§ 5. Көбейтіндіні және бөліндіні дәрежеге шығару

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 бөлім: Бүтін көрсеткішті дәреже. 41–46-беттер.

Нені үйренесің

• Көбейтіндіні дәрежеге шығаруды: $(ab)^n=a^nb^n$.
• Бөлшекті дәрежеге шығаруды: $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.
• Көрсеткіштері бірдей көбейткіштерді қайтадан бір дәрежеге жинауды.
• Жақша, бөлшек және дәреже араласқан өрнектерді ықшамдап, мәнін есептеуді.
• Теңдік тек дұрыс көрінетінін байқауды.

Ой қозғау

• $x^4$ дегеніміз не? Төрт бірдей көбейткіш: $x\cdot x\cdot x\cdot x$.
• Екі бөлшекті қалай көбейтеміз? Алымын алымына, бөлімін бөліміне: $\frac23\cdot\frac23=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 3}$.
• Көбейткіштердің орнын ауыстыруға бола ма? Иә, орын ауыстырғаннан көбейтінді өзгермейді. Бұл өте керек болады.
• $(a^3)^2$ неге тең? $a^6$, көрсеткіштерді көбейтеміз (4-параграф).

Тақырыпты талдаймыз

Дәрежені әр көбейткішке үлестіреміз

$(3\cdot 8)^4$ өрнегін алайық. Дәреженің анықтамасы бойынша бұл $(3\cdot 8)$ төрт көбейткіші:

$(3\cdot 8)^4=(3\cdot 8)(3\cdot 8)(3\cdot 8)(3\cdot 8).$

Көбейткіштердің орнын ауыстыруға болады. Төрт үштікті бірге, төрт сегізді бөлек жинайық: $3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot8\cdot8\cdot8\cdot8=3^4\cdot 8^4$.

📌 1-ереже. Көбейтіндіні дәрежеге шығару үшін әр көбейткішті сол дәрежеге шығарып, шыққан дәрежелерді көбейтеміз: $(ab)^m=a^mb^m$.

Ыңғайлы мысал: $(2\cdot 10)^4=2^4\cdot 10^4=16\cdot 10,000=160,000$. Олай есептеу $20^4$-тен оңай.

Көбейтінді емес, бөлшек болса ше

$\left(\frac23\right)^4$ өрнегін алайық. Бұл төрт бірдей бөлшек, оларды көбейтеміз:

$\left(\frac23\right)^4=\frac23\cdot\frac23\cdot\frac23\cdot\frac23=\frac{2\cdot2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3\cdot3}=\frac{2^4}{3^4}.$

📌 2-ереже. Бөлшекті дәрежеге шығару үшін оның алымы мен бөлімін жеке-жеке сол дәрежеге шығарамыз: $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ ($b\ne0$ болғанда). Оқулықта: $a$ — бүтін сан, $b$ және $n$ — натурал сандар.

Мұны қайда қолданамыз

1-мысал. $(a^3c^5)^6=(a^3)^6\cdot(c^5)^6=a^{18}c^{30}$. Алдымен алтылықты үлестірдік, сосын көрсеткіштерді көбейттік (4-параграф).

2-мысал. $\left(\frac{a^3}{c^4}\right)^5=\frac{(a^3)^5}{(c^4)^5}=\frac{a^{15}}{c^{20}}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Санды немесе бөлімді дәрежеге шығаруды ұмытады. Мысалы, $(2a)^3$ — бұл $8a^3$, ал $2a^3$ емес. Және $\left(\frac a3\right)^2=\frac{a^2}{9}$, ал $\frac{a^2}{3}$ емес.

⚠️ Жиі кететін қате 2. Ереже көбейтінді мен бөлінді үшін жұмыс істейді, қосынды үшін емес. Тексер: $(2+3)^2=25$, ал $2^2+3^2=13$. Бұл — әртүрлі сандар!

Ереже кері бағытта да жұмыс істейді

Екі көбейткіштің көрсеткіші бірдей болса, оларды бір дәрежеге жинауға болады: $2^5\cdot b^5=(2b)^5$, $\frac{7^{13}}{y^{13}}=\left(\frac7y\right)^{13}$. Бұл өрнекті ықшамдағанда немесе ұтымды есептегенде керек болады.

🌟 Теріс таңбаның айласы: $(-ab)^2=a^2b^2$, өйткені минус таңбасы ($-1$) да көбейткіш және ол да дәрежеге шығады: $(-1)^2=1$. Ал $(-ab)^3=-a^3b^3$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан кез келген «жаңа» ережені қарапайым сандармен тексертіңіз. Мысалы, $(2\cdot 3)^2=36$ және $2^2\cdot3^2=4\cdot 9=36$. Сандарды қойып көру әдеті осы тақырыптағы қателердің көбінен сақтайды.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Көбейтіндіні дәрежеге шығару ережесін қолдану үшін дәреженің негізі мен көрсеткіші қандай болуы керек? $a$ және $b$ көбейткіштері — кез келген сандар, $m$ көрсеткіші — натурал сан. Бөлшек үшін: оқулықта алымы бүтін сан, бөлімі $b\ne 0$ және көрсеткіш натурал.
• Көбейтіндіні немесе бөліндіні натурал дәрежеге шығарғанда теріс сан немесе нөл шығуы мүмкін бе? Иә. Теріс сан — нәтижеде теріс санның тақ дәрежесі болса: $(-2\cdot 3)^3=-216$. Нөл — көбейткіштердің бірі (немесе алым) нөлге тең болса: $(0\cdot 5)^4=0$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 5.1

Дәрежені дәрежелердің көбейтіндісі түрінде жазыңдар: 1) $(ax)^7$; 2) $(yz)^{10}$; 3) $(nm)^{15}$; 4) $(cd)^{20}$.

Қалай ойлаймыз. Дәреже екі әріптің әрқайсысына беріледі.

Шешуі. Әр әріпті осы дәрежеде жазамыз.

Жауабы: 1) $a^7x^7$; 2) $y^{10}z^{10}$; 3) $n^{15}m^{15}$; 4) $c^{20}d^{20}$.

№ 5.2

Дәрежені дәрежелердің көбейтіндісі түрінде жазыңдар: 1) $(2a)^{20}$; 2) $(1{,}5b)^5$; 3) $\left(\frac2{17}c\right)^7$; 4) $(-4d)^{12}$.

Қалай ойлаймыз. Әріптің алдындағы сан да көбейткіш, дәреже оған да беріледі.

Шешуі.

1. $2^{20}a^{20}$.
2. $1{,}5^5b^5$.
3. $\left(\frac2{17}\right)^7c^7$.
4. $(-4)^{12}d^{12}$. Көрсеткіш жұп, сондықтан $4^{12}d^{12}$ деп те жазуға болады.

Жауабы: 1) $2^{20}a^{20}$; 2) $1{,}5^5b^5$; 3) $\left(\frac2{17}\right)^7c^7$; 4) $(-4)^{12}d^{12}=4^{12}d^{12}$.

№ 5.3

Дәрежені дәрежелердің бөліндісі түрінде жазыңдар: 1) $\left(\frac ay\right)^3$; 2) $\left(\frac nm\right)^{10}$; 3) $\left(\frac kc\right)^{19}$; 4) $\left(\frac dx\right)^{31}$.

Қалай ойлаймыз. Дәреже алымға да, бөлімге де жазылады.

Шешуі. Алымын дәрежемен үстіне, бөлімін сол дәрежемен астына жазамыз.

Жауабы: 1) $\frac{a^3}{y^3}$; 2) $\frac{n^{10}}{m^{10}}$; 3) $\frac{k^{19}}{c^{19}}$; 4) $\frac{d^{31}}{x^{31}}$.

№ 5.4

Дәрежені дәрежелердің бөліндісі түрінде жазыңдар: 1) $\left(\frac2b\right)^5$; 2) $\left(\frac d7\right)^4$; 3) $\left(\frac5a\right)^{11}$; 4) $\left(-\frac6n\right)^8$.

Шешуі.

1. $\frac{2^5}{b^5}=\frac{32}{b^5}$.
2. $\frac{d^4}{7^4}=\frac{d^4}{2401}$.
3. $\frac{5^{11}}{a^{11}}$.
4. Минус жұп дәрежеде жоғалады: $\frac{6^8}{n^8}$.

Жауабы: 1) $\frac{2^5}{b^5}$; 2) $\frac{d^4}{7^4}$; 3) $\frac{5^{11}}{a^{11}}$; 4) $\frac{6^8}{n^8}$.

№ 5.5

Өрнекті дәреже түрінде жазыңдар: 1) $2^8a^8$; 2) $5^5b^5$; 3) $\left(\frac13\right)^7c^7$; 4) $\left(\frac2{15}\right)^{10}d^{10}$; 5) $4^6a^6b^6$; 6) $8^9c^9d^9$; 7) $\left(\frac4{11}\right)^{11}n^{11}m^{11}$; 8) $x^{13}y^{13}z^{13}$; 9) $\frac{4^{10}}{x^{10}}$; 10) $\frac{7^{13}}{y^{13}}$; 11) $\frac{z^{21}}{6^{21}}$; 12) $\frac{t^{39}}{9^{39}}$.

Қалай ойлаймыз. Бұл ереженің кері бағыты: көрсеткіштері бірдей екеніне қарап, көбейткіштерді бір жақшаға «орап» қоямыз.

Шешуі.

1. $(2a)^8$. 2) $(5b)^5$. 3) $\left(\frac c3\right)^7$. 4) $\left(\frac{2d}{15}\right)^{10}$.
2. $(4ab)^6$. 6) $(8cd)^9$. 7) $\left(\frac{4nm}{11}\right)^{11}$. 8) $(xyz)^{13}$.
3. $\left(\frac4x\right)^{10}$. 10) $\left(\frac7y\right)^{13}$. 11) $\left(\frac z6\right)^{21}$. 12) $\left(\frac t9\right)^{39}$.

Жауабы: 1) $(2a)^8$; 2) $(5b)^5$; 3) $\left(\frac c3\right)^7$; 4) $\left(\frac{2d}{15}\right)^{10}$; 5) $(4ab)^6$; 6) $(8cd)^9$; 7) $\left(\frac{4nm}{11}\right)^{11}$; 8) $(xyz)^{13}$; 9) $\left(\frac4x\right)^{10}$; 10) $\left(\frac7y\right)^{13}$; 11) $\left(\frac z6\right)^{21}$; 12) $\left(\frac t9\right)^{39}$.

№ 5.6

Ықшамдаңдар: 1) $\frac{(ab)^3}{b^2}$; 2) $\left(\frac xy\right)^5\cdot y^7$; 3) $\frac{(dt)^9}{d^7}$; 4) $\frac{(xy)^6}{x^5}$; 5) $\frac{(ac)^{10}}{c^8}$; 6) $m^{12}\cdot\left(\frac nm\right)^{10}$; 7) $\frac{(x^5y^6)^4}{x^{20}y^{22}}$; 8) $\left(\frac{a^4}{b^3}\right)^5\cdot b^{17}$; 9) $\frac{(x^8y^4)^3}{x^{23}y^{12}}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен дәрежені ереже бойынша үлестіреміз, сосын бірдей әріптерді көрсеткіштерін азайтып қысқартамыз.

Шешуі.

1. $\frac{a^3b^3}{b^2}=a^3b$.
2. $\frac{x^5}{y^5}\cdot y^7=x^5y^2$.
3. $\frac{d^9t^9}{d^7}=d^2t^9$.
4. $\frac{x^6y^6}{x^5}=xy^6$.
5. $\frac{a^{10}c^{10}}{c^8}=a^{10}c^2$.
6. $m^{12}\cdot\frac{n^{10}}{m^{10}}=m^2n^{10}$.
7. $\frac{x^{20}y^{24}}{x^{20}y^{22}}=y^2$.
8. $\frac{a^{20}}{b^{15}}\cdot b^{17}=a^{20}b^2$.
9. $\frac{x^{24}y^{12}}{x^{23}y^{12}}=x$.

Жауабы: 1) $a^3b$; 2) $x^5y^2$; 3) $d^2t^9$; 4) $xy^6$; 5) $a^{10}c^2$; 6) $m^2n^{10}$; 7) $y^2$; 8) $a^{20}b^2$; 9) $x$. 6 және 9-тармақтар оқулықтағы жауаптармен сәйкес.

№ 5.7

Өрнектің мәнін табыңдар: 1) $(a^4b^5)^2:(a^2b^2)^3$, мұндағы $a=-0{,}5$, $b=2$; 2) $(x^7y^4)^3:(x^{10}y^5)^2$, мұндағы $x=-3$, $y=\frac23$; 3) $(-2a^6b^3)^3:(5a^8b^4)^2$, мұндағы $a=\frac78$, $b=-\frac3{25}$; 4) $(3a^9b^3)^2:(-4a^4b)^4$, мұндағы $a=-\frac59$, $b=-16$.

Қалай ойлаймыз. Әрдайым алдымен ықшамдаймыз. Сонда сандар кішкентай шығады.

Шешуі.

1. Алымы $a^8b^{10}$, бөлімі $a^6b^6$. $a^2b^4$ қалады. $a=-0{,}5$, $b=2$ болғанда: $0{,}25\cdot 16=4$.
2. Алымы $x^{21}y^{12}$, бөлімі $x^{20}y^{10}$. $xy^2$ қалады. $x=-3$, $y=\frac23$ болғанда: $-3\cdot\frac49=-\frac43=-1\frac13$.
3. $(-2a^6b^3)^3=-8a^{18}b^9$, $(5a^8b^4)^2=25a^{16}b^8$. Бөлшек $-\frac{8}{25}a^2b$. $a=\frac78$, $b=-\frac3{25}$ болғанда: $a^2=\frac{49}{64}$, сонда $-\frac8{25}\cdot\frac{49}{64}\cdot\left(-\frac3{25}\right)=\frac{8\cdot49\cdot3}{25\cdot64\cdot25}=\frac{147}{5000}=0{,}0294$.
4. Жоғарыдағы виджеттегідей: $2\frac79$.

Жауабы: 1) 4; 2) $-1\frac13$; 3) $\frac{147}{5000}=0{,}0294$; 4) $2\frac79$. 4-тармақ оқулықтағы жауаппен сәйкес, қалғандарының жауабы оқулықта жоқ.

B деңгейі

№ 5.8

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $\left(\frac23\right)^5\cdot(2^5)^3\cdot3^7:(2^{10}\cdot3)^2=1$; 2) $(7^2)^8\cdot(6^3)^4:(7^4\cdot6^3)^4=1$; 3) $\left(\frac45\right)^6\cdot(4^3)^3\cdot5^8:(4^7\cdot5)^2=4$; 4) $(9^4\cdot8^3)^5:(9^{10})^2:(8^2)^7=8$.

Қалай ойлаймыз. Бәрін қарапайым дәрежелерге жіктеп, әр негіздің көрсеткішін бөлек санаймыз.

Шешуі.

1. $\frac{2^5}{3^5}\cdot2^{15}\cdot3^7:(2^{20}\cdot3^2)$. Екілер: $5+15-20=0$. Үштер: $-5+7-2=0$. $1$ шықты.
2. $7^{16}\cdot6^{12}:(7^{16}\cdot6^{12})=1$.
3. $\frac{4^6}{5^6}\cdot4^9\cdot5^8:(4^{14}\cdot5^2)$. Төрттер: $6+9-14=1$. Бестер: $-6+8-2=0$. $4$ шықты.
4. $(9^4\cdot8^3)^5=9^{20}\cdot8^{15}$. $9^{20}$-ға және $8^{14}$-ке бөлеміз: $8^{15-14}=8$ қалады.

Жауабы: төрт тепе-теңдік те дәлелденді.

№ 5.9

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(2x^5y^7)^3:(x^{14}y^{20})-(3xy^5)^3:(x^2y^{14})$; 2) $(-3a^4b^5)^2\cdot(-2a^2b^3)^3:(-72(a^6b^9)^2)+a^2b$; 3) $(5x^6y^2)^3\cdot(-x^8y^7)^2:(-0{,}2x^{15}y^{10})^2-10x^4$; 4) $(-2a^{10}b^{20})^2:(-a^2b^3)^3:(-2a^5b^{24})^2$.

Қалай ойлаймыз. Ретімен жұмыс істейміз: алдымен дәрежеге шығарамыз, сосын көбейтеміз және бөлеміз. Таңбаларды қадағала: тақ дәреже минусты сақтайды, жұп дәреже жояды.

Шешуі.

1. $8x^{15}y^{21}:(x^{14}y^{20})=8xy$. $27x^3y^{15}:(x^2y^{14})=27xy$. Айырма $8xy-27xy=-19xy$.
2. $(-3a^4b^5)^2=9a^8b^{10}$; $(-2a^2b^3)^3=-8a^6b^9$; көбейтінді $-72a^{14}b^{19}$. Бөлгіш $-72a^{12}b^{18}$. Бөлінді $a^{2}b$ (көрсеткіштер: $14-12=2$ және $19-18=1$). Сонда $a^2b+a^2b=2a^2b$.
3. $(5x^6y^2)^3=125x^{18}y^6$; $(-x^8y^7)^2=x^{16}y^{14}$; көбейтінді $125x^{34}y^{20}$. Бөлгіш $0{,}04x^{30}y^{20}$. Бөлінді $3125x^4$. Сонда $3125x^4-10x^4=3115x^4$.
4. $4a^{20}b^{40}:(-a^6b^9)=-4a^{14}b^{31}$. Сосын $4a^{10}b^{48}$-ге бөлеміз: $-a^{4}b^{-17}=-\frac{a^4}{b^{17}}$.

Жауабы: 1) $-19xy$; 2) $2a^2b$; 3) $3115x^4$; 4) $-\frac{a^4}{b^{17}}$. 1 және 2-тармақтар оқулықтағы жауаптармен сәйкес.

№ 5.10

Есептеңдер: 1) $\frac{7^{12}\cdot(7^4)^2}{(7^5)^4}$; 2) $\frac{3^2\cdot(3^3)^2}{81^2}$; 3) $\frac{5^5\cdot(5^3)^4}{5^{13}}$; 4) $\frac{(2^8)^3\cdot2^6}{2^{22}}$; 5) $\frac{(3^5)^2}{3^6\cdot9}$; 6) $\frac{4^9\cdot6^4}{(4^4)^3}$.

Қалай ойлаймыз. Бәрін бір негізге келтіреміз. $81$ үшін бұл $3^4$, $9$ үшін $3^2$.

Шешуі.

1. $\frac{7^{12}\cdot7^8}{7^{20}}=1$.
2. $81^2=(3^4)^2=3^8$; $\frac{3^2\cdot3^6}{3^8}=1$.
3. $\frac{5^5\cdot5^{12}}{5^{13}}=5^4=625$.
4. $\frac{2^{24}\cdot2^6}{2^{22}}=2^8=256$.
5. $9=3^2$; $\frac{3^{10}}{3^6\cdot3^2}=3^2=9$.
6. $\frac{4^9\cdot6^4}{4^{12}}=\frac{6^4}{4^3}=\frac{1296}{64}=20\frac14$.

Жауабы: 1) 1; 2) 1; 3) 625; 4) 256; 5) 9; 6) $20\frac14$ (яғни $20{,}25$).

№ 5.11

1) $a=-2$, $b=-\frac12$ болса, онда $(a^3b^5)^5:(a^7b^{12})^2\cdot(ab)^3$; 2) $a=-\frac13$, $b=-3$ болса, онда $\left(\frac{a^4}{b^5}\right)^2\cdot\left(\frac{b^6}{a^3}\right)^2:(ab)$ өрнегінің мәнін табыңдар.

Шешуі.

1. $a^{15}b^{25}:(a^{14}b^{24})=ab$; сосын $ab\cdot(ab)^3=(ab)^4$. Мұнда $ab=-2\cdot\left(-\frac12\right)=1$, демек, мәні 1.
2. $\frac{a^8}{b^{10}}\cdot\frac{b^{12}}{a^6}=a^2b^2$. $ab$-ға бөлеміз: $ab$ шығады. $ab=-\frac13\cdot(-3)=1$.

Жауабы: 1) 1; 2) 1.

C деңгейі

Бұл енді байыпты есептер, бірақ ереже сол. Кез келген әрекет есепке алынады.

№ 5.12

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(4^k3^n)^2:(4^{k-1}3^{n-1})^2$; 2) $(7^m9^n)^3:(7^{m-2}9^n)^3$; 3) $(11^k5^t)^4:(11^k5^{t-1})^4$; 4) $(13^m6^k)^3:(13^m6^{k-1})^3$.

Қалай ойлаймыз. Көрсеткіш әріппен берілген, бірақ негіздері бірдей дәрежелерді бөлеміз: көрсеткіштерді азайтамыз. Байқа: жақшадағы екі өрнек бір ғана көбейткішпен ерекшеленеді.

Шешуі.

1. $4^{2k-(2k-2)}\cdot3^{2n-(2n-2)}=4^2\cdot 3^2=16\cdot 9=144$.
2. $7^{3m-(3m-6)}\cdot9^{3n-3n}=7^6\cdot 1=7^6$.
3. $11^{4k-4k}\cdot5^{4t-(4t-4)}=5^4=625$.
4. $13^0\cdot6^{3k-(3k-3)}=6^3=216$.

Жауабы: 1) 144; 2) $7^6$; 3) 625; 4) 216. 1 және 2-тармақтар оқулықпен сәйкес.

№ 5.13

Есептеңдер: 1) $(100^{10}\cdot9^3)^7\cdot(100^{20}\cdot9^6)^2:(100^{109}\cdot9^{33})$; 2) $(0{,}15^{16}\cdot3^7)^5\cdot(3^3\cdot0{,}15^{10})^3:(3^{20}\cdot0{,}15^{55})^2$; 3) $\left(\left(\frac34\right)^3\cdot\left(\frac45\right)^6\right)^{10}:\left(\left(\frac45\right)^{12}\cdot\left(\frac34\right)^6\right)^5$; 4) $\left(\left(\frac56\right)^7\cdot\left(\frac67\right)^3\right)^8:\left(\left(\frac67\right)^{11}\cdot\left(\frac56\right)^{27}\right)^2$.

Қалай ойлаймыз. Әр негіздің көрсеткішін бөлек санаймыз.

Шешуі.

1. $100^{70}\cdot9^{21}\cdot100^{40}\cdot9^{12}:(100^{109}\cdot9^{33})$. 100-дің көрсеткіші: $70+40-109=1$. 9-дікі: $21+12-33=0$. Мәні $100$.
2. $0{,}15^{80}\cdot3^{35}\cdot3^9\cdot0{,}15^{30}:(3^{40}\cdot0{,}15^{110})$. $0{,}15$-тікі: $80+30-110=0$. 3-тікі: $35+9-40=4$. Мәні $3^4=81$.
3. $\left(\frac34\right)^{30}\left(\frac45\right)^{60}:\left(\left(\frac45\right)^{60}\left(\frac34\right)^{30}\right)=1$.
4. $\left(\frac56\right)^{56}\left(\frac67\right)^{24}:\left(\left(\frac67\right)^{22}\left(\frac56\right)^{54}\right)=\left(\frac56\right)^2\left(\frac67\right)^2=\left(\frac57\right)^2=\frac{25}{49}$.

Жауабы: 1) 100; 2) 81; 3) 1; 4) $\frac{25}{49}$. Оқулықтағы жауаптармен сәйкес.

№ 5.14

1) $((a^2)^3)^5\cdot(a^{15}b)^2:a^{60}-b^2$; 2) $(x^5y)^3\cdot((y^4)^3)^4:y^{51}-x^{15}$ өрнегінің мәні нөлге тең болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Үш жақша: көрсеткіштер қатарынан көбейтіледі ($2\cdot3\cdot5$).

Шешуі.

1. $((a^2)^3)^5=a^{30}$; $(a^{15}b)^2=a^{30}b^2$. Сонда $a^{30}\cdot a^{30}b^2:a^{60}=b^2$. $b^2$-ты азайтамыз: $0$ шығады.
2. $(x^5y)^3=x^{15}y^3$; $((y^4)^3)^4=y^{48}$. Сонда $x^{15}y^3\cdot y^{48}:y^{51}=x^{15}$. $x^{15}$-ті азайтамыз: $0$ шығады.

Жауабы: екі жағдайда да мәні нөлге тең.

№ 5.15

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $\left(\frac23\right)^8\cdot\left(\frac35\right)^9\cdot\left(\frac52\right)^{10}=3{,}75$; 2) $(4\cdot7)^{10}\cdot\left(\frac34\right)^{10}:(7^5\cdot3^4)^2=9$.

Қалай ойлаймыз. Бөлшектерді алым мен бөлімнің дәрежелеріне жіктеп, екі, үш және бестің көрсеткіштерін санаймыз.

Шешуі.

1. Екілер: алымында $2^8$, бөлімінде $2^{10}$, $\frac1{2^2}=\frac14$ қалады. Үштер: $3^9$-ды $3^8$-ге бөлеміз, $3$ қалады. Бестер: $5^{10}$-ды $5^9$-ға бөлеміз, $5$ қалады. Барлығы $\frac14\cdot3\cdot5=\frac{15}4=3{,}75$.
2. $(4\cdot7)^{10}\cdot\left(\frac34\right)^{10}=4^{10}7^{10}\cdot\frac{3^{10}}{4^{10}}=7^{10}\cdot3^{10}$. $7^{10}\cdot3^8$-ге бөлеміз: $3^2=9$ қалады.

Жауабы: екі тепе-теңдік те дәлелденді.

№ 5.16

1) 64; 2) 729 сандарын: а) негізі теріс; ә) көрсеткіші тақ болатын дәреже түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Теріс негіздің жұп дәрежесі оң сан береді. Тақ көрсеткіш — 1, 3, 5, … Алдымен санды жай көбейткіштерге жіктейміз: $64=2^6$, $729=3^6$.

Шешуі.

1. $64=2^6$. а) $64=(-2)^6=(-8)^2$. ә) $64=4^3=64^1$.
2. $729=3^6$. а) $729=(-3)^6=(-27)^2$. ә) $729=9^3=729^1$.

Жауабы: 1) а) $(-2)^6$ немесе $(-8)^2$; ә) $4^3$ (немесе $64^1$). 2) а) $(-3)^6$ немесе $(-27)^2$; ә) $9^3$ (немесе $729^1$). Басқа дұрыс жазулар да мүмкін.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 5.17

3 санының дәрежелерінен тұратын 3; $3^2$; $3^3$; $3^4$; $3^5$; $3^6$; … тізбегінің мәндерін табыңдар. 1) Алдыңғы дәреженің мәнімен салыстырғанда әрбір келесі дәреженің мәні туралы қандай қорытынды жасауға болады? 2) Келесі дәреженің мәнімен салыстырғанда әрбір алдыңғы дәреженің мәні туралы қандай қорытынды жасауға болады?

Қалай ойлаймыз. Сандарды жазып, әрбір келесісінің неше есе өскеніне қараймыз.

Шешуі. $3$, $9$, $27$, $81$, $243$, $729$. Әрбір келесі сан алдыңғыдан 3 есе үлкен. Демек, алдыңғысы келесісінен 3 есе кіші.

Жауабы: мәндері: 3, 9, 27, 81, 243, 729. 1) келесі дәреже 3 есе үлкен; 2) алдыңғы дәреже 3 есе кіші.

№ 5.18

Бөлшектерден тұратын сандар тізбегін дәрежелерден тұратын тізбек түрінде жазыңдар: 1) $\frac13;\ \frac19;\ \frac1{27};\ \frac1{81};\ \ldots$; 2) $\frac27;\ \frac4{49};\ \frac8{343};\ \frac{16}{2401};\ \ldots$

Қалай ойлаймыз. Бірінші тізбекте бөлімдер — үштің дәрежелері. Екіншісінде алымдары да, бөлімдері де дәреже (екі мен жеті), яғни бөлшекті дәрежеге шығару ережесі жұмыс істейді.

Шешуі.

1. $\frac13=\left(\frac13\right)^1$; $\frac19=\frac1{3^2}=\left(\frac13\right)^2$; $\frac1{27}=\left(\frac13\right)^3$; $\frac1{81}=\left(\frac13\right)^4$.
2. $\frac27=\left(\frac27\right)^1$; $\frac4{49}=\frac{2^2}{7^2}=\left(\frac27\right)^2$; $\frac8{343}=\left(\frac27\right)^3$; $\frac{16}{2401}=\left(\frac27\right)^4$.

Жауабы: 1) $\left(\frac13\right)^n$, $n=1,2,3,\ldots$; 2) $\left(\frac27\right)^n$, $n=1,2,3,\ldots$.

Жадынама

• 1-ереже: $(ab)^n=a^nb^n$.
• 2-ереже: $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.
• Әріптің алдындағы сандарды да дәрежеге шығарамыз: $(3x)^2=9x^2$.
• Бұл көбейтінді мен бөлшек үшін жұмыс істейді, қосынды үшін емес.

Шағын тест