Өзіңді тексер! V бөлім

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 5 бөлім: Қысқаша көбейту формулалары. 217–220-беттер.

Бұл тест «Қысқаша көбейту формулалары» бөлімінің қорытындысы: қосындының және айырымның квадраты, квадраттар айырымы, кубтар қосындысы мен айырымы, көбейткіштерге жіктеу және мәтінді есептер. Әр сұраққа шешуі мен дұрыс әріп төменде берілген. Алдымен өзің шығар, содан кейін салыстыр.

Басты нәрсені еске түсірейік.

⚠️ Жиі кететін қате. $(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$: екі еселенген көбейтіндіні $2ab$ ұмытып кетеді. Ал кубтар қосындысында жақшаның ішінде $a^2 - ab + b^2$ тұрады, $(a+b)^2$ емес.

Жаттығуларды шығарамыз

№ 1

Ақиқат емес теңдікті анықтаңдар: A. $(3b - c)(3b + c) = 9b^2 - c^2$; B. $(x+4)(4-x) = 16 - x^2$; C. $36n^2 - 49 = (6n+7)(7-6n)$; D. $y^4 - 25 = (y^2-5)(y^2+5)$.

Қалай ойлаймыз. Әр теңдікті квадраттар айырымының формуласымен тексереміз.

Шешуі.

1. A: $(3b)^2 - c^2 = 9b^2 - c^2$, дұрыс.
2. B: $(4+x)(4-x) = 16 - x^2$, дұрыс.
3. C: $36n^2 - 49 = (6n-7)(6n+7)$. Ал жазбада $(7 - 6n)$ көбейткішінің таңбасы қарама-қарсы: $(6n+7)(7-6n) = 49 - 36n^2$. Дұрыс емес.
4. D: $(y^2)^2 - 5^2 = (y^2-5)(y^2+5)$, дұрыс.

Жауабы: C.

№ 2

$x$-ті қандай бірмүшемен алмастырғанда $n^2 + x + 0{,}04$ өрнегі екімүшенің квадраты болады? A. $0{,}2n$ немесе $-0{,}2n$; B. $4n$ немесе $-4n$; C. $2n$ немесе $-2n$; D. $0{,}4n$ немесе $-0{,}4n$.

Қалай ойлаймыз. $0{,}04 = 0{,}2^2$, демек, $(n \pm 0{,}2)^2$ квадраты керек, ал ортаңғы мүше $2 \cdot n \cdot 0{,}2$-ге тең.

Шешуі. $(n \pm 0{,}2)^2 = n^2 \pm 0{,}4n + 0{,}04$. Демек, $x = \pm 0{,}4n$.

Жауабы: D.

№ 3

Ақиқат теңдікті анықтаңдар: A. $(3 + a^2)^2 = 9 + 3a + a^2$; B. $(k-5)^2 = k^2 - 10k + 10$; C. $(x + 2y^2)^2 = x^2 + 4xy^2 + 4y^4$; D. $16a^4 - 24a^2b + 9b^2 = (8a^2 - 3b)^2$.

Шешуі.

1. A: $(3+a^2)^2 = 9 + 6a^2 + a^4$. Дұрыс емес.
2. B: $(k-5)^2 = k^2 - 10k + 25$. Дұрыс емес.
3. C: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 2y^2 + (2y^2)^2 = x^2 + 4xy^2 + 4y^4$. Дұрыс.
4. D: $16a^4 - 24a^2b + 9b^2 = (4a^2 - 3b)^2$, ал $(8a^2-3b)^2$ емес. Дұрыс емес.

Жауабы: C.

№ 4

$a^4b^6 - 16c^8$ өрнегін көбейткіштерге жіктеңдер: A. $(a^2b^3 - 4c^4)^2$; B. $(a^2b^3 + 4c^4)^2$; C. $(a^2b^3 - 4c^4)(a^2b^3 + 4c^4)$; D. $(a^2b^3 + 4c^4)(4c^4 - a^2b^3)$.

Шешуі. $a^4b^6 = (a^2b^3)^2$ және $16c^8 = (4c^4)^2$. Квадраттар айырымы $(a^2b^3 - 4c^4)(a^2b^3 + 4c^4)$ береді. D нұсқасы таңбасымен ерекшеленеді.

Жауабы: C.

№ 5

$4x^2 - 25 = 0$ теңдеуін шешіңдер: A. $2{,}5$; B. $-2{,}5$; C. $-2{,}5$; $2{,}5$; D. $-10$; $10$.

Шешуі. $4x^2 = 25$, $x^2 = \frac{25}{4}$, $x = \pm 2{,}5$. Екі түбір де жарайды.

