1)(a-1)+3(a-1)(a^2+a+1)$.

Қалай ойлаймыз. Кубтарды да, квадраттарды да қолданамыз: $(x+2)(x-2)=x^2-4$, $(a+1)(a-1)=a^2-1$.

Шешуі.

1. $2a^3+9-2(a^3+1)=7$.
2. $x(x^2-4)-(x^3-27)=x^3-4x-x^3+27=27-4x$.
3. $3b^2-6b+3+b^3+8-b^3-3b^2-3b-1=10-9b$.
4. $a^3-3a^2+3a-1-4a^3+4a+3a^3-3=-3a^2+7a-4$.

Жауабы: 1) $7$; 2) $27-4x$; 3) $10-9b$; 4) $-3a^2+7a-4$.

№ 34.14

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $(x+2)(x^2-2x+4)-x(x-3)(x+3)-42$; 2) $(x-3)(x^2+3x+9)-x(x^2-16)+21$; 3) $(2x-1)(4x^2+2x+1)-23-4x(2x^2+3)$; 4) $16x(4x^2-5)+17-(4x+1)(16x^2-4x+1)$.

Қалай ойлаймыз. Сол әдістер: жақшалардан кубтар, квадраттардың айырымы $(x-3)(x+3)=x^2-9$.

Шешуі.

1. $x^3+8-x(x^2-9)-42=x^3+8-x^3+9x-42=9x-34$.
2. $x^3-27-x^3+16x+21=16x-6$.
3. $8x^3-1-23-8x^3-12x=-12x-24$.
4. $64x^3-80x+17-64x^3-1=16-80x$.

Жауабы: 1) $9x-34$; 2) $16x-6$; 3) $-12x-24$; 4) $16-80x$. Оқулық жауабымен 1 және 3-тармақтарда сәйкес келді.

C деңгейі

Бұл — күрделілігі жоғары есептер. Біреуін болса да шығарсаң — бұл өте жақсы нәтиже.

№ 34.15

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $6(x+1)^2+2(x-1)(x^2+x+1)-2(x+1)^3$; 2) $5x(x-3)^2-5(x-1)^3+15(x+2)(x-2)$; 3) $(x+2)^3-x(3x+1)^2+(2x+1)(4x^2-2x+1)$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда қосындының кубы да, кубтардың айырымы да, квадраттар да бар. Қосылғыштарды бір-бірлеп аш та, нәтижесін жазып отыр.

Шешуі.

1. $6x^2+12x+6+2(x^3-1)-2(x^3+3x^2+3x+1)=6x^2+12x+6+2x^3-2-2x^3-6x^2-6x-2=6x+2$.
2. $5x(x^2-6x+9)=5x^3-30x^2+45x$; $-5(x^3-3x^2+3x-1)=-5x^3+15x^2-15x+5$; $15(x^2-4)=15x^2-60$. Қосамыз: $30x-55$.
3. $x^3+6x^2+12x+8-9x^3-6x^2-x+8x^3+1=11x+9$.

Жауабы: 1) $6x+2$; 2) $30x-55$; 3) $11x+9$. 1-тармақ оқулық жауабымен сәйкес келді.

№ 34.16

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x^3-(x-3)(x^2+3x+9)+9x=-18x$; 2) $(x+4)(16-4x+x^2)-x(x^2+8)=-192$; 3) $y(y^2-5)-(y-2)(y^2+2y+4)+3y=0$; 4) $(5+y)(25-5y+y^2)-20y-y^3=0$.

Қалай ойлаймыз. Жақшалар кубтарға жиналады, кубтар қысқарады, сызықтық теңдеу қалады.

Шешуі.

1. $x^3-(x^3-27)+9x=-18x$. Сол жағы $27+9x$. Сонда $27=-27x$, $x=-1$.
2. $x^3+64-x^3-8x=-192$. Сонда $64-8x=-192$, $8x=256$, $x=32$.
3. $y^3-5y-(y^3-8)+3y=0$. Сонда $8-2y=0$, $y=4$.
4. $125+y^3-20y-y^3=0$. Сонда $125=20y$, $y=6{,}25$.

Жауабы: 1) $-1$; 2) $32$; 3) $4$; 4) $6{,}25$. Оқулық жауабымен сәйкес келді.

№ 34.17

Тепе-теңдіктерді дәлелдеңдер: 1) $(x+y)^3-(x-y)^3-6y(x^2-y^2)=8y^3$; 2) $(m+n)^3-(m-n)^3-2n(m^2+n^2)=4m^2n$; 3) $x^3-4-(x+2)^2+x(4+x)=x^3-8$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағын ашып, ұқсас мүшелерді біріктіреміз.

