§ 35. Қысқаша көбейту формулаларының көмегімен өрнектерді түрлендіру

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 5 бөлім: Қысқаша көбейту формулалары. 204–209-беттер.

Нені үйренесің

• Жеті формуланың ішінен қажеттісін өрнектің түріне қарап таңдауды.
• Квадраттар, кубтар және көбейтінділер аралас келген ұзын өрнектерді ықшамдауды.
• «Артық» дәрежелері қысқарып кететін теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді.
• Тепе-теңдіктерді дәлелдеуді және теңсіздіктің ең үлкен және ең кіші бүтін шешімін табуды.
• Формулаларды сандар мен фигуралар туралы пайымдауларда қолдануды.

Ой қозғау

Мұнда оқулықтан жаттығу жоқ, есесіне есте сақтауға арналған сұрақтар бар. Жауабы басқанда ашылады.

• $a^2-b^2$ қалай жіктеледі? $(a-b)(a+b)$.
• $(a-b)^2$ неге тең? $a^2-2ab+b^2$.
• $(a+b)^3$ неге тең? $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
• $a^3+b^3$ қалай жіктеледі? $(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
• $3x-5=7$ теңдеуін қалай шешеміз? $3x=12$, $x=4$.

Тақырыпты талдаймыз

Жеті формула бір жерде

Міне, бүкіл «жинақ». Енді оларды салыстырып көр: формулаларды жаттамай, көзбен тануға тиіссің.

📌 Осы жеті теңдікті қысқаша көбейту формулалары деп атайды: олар жақшаларды бір-бірлеп көбейтпей, нәтижені бірден жазуға мүмкіндік береді.

💡 Формуланы қалай таңдаймыз. Квадраттағы жақшаны көрсең — қосындының немесе айырымның квадраты. Кубтағы жақшаны көрсең — куб. $(a-b)(a+b)$ түріндегі екі жақшаны көрсең — квадраттар айырымы. «Жақша және толымсыз квадратты» көрсең — кубтардың қосындысы немесе айырымы.

1-мысал. Өрнекті ықшамдаймыз

$(4-5a)^2-8a(3a+1)+(7a-4)(4+7a)$ өрнегін ықшамдайық.

2-мысал. Теңсіздікті шешеміз

$(5-2x)^2-8x\leqslant2x(2x-6)+9$ теңсіздігін шешейік. Жақшаларды ашамыз: $25-20x+4x^2-8x\leqslant4x^2-12x+9$. Екі жақтағы $4x^2$ қысқарады, қалғаны $25-28x\leqslant-12x+9$. Тасымалдаймыз: $-16x\leqslant-16$, яғни $x\geqslant1$.

⚠️ Жиі кететін қате. Теңсіздіктің екі жағын теріс санға бөлгенде таңба қарама-қарсысына ауысады. Мысалы, $-16x\leqslant-16$ теңсіздігінен $x\geqslant1$ шығады.

3-мысал. Тепе-теңдікті дәлелдейміз

$4(b-5)^2-(b-3)(b^2+3b+9)+(b+4)^3-8b(2b+1)=191$ тепе-теңдігін дәлелдейік.

Сол жағын түрлендіреміз: $4(b-5)^2=4b^2-40b+100$, $(b-3)(b^2+3b+9)=b^3-27$ және $(b+4)^3=b^3+12b^2+48b+64$, ал $8b(2b+1)=16b^2+8b$. Бәрін жинаймыз: $4b^2-40b+100-b^3+27+b^3+12b^2+48b+64-16b^2-8b$. Ұқсас қосылғыштарды біріктіреміз: $b^3$ жоғалады, $b^2$ үшін $4+12-16=0$, $b$ үшін $-40+48-8=0$, қалғаны $100+27+64=191$. Айнымалы жоғалды, нәтиже 191 болды — тепе-теңдік дұрыс.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бұл сабақ — «жаттықтырғыш»: өрнектер ұзын, қателер формуланы білмегеннен емес, зейін болмағаннан кетеді. Баладан әр қосылғышты бөлек жолға жазуын және ұқсас қосылғыштарды бірдей сызықпен асты сызуын өтініңіз (оқулықтағыдай).

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Тиімді есептеу үшін қысқаша көбейту формулаларын қалай қолданады? Өрнектен квадратты, кубты немесе жұп жақшаны танып, нәтижені бірден жазады. Мысалы, $99\cdot101=(100-1)(100+1)=10000-1=9999$.
• Бәрі аралас келген ұзын өрнекпен не істейміз? Әр қосылғышты сәйкес формула бойынша бөлек ашады, сосын ұқсас қосылғыштарды біріктіреді.
• Тепе-теңдікті қалай дәлелдейді? Сол жағын (немесе екі жағын да) бірдей түрге келтіреді.
• «Теңсіздіктің ең үлкен бүтін шешімін табу» дегеніміз не? Теңсіздікті шешіп, шыққан аралықтағы ең үлкен бүтін санды таңдау.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 35.1

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $(m^3+6n^2)^2-(6n^2-m^3)^2$; 2) $(x^2-7y^3)^2+(x^2+7y^3)^2$; 3) $(9z+2x^4)^2-(2x^4-9z)^2$; 4) $(5a^3-4b)^2+(4b+5a^3)^2$.

Қалай ойлаймыз. Мынаны есіңде сақта: $(p+q)^2-(p-q)^2=4pq$ және $(p+q)^2+(p-q)^2=2p^2+2q^2$.

Шешуі.