Жауабы: C.

№ 6

$169 - (z+7)^2$ өрнегін көбейткіштерге жіктеңдер: A. $(6-z)(20+z)$; B. $(6-z)(20-z)$; C. $(6-z)(z-20)$; D. $(z-6)(20-z)$.

Қалай ойлаймыз. $169 = 13^2$. Бұл $13^2 - (z+7)^2$ квадраттар айырымы.

Шешуі. $(13 - (z+7))(13 + (z+7)) = (13 - z - 7)(13 + z + 7) = (6 - z)(20 + z)$.

Жауабы: A.

№ 7

Ақиқат теңдікті анықтаңдар: A. $8t^3 + 1 = (2t-1)(4t^2 + 2t + 1)$; B. $216a^3 - b^6 = (6a + b^2)(36a^2 - 6ab^2 - b^3)$; C. $27x^3 - 64y^3 = (3x - 4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2)$; D. $\frac{8}{27}a^3 - \frac{1}{64}b^3 = (\frac{2}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{4}{9}a^2 + \frac{1}{12}ab + \frac{1}{4}b^2)$.

Шешуі.

1. A: $8t^3 + 1$ — кубтар қосындысы, ол $(2t+1)(4t^2 - 2t + 1)$ болып жіктеледі. Дұрыс емес.
2. B: $216a^3 - b^6 = (6a - b^2)(36a^2 + 6ab^2 + b^4)$. Дұрыс емес.
3. C: $(3x)^3 - (4y)^3 = (3x - 4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2)$. Дұрыс.
4. D: $\frac{8}{27}a^3 = (\frac{2}{3}a)^3$, $\frac{1}{64}b^3 = (\frac{1}{4}b)^3$. $(\frac{2}{3}a - \frac{1}{4}b)(\ldots)$ болуы керек. Дұрыс емес.

Жауабы: C.

№ 8

$41^3 + 14^3$ өрнегі қандай санға бөлінеді: A. 2; B. 7; C. 14; D. 55.

Қалай ойлаймыз. Кубтар қосындысы негіздердің қосындысына бөлінеді: $a^3 + b^3 = (a+b)(\ldots)$.

Шешуі. $41^3 + 14^3 = (41 + 14)(41^2 - 41 \cdot 14 + 14^2)$, демек, $55$-ке бөлінеді. Басқаларын тексерейік: сан тақ (тақ пен жұптың қосындысы), сондықтан 2-ге де, 14-ке де бөлінбейді, ал 7-ге бөлгенде қалдық $-1$ қалады.

Жауабы: D.

№ 9

Айырымның квадраты шығатындай етіп $0{,}25a^2 - {}ab + 9b^2$ өрнегіндегі $$ таңбасының орнына сан қойыңдар: A. $1{,}5$; B. $-1{,}5$; C. $3$; D. $-3$.

Шешуі. $0{,}25a^2 = (0{,}5a)^2$, $9b^2 = (3b)^2$. Айырымның квадраты: $(0{,}5a - 3b)^2 = 0{,}25a^2 - 2 \cdot 0{,}5 \cdot 3,ab + 9b^2 = 0{,}25a^2 - 3ab + 9b^2$. Демек, $* = 3$.

Жауабы: C.

№ 10

$\frac{5{,}2^2 - 4{,}8^2}{1{,}1^2 - 2 \cdot 1{,}1 + 1}$ өрнегін есептеңдер: A. 400; B. 40; C. $-40$; D. $-400$.

Шешуі.

1. Алымы: $(5{,}2 - 4{,}8)(5{,}2 + 4{,}8) = 0{,}4 \cdot 10 = 4$.
2. Бөлімі: $(1{,}1 - 1)^2 = 0{,}1^2 = 0{,}01$.
3. $4 : 0{,}01 = 400$.

Жауабы: A.

№ 11

$5x^3 - 125x = 0$ теңдеуін шешіңдер: A. $0{,}5$; B. $-5$; C. $0$; D. $-5$; $0$; $5$.

Шешуі. $5x(x^2 - 25) = 5x(x-5)(x+5) = 0$. Түбірлері: $0$, $5$, $-5$.

Жауабы: D.

№ 12

$(8+x)(8-x) + (x+2)^2$ өрнегін ықшамдаңдар: A. $68 - 4x$; B. $68 + 4x$; C. $60 - 4x$; D. $60 + 4x$.

Шешуі. $64 - x^2 + x^2 + 4x + 4 = 68 + 4x$.

Жауабы: B.

№ 13

$(9-b)(9+b) - (3-b)(9+3b+b^2)$ өрнегін ықшамдап, $b = -1$ болғандағы мәнін табыңдар: A. 52; B. 53; C. 56; D. 108.

