§ 36. Мәтінді есептерді шығару

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 5 бөлім: Қысқаша көбейту формулалары. 209–217-беттер.

Нені үйренесің

• Белгісіз шаманы таңдап, оны әріппен белгілеуді.
• Есептің шартын математика тіліне аударуды: теңдеу, теңсіздік немесе жүйе құруды.
• Қозғалысқа, жұмысқа, пайызға, бөліктерге, аудан мен көлемге берілген есептерді шығаруды.
• Жауапты есептеулер бойынша ғана емес, шарт бойынша тексеруді.
• Жауапты есептің сұрағына жауап беретіндей етіп жазуды.

Ой қозғау

Мәтінді есептер қарапайым теңдеулер мен теңсіздіктерді шығара білуге сүйенеді. Тез қайталап ал.

• Шеш: $3x + 5 = 20$. $3x = 15$, $x = 5$.
• Шеш: $2x - 7 = x + 4$. Тасымалдаймыз: $2x - x = 4 + 7$, $x = 11$.
• Шеш: $5(x - 2) = 30$. $x - 2 = 6$, $x = 8$.
• Жылдамдығы 60 км/сағ, уақыты 3 сағ болса, жол неге тең? $s = vt = 60 \cdot 3 = 180$ км.
• $4x \ge 20$ теңсіздігін шеш. $x \ge 5$.

Тақырыпты талдаймыз

Жауапқа апаратын алты қадам

Кез келген мәтінді есепті бір жоспармен шығаруға болады. Оны алгоритм деп атайды.

📌 Алгебралық тәсілмен шығару жоспары.

1. Белгісізді әріппен белгіле ($x$, $y$, $z$).
2. Берілген және белгісіз шамалар арасындағы байланысты тап.
3. Теңдеу, теңсіздік немесе жүйе құр. Бұл — математикалық модель.
4. Құрғаныңды шеш.
5. Шыққан нәтижені есептің шартымен салыстыр.
6. Жауабын жаз.

Есепті арифметикалық тәсілмен де шығаруға болады: тек сандарға амалдар қолданып, әріпсіз. Ал алгебралық тәсіл — теңдеу арқылы шығару. Шарт күрделі болғанда әріп құтқарады.

💡 Математикалық модель тек теңдеу болмайды. Кесте, сызба, сурет те болады. Жақсы сызба жұмыстың жартысын жасап береді.

1-мысал. Көкөніс базасындағы жәшіктер

Көкөніс базасында қияр мен қызанақ бар. Қызанақ салынған жәшіктер саны қиярлар салынған жәшіктер санынан екі есе артық. Егер базадан қызанақ салынған бес жәшік жіберілсе, ал базаға қияр салынған бес жәшік әкелінсе, қызанақ салынған жәшіктер саны қиярлар салынған жәшіктер санынан 5-ке артық болады. Бастапқыда базада барлығы қанша жәшік қияр мен қызанақ болған?

⚠️ Жиі кететін қате. $x$-ті тауып, тоқтап қалу. Есепте барлығы қанша жәшік екені сұралған, ал $x$ — тек қияр. Жауап жазар алдында сұрақты қайта оқы.

2-мысал. Қарама-қарсы қозғалыс

Аралығы 590 км жол бойымен бір-біріне қарама-қарсы екі автобус шықты. Екінші автобустың жылдамдығы біріншісінің жылдамдығынан 10 км/сағ-қа артық. Бірінші автобустың 2 сағ бұрын шыққаны белгілі. Олар 5 сағаттан кейін кездесті. Әр автобустың жылдамдығын тап.

Басты формула: $s = v \cdot t$. Бірінші автобустың жылдамдығы $x$ км/сағ болсын, онда екіншісінікі $x + 10$ км/сағ. Кездескенше бірінші автобус жолда 5 сағ, ал екіншісі $5 - 2 = 3$ сағ болды. Екеуі бірге бүкіл жолды жүріп өтті:

$5x + 3(x + 10) = 590.$

Ашамыз: $5x + 3x + 30 = 590$, $8x = 560$, $x = 70$. Демек, бірінші автобустың жылдамдығы 70 км/сағ, екіншісінікі 80 км/сағ.

Тексеру: $70 \cdot 5 = 350$ км және $80 \cdot 3 = 240$ км, екеуі бірге $590$ км. Дұрыс.

3-мысал. Теңсіздік қажет болғанда

Автобус 70 км/сағ жылдамдықпен Петропавл қаласынан Астана қаласына шықты. Екі сағаттан соң осы бағытта жеңіл машина шықты. Екі қаланың аралығы 630 км. Автобусты Астана қаласына жеткенше қуып жету үшін жеңіл машина қандай жылдамдықпен қозғалуы керек?