1. $(6n^2-m^3)^2=(m^3-6n^2)^2$. Сонда өрнек $=(m^3+6n^2)^2-(m^3-6n^2)^2=4\cdot m^3\cdot6n^2=24m^3n^2$.
2. $2\cdot(x^2)^2+2\cdot(7y^3)^2=2x^4+98y^6$.
3. $(2x^4+9z)^2-(2x^4-9z)^2=4\cdot2x^4\cdot9z=72x^4z$.
4. $(5a^3-4b)^2+(5a^3+4b)^2=2\cdot25a^6+2\cdot16b^2=50a^6+32b^2$.

Жауабы: 1) $24m^3n^2$; 2) $2x^4+98y^6$; 3) $72x^4z$; 4) $50a^6+32b^2$. 3-тармақ оқулықтың жауабымен сәйкес келді.

№ 35.2

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $(1{,}1x^2-6y)^2-(1{,}1x^2-6y)(1{,}1x^2+6y)$; 2) $(2{,}3a-7b^3)(2{,}3a+7b^3)-(2{,}3a+7b^3)^2$; 3) $(3{,}1n^3-5m)^2+(5m-3{,}1n^3)(5m+3{,}1n^3)$.

Қалай ойлаймыз. Әр тармақта ортақ жақша бар. Оны жақша сыртына шығар.

Шешуі.

1. Ортақ жақша $(1{,}1x^2-6y)$: $(1{,}1x^2-6y)\left((1{,}1x^2-6y)-(1{,}1x^2+6y)\right)=(1{,}1x^2-6y)(-12y)=-13{,}2x^2y+72y^2$.
2. Ортақ жақша $(2{,}3a+7b^3)$: $(2{,}3a+7b^3)\left((2{,}3a-7b^3)-(2{,}3a+7b^3)\right)=(2{,}3a+7b^3)(-14b^3)=-32{,}2ab^3-98b^6$.
3. $(3{,}1n^3-5m)^2=(5m-3{,}1n^3)^2$. Ортақ жақша $(5m-3{,}1n^3)$: $(5m-3{,}1n^3)\left((5m-3{,}1n^3)+(5m+3{,}1n^3)\right)=(5m-3{,}1n^3)\cdot10m=50m^2-31mn^3$.

Жауабы: 1) $72y^2-13{,}2x^2y$; 2) $-98b^6-32{,}2ab^3$; 3) $50m^2-31mn^3$. 2-тармақ оқулықтың жауабымен сәйкес келді.

№ 35.3

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $1000+a^6-(a^2+10)(a^4-10a^2+100)$; 2) $(a^3-9)(a^6+9a^3+81)-a^9-729$; 3) $0{,}512t^3-100+(0{,}8t+5)(0{,}64t^2-4t+25)$; 4) $(1{,}1d-c^3)(1{,}21d^2+1{,}1c^3d+c^6)-1{,}331d^3+2c^9$.

Қалай ойлаймыз. «Жақша мен толымсыз квадрат» көрінсе, оны кубтардың қосындысына немесе айырымына жинаймыз.

Шешуі.

1. $(a^2+10)(a^4-10a^2+100)=a^6+1000$. Сонда $1000+a^6-a^6-1000=0$.
2. $(a^3-9)(a^6+9a^3+81)=a^9-729$. Сонда $a^9-729-a^9-729=-1458$.
3. $(0{,}8t+5)(0{,}64t^2-4t+25)=0{,}512t^3+125$. Сонда $0{,}512t^3-100+0{,}512t^3+125=1{,}024t^3+25$.
4. $(1{,}1d-c^3)(\dots)=1{,}331d^3-c^9$. Сонда $1{,}331d^3-c^9-1{,}331d^3+2c^9=c^9$.

Жауабы: 1) $0$; 2) $-1458$; 3) $1{,}024t^3+25$; 4) $c^9$.

№ 35.4

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $(2+a^4)(a^8-2a^4+4)+a^{10}(1-a^2)$; 2) $k^5(k+1)-(3+k^2)(k^4-3k^2+9)$; 3) $(25-5y^4+y^8)(5+y^4)-y^6(y^6-1)$; 4) $(z^6+7z^3+49)(z^3-7)+z(1-z^8)$.

Қалай ойлаймыз. Тағы да кубтарды жинаймыз, содан кейін қалған жақшаларды ашамыз.

Шешуі.

1. $(2+a^4)(a^8-2a^4+4)=8+a^{12}$. Сонда $8+a^{12}+a^{10}-a^{12}=a^{10}+8$.
2. $k^6+k^5-(27+k^6)=k^5-27$.
3. $(5+y^4)(25-5y^4+y^8)=125+y^{12}$. Сонда $125+y^{12}-y^{12}+y^6=y^6+125$.
4. $(z^3-7)(z^6+7z^3+49)=z^9-343$. Сонда $z^9-343+z-z^9=z-343$.

Жауабы: 1) $a^{10}+8$; 2) $k^5-27$; 3) $y^6+125$; 4) $z-343$. 3-тармақ оқулықтың жауабымен сәйкес келді.

№ 35.5

Теңдеуді шешіңдер: 1) $35+(5x-1)(5x+1)=(5x+2)^2$; 2) $3+(2x+3)^2=4(x-6)(6+x)$; 3) $6-x+(2x-1)^2=4(x+3)^2$; 4) $39x+(4x+3)^2=2+4(2x+1)^2$.

Қалай ойлаймыз. Бәрін формулалар бойынша аш, $x^2$ қысқарады, сызықтық теңдеу қалады.

Шешуі.

1. $35+25x^2-1=25x^2+20x+4$. Сонда $34=20x+4$, $x=1{,}5$.
2. $3+4x^2+12x+9=4(x^2-36)$. Сонда $4x^2+12x+12=4x^2-144$, $12x=-156$, $x=-13$.
3. $6-x+4x^2-4x+1=4x^2+24x+36$. Сонда $7-5x=24x+36$, $-29=29x$, $x=-1$.
4. $39x+16x^2+24x+9=2+16x^2+16x+4$. Сонда $63x+9=16x+6$, $47x=-3$, $x=-\frac3{47}$.

Жауабы: 1) $1{,}5$; 2) $-13$; 3) $-1$; 4) $-\frac3{47}$.

№ 35.6

Теңдеуді шешіңдер: 1) $7x-(x-2)^3=13-x^2(x-6)$; 2) $10+(3-x)^3=x^2(9-x)-17$; 3) $-16+(4+x)^3=x^2(x+12)$; 4) $11-x^2(x+9)=8x-(x+3)^3$.

Қалай ойлаймыз. Жақшаның кубын формула бойынша ашамыз, $x^3$ пен $x^2$ қысқарады.

Шешуі.

1. $7x-x^3+6x^2-12x+8=13-x^3+6x^2$. Сонда $-5x+8=13$, $x=-1$.
2. $10+27-27x+9x^2-x^3=9x^2-x^3-17$. Сонда $37-27x=-17$, $54=27x$, $x=2$.
3. $-16+64+48x+12x^2+x^3=x^3+12x^2$. Сонда $48+48x=0$, $x=-1$.
4. $11-x^3-9x^2=8x-x^3-9x^2-27x-27$. Сонда $11=-19x-27$, $38=-19x$, $x=-2$.

Жауабы: 1) $-1$; 2) $2$; 3) $-1$; 4) $-2$.

№ 35.7

Теңдеудің түбірін табыңдар: 1) $(x-7)^2-49=0$; 2) $(6+y)^2-81=0$; 3) $100-(z-19)^2=0$; 4) $25-(13+t)^2=0$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда квадраттар айырымы көрініп тұр: $49=7^2$, $81=9^2$. Немесе тікелей: санның квадраты $49$-ға тең болса, санның өзі $7$ немесе $-7$.

Шешуі.

1. $(x-7)^2=49$, демек $x-7=7$ немесе $x-7=-7$. Түбірлері $x=14$ және $x=0$.
2. $(6+y)^2=81$, демек $6+y=9$ немесе $6+y=-9$. Түбірлері $y=3$ және $y=-15$.
3. $(z-19)^2=100$, демек $z-19=10$ немесе $z-19=-10$. Түбірлері $z=29$ және $z=9$.
4. $(13+t)^2=25$, демек $13+t=5$ немесе $13+t=-5$. Түбірлері $t=-8$ және $t=-18$.

Жауабы: 1) $14$ және $0$; 2) $3$ және $-15$; 3) $29$ және $9$; 4) $-8$ және $-18$. 1 және 4-тармақтар оқулықтың жауабымен сәйкес келді.

№ 35.8

Теңдеуді шешіңдер: 1) $x(0{,}25x-3)-(0{,}5x+1)(0{,}5x-1)=0$; 2) $(1{,}2-x)(x+1{,}2)+1{,}8x+x^2=0$; 3) $0{,}49x^2-3x-(0{,}7x+2)(0{,}7x-2)=0$; 4) $(1{,}6x+1)(1-1{,}6x)-64x(1-0{,}04x)=0$.

Қалай ойлаймыз. Барлық жерде квадраттар айырымы бар, $x^2$ қысқарады.

Шешуі.

1. $0{,}25x^2-3x-(0{,}25x^2-1)=-3x+1=0$, $x=\frac13$.
2. $(1{,}2-x)(1{,}2+x)=1{,}44-x^2$. Сонда $1{,}44-x^2+1{,}8x+x^2=0$, $1{,}8x=-1{,}44$, $x=-0{,}8$.
3. $0{,}49x^2-3x-(0{,}49x^2-4)=-3x+4=0$, $x=\frac43$.
4. $(1+1{,}6x)(1-1{,}6x)=1-2{,}56x^2$, ал $64x\cdot0{,}04x=2{,}56x^2$. Сонда $1-2{,}56x^2-64x+2{,}56x^2=0$, $1-64x=0$, $x=\frac1{64}$.

Жауабы: 1) $\frac13$; 2) $-0{,}8$; 3) $\frac43$; 4) $\frac1{64}$.

№ 35.9

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(7x-5)^2+67x-49x^2=-2$; 2) $196x^2-(14x+3)^2+80x=-5$; 3) $-2{,}89x^2+(1{,}7x+2)^2+0{,}2x=11$; 4) $(2{,}4x-1)^2-0{,}2x-5{,}76x^2=3$.

Қалай ойлаймыз. Айырымның квадраты $49x^2$ (немесе $196x^2$, $2{,}89x^2$, $5{,}76x^2$) береді, ол көрші мүшемен қысқарады.

Шешуі.

1. $49x^2-70x+25+67x-49x^2=-2$. Сонда $-3x+25=-2$, $x=9$.
2. $196x^2-196x^2-84x-9+80x=-5$. Сонда $-4x-9=-5$, $x=-1$.
3. $-2{,}89x^2+2{,}89x^2+6{,}8x+4+0{,}2x=11$. Сонда $7x+4=11$, $x=1$.
4. $5{,}76x^2-4{,}8x+1-0{,}2x-5{,}76x^2=3$. Сонда $-5x+1=3$, $x=-0{,}4$.

Жауабы: 1) $9$; 2) $-1$; 3) $1$; 4) $-0{,}4$. 1–3-тармақтар оқулықтың жауабымен сәйкес келді.

№ 35.10

Теңдеуді шешіңдер: 1) $5(2+x)^3-5x^3=28x+30x^2$; 2) $54x^2+6(x-3)^3=162+6x^3$; 3) $(x+9)(x^2-9x+81)=-7-4x+x^3$; 4) $x^3-2x-331=(x^2-11x+121)(x+11)$.