Шешуі. $81 - b^2 - 27 + b^3 = b^3 - b^2 + 54$. $b = -1$ болғанда: $-1 - 1 + 54 = 52$.

Жауабы: A.

№ 14

Екімүшенің айырымының квадраты шығу үшін $m^2 + 2{} + 0{,}04$ өрнегіндегі $$ таңбасының орнына бірмүше қойыңдар: A. $0{,}1m$ немесе $-0{,}1m$; B. $0{,}2m$; C. $-0{,}2m$; D. $0{,}2m$ немесе $-0{,}2m$.

Қалай ойлаймыз. Айырымның квадраты $(m - 0{,}2)^2$, ортаңғы мүше теріс.

Шешуі. $(m - 0{,}2)^2 = m^2 - 0{,}4m + 0{,}04$. Мұнда $2 \cdot {} = -0{,}4m$, демек, $ = -0{,}2m$. $+0{,}2m$ нұсқасы қосындының квадратын берер еді, ал бізге дәл айырым керек.

Жауабы: C.

№ 15

$(5x-2)(x+1) - (5-2x)^2$ өрнегін стандарт көпмүшеге түрлендіріңдер: A. $x^2 + 23x - 27$; B. $9x^2 + 23x - 27$; C. $9x^2 - 27x - 27$; D. $x^2 + 23x + 27$.

Шешуі.

1. $(5x-2)(x+1) = 5x^2 + 5x - 2x - 2 = 5x^2 + 3x - 2$.
2. $(5-2x)^2 = 25 - 20x + 4x^2$.
3. Айырымы: $5x^2 + 3x - 2 - 25 + 20x - 4x^2 = x^2 + 23x - 27$.

Жауабы: A.

№ 16

$2x + y + y^2 - 4x^2$ өрнегін көбейткіштерге жіктеңдер: A. $(2x+y)(y-2x)$; B. $(2x+y)(1+y-2x)$; C. $(y+2x)(y-2x-1)$; D. $(y+2x)(2x-y-1)$.

Қалай ойлаймыз. Топтастырайық: $y^2 - 4x^2$ — квадраттар айырымы, ал $2x + y$ — дайын көбейткіш.

Шешуі. $(2x + y) + (y^2 - 4x^2) = (2x+y) + (y-2x)(y+2x) = (2x+y)(1 + y - 2x)$.

Жауабы: B.

№ 17

$(2-a)(4+2a+a^2) - (3+a)(9-6a+a^2)$ өрнегін ықшамдап, $a = -2$ болғандағы мәнін табыңдар: A. $-3$; B. $37$; C. $-37$; D. $-19$.

Қалай ойлаймыз. Бірінші көбейтінді — кубтар айырымы: $8 - a^3$. Екіншісі, авторлардың ойы бойынша, кубтар қосындысы $27 + a^3$.

Шешуі.

1. $(2-a)(4+2a+a^2) = 8 - a^3$.
2. Егер екінші көбейткіште $9 - 3a + a^2$ болса, онда $(3+a)(9-3a+a^2) = 27 + a^3$.
3. Айырымы: $8 - a^3 - 27 - a^3 = -19 - 2a^3$.
4. $a = -2$ болғанда: $-19 - 2 \cdot (-8) = -19 + 16 = -3$.

📕 Шартта $9 - 6a + a^2$ деп басылған, бірақ мағынасы бойынша $9 - 3a + a^2$ болуы керек: сонда бұл кубтар қосындысының формуласы және $-3$ жауабы нұсқалар арасында бар. Сөзбе-сөз есептесең, $-9$ шығады, ондай нұсқа жоқ.

Жауабы: A ($-3$).

№ 18

$\frac{18^3 - 7^3}{18^2 + 18 \cdot 7 + 7^2}$ өрнегін есептеңдер: A. 18; B. 21; C. 11; D. 25.

Қалай ойлаймыз. Алымында кубтар айырымы, бөлімінде оның жіктелуінің екінші жақшасы тұр.

Шешуі. $18^3 - 7^3 = (18-7)(18^2 + 18 \cdot 7 + 7^2)$. Жақша қысқарады, $18 - 7 = 11$ қалады.

Жауабы: C.

№ 19

$(b-4)^2 - (a+3)^2$ өрнегін көбейткіштерге жіктеңдер: A. $(b-a-7)(b-a+1)$; B. $(b-a-7)(b+a-1)$; C. $(b+a-7)(b-a+1)$; D. $(b-a+7)(b-a-1)$.