Шешуі.

1. $(x+y)^3-(x-y)^3=6x^2y+2y^3$. $6y(x^2-y^2)=6x^2y-6y^3$ алсақ, $8y^3$ қалады. ✓
2. $(m+n)^3-(m-n)^3=6m^2n+2n^3$. $2n(m^2+n^2)=2m^2n+2n^3$ алсақ, $4m^2n$ қалады. ✓
3. $x^3-4-x^2-4x-4+4x+x^2=x^3-8$. ✓

Жауабы: сол жақтары оң жақтарына келтіріледі, тепе-теңдіктер дәлелденді.

№ 34.18

Тепе-теңдіктерді дәлелдеңдер: 1) $(a^2-3)^3-(a^2-4)(a^2+4)-a^2(a^4-10a^2+27)+27=16$; 2) $(b^2+3)^3-(b^2+3)(b^4-3b^2+9)-9b^2(b^2+3)=0$; 3) $(m^2-1)(m^4+m^2+1)-(m^2-1)^3+3(m^2-1)=3m^4-3$.

Қалай ойлаймыз. Формулаларды байқа: $(a^2-4)(a^2+4)=a^4-16$, $(b^2+3)(b^4-3b^2+9)=b^6+27$.

Шешуі.

1. $(a^2-3)^3=a^6-9a^4+27a^2-27$. Сонда $a^6-9a^4+27a^2-27-a^4+16-a^6+10a^4-27a^2+27=16$ (барлық $a$ қысқарды). ✓
2. $(b^2+3)^3=b^6+9b^4+27b^2+27$, $(b^2+3)(b^4-3b^2+9)=b^6+27$. Айырымы: $9b^4+27b^2$. $9b^4+27b^2$ шегерсек, $0$ шығады. ✓
3. $(m^2-1)(m^4+m^2+1)=m^6-1$; $(m^2-1)^3=m^6-3m^4+3m^2-1$. Айырымы: $3m^4-3m^2$. $3m^2-3$ қоссақ: $3m^4-3$. ✓

Жауабы: тепе-теңдіктер дәлелденді.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 34.19

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $(x+2)^2-10\leqslant12x+x^2$; 2) $24-(3-x)^2>8x-x^2$.

Қалай ойлаймыз. $x^2$ қысқарады да, теңсіздік сызықтық болады.

Шешуі.

1. $x^2+4x+4-10\leqslant12x+x^2$. $x^2$ қысқартамыз: $4x-6\leqslant12x$, $-6\leqslant8x$, $x\geqslant-\frac34$.
2. $24-9+6x-x^2>8x-x^2$. Қысқартамыз: $15+6x>8x$, $15>2x$, $x<7{,}5$.

Жауабы: 1) $\left[-\frac34;\ +\infty\right)$; 2) $(-\infty;\ 7{,}5)$.

№ 34.20

34.1-суретте берілген фигураның периметрі мен ауданын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Фигура үстінде ойығы және астында «тірегі» бар $15\times8$ тікбұрышқа ұқсайды. Сурет бойынша: үш бөліктің ені $5+5+5=15$, негізгі бөліктің биіктігі $8$, жоғарғы ойықтың ені $5$, тереңдігі $4$, төменгі тіректің ені $5$, биіктігі $4$.

Шешуі.

1. Ауданы: тікбұрыш $15\cdot8=120$. Ойық $5\cdot4=20$ алып тастайды, тірек $5\cdot4=20$ қосады. Барлығы $120-20+20=120$.
2. Периметрі. $15\times8$ тікбұрыштың периметрі $2(15+8)=46$. Ойық жоғарғы $5$ қабырғаның орнына $4+5+4=13$ жол береді, яғни $8$-ге ұзынырақ. Тірек төменгі $5$ қабырғаның орнына $4+5+4=13$ жол береді, ол да $8$-ге ұзынырақ. Барлығы $46+8+8=62$.

Жауабы: периметрі $62$, ауданы $120$ (суреттің шартты бірліктерімен).

Жадынама

• Кубтардың қосындысында бірінші жақшада плюс, ал екінші жақшаның ортасында минус тұрады.
• Кубтардың айырымында бірінші жақшада минус, ал екінші жақшада бәрі плюс.
• Екінші жақшада екілік жоқ: ортасында жай ғана $ab$.
• Жақшаның өзі де «куб негізі» бола алады: $(x-2)^3-27$.
• Есепте «жақша мен толымсыз квадраттың көбейтіндісін» көрсең — кубтардың қосындысына немесе айырымына жина.

Шағын тест