Қалай ойлаймыз. 3) және 4)-те сол жақта кубтардың қосындысы көрінеді: $x^3+729$ және $x^3+1331$.

Шешуі.

1. $5(8+12x+6x^2+x^3)-5x^3=40+60x+30x^2$. Сонда $40+60x+30x^2=28x+30x^2$, $32x=-40$, $x=-1{,}25$.
2. $6(x-3)^3=6x^3-54x^2+162x-162$. Сонда сол жағы $54x^2+6x^3-54x^2+162x-162=6x^3+162x-162$. Теңдеу: $6x^3+162x-162=162+6x^3$, $162x=324$, $x=2$.
3. $(x+9)(x^2-9x+81)=x^3+729$. Сонда $x^3+729=-7-4x+x^3$, $4x=-736$, $x=-184$.
4. $(x^2-11x+121)(x+11)=x^3+1331$. Сонда $x^3-2x-331=x^3+1331$, $-2x=1662$, $x=-831$.

Жауабы: 1) $-1{,}25$; 2) $2$; 3) $-184$; 4) $-831$.

№ 35.11

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $(x+8)^2-x^2\leqslant11x$; 2) $x^2-(9-x)^2>-2x$; 3) $(12+x)^2\geqslant x^2+21x$; 4) $x^2<(25-x)^2+25x$.

Қалай ойлаймыз. Квадратты аш, $x^2$ кетеді, сызықтық теңсіздік шығады.

Шешуі.

1. $x^2+16x+64-x^2\leqslant11x$. Сонда $16x+64\leqslant11x$, $5x\leqslant-64$, $x\leqslant-12{,}8$.
2. $x^2-(81-18x+x^2)>-2x$. Сонда $18x-81>-2x$, $20x>81$, $x>4{,}05$.
3. $144+24x+x^2\geqslant x^2+21x$. Сонда $3x\geqslant-144$, $x\geqslant-48$.
4. $x^2<625-50x+x^2+25x$. Сонда $0<625-25x$, $25x<625$, $x<25$.

Жауабы: 1) $(-\infty;\ -12{,}8]$; 2) $(4{,}05;\ +\infty)$; 3) $[-48;\ +\infty)$; 4) $(-\infty;\ 25)$.

№ 35.12

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $(y+7)^3-y^3-21y^2\geqslant0$; 2) $-24y^2+(8-y)^3+y^3\leqslant0$; 3) $(6-y)^3+y^3-18y^2<0$; 4) $y^3-27y^2-(y-9)^3>0$.

Қалай ойлаймыз. Кубты ашамыз, $y^3$ пен $y^2$ қысқарады.

Шешуі.

1. $(y+7)^3=y^3+21y^2+147y+343$. Сонда $147y+343\geqslant0$, $y\geqslant-\frac{343}{147}=-\frac73=-2\frac13$.
2. $(8-y)^3=512-192y+24y^2-y^3$. Сонда $512-192y\leqslant0$, $y\geqslant\frac{512}{192}=\frac83=2\frac23$.
3. $(6-y)^3=216-108y+18y^2-y^3$. Сонда $216-108y<0$, $y>2$.
4. $(y-9)^3=y^3-27y^2+243y-729$. Сонда $y^3-27y^2-y^3+27y^2-243y+729>0$, $729>243y$, $y<3$.

Жауабы: 1) $\left[-2\frac13;\ +\infty\right)$; 2) $\left[2\frac23;\ +\infty\right)$; 3) $(2;\ +\infty)$; 4) $(-\infty;\ 3)$. 1 және 4-тармақтар оқулықтың жауабымен сәйкес келді.

№ 35.13

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $(10+x)(100-10x+x^2)-x^3-500x<0$; 2) $-x^3+675x-(15-x)(225+15x+x^2)>0$; 3) $(169+13x+x^2)(x-13)-x^3-2262x\leqslant0$; 4) $1331x-x^3+(11+x)(x^2-11x+121)\geqslant0$.

Қалай ойлаймыз. Жақшалар кубтардың қосындысына немесе айырымына жиналады, кубтар қысқарады.

Шешуі.

1. $(10+x)(100-10x+x^2)=1000+x^3$. Сонда $1000-500x<0$, $x>2$.
2. $(15-x)(225+15x+x^2)=3375-x^3$. Сонда $-x^3+675x-3375+x^3>0$, $675x>3375$, $x>5$.
3. $(x-13)(x^2+13x+169)=x^3-2197$. Сонда $-2197-2262x\leqslant0$, $x\geqslant-\frac{2197}{2262}=-\frac{169}{174}$.
4. $(11+x)(x^2-11x+121)=x^3+1331$. Сонда $1331x+1331\geqslant0$, $x\geqslant-1$.

Жауабы: 1) $(2;\ +\infty)$; 2) $(5;\ +\infty)$; 3) $\left[-\frac{169}{174};\ +\infty\right)$; 4) $[-1;\ +\infty)$.

№ 35.14

Тепе-теңдіктерді дәлелдеңдер: 1) $(3x+4y)^2-(4y-3x)^2=48xy$; 2) $(1{,}5x-2y)^2+(2x+1{,}5y)^2=6{,}25(x^2+y^2)$; 3) $(2a-3b)^3-(2a+3b)^3=-18b(4a^2+3b^2)$; 4) $(3a-2b)^3+(3a+2b)^3=18a(3a^2+4b^2)$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағын ашып, не қалатынын қараймыз.

Шешуі.

1. $(4y+3x)^2-(4y-3x)^2=4\cdot4y\cdot3x=48xy$. ✓
2. $2{,}25x^2-6xy+4y^2+4x^2+6xy+2{,}25y^2=6{,}25x^2+6{,}25y^2=6{,}25(x^2+y^2)$. ✓
3. $(2a-3b)^3-(2a+3b)^3=-2\left(3\cdot4a^2\cdot3b+27b^3\right)=-72a^2b-54b^3=-18b(4a^2+3b^2)$. ✓
4. $(3a-2b)^3+(3a+2b)^3=2\left(27a^3+3\cdot3a\cdot4b^2\right)=54a^3+72ab^2=18a(3a^2+4b^2)$. ✓

Жауабы: сол жақтары оң жақтарына келтіріледі, тепе-теңдіктер дәлелденді.

№ 35.15

Тепе-теңдіктерді дәлелдеңдер: 1) $(5z^2-6k)^2-(5z^2+3k)^2+90z^2k=27k^2$; 2) $(m^2-n^2)(m^2+n^2)-m^2(m^2-n^2)-m^2n^2=-n^4$; 3) $(1{,}2x^4-7y^2)(1{,}2x^4+7y^2)+0{,}56x^8+49y^4=2x^8$; 4) $(1{,}4a^3-5b^2)(1{,}4a^3+5b^2)-2{,}96a^6+25b^4=-a^6$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда барлық жерде дерлік квадраттар айырымы бар, артығының бәрі қысқарады.

Шешуі.

1. $25z^4-60z^2k+36k^2-25z^4-30z^2k-9k^2+90z^2k=27k^2$. ✓
2. $m^4-n^4-m^4+m^2n^2-m^2n^2=-n^4$. ✓
3. $1{,}44x^8-49y^4+0{,}56x^8+49y^4=2x^8$. ✓
4. $1{,}96a^6-25b^4-2{,}96a^6+25b^4=-a^6$. ✓

Жауабы: тепе-теңдіктер дәлелденді.

B деңгейі

№ 35.16

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $(4x^3-1)(9x^3+5)-(6x^3-1)^2$; 2) $(x^4-1)^2-(x^4+4)(x^4-6)$; 3) $(x^7-3)(x^7+7)-(x^7+2)^2$; 4) $(x^8+9)(11-x^8)-(x^8+1)^2$.

Қалай ойлаймыз. Дәреже қайталанса, оны әріппен белгіле: $u=x^3$, $u=x^4$ және т.с.с. Сонда бұл — қарапайым көпмүшелер.

Шешуі.

1. $u=x^3$: $(4u-1)(9u+5)-(6u-1)^2=36u^2+11u-5-36u^2+12u-1=23u-6$. Жауабы $23x^3-6$.
2. $u=x^4$: $(u-1)^2-(u+4)(u-6)=u^2-2u+1-u^2+2u+24=25$.
3. $u=x^7$: $(u-3)(u+7)-(u+2)^2=u^2+4u-21-u^2-4u-4=-25$.
4. $u=x^8$: $(u+9)(11-u)-(u+1)^2=-u^2+2u+99-u^2-2u-1=98-2u^2$. Жауабы $98-2x^{16}$.

Жауабы: 1) $23x^3-6$; 2) $25$; 3) $-25$; 4) $98-2x^{16}$.

№ 35.17

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $(a^3+b^3)^3-(a^3-b^3)^3-2b^9$; 2) $(1-a^3b^3)^3-(a^3b^3-1)^3-2$; 3) $3a^4b^4(a^4-b^4)-(a^4-b^4)^2$; 4) $(c^2+d^2)^3-3c^2d^2(c^2+d^2)$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен үлкен блоктарды әріппен алмастыр ($u=a^3$, $v=b^3$ және т.б.).

Шешуі.

1. $(u+v)^3-(u-v)^3=6u^2v+2v^3$. $u=a^3$, $v=b^3$ болғанда бұл $6a^6b^3+2b^9$. $2b^9$ азайтамыз: $6a^6b^3$ қалады.
2. $w=a^3b^3$ болсын. Сонда $(a^3b^3-1)^3=-(1-w)^3$, ал өрнек $2(1-w)^3-2=2(1-3w+3w^2-w^3)-2=-6w+6w^2-2w^3$ болады. Жауабы: $-6a^3b^3+6a^6b^6-2a^9b^9$.
3. Шарт бойынша $(a^4-b^4)^2$ басылған. Ашамыз: $3a^8b^4-3a^4b^8-(a^8-2a^4b^4+b^8)=3a^8b^4-3a^4b^8-a^8+2a^4b^4-b^8$.
4. $(c^2+d^2)\left((c^2+d^2)^2-3c^2d^2\right)=(c^2+d^2)(c^4-c^2d^2+d^4)=c^6+d^6$.

📕 Оқулықтағы қате болуы мүмкін. 3-тармақ қазақша басылымда да дәл осылай басылған ($3a^4b^4(a^4-b^4)-(a^4-b^4)^2$), оқулықтың соңында жауабы жоқ, ал нәтиже әдемі шықпайды. Бәлкім, $3a^4b^4(a^4-b^4)+(a^4-b^4)^3=a^{12}-b^{12}$ болуы керек еді. Біз шартты басылғандай шештік.

Жауабы: 1) $6a^6b^3$; 2) $-2a^9b^9+6a^6b^6-6a^3b^3$; 3) $3a^8b^4-3a^4b^8-a^8+2a^4b^4-b^8$; 4) $c^6+d^6$.

№ 35.18

Теңдеуді шешіңдер: 1) $8(x-10)^2-11(x+5)^2=-3x^2-170x+1600$; 2) $2{,}5(4+x)^2+7(5-x)(5+x)=295-4{,}5x^2$; 3) $1{,}9(y+20)(20-y)-1{,}6(y+20)^2=116-3{,}5y^2$; 4) $30(1{,}8-y)^2+20(y+1{,}8)(y-1{,}8)=50y^2+140{,}4$.

Қалай ойлаймыз. Квадраттар мен квадраттар айырымын аш, квадраттар қысқарады.

Шешуі.

1. $8x^2-160x+800-11x^2-110x-275=-3x^2-270x+525$. Сонда $-270x+525=-170x+1600$, $-100x=1075$, $x=-10{,}75$.
2. $2{,}5(16+8x+x^2)=40+20x+2{,}5x^2$; $7(25-x^2)=175-7x^2$. Сол жағы $215+20x-4{,}5x^2$. Сонда $20x+215=295$, $x=4$.
3. $1{,}9(400-y^2)=760-1{,}9y^2$; $1{,}6(y^2+40y+400)=1{,}6y^2+64y+640$. Сол жағы $120-64y-3{,}5y^2$. Сонда $120-64y=116$, $y=\frac1{16}=0{,}0625$.
4. $30(3{,}24-3{,}6y+y^2)=97{,}2-108y+30y^2$; $20(y^2-3{,}24)=20y^2-64{,}8$. Сол жағы $50y^2-108y+32{,}4$. Сонда $-108y+32{,}4=140{,}4$, $y=-1$.

Жауабы: 1) $-10{,}75$; 2) $4$; 3) $0{,}0625$; 4) $-1$. 1, 2, 4-тармақтар оқулықтың жауабымен сәйкес келді.

№ 35.19

Теңдеуді шешіңдер: 1) $(2{,}3x-10)(5{,}29x^2+23x+100)-125x=12{,}167x^3$; 2) $(20+1{,}7x)(2{,}89x^2-34x+400)-400x=4{,}913x^3$; 3) $5(x-6)^3-13(2+x)^3+32=-8x^2(x+21)$; 4) $-6(4+x)^3+3(5-x)^3=1017-9x^2(3+x)$.

Қалай ойлаймыз. 1) және 2)-де — сандары $2{,}3^3=12{,}167$ және $1{,}7^3=4{,}913$ болатын куб формулалары. 3) және 4)-те кубтарды ашамыз.

Шешуі.

1. $(2{,}3x-10)(\dots)=12{,}167x^3-1000$. Сонда $-1000-125x=0$, $x=-8$.
2. $(20+1{,}7x)(\dots)=8000+4{,}913x^3$. Сонда $8000-400x=0$, $x=20$.
3. $5(x^3-18x^2+108x-216)-13(x^3+6x^2+12x+8)+32=-8x^3-168x^2+384x-1152$. Оң жағы $-8x^3-168x^2$. Сонда $384x=1152$, $x=3$.
4. $-6(x^3+12x^2+48x+64)+3(125-75x+15x^2-x^3)=-9x^3-27x^2-513x-9$. Оң жағы $1017-27x^2-9x^3$. Сонда $-513x=1026$, $x=-2$.

Жауабы: 1) $-8$; 2) $20$; 3) $3$; 4) $-2$. 1, 3, 4-тармақтар оқулықтың жауабымен сәйкес келді.

№ 35.20

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $(9x-7)^2-10\leqslant(9x+3)(9x-5)$; 2) $(3+7x)^2-x\leqslant-26+x(49x-8)$; 3) $(11+25x)x+7<(5x-7)^2-3x$; 4) $4+(6-11x)^2>25x+x(121x+3)$.

Қалай ойлаймыз. Тағы да квадраттар қысқарады. Теріс санға бөлгенде таңбаны қадағала.

Шешуі.

1. $81x^2-126x+49-10\leqslant81x^2-18x-15$. Сонда $-126x+39\leqslant-18x-15$, $54\leqslant108x$, $x\geqslant\frac12$.
2. $9+42x+49x^2-x\leqslant-26+49x^2-8x$. Сонда $9+41x\leqslant-26-8x$, $49x\leqslant-35$, $x\leqslant-\frac57$.
3. $11x+25x^2+7<25x^2-70x+49-3x$. Сонда $11x+7<-73x+49$, $84x<42$, $x<\frac12$.
4. $4+36-132x+121x^2>25x+121x^2+3x$. Сонда $40-132x>28x$, $40>160x$, $x<\frac14$.

Жауабы: 1) $\left[\frac12;\ +\infty\right)$; 2) $\left(-\infty;\ -\frac57\right]$; 3) $\left(-\infty;\ \frac12\right)$; 4) $\left(-\infty;\ \frac14\right)$.

№ 35.21

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $13+x^2(x-9)\geqslant(x-3)^3+11$; 2) $26+(2+x)^3<x^2(6+x)$; 3) $3x-x^2(15+x)>-(x+5)^3-4x$; 4) $(4+x)^3-6x\geqslant x^2(x+12)+1$.

Қалай ойлаймыз. Қадамдар сол: кубты аштық, $x^3$ пен $x^2$-ты қысқарттық.

Шешуі.

1. $13+x^3-9x^2\geqslant x^3-9x^2+27x-27+11$. Сонда $13\geqslant27x-16$, $29\geqslant27x$, $x\leqslant\frac{29}{27}$.
2. $26+8+12x+6x^2+x^3<6x^2+x^3$. Сонда $34+12x<0$, $x<-\frac{17}6$.
3. $3x-15x^2-x^3>-x^3-15x^2-75x-125-4x$. Сонда $3x>-79x-125$, $82x>-125$, $x>-\frac{125}{82}$.
4. $64+48x+12x^2+x^3-6x\geqslant x^3+12x^2+1$. Сонда $63+42x\geqslant0$, $x\geqslant-1{,}5$.

Жауабы: 1) $\left(-\infty;\ \frac{29}{27}\right]$; 2) $\left(-\infty;\ -\frac{17}6\right)$; 3) $\left(-\frac{125}{82};\ +\infty\right)$; 4) $[-1{,}5;\ +\infty)$.

C деңгейі

Мұнда ең қиын тапсырмалар. Біреуін болса да шығарсаң — сен нағыз жарайсың!

№ 35.22

Теңсіздіктің шешімі болатын ең үлкен бүтін санды табыңдар: 1) $(3-x)(9+3x+x^2)-2x+x^3\leqslant-7x+7$; 2) $(x-7)(x^2+7x+49)<-4x+x^3+17$; 3) $7x-x^3>27x-(x+8)(x^2-8x+64)$; 4) $16x(32x^2+1)\leqslant-32+(8x-1)(64x^2+8x+1)$.

Қалай ойлаймыз. Теңсіздікті шешеміз, сосын аралықтағы ең үлкен бүтін санды таңдаймыз. Шекара кірмесе, мұны ескер.

Шешуі.

1. $27-x^3-2x+x^3\leqslant-7x+7$. Сонда $27-2x\leqslant-7x+7$, $5x\leqslant-20$, $x\leqslant-4$. Ең үлкен бүтін сан $-4$.
2. $x^3-343<-4x+x^3+17$. Сонда $-343<-4x+17$, $4x<360$, $x<90$. Ең үлкен бүтін сан $89$ ($90$-тың өзі келмейді).
3. $(x+8)(x^2-8x+64)=x^3+512$. Сонда $7x-x^3>27x-x^3-512$, $512>20x$, $x<25{,}6$. Ең үлкен бүтін сан $25$.
4. $512x^3+16x\leqslant-32+512x^3-1$. Сонда $16x\leqslant-33$, $x\leqslant-\frac{33}{16}=-2{,}0625$. Ең үлкен бүтін сан $-3$.

Жауабы: 1) $-4$; 2) $89$; 3) $25$; 4) $-3$. Оқулықтың жауабымен сәйкес келді.

№ 35.23

Теңсіздіктің шешімі болатын ең кіші бүтін санды табыңдар: 1) $(x+9)^2-x^2>15x+97$; 2) $x^2-(11-x)^2<23x+19$; 3) $(x-8)^3+24x^2\geqslant x^3+64x$; 4) $x^3-(7+x)^3\leqslant-21x^2-490$.

Қалай ойлаймыз. Алгоритм сол, тек шекараның оң жағындағы ең кіші бүтін санды іздейміз.

Шешуі.

1. $18x+81>15x+97$. Сонда $3x>16$, $x>5\frac13$. Ең кіші бүтін сан $6$.
2. $x^2-(121-22x+x^2)=22x-121<23x+19$. Сонда $-140<x$. Ең кіші бүтін сан $-139$.
3. $(x-8)^3+24x^2=x^3+192x-512$. Сонда $192x-512\geqslant64x$, $128x\geqslant512$, $x\geqslant4$. Ең кіші бүтін сан $4$.
4. $x^3-(x^3+21x^2+147x+343)\leqslant-21x^2-490$. Сонда $-147x-343\leqslant-490$, $-147x\leqslant-147$, $x\geqslant1$. Ең кіші бүтін сан $1$.

Жауабы: 1) $6$; 2) $-139$; 3) $4$; 4) $1$.

№ 35.24

Тепе-теңдіктерді дәлелдеңдер: 1) $\left((a^7-8b^4)(8b^4+a^7)+63b^8\right)^2-a^{14}(-2b^8+a^{14})=b^{16}$; 2) $b^{24}-\left(82c^{10}+(b^6-9c^5)(9c^5+b^6)\right)^2+c^{20}=-2c^{10}b^{12}$; 3) $(x^3-9y^4)^2-(x^3+9y^4)^2+36x^3(y^4-x)=-36x^4$; 4) $0{,}5z^4(40zt^2-5)-(z^5+10t^2)^2+(10t^2-z^5)^2=-2{,}5z^4-20z^5t^2$.

Қалай ойлаймыз. Ішінен сыртына қарай жұмыс істейміз: алдымен ішкі жақшаларды квадраттар айырымы формуласымен түрлендіреміз.

Шешуі.

1. Ішінде: $a^{14}-64b^8+63b^8=a^{14}-b^8$. Квадраты: $a^{28}-2a^{14}b^8+b^{16}$. $a^{28}-2a^{14}b^8$ азайтамыз: $b^{16}$ қалады. ✓
2. Ішінде: $82c^{10}+b^{12}-81c^{10}=b^{12}+c^{10}$. Квадраты: $b^{24}+2b^{12}c^{10}+c^{20}$. Сонда $b^{24}-b^{24}-2b^{12}c^{10}-c^{20}+c^{20}=-2b^{12}c^{10}$. ✓
3. $(x^3-9y^4)^2-(x^3+9y^4)^2=-4\cdot x^3\cdot9y^4=-36x^3y^4$. Әрі қарай $+36x^3y^4-36x^4$. Қорытынды $-36x^4$. ✓
4. $20z^5t^2-2{,}5z^4$. $(10t^2-z^5)^2-(z^5+10t^2)^2=-4\cdot10t^2\cdot z^5=-40z^5t^2$. Қосынды: $-2{,}5z^4-20z^5t^2$. ✓

Жауабы: тепе-теңдіктер дәлелденді.

№ 35.25

Тепе-теңдіктерді дәлелдеңдер: 1) $(a^7-t^5)(a^{14}+a^7t^5+t^{10})+(t^5-a^7)^3-3a^{14}t^5=-3a^7t^{10}$; 2) $(x^4+b^9)^3-(b^9+x^4)(b^{18}-x^4b^9+x^8)-3x^8b^9=3x^4b^{18}$.

Қалай ойлаймыз. Мұнда куб та, кубтардың қосындысына немесе айырымына жиналатын көбейтінді де бар.

Шешуі.

1. $(a^7-t^5)(\dots)=a^{21}-t^{15}$. $(t^5-a^7)^3=t^{15}-3t^{10}a^7+3t^5a^{14}-a^{21}$. Қосынды: $-3a^7t^{10}+3a^{14}t^5$. $3a^{14}t^5$ азайтамыз: $-3a^7t^{10}$ қалады. ✓
2. $(x^4+b^9)^3=x^{12}+3x^8b^9+3x^4b^{18}+b^{27}$, ал $(b^9+x^4)(\dots)=b^{27}+x^{12}$. Айырымы: $3x^8b^9+3x^4b^{18}$. $3x^8b^9$ азайтамыз: $3x^4b^{18}$ қалады. ✓

Жауабы: тепе-теңдіктер дәлелденді.

Баяндама дайындаңдар

№ 35.26

Қысқаша көбейтудің кейбір формулалары 4 мың жыл бұрын белгілі болған. Бұл формулалар Евклидтің «Бастамалар» кітабында қалай берілгені туралы баяндама дайындаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл есептеу есебі емес, шағын жоба. Төменде баяндама үлгісі берілген. Оны қысқартуға немесе суретпен толықтыруға болады.

Шешуі (баяндама үлгісі).

Гректер біз сияқты әріптер мен таңбалар жазбаған. Сондықтан формулаларды сызбамен түсіндірген: сандар — кесінділердің ұзындығы, ал көбейтінді — тіктөртбұрыштың ауданы болған. Евклидтің «Бастамалар» кітабының екінші жинағында (б.з.б. шамамен 300 жыл) біздің тілімізде қысқаша көбейту формулалары болып көрінетін ұсыныстар бар. Мысалы, қосындының квадраты: ұзындығы $a+b$ кесіндіні алып, оған квадрат саламыз. Сосын оны сызықтармен төрт бөлікке бөлеміз: $a\times a$ квадраты, $b\times b$ квадраты және екі бірдей $a\times b$ тіктөртбұрышы. Аудандарды қосып, $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ аламыз.

Осындай сызбалармен гректер квадраттар айырымын да, басқа теңдіктерді де түсіндірген. Әріптік белгілеулер пайда болғанға дейін бұл «геометриялық алгебра» осындай деректерді дәлелдеудің басты тәсілі болды.

Жауабы: баяндама үлгісі жазылды; басты қорытынды: Евклид формулаларды квадрат пен тіктөртбұрыштар бөліктерінің аудандары арқылы бейнелеген.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 35.27

Екі тақ санның кубтарының айырымы мен олардың айырымының кубының айырымы 6 санына еселік болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Сандарды $a$ және $b$ дейік. $a^3-b^3-(a-b)^3$ өрнегінің $6$-ға бөлінетінін көрсету керек.

Шешуі.

1. Айырымның кубын ашамыз: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.
2. Сонда $a^3-b^3-(a-b)^3=3a^2b-3ab^2=3ab(a-b)$.
3. $a$ және $b$ — тақ сандар, демек олардың айырымы $a-b$ жұп (2-ге бөлінеді).
4. $3ab(a-b)$ көбейтіндісінде $3$ көбейткіші және жұп көбейткіш $a-b$ бар, сондықтан ол $3\cdot2=6$-ға бөлінеді.

Жауабы: айырым $3ab(a-b)$-ға тең, ол $6$-ға еселік. Мысалы, $a=5$, $b=3$: $125-27-8=90=6\cdot15$.

№ 35.28

$1{,}5$; $2{,}5$; $3{,}5$; … сандарын екінші дәрежеге шығару үшін бүтін бөлігін келесі санға көбейтіп, соңынан $0{,}25$ санын тіркеп жазса, дәреженің мәні шығатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Жарты қосылған сан — бұл $n+0{,}5$, мұндағы $n$ — бүтін сан. Формула бойынша квадраттаймыз.

Шешуі.

1. $(n+0{,}5)^2=n^2+2\cdot n\cdot0{,}5+0{,}25=n^2+n+0{,}25$.
2. $n^2+n=n(n+1)$ екенін байқаймыз.
3. Демек, $(n+0{,}5)^2=n(n+1)+0{,}25$.

Жауабы: $(n+0{,}5)^2=n(n+1)+0{,}25$. Мысалы, $3{,}5^2=3\cdot4+0{,}25=12{,}25$.

№ 35.29

Шаршының қарама-қарсы қабырғаларының ұзындықтары 5 см-ге арттырылды, қалған екі қарама-қарсы қабырғаларының ұзындықтары сонша сантиметрге кемітілді. Шыққан фигураның ауданы бастапқы фигураның ауданына қарағанда қалай өзгерді?

Қалай ойлаймыз. Шаршының қабырғасы $a$ см болсын. Қабырғалары $a+5$ және $a-5$ болатын тіктөртбұрыш шығады.

Шешуі.

1. Шаршының ауданы: $a^2$.
2. Тіктөртбұрыштың ауданы: $(a+5)(a-5)=a^2-25$ (квадраттар айырымы).
3. Айырма: $a^2-(a^2-25)=25$.

Жауабы: ауданы $25$ см²-ге кеміді, және қабырғаның кез келген мәнінде солай ($a>5$ болса).

Жадынама

• Алдымен түріне қарап, жеті формуланың қайсысы керек екенін анықта.
• Қосылғыштарды бір-бірлеп аш және ұқсастарын асты сызып бөліп ал.
• Теңдеулер мен теңсіздіктерде жоғары дәрежелер әдетте қысқарады.
• Теңсіздікті теріс санға бөлсең — таңбаны ауыстыр.
• «Ең үлкен бүтін шешім»: аралықты тап та, ондағы ең үлкен бүтін санды таңда.

Шағын тест