Шешуі. $X = b - 4$, $Y = a + 3$ болғандағы $X^2 - Y^2$ квадраттар айырымы:

1. $X - Y = b - 4 - a - 3 = b - a - 7$.
2. $X + Y = b - 4 + a + 3 = b + a - 1$.
3. Көбейтінді: $(b - a - 7)(b + a - 1)$.

Жауабы: B.

№ 20

$x^6 - x^2 \cdot y^4$ өрнегін көбейткіштерге жіктеңдер: A. $(x^3-y^2)(x^3+y^2)$; B. $x^2(x^2-y^2)^2$; C. $x^2(x^2+y^2)^2$; D. $x^2(x^2-y^2)(x^2+y^2)$.

Шешуі. $x^2$-ты жақша сыртына шығарамыз: $x^2(x^4 - y^4)$. Сосын $x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$. Шығады: $x^2(x^2-y^2)(x^2+y^2)$. ($x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ деп әрі жіктеуге болады, бірақ нұсқаларда ол жоқ.) A нұсқасы $x^6 - y^4$ береді, ол басқа өрнек.

Жауабы: D.

№ 21

1-суретте (дөңгелек диаграмма) дүкенге төрт күнде әкелінген картоптың мөлшері туралы мәліметтер берілген: I күн $x%$, II күн 20%, III күн $y%$, IV күн 10%. Төрт күнде барлығы 600 кг картоп әкелінген. Егер $y$-тің мәні $x$-тің мәнінен 0,75 есе кем болса, онда үшінші күні дүкенге қанша килограмм картоп әкелінген: A. 240 кг; B. 200 кг; C. 180 кг; D. 220 кг.

Қалай ойлаймыз. Бүкіл диаграмма — 100%. 20% және 10% белгілі, қалғанын $x$ пен $y$ бөліседі, және $y = 0{,}75x$.

Шешуі.

1. $x + y = 100 - 20 - 10 = 70$.
2. $y = 0{,}75x$, демек, $1{,}75x = 70$, $x = 40$, $y = 30$.
3. Үшінші күні 600 кг-ның $30%$-ы: $0{,}3 \cdot 600 = 180$ кг.

Жауабы: C.

№ 22

1-кестені қолданып, ақиқат теңдіктерді анықтаңдар. Кесте: A — 50 санының 50%-ына тең; B — 125; C — ең кіші екітаңбалы санның квадратына тең; D — ең үлкен үштаңбалы санның $\frac{1}{9}$-ін құрайды. Теңдіктер: 1) $B : A = 3$; 2) $C = B - 5^2$; 3) $D + 11 = 100$; 4) $B + C - D = A + 89$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $A$, $B$, $C$, $D$ сандарын табамыз, сосын әр теңдікті тексереміз.

Шешуі.

1. $A = 0{,}5 \cdot 50 = 25$. $B = 125$.
2. Ең кіші екітаңбалы сан 10, $C = 10^2 = 100$.
3. Ең үлкен үштаңбалы сан 999, $D = 999 : 9 = 111$.
4. 1-теңдік: $125 : 25 = 5 \ne 3$. Дұрыс емес.
5. 2-теңдік: $125 - 25 = 100 = C$. Дұрыс.
6. 3-теңдік: $111 + 11 = 122 \ne 100$. Дұрыс емес.
7. 4-теңдік: $125 + 100 - 111 = 114$ және $25 + 89 = 114$. Дұрыс.

Жауабы: 2 және 4 теңдіктері ақиқат.

№ 23

Оператордың бес күнде терген беттер саны 2-суретте көрсетілген: I күн 10, II күн $x$, III күн 24, IV күн 13, V күн 17. Екінші күні терген беттер саны барлық беттер санының 20%-ын құрайтын болса, онда оператор барлығы қанша бет терген: A. 80 бет; B. 75 бет; C. 85 бет; D. 70 бет.

Қалай ойлаймыз. $x$ — бүкіл жұмыстың 20%-ы, демек, қалған төрт күн қосылғанда 80%.

Шешуі.

1. Қалған күндер: $10 + 24 + 13 + 17 = 64$ бет. Бұл барлығының 80%-ы.
2. Барлығы: $64 : 0{,}8 = 80$ бет. Сонда $x = 80 - 64 = 16$ және $16 : 80 = 0{,}2$.

Жауабы: A.

Жауаптар кілті

Жадынама

• Жіктеуді тексеру үшін жақшаларды аш та салыстыр.
• Күдікті өрнекті таңбалары бойынша тексер: $(a - b)$ және $(b - a)$ қарама-қарсы нәтиже береді.
• Төрт жауабы бар тестте санды қойып көру қате нұсқаларды тез алып тастайды.