Жеңіл машинаның жылдамдығы $x$ км/сағ болсын. Автобус Астана қаласына 9 сағатта жетеді, себебі $630 : 70 = 9$. Жеңіл машина шыққаннан кейін автобус жолда 7 сағ болады. Демек, жеңіл машина Петропавл қаласынан Астана қаласына дейін жолда кем дегенде 7 сағ болады. Оның жолдағы уақыты $\frac{630}{x}$ сағат, ол 7-ден аспауы керек:

$\frac{630}{x} \le 7 ;\Rightarrow; 7x \ge 630 ;\Rightarrow; x \ge 90.$

Жеңіл машинаның жылдамдығы 90 км/сағ-тан кем болмауы керек.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Шешуден бұрын баладан шартты өз сөзімен айтып беруін және әріппен нені белгілегенін айтуын өтініңіз. «$x$ не екенін білмеймін» деген жауап болса, әрі қарай жүрудің мәні жоқ. Соңғы тексеру шешудің өзі сияқты маңызды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Есептің математикалық моделі нені береді? Математика тіліне аударылған есеп шарты: теңдеу, жүйе, теңсіздік, кесте немесе сызба.
• Мәтінді есепті алгебралық тәсілмен шығару арифметикалық тәсілден немен ерекшеленеді? Арифметикалық тәсіл: тек сандарға амалдар қолданылады. Алгебралық тәсіл: белгісізді әріппен белгілеп, теңдеу құрады.
• Мәтінді есептің дұрыс шығарылғанын қалай тексереді? Табылған мәндерді шартқа қойып, шарттағы бәрі орындалатынына көз жеткізеді. Теңдеуді тексеру аздық етеді: есептің сөздерін тексеру керек.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 36.1

Кітапханашы оқулықтарды сөрелерге орналастыруы қажет. Егер әр сөреге 20 оқулықтан қойса, онда екі сөре бос қалады. Ал егер әр сөреге 15 оқулықтан қоятын болса, онда барлық сөрелердегі кітаптар саны бірдей болады. Кітапханашы қанша оқулықты сөрелерге орналастыруы керек?

Қалай ойлаймыз. Кітаптар саны сол күйінде, тек орналастыру тәсілі өзгереді. Оны екі жолмен жазып, теңестіреміз.

Шешуі.

1. Барлығы $n$ сөре болсын. 20-дан кітап $n - 2$ сөрені толтырады: $20(n - 2)$ кітап.
2. 15-тен кітап барлық $n$ сөрені толтырады: $15n$ кітап.
3. $20(n - 2) = 15n$, демек $20n - 40 = 15n$, $5n = 40$, $n = 8$.
4. Кітаптар: $15 \cdot 8 = 120$. Тексеру: $20 \cdot 6 = 120$.

Жауабы: 120 оқулық.

№ 36.2

Шахматтан жарысқа 6–7-сыныптардан 20 оқушы қатысты. 7-сынып оқушылары 6-сынып оқушыларынан 1,5 есе артық. Жарысқа әр сыныптан қанша оқушыдан қатысқан?

Қалай ойлаймыз. $x$ деп кіші топты аламыз, сонда үлкені сол арқылы өрнектеледі.

Шешуі.

1. 6-сынып оқушылары $x$, 7-сынып оқушылары $1{,}5x$.
2. $x + 1{,}5x = 20$, $2{,}5x = 20$, $x = 8$.
3. 7-сынып оқушылары $1{,}5 \cdot 8 = 12$. Тексеру: $8 + 12 = 20$, $12 : 8 = 1{,}5$.

Жауабы: 6-сыныптан 8 оқушы, 7-сыныптан 12 оқушы.

№ 36.3

Жетінші сыныптардағы қыз балалар саны ер балалар санынан 1,4 есе артық. Қыз балалар саны ер балалар санынан 16-ға артық болса, онда жетінші сыныптарда қанша ер бала және қанша қыз бала бар?

Қалай ойлаймыз. Мұнда дәл айырма белгілі, сондықтан теңдеуді айырмаға құрамыз.

Шешуі.

1. Ер балалар $x$, қыз балалар $1{,}4x$.
2. $1{,}4x - x = 16$, $0{,}4x = 16$, $x = 40$.
3. Қыз балалар $1{,}4 \cdot 40 = 56$. Тексеру: $56 - 40 = 16$.

Жауабы: 40 ер бала және 56 қыз бала.

№ 36.4

Бірінші жәшіктегі алмалар саны екінші жәшікке қарағанда 3 есе артық. Егер бірінші жәшіктен 17 алма алынса, ал екінші жәшікке 35 алма салынса, онда екі жәшіктегі алмалар саны бірдей болады. Алғашқыда әр жәшікте қанша алмадан болған?

Қалай ойлаймыз. Алмастырғаннан кейін сандар тең болады. Теңдеу дәл осы.

Шешуі.

1. Кіші жәшікте $x$ алма, үлкенінде $3x$.
2. $3x - 17 = x + 35$, $2x = 52$, $x = 26$.
3. Үлкенінде $3 \cdot 26 = 78$. Тексеру: $78 - 17 = 61$ және $26 + 35 = 61$.

Жауабы: 78 алма және 26 алма.

№ 36.5

Екі санның қосындысының мәні 77-ге тең. Егер бір санның $\frac{2}{3}$-сі екінші санның 0,8 бөлігін құраса, онда берілген екі санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бір санды екіншісі арқылы өрнектеп, сосын қосындыны қолданамыз.

Шешуі.

1. Сандар $a$ және $b$ болсын, $a + b = 77$ және $\frac{2}{3}a = 0{,}8b$.
2. Сонда $a = 0{,}8b : \frac{2}{3} = 0{,}8 \cdot \frac{3}{2}, b = 1{,}2b$.
3. $1{,}2b + b = 77$, $2{,}2b = 77$, $b = 35$, $a = 42$.
4. Тексеру: $\frac{2}{3} \cdot 42 = 28$ және $0{,}8 \cdot 35 = 28$.

Жауабы: 42 және 35.

№ 36.6

Шабдалының бағасы өріктің бағасынан 50 тг/кг артық. Компот дайындау үшін 4 кг шабдалы және 6 кг өрік қажет. Егер шабдалы мен өрік сатып алуға 4200 тг жұмсалса, жемістердің бағасы қандай?

Қалай ойлаймыз. Өріктің бағасы $x$, шабдалыныкі $x + 50$. Жалпы чек екі сатып алудан құралады.

Шешуі.

1. $4(x + 50) + 6x = 4200$.
2. $4x + 200 + 6x = 4200$, $10x = 4000$, $x = 400$.
3. Шабдалы $400 + 50 = 450$. Тексеру: $4 \cdot 450 + 6 \cdot 400 = 1800 + 2400 = 4200$.

Жауабы: өрік 400 тг/кг, шабдалы 450 тг/кг.

№ 36.7

$ABC$ үшбұрышының периметрі 92 см. $AB$ қабырғасының ұзындығы $BC$ қабырғасының ұзындығынан екі есе кем және $AC$ қабырғасының ұзындығынан 8 см-ге кем. Үшбұрыштың әр қабырғасының ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ең қысқа қабырға — $AB$, қалғандарын сол арқылы өрнектейміз.

Шешуі.

1. $AB = x$, $BC = 2x$, $AC = x + 8$.
2. $x + 2x + x + 8 = 92$, $4x = 84$, $x = 21$.
3. $BC = 42$, $AC = 29$. Тексеру: $21 + 42 + 29 = 92$.

Жауабы: $AB = 21$ см, $AC = 29$ см, $BC = 42$ см.

№ 36.8

Екі айлақтың арақашықтығы 80 км. Осы аралықты катер өзен ағысы бойымен 4 сағатта, ағысқа қарсы 5 сағатта жүріп өтеді. Катердің меншікті жылдамдығын және өзен ағысының жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ағыспен жүргенде жылдамдықтар қосылады, ағысқа қарсы жүргенде азайтылады. Алдымен осы жолдағы екі жылдамдықты табамыз.

Шешуі.

1. Ағыспен: $80 : 4 = 20$ км/сағ. Ағысқа қарсы: $80 : 5 = 16$ км/сағ.
2. $v$ — меншікті жылдамдық, $u$ — ағыс жылдамдығы болсын: $v + u = 20$, $v - u = 16$.
3. Қосамыз: $2v = 36$, $v = 18$. Сонда $u = 20 - 18 = 2$.

Жауабы: 18 км/сағ және 2 км/сағ.

№ 36.9

Арасы 30 км $A$ және $B$ пункттеріне бір-біріне қарама-қарсы бағытта екі жаяу адам шығып, 3 сағ 20 минуттан кейін кездесті. Егер бірінші жаяу адам екіншіге қарағанда 2 сағ бұрын шықса, онда олардың кездесуі екінші жаяу адам шыққан соң 2 сағ 30 минуттан кейін болар еді. Екінші жаяу адамның жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі жағдай екі жылдамдықпен екі теңдеу береді. Уақытты сағатқа аударамыз: 3 сағ 20 мин $= \frac{10}{3}$ сағ.

Шешуі.

1. Жылдамдықтары $a$ және $b$ км/сағ. Бірінші жағдай: $\frac{10}{3}(a + b) = 30$, демек $a + b = 9$.
2. Екінші жағдай: бірінші $2 + 2{,}5 = 4{,}5$ сағ жүрді, екінші 2,5 сағ: $4{,}5a + 2{,}5b = 30$.
3. $a = 9 - b$ қоямыз: $40{,}5 - 4{,}5b + 2{,}5b = 30$, $2b = 10{,}5$, $b = 5{,}25$.
4. Сонда $a = 3{,}75$. Тексеру: $4{,}5 \cdot 3{,}75 + 2{,}5 \cdot 5{,}25 = 16{,}875 + 13{,}125 = 30$.

Жауабы: 5,25 км/сағ.

№ 36.10

Екі жұмысшы бірге 678 тетік дайындады. Бірінші жұмысшы 8 күн, екінші жұмысшы 11 күн жұмыс жасады. Егер екінші жұмысшы әр төрт күнде бірінші жұмысшының үш күнде жасаған тетіктерінен 22 тетікке артық дайындап отырған болса, онда әр жұмысшы бір күнде қанша тетіктен дайындаған?

Қалай ойлаймыз. Екі белгісіз болса, екі шарт қажет. Біреуі бүкіл жұмыс туралы, екіншісі салыстыру туралы.

Шешуі. $8x + 11y = 678$, $4y = 3x + 22$ жүйесі $y = 34$, $x = 38$ береді.

Жауабы: бірінші жұмысшы күніне 38 тетік, екіншісі 34 тетік.

B деңгейі

№ 36.11

Үш бригада бір ауысымда 96 тетік дайындады. Бірінші бригада екіншіге қарағанда 18 тетік артық, үшінші бригада бірінші мен екінші бригадалардың бірге жасаған тетіктер санының $\frac{5}{11}$-індей дайындаған. 1) Әр бригада қанша тетіктен дайындады? 2) Егер жұмысшы жасалған бір тетікке 56 тг алса, онда әр жұмысшы қанша теңге алған? 3) Бірінші жұмысшының бір ауысымдағы жалақысы үшінші жұмысшының жалақысынан қанша пайызға артық?

Қалай ойлаймыз. Алдымен екінші бригаданы табамыз. Бірінші және екінші бірге $x + (x + 18)$, ал үшінші олардың $\frac{5}{11}$ үлесін құрайды. Сонда барлығы бірінші екеуінің қосындысынан $1 + \frac{5}{11} = \frac{16}{11}$ есе.

Шешуі.

1. Екінші $x$, бірінші $x + 18$, бірінші екеуі бірге $2x + 18$. Барлығы $(2x + 18) \cdot \frac{16}{11} = 96$, демек $2x + 18 = 66$, $x = 24$. Екінші 24, бірінші 42, үшінші $96 - 66 = 30$ (және $\frac{5}{11} \cdot 66 = 30$).
2. $42 \cdot 56 = 2352$ тг, $24 \cdot 56 = 1344$ тг, $30 \cdot 56 = 1680$ тг.
3. $\frac{2352 - 1680}{1680} = \frac{672}{1680} = 0{,}4$, яғни 40%-ға.

Жауабы: 1) 42, 24 және 30 тетік; 2) 2352 тг, 1344 тг, 1680 тг; 3) 40%-ға.

№ 36.12

Еденнің ауданы 9 м² және шаршы пішінді бөлменің қабырғаларын желімдеу керек. Бөлме биіктігі 3 м, есіктің ауданы 1,8 м², терезенің ауданы 1,5 м² және бір тұсқағазбен 7,2 м² жерді желімдеуге болады. 1) Бөлмені желімдеуге қажет тұсқағаздың санын табыңдар. 2) Егер тұсқағаздың бағасы 6500 тг/бума болса, онда тұсқағаз алуға қанша теңге кетеді?

Қалай ойлаймыз. Ауданы 9 м² шаршының қабырғасы 3 м. Қабырғалар — бүйір бет: периметр мен биіктіктің көбейтіндісі. Есік пен терезеге жапсырмаймыз.

Шешуі.

1. Еден қабырғасы $3$ м, периметрі $4 \cdot 3 = 12$ м. Қабырғалар: $12 \cdot 3 = 36$ м². Есік пен терезені алып тастаймыз: $36 - 1{,}8 - 1{,}5 = 32{,}7$ м². Тұсқағаз саны $32{,}7 : 7{,}2 \approx 4{,}54$, қорымен бүтінге дейін аламыз: 5.
2. $5 \cdot 6500 = 32,500$ тг.

Жауабы: 1) 5 тұсқағаз; 2) 32 500 тг.

№ 36.13

Қабырғасының ұзындығы 30 см болатын текшенің көлеміне тең суды пішіні тікбұрышты параллелепипед болатын аквариумға құю үшін қанша литр су қажет?

Қалай ойлаймыз. Аквариумның өлшемдері керек емес: судың көлемі текшенің көлеміне тең. 1 л = 1000 см³.

Шешуі. $V = 30^3 = 27,000$ см³ $= 27$ дм³ $= 27$ л.

Жауабы: 27 л.

№ 36.14

Гүлзар қабырғаларының ұзындықтары $3 : 4$ қатынасындай тіктөртбұрыш пішінді болып келген. Егер гүлзардың ауданы 4800 дм² болса, онда тіктөртбұрыштың өлшемдерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $3 : 4$ қатынасы қабырғалардың қандай да бір $k$ саны үшін $3k$ және $4k$ екенін білдіреді.

Шешуі.

1. $3k \cdot 4k = 12k^2 = 4800$, $k^2 = 400$, $k = 20$.
2. Қабырғалары $60$ дм және $80$ дм. Тексеру: $60 \cdot 80 = 4800$.

Жауабы: 60 дм және 80 дм.

№ 36.15

Гүлзар ені ұзындығының $\frac{5}{7}$-ін құрайтын тіктөртбұрыш пішінді. 1) Егер гүлзардың ауданы 3500 дм² болса, онда оның өлшемдерін табыңдар. 2) Егер гүлзарды қоршау үшін қажет бір сәнді блоктың ұзындығы 50 см болса, онда қоршауға барлығы қанша сәнді блок керек?

Қалай ойлаймыз. Ұзындығы $l$, ені $\frac{5}{7}l$. Қоршау үшін периметр керек, ал блоктар сантиметрмен өлшенеді: дециметрді аударамыз.

Шешуі.

1. $l \cdot \frac{5}{7}l = 3500$, $l^2 = 4900$, $l = 70$ дм, ені $50$ дм.
2. Периметр $2(70 + 50) = 240$ дм $= 2400$ см. Блок саны $2400 : 50 = 48$.

Жауабы: 1) 50 дм және 70 дм; 2) 48 блок.

№ 36.16

Тікбұрышты параллелепипедтің өлшемдері $2 : 3 : 4$ қатынасындай, ал көлемі 192 дм³. Тікбұрышты параллелепипедтің өлшемдерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Өлшемдері $2k$, $3k$, $4k$. Көлем — үшеуінің көбейтіндісі.

Шешуі.

1. $2k \cdot 3k \cdot 4k = 24k^3 = 192$, $k^3 = 8$, $k = 2$.
2. Өлшемдері $4$, $6$, $8$ дм. Тексеру: $4 \cdot 6 \cdot 8 = 192$.

Жауабы: 4 дм, 6 дм, 8 дм.

№ 36.17

Ғимарат тікбұрышты параллелепипед пішінді болып келген. Оның ені ұзындығынан 6 есе кем және биіктігінен 3 есе кем. Егер ғимараттың бүйір бетінің ауданы 8232 м² болса, онда оның биіктігін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бәрін енімен $w$ өрнектейміз. Бүйір бет — табан периметрі мен биіктіктің көбейтіндісі.

Шешуі.

1. Ені $w$, ұзындығы $6w$, биіктігі $3w$.
2. $2(w + 6w) \cdot 3w = 42w^2 = 8232$, $w^2 = 196$, $w = 14$.
3. Биіктігі $3 \cdot 14 = 42$ м.

Жауабы: 42 м.

№ 36.18

Егер жай бөлшектің алымынан 4 санын азайтып, бөлімін 4 санына көбейтсе, онда $\frac{1}{12}$, ал егер жай бөлшектің алымына 2 санын көбейтіп, бөлімінен 2 санын азайтса, онда 2 саны шығады. Алғашқы бөлшекті табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алымы $n$, бөлімі $d$. Екі шарт, екі белгісіз.

Шешуі.

1. $\frac{n - 4}{4d} = \frac{1}{12}$, демек $12(n - 4) = 4d$, $d = 3n - 12$.
2. $\frac{2n}{d - 2} = 2$, демек $d - 2 = n$, $d = n + 2$.
3. $3n - 12 = n + 2$, $n = 7$, $d = 9$. Тексеру: $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ және $\frac{14}{7} = 2$.

Жауабы: $\frac{7}{9}$.

№ 36.19

Салымшы банкте жылдық өсімі 10%-дық депозит ашты. Бір жылдан соң ол депозиттен 60 000 тг алғанда, депозитте алғашқы салынған соманың жартысына тең ақша қалды. Екінші жылдың соңында депозитте қанша ақша болады?

Қалай ойлаймыз. Бір жылда салым $1{,}1$ есе өседі. Алғаннан кейін $0{,}5S$ қалады, сосын қайтадан $1{,}1$ есе өседі.

Шешуі.

1. $1{,}1S - 60,000 = 0{,}5S$, $0{,}6S = 60,000$, $S = 100,000$.
2. Бірінші жылдан және алудан кейін: $50,000$ тг.
3. Тағы бір жылдан кейін: $50,000 \cdot 1{,}1 = 55,000$ тг.

Жауабы: 55 000 тг.

C деңгейі

Мұнда есептер қиынырақ. Теңдеу құрып үлгерсең де — бұл табыс.

№ 36.20

Бір мезгілде $A$ айлағынан сал және $B$ айлағынан өзен ағысы бойымен $A$ айлағына қарай моторлы қайық шықты. Егер қайық пен сал 2 сағаттан кейін кездессе және олардың жүрген жолдары 16 км болса, онда қайықтың меншікті жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сал ағыс жылдамдығымен $c$ ағыспен жүзеді, қайық ағысқа қарсы $v - c$ жылдамдықпен жүреді. Жақындасу жылдамдығы: $c + (v - c) = v$. Ағыс қысқарып кетеді!

Шешуі.

1. Жақындасу жылдамдығы $v$ км/сағ, 2 сағатта олар айлақтар арасындағы қашықтықты, яғни 16 км жүріп өтті.
2. $2v = 16$, $v = 8$.

Жауабы: 8 км/сағ.

№ 36.21

Тынық судағы жылдамдығы 12 км/сағ болатын қайық айлақтан өзен ағысы бойымен шықты. Меншікті жылдамдығы 18 км/сағ болатын катер 1 сағаттан кейін өзенмен жоғары көтерілді. Егер қайық шыққаннан кейін 3 сағаттан соң қайық пен катердің жүрген жолы 75 км болса, онда өзен ағысының жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қайық жолда 3 сағ, катер 2 сағ. Қайық $12 + c$ жылдамдықпен, катер $18 - c$ жылдамдықпен жүзеді.

Шешуі.

1. $3(12 + c) + 2(18 - c) = 75$.
2. $36 + 3c + 36 - 2c = 75$, $c = 3$.
3. Тексеру: $3 \cdot 15 + 2 \cdot 15 = 45 + 30 = 75$.

Жауабы: 3 км/сағ.

№ 36.22

400 000 тұрғынның 60%-ы футболға қызықпайды. Футбол жанкүйерлерінің 75%-ы чемпиондар лигасының қорытынды ойынын теледидардан қараған. 1) Қанша тұрғын ойынды қараған? 2) Тұрғындардың қанша пайызы ойынды қараған? 3) Тұрғындардың қанша пайызы ойынды қарамаған?

Қалай ойлаймыз. Алдымен жанкүйерлер: $100% - 60% = 40%$ қала халқы. Сосын олардың 75%-ы.

Шешуі.

1. Жанкүйерлер $0{,}4 \cdot 400,000 = 160,000$.
2. Қараған $0{,}75 \cdot 160,000 = 120,000$.
3. Қала халқындағы үлесі: $120,000 : 400,000 = 0{,}3 = 30%$.
4. Қарамағандар: $100% - 30% = 70%$.

Жауабы: 1) 120 000 адам; 2) 30%; 3) 70%.

№ 36.23

Отбасы депозитке 250 000 тг салмақшы болды. Осы соманың бір бөлігін пайыздық өсімі 10%-ға тең шотқа, ал қалғанын қалдықты 50 000 тг төмендетпей алып тұруға болатын жылдық пайызы 9%-ға тең депозитке салды. Бір жылдан кейін депозиттегі сома 274 000 теңгеге жетті. 1) Пайыздық өсімі 10%-ға тең шотқа қанша сома салынды? 2) Жылдық пайызы 9%-ға тең депозитте бір жылдан кейін қанша сома болды? 3) Пайыздық өсімі 10%-ға тең шотқа қанша теңге салған тиімді?

Қалай ойлаймыз. 10%-дық шотқа $x$ салынсын, қалғаны $250,000 - x$ 9%-дық депозитке. Бір жылдан кейін әр бөлік өседі, қосындысы $274,000$.

Шешуі.

1. $1{,}1x + 1{,}09(250,000 - x) = 274,000$, яғни $0{,}01x + 272,500 = 274,000$, $x = 150,000$.
2. 9%-дық депозитте $100,000$ жатты, бір жылдан кейін онда $100,000 \cdot 1{,}09 = 109,000$ тг. (Тексеру: $165,000 + 109,000 = 274,000$.)
3. Бүкіл соманы 10%-дық шотқа салсақ: $250,000 \cdot 1{,}1 = 275,000$. Бүкіл соманы 9%-дық депозитке салумен ($272,500$) салыстырғанда табыс $2500$ тг. Бұл — оқулықтың жауабы. Ал бөліп салған нұсқамен салыстырғанда табыс $1000$ тг болар еді.

📕 Оқулықтағы кемшілік. 3-тармақтың сұрағы («қанша теңге салған тиімді?») түсініксіз құрастырылған: қандай нұсқамен салыстыру керегі айтылмаған. Оқулықтың жауабы $2500$ тг сәйкес келетіні — бүкіл соманы 9%-дық депозитке салумен салыстыру.

Жауабы: 1) 150 000 тг; 2) 109 000 тг; 3) 2500 тг (бүкіл соманы 9%-дық депозитке салумен салыстырғанда).

№ 36.24

Бірінші оператор қолжазбаны 9 сағатта, екінші оператор 6 сағатта тереді. Бірінші оператор 3 сағ жұмыс атқарғаннан кейін басқа жұмысқа ауыстырылды. Қолжазбаның қалған бөлігін екінші оператор терді. 1) Жұмыстың қалған бөлігін екінші оператор қанша сағатта терді? 2) Барлық жұмыс қанша уақытта аяқталды? 3) Егер жұмыстың жартысын бірінші оператор, екінші жартысын екінші оператор терген болса, онда жұмыс қанша уақытта орындалады? 4) Егер екі оператор жұмысты бір мезгілде теретін болса, онда барлық жұмыс қанша уақытта орындалады?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл қолжазба — 1. Бірінші сағатына $\frac{1}{9}$ жұмыс, екінші $\frac{1}{6}$ жұмыс жасайды.

Шешуі.

1. 3 сағатта бірінші $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ жұмыс жасады. Қалғаны $\frac{2}{3}$. Екінші: $\frac{2}{3} : \frac{1}{6} = 4$ сағ.
2. Барлық жұмыс: $3 + 4 = 7$ сағ.
3. Жартысын біріншісі: $\frac{1}{2} \cdot 9 = 4{,}5$ сағ. Жартысын екіншісі: $\frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ сағ. Барлығы $7{,}5$ сағ.
4. Бірге: $\frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{5}{18}$ жұмыс сағатына, демек $1 : \frac{5}{18} = 3{,}6$ сағ (3 сағ 36 мин).

Жауабы: 1) 4 сағ; 2) 7 сағ; 3) 7,5 сағ; 4) 3,6 сағ.

№ 36.25

Цифрларының қосындысы 12 санынан артық емес, ал ондықтар цифры бірліктер цифрынан үш есе артық болатын екітаңбалы сандарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бірліктер $u$ болса, ондықтар $3u$. Цифрлар 9-дан аспайды, және қосынды $4u \le 12$.

Шешуі.

1. $3u \le 9$ болса, $u \le 3$. Нөл келмейді: ондықтар цифры нөл болмауы керек.
2. $u = 1$: 31 саны (қосындысы 4). $u = 2$: 62 (қосындысы 8). $u = 3$: 93 (қосындысы 12).

Жауабы: 31; 62; 93.

№ 36.26

Автобустың орташа жылдамдығы 60 км/сағ-тан артық, бірақ 80 км/сағ-тан кем. 1) Автобус 240 км жолды қанша сағатта жүріп өтеді? 2) Осы аралықты 3 сағ 20 минуттан артық емес уақытта жүріп өту үшін автобустың жылдамдығы қандай болуы керек?

Қалай ойлаймыз. Уақыт $t = \frac{240}{v}$. Жылдамдық неғұрлым үлкен болса, уақыт соғұрлым аз.

Шешуі.

1. $60 < v < 80$, демек $\frac{240}{80} < t < \frac{240}{60}$, яғни $3 < t < 4$ сағ.
2. $3$ сағ $20$ мин $= \frac{10}{3}$ сағ. $\frac{240}{v} \le \frac{10}{3}$ шарты $v \ge 72$ береді. $v < 80$ екенін ескерсек, $72 \le v < 80$.

Жауабы: 1) 3 пен 4 сағ аралығында; 2) 72 (қоса алғанда) мен 80 км/сағ аралығында.

№ 36.27

Екі екітаңбалы санның қосындысының мәні 36, олардың квадраттарының айырымы 432. Осы сандарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Квадраттар айырымы жіктеледі: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Шешуі.

1. $(a - b) \cdot 36 = 432$, $a - b = 12$.
2. $a + b = 36$, $a - b = 12$, демек $a = 24$, $b = 12$.
3. Тексеру: $24^2 - 12^2 = 576 - 144 = 432$.

Жауабы: 24 және 12.

№ 36.28

48 санын екітаңбалы санның цифрларының қосындысына бөлгенде бөліндінің мәнінде 4 шығады. Осы санның цифрларының квадраттарының айырымының модулі 24-ке тең. Берілген санды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен цифрлардың қосындысын табамыз, сосын квадраттар айырымын қолданамыз.

Шешуі.

1. $48 : s = 4$, $s = 12$. Цифрлар $a + b = 12$.
2. $|a^2 - b^2| = |(a - b)(a + b)| = 24$, $|a - b| = 2$.
3. $a = 7$, $b = 5$. Сан 75 (егер айырымды «ондықтар минус бірліктер» деп алсақ). Керісінше болса, цифрлар орын алмасады: 57.

Жауабы: 75 немесе 57.

№ 36.29

1) $A$ және $B$ пункттерінің аралығы 180 км. Егер автомобиль жылдамдығын 20 км/сағ-қа арттырса, онда 2 сағатта 180 км-ден артық жол жүреді. Егер жылдамдығын 20 км/сағ-қа кемітсе, онда баратын жерге 3 сағ ішінде жетіп үлгермейді. Автомобильдің жылдамдығын табыңдар. 2) Екі айлақтың көлмен арақашықтығы 36 км. Егер моторлы қайық жылдамдығын 3 км/сағ-қа арттырса, онда ол 36 км артық жол жүреді. Егер моторлы қайық жылдамдығын 2 км/сағ-қа кемітсе, онда ол 4 сағатта қажетті пунктке жетпейді. Моторлы қайықтың жылдамдығын табыңдар. 3) Екі мотоциклшінің арақашықтығы 7 км. Біреуінің жылдамдығы 14 км/сағ, ал екіншісінікі 16 км/сағ. Егер мотоциклшілер: а) бір бағытта; ә) қарама-қарсы бағытта жүрсе (екі жағдайды қарастырыңдар), онда қанша уақытта олардың арақашықтығы 1 км-ге тең болады?

Қалай ойлаймыз. 1) және 2) тармақтар екі теңсіздіктің жүйесін береді. 3) тармақты жағдайлар бойынша талдау керек: кім кімнің артынан және қай бағытқа жүреді.

Шешуі.

1. $2(v + 20) > 180$ теңсіздігінен $v > 70$. $3(v - 20) < 180$ теңсіздігінен $v < 80$. Сонымен, $70 < v < 80$.
2. $3(v + 3) > 36$ теңсіздігінен $v > 9$. $4(v - 2) < 36$ теңсіздігінен $v < 11$. Сонымен, $9 < v < 11$.
3. а) Бір бағытта. Арақашықтық $16 - 14 = 2$ км/сағ жылдамдықпен өзгереді. Егер жылдамы артында жүрсе, арақашықтық қысқарады: $7 - 2t = 1$, $t = 3$ сағ (жылдамы әлі басып озған жоқ). Кейін ол басып озады, арақашықтық енді басқа жағынан қайтадан 1 км болады: $2t - 7 = 1$, $t = 4$ сағ. Егер жылдамы алдыда жүрсе, арақашықтық тек артады, 1 км ешқашан болмайды. ә) Қарама-қарсы бағытта. Бетпе-бет: жақындасу жылдамдығы $14 + 16 = 30$ км/сағ. $7 - 30t = 1$ теңдеуінен $t = 0{,}2$ сағ (12 мин); кездескеннен кейін $30t - 7 = 1$ теңдеуінен $t = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ сағ (16 мин). Бір-бірінен алыстағанда: арақашықтық тек артады, 1 км болуы мүмкін емес.

Жауабы: 1) $70 < v < 80$ км/сағ; 2) $9 < v < 11$ км/сағ; 3) а) 3 сағ немесе 4 сағ өткен соң (жылдамы артында болса), әйтпесе ешқашан; ә) бетпе-бет жүргенде 12 минуттан немесе 16 минуттан кейін, алыстағанда ешқашан.

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз

№ 36.30

Берілген өрнектің мәні нөлге тең болатындай айнымалының мәндерін табыңдар: 1) $2x - 5$; 2) $36x - 4x^2$; 3) $2\frac{1}{3}x - 14$; 4) $x^2 - 16$; 5) $25 - x^2$; 6) $9x + 4x^2$.

Қалай ойлаймыз. Өрнекті нөлге теңестіреміз. $x^2$ болған жерде көбейткіштерге жіктейміз: көбейтінді көбейткіштердің бірі нөл болғанда ғана нөлге тең.

Шешуі.

1. $2x = 5$, $x = 2{,}5$.
2. $4x(9 - x) = 0$, демек $x = 0$ немесе $x = 9$.
3. $\frac{7}{3}x = 14$, $x = 14 \cdot \frac{3}{7} = 6$.
4. $(x - 4)(x + 4) = 0$, $x = \pm 4$.
5. $(5 - x)(5 + x) = 0$, $x = \pm 5$.
6. $x(9 + 4x) = 0$, демек $x = 0$ немесе $x = -\frac{9}{4} = -2{,}25$.

Жауабы: 1) 2,5; 2) 0 және 9; 3) 6; 4) $-4$ және 4; 5) $-5$ және 5; 6) $-2{,}25$ және 0.

№ 36.31

Берілген өрнекті стандарт көпмүше түрінде жазыңдар: 1) $\frac{2x^2 - 3x + 3}{4}$; 2) $36x - \frac{x^2 + 4x + 5}{2}$; 3) $2\frac{1}{3}x - \frac{7 - 5x + 2x^3}{3}$; 4) $x^2 + 1 - \frac{x - 3}{4} + \frac{8x^2 - 3}{4}$.

Қалай ойлаймыз. Алымның әр мүшесін бөлімге бөлеміз. Бөлшектің алдында минус болса, барлық мүшенің таңбасы ауысады.

Шешуі.

1. $0{,}5x^2 - 0{,}75x + 0{,}75$.
2. $36x - 0{,}5x^2 - 2x - 2{,}5 = -0{,}5x^2 + 34x - 2{,}5$.
3. $\frac{7}{3}x - \frac{7}{3} + \frac{5}{3}x - \frac{2}{3}x^3 = -\frac{2}{3}x^3 + 4x - \frac{7}{3}$.
4. $x^2 + 1 + \frac{-x + 3 + 8x^2 - 3}{4} = x^2 + 1 + 2x^2 - \frac{x}{4} = 3x^2 - 0{,}25x + 1$.

Жауабы: 1) $0{,}5x^2 - 0{,}75x + 0{,}75$; 2) $-0{,}5x^2 + 34x - 2{,}5$; 3) $-\frac{2}{3}x^3 + 4x - \frac{7}{3}$; 4) $3x^2 - 0{,}25x + 1$.

Жадынама

• Алдымен сұрақты оқы да, $x$ деп нені белгілейтініңді шеш.
• «$k$ есе артық» дегеніміз — көбейту, «$k$-ға артық» дегеніміз — қосу.
• $a : b$ қатынасын $ak$ және $bk$ деп жаз.
• Жауапты өлшем бірліктерімен және сұраққа жауап беретіндей етіп жаз.

Шағын тест