§ 6. Бүтін көрсеткішті дәреже

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 бөлім: Бүтін көрсеткішті дәреже. 46–50-беттер.

Нені үйренесің

• Нөлдік және теріс дәреже көрсеткішінің не екенін түсінуді.
• $a^{-n}$ дәрежесін $\frac1{a^n}$ бөлшегімен және кері бағытта ауыстыруды.
• Теріс көрсеткіші бар өрнектердің мәнін есептеуді.
• Бөлшекті бүтін көрсеткішті дәреже түрінде жазуды.
• Нөлдің теріс дәрежелері неге болмайтынын білуді.

Ой қозғау

• $10^2$, $10^3$, $10^4$ неге тең? $100$, $1000$, $10,000$. Әр қадамда көрсеткіш 1-ге артады, ал сан 10 есе үлкен болады.
• $5^3$ қалай табылады? $5\cdot5\cdot5=125$.
• Ондықтың дәреже көрсеткішін 1-ге кемітсек, сан неше есе кемиді? 10 есе: мысалы, $10^4=10,000$-нан $10^3=1000$-ға.
• 1000-ды қатарынан үш рет 10-ға бөлсек, не шығады? $1000\to100\to10\to1$. Осы жауапты есіңде сақта: нөл емес, бірлік.

Тақырыпты талдаймыз

Ондықтың дәрежелері бойынша төмен түсеміз

Бағанға қара: әр жол алдыңғыдан 10 есе кіші, ал көрсеткіш 1-ге кемиді.

Заңдылық бірліктен кейін үзілмейді: 10-ға бөлуді жалғастырамыз. Нөлдік көрсеткіш $1$ береді, ал теріс көрсеткіш — бөлшектер.

📌 Анықтама. $a\ne0$ және $n$ натурал сан болғанда: $a^{-n}=\dfrac1{a^n}$. Көрсеткіштегі минус «кері санды алу» дегенді білдіреді.

Сонымен бірге есте сақтайық: нөлден өзге кез келген сан нөлдік дәрежеде бірге тең. $a^0=1$, мұндағы $a\ne0$.

Онымен қалай жұмыс істейміз

Мысалдар:

• $12^{-2}=\frac1{12^2}=\frac1{144}$.
• $(-7)^{-3}=\frac1{(-7)^3}=\frac1{-343}=-\frac1{343}$.
• $\left(-\frac13\right)^{-4}=\frac1{\left(-\frac13\right)^4}=\frac1{\frac1{81}}=81$.

Соңғы мысал ыңғайлы тәсілді көрсетеді: теріс дәрежедегі бөлшекті жай ғана аударып жіберуге болады. $\left(\frac ab\right)^{-n}=\left(\frac ba\right)^n$. Мысалы, $\left(\frac23\right)^{-2}=\left(\frac32\right)^2=\frac94$.

⚠️ Жиі кететін қате. $2^{-3}$ — бұл $-8$ немесе $-6$ деп ойлайды. Олай емес! Көрсеткіштегі минус санды теріс етпейді: $2^{-3}=\frac18$, бұл оң бөлшек. Санның таңбасы тек негізіне байланысты: $(-2)^{-3}=-\frac18$.

⚠️ Жиі кететін қате 2. $-4^{-3}$ және $(-4)^{-3}$ — әртүрлі сандар. Біріншісінде минус дәреженің алдында тұр: $-4^{-3}=-\frac1{64}$. Екіншісінде негіз $-4$: $(-4)^{-3}=-\frac1{64}$. Көрсеткіш тақ болғандықтан кездейсоқ сәйкес келді. Ал $-4^{-2}=-\frac1{16}$, бірақ $(-4)^{-2}=+\frac1{16}$.

Нөлге неге болмайды

$0^{-1}$ өрнегін есептеуге бола ма? Анықтама бойынша бұл $\frac1{0}$, ал нөлге бөлуге болмайды. Сондықтан нөлдің теріс дәрежелері жоқ. $0^0$ нөлдік дәрежесі де осы курста қарастырылмайды.

Ал $2^{-1}$ және $3^{-2}$ өрнектерін есептеуге болады: $\frac12$ және $\frac19$.

🌟 Теріс көрсеткіштерді француз математигі Николе Шюке 1484 жылы «Сандар туралы ғылым» қолжазбасында енгізген. Ол оларды біз сияқты жазбаған, бірақ идея сол.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Бұл тақырып санның стандарт түрі үшін керек (9-параграф): өте үлкен және өте кіші шамалар, мысалы вирустың өлшемі немесе шаң бөлшегінің массасы осылай жазылады. Балаға бастысын меңгеруге көмектесіңіз: көрсеткіштегі минус — бұл «бірді дәрежеге бөлу», ал теріс сан емес.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• 3 санының дәреже көрсеткішін 1-ге кемітсе; 2-ге арттырса; 2-ге кемітсе, осы дәреженің мәні қалай өзгереді? 1-ге кемітсе — мәні 3 есе кемиді. 2-ге арттырса — $3^2=9$ есе артады. 2-ге кемітсе — 9 есе кемиді.
• Теріс көрсеткішті дәреженің негізі қандай болуы мүмкін? Нөлден басқа кез келген сан.
• Неліктен 0 саны натурал көрсеткішті дәреженің негізі болады, ал бүтін көрсеткішті дәреженің негізі бола алмайды? $0^5=0\cdot0\cdot0\cdot0\cdot0=0$, бұл дұрыс. Ал $0^{-5}=\frac1{0^5}=\frac10$, нөлге бөлуге болмайды.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 6.1

Бүтін теріс көрсеткішті дәрежені бөлшекпен алмастырыңдар: 1) $7^{-3}$; 2) $13^{-2}$; 3) $11^{-1}$; 4) $12^{-3}$; 5) $16^{-3}$; 6) $25^{-4}$.

Қалай ойлаймыз. $a^{-n}=\frac1{a^n}$. Дәрежені жай ғана бөлімге ауыстырамыз.

Шешуі.

1. $\frac1{7^3}=\frac1{343}$. 2) $\frac1{13^2}=\frac1{169}$. 3) $\frac1{11}$. 4) $\frac1{12^3}=\frac1{1728}$. 5) $\frac1{16^3}=\frac1{4096}$. 6) $\frac1{25^4}=\frac1{390,625}$.

Жауабы: 1) $\frac1{343}$; 2) $\frac1{169}$; 3) $\frac1{11}$; 4) $\frac1{1728}$; 5) $\frac1{4096}$; 6) $\frac1{390,625}$.

№ 6.2

1) $\frac1{81}$; 2) $\frac1{64}$; 3) $\frac1{121}$; 4) $\frac1{625}$; 5) $\frac1{841}$; 6) $\frac1{256}$ бөлшегін бүтін теріс көрсеткішті дәрежемен алмастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бөлімі қай санның дәрежесі екенін іздейміз. Көбіне бірнеше нұсқа болады.

Шешуі.

1. $81=3^4$, демек, $\frac1{81}=3^{-4}$. Немесе $9^{-2}$.
2. $64=2^6$, демек, $2^{-6}$. $8^{-2}$ және $4^{-3}$ да болады.
3. $121=11^2$, демек, $11^{-2}$.
4. $625=5^4$, демек, $5^{-4}$. Немесе $25^{-2}$.
5. $841=29^2$, демек, $29^{-2}$.
6. $256=2^8$, демек, $2^{-8}$. Немесе $4^{-4}$, не $16^{-2}$.

Жауабы: 1) $3^{-4}$; 2) $2^{-6}$; 3) $11^{-2}$; 4) $5^{-4}$; 5) $29^{-2}$; 6) $2^{-8}$ (басқа дұрыс жазулар да болады).

№ 6.3

$5$; $25$; $125$; $625$; $\frac15$; $\frac1{25}$; $\frac1{125}$; $\frac1{625}$ сандарын негізі: 1) $5$; 2) $\frac15$ болатын дәреже түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Негізі 5 болса, бәрі қарапайым. Негізі $\frac15$ болса — «кері»: үлкен сандар теріс көрсеткіш алады, кішкентай бөлшектер оң көрсеткіш алады.

Шешуі.

1. $5=5^1$; $25=5^2$; $125=5^3$; $625=5^4$; $\frac15=5^{-1}$; $\frac1{25}=5^{-2}$; $\frac1{125}=5^{-3}$; $\frac1{625}=5^{-4}$.
2. Мұнда $\left(\frac15\right)^{-1}=5$, демек: $5=\left(\frac15\right)^{-1}$; $25=\left(\frac15\right)^{-2}$; $125=\left(\frac15\right)^{-3}$; $625=\left(\frac15\right)^{-4}$; $\frac15=\left(\frac15\right)^1$; $\frac1{25}=\left(\frac15\right)^2$; $\frac1{125}=\left(\frac15\right)^3$; $\frac1{625}=\left(\frac15\right)^4$.

Жауабы: 1) $5^1,5^2,5^3,5^4,5^{-1},5^{-2},5^{-3},5^{-4}$; 2) $\left(\frac15\right)^{-1},\left(\frac15\right)^{-2},\left(\frac15\right)^{-3},\left(\frac15\right)^{-4},\left(\frac15\right)^{1},\left(\frac15\right)^{2},\left(\frac15\right)^{3},\left(\frac15\right)^{4}$.

№ 6.4

Есептеңдер: 1) $2^{-3}$; 2) $(-3)^{-3}$; 3) $(-1)^{-22}$; 4) $\left(\frac25\right)^3$; 5) $0{,}02^{-3}$; 6) $1{,}25^{-2}$; 7) $-4^{-3}$; 8) $(-0{,}3)^{-2}$; 9) $\left(\frac25\right)^3$; 10) $(2{,}25)^{-1}$; 11) $-(-2{,}3)^{-1}$; 12) $-\left(-2\frac13\right)^{-2}$.

Қалай ойлаймыз. Теріс дәрежені бөлшекке айналдырамыз, сосын есептейміз. Ондық бөлшектерді жай бөлшекке ауыстырған ыңғайлы: $0{,}02=\frac1{50}$, $1{,}25=\frac54$.

Шешуі.

1. $\frac1{2^3}=\frac18$.
2. $\frac1{(-3)^3}=-\frac1{27}$.
3. $\frac1{(-1)^{22}}=\frac11=1$.
4. $\left(\frac25\right)^3=\frac8{125}$ (көрсеткіш $3$ оң, басылғандай).
5. $0{,}02^{-3}=\left(\frac1{50}\right)^{-3}=50^3=125,000$.
6. $1{,}25^{-2}=\left(\frac54\right)^{-2}=\left(\frac45\right)^2=\frac{16}{25}=0{,}64$.
7. $-4^{-3}=-\frac1{64}$.
8. $(-0{,}3)^{-2}=\frac1{0{,}09}=\frac{100}9=11\frac19$.
9. $\frac8{125}$ (4-тармақпен бірдей).
10. $(2{,}25)^{-1}=\frac1{2{,}25}=\frac49$.
11. $(-2{,}3)^{-1}=-\frac1{2{,}3}$, алдында минус тұр, демек, $+\frac1{2{,}3}=\frac{10}{23}$.
12. $\left(-2\frac13\right)^{-2}=\left(-\frac73\right)^{-2}=\left(\frac37\right)^2=\frac9{49}$, және жақшаның алдындағы минус: $-\frac9{49}$.

Жауабы: 1) $\frac18$; 2) $-\frac1{27}$; 3) 1; 4) $\frac8{125}$; 5) $125,000$; 6) $0{,}64$; 7) $-\frac1{64}$; 8) $11\frac19$; 9) $\frac8{125}$; 10) $\frac49$; 11) $\frac{10}{23}$; 12) $-\frac9{49}$.

📕 Оқулықтағы қате. 4 және 9-тармақтар бірдей басылған: екеуінде де $\left(\frac25\right)^3$ тұр. Бірі, ықтимал, $\left(\frac25\right)^{-3}=\frac{125}{8}$ болуы керек еді. Біз жазылғанындай шештік.

№ 6.5

$\left(\frac13\right)^{-4}$; $\left(\frac12\right)^{-5}$; $3^3$; $\left(\frac14\right)^{-3}$; $\left(\frac13\right)^{-2}$ өрнектерінің мәндерін есептеңдер және оларды кему ретімен орналастырыңдар. Сандар қатарының: 1) ең үлкен мәні ең кіші мәнінен неше есе артық екенін анықтаңдар; 2) медианасын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Теріс дәрежедегі бөлшекті аударамыз: $\left(\frac13\right)^{-4}=3^4$.

Шешуі. Есептейміз: $\left(\frac13\right)^{-4}=3^4=81$; $\left(\frac12\right)^{-5}=2^5=32$; $3^3=27$; $\left(\frac14\right)^{-3}=4^3=64$; $\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9$. Кему ретімен: $81;\ 64;\ 32;\ 27;\ 9$.

1. $81:9=9$.
2. Барлығы 5 сан, медиана реттелген қатардың ортасында тұрады — бұл үшінші сан, 32.

Жауабы: реті: 81, 64, 32, 27, 9. 1) 9 есе; 2) медианасы 32.

B деңгейі

№ 6.6

Бүтін теріс көрсеткішті дәрежені бөлшекпен алмастырыңдар: 1) $(25)^{-1}$; 2) $(0{,}125)^{-2}$; 3) $(-2{,}5)^{-2}$; 4) $\left(\frac25\right)^{-1}$; 5) $\left(2\frac13\right)^{-3}$; 6) $\left(-\frac27\right)^{-2}$.

Қалай ойлаймыз. Анықтаманы қолданамыз, содан кейін керек болса мәнін есептейміз. Бөлшектер үшін негізді аударып жіберу жеткілікті.

Шешуі.

1. $\frac1{25}$.
2. $\frac1{0{,}125^2}=\frac1{0{,}015625}=64$ (оңайы: $0{,}125=\frac18$, аударамыз: $8^2=64$).
3. $\frac1{(-2{,}5)^2}=\frac1{6{,}25}=\frac4{25}=0{,}16$.
4. $\frac1{\frac25}=\frac52=2\frac12$.
5. $2\frac13=\frac73$, аударамыз: $\left(\frac37\right)^3=\frac{27}{343}$.
6. Аударамыз: $\left(-\frac72\right)^2=\frac{49}4=12\frac14$.

Жауабы: 1) $\frac1{25}$; 2) $64$ (яғни $\frac1{0{,}125^2}$); 3) $\frac4{25}$; 4) $\frac52$; 5) $\frac{27}{343}$; 6) $\frac{49}4$.

№ 6.7

Есептеңдер: 1) $3\cdot12^{-2}$; 2) $2^{-3}+6^{-1}$; 3) $3^{-2}-(-3)^{-1}$; 4) $-2\cdot4^{-3}$; 5) $3\cdot4^{-2}+2^{-3}$; 6) $0{,}4^0-(-0{,}25)^{-3}$; 7) $-(-2{,}5)^{-2}+\left(-\frac25\right)^{-2}$; 8) $(-3)^{-3}-3{,}5^{-1}$; 9) $-4^{-3}+\left(-\frac45\right)^{-2}$; 10) $-3{,}5^{-1}+(-2{,}5)^{-2}$; 11) $3\cdot(-4)^{-2}+5^{-1}$; 12) $(-2{,}7)^0+\left(\frac17\right)^{-1}$.

Қалай ойлаймыз. Әр дәрежені қарапайым санға немесе бөлшекке айналдырамыз, содан кейін қосамыз және азайтамыз. $a^0=1$ екенін ұмытпа.

Шешуі.

1. $\frac3{144}=\frac1{48}$.
2. $\frac18+\frac16=\frac3{24}+\frac4{24}=\frac7{24}$.
3. $\frac19-\left(-\frac13\right)=\frac19+\frac39=\frac49$.
4. $-\frac2{64}=-\frac1{32}$.
5. $\frac3{16}+\frac18=\frac3{16}+\frac2{16}=\frac5{16}$.
6. $1-(-4)^3=1-(-64)=65$ (себебі $(-0{,}25)^{-3}=(-4)^3=-64$).
7. $-\frac1{6{,}25}+\left(-\frac52\right)^2=-0{,}16+6{,}25=6{,}09$.
8. $-\frac1{27}-\frac27=-\frac7{189}-\frac{54}{189}=-\frac{61}{189}$.
9. $1\frac{35}{64}$ (жоғарыдағы виджетте).
10. $-\frac27+\frac4{25}=-\frac{50}{175}+\frac{28}{175}=-\frac{22}{175}$.
11. $\frac3{16}+\frac15=\frac{15}{80}+\frac{16}{80}=\frac{31}{80}$.
12. $1+7=8$.

Жауабы: 1) $\frac1{48}$; 2) $\frac7{24}$; 3) $\frac49$; 4) $-\frac1{32}$; 5) $\frac5{16}$; 6) 65; 7) $6{,}09$; 8) $-\frac{61}{189}$; 9) $1\frac{35}{64}$; 10) $-\frac{22}{175}$; 11) $\frac{31}{80}$; 12) 8. 1, 2, 6, 9, 12-тармақтар оқулықтағы жауаптармен сәйкес.

№ 6.8

6.3-кестені қолданып, ақиқат тұжырымдарды анықтаңдар. $A=9^{-4}\cdot9^9:9^3$, $B=31^{10}:31^7\cdot31^{-2}$, $C=0{,}2^{20}:0{,}2^{24}\cdot0{,}2^2$. 1) $A<B+C$; 2) $C>B-A$; 3) $A=B+2C$; 4) $-B>2C-A$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $A$, $B$ және $C$-ны табамыз: көрсеткіштерді қосамыз және азайтамыз.

Шешуі. $A$: $-4+9-3=2$, демек, $A=9^2=81$. $B$: $10-7-2=1$, демек, $B=31$. $C$: $20-24+2=-2$, демек, $C=0{,}2^{-2}=\left(\frac15\right)^{-2}=25$. Тексереміз: 1) $81<31+25=56$? Жоқ. 2) $25>31-81=-50$? Иә. 3) $81=31+2\cdot25=81$? Иә. 4) $-31>2\cdot25-81=-31$? Жоқ: бұл теңдік, «артық» емес.

Жауабы: ақиқат тұжырымдар 2) және 3).

C деңгейі

№ 6.9

1) $a^{-1}+b^{-1}$; 2) $ab^{-1}-a^{-1}b$; 3) $(x+y^{-1})(x^{-1}+y)$ өрнегін бөлшек түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $a^{-1}$-ді $\frac1a$-мен алмастырамыз, сосын ортақ бөлімге келтіреміз.

Шешуі.

1. $\frac1a+\frac1b=\frac{b+a}{ab}$.
2. $\frac ab-\frac ba=\frac{a^2-b^2}{ab}$.
3. $x+\frac1y=\frac{xy+1}y$ және $\frac1x+y=\frac{1+xy}x$. Көбейтеміз: $\frac{(xy+1)(xy+1)}{xy}=\frac{(xy+1)^2}{xy}$.

Жауабы: 1) $\frac{a+b}{ab}$; 2) $\frac{a^2-b^2}{ab}$; 3) $\frac{(xy+1)^2}{xy}$. Оқулықтағы жауаптармен сәйкес.

№ 6.10

Бөлшекті бүтін көрсеткішті дәреже түрінде жазыңдар: 1) $\frac{2ab^2}{c^2x^3}$; 2) $\frac{54x^3y^2}{2a^5b^4}$; 3) $\frac4{(x+y)^3}$; 4) $\frac{(a-b)^3}{(a+b)^5}$.

Қалай ойлаймыз. Бөлімдегінің бәрін жоғары шығарып, көрсеткіштің таңбасын ауыстырамыз.

Шешуі.

1. $\frac1{c^2}=c^{-2}$ және $\frac1{x^3}=x^{-3}$: $2ab^2c^{-2}x^{-3}$ шығады.
2. $\frac{54}2=27$ қысқартамыз: $27x^3y^2a^{-5}b^{-4}$.
3. $4(x+y)^{-3}$.
4. $(a-b)^3(a+b)^{-5}$.

Жауабы: 1) $2ab^2c^{-2}x^{-3}$; 2) $27x^3y^2a^{-5}b^{-4}$; 3) $4(x+y)^{-3}$; 4) $(a-b)^3(a+b)^{-5}$.

Хабарлама дайындаңдар

№ 6.11

Француз математигі Николе Шюке — 1484 жылы «Сандар туралы ғылым» трактатына теріс көрсеткішті және көрсеткіші нөлге тең дәрежелерді енгізген ғалым.

Қалай ойлаймыз. Бұл жоба тапсырма: 1–2 минуттық қысқа әңгіме керек. Біз үлгі береміз, ал деректерді энциклопедиядан тексерген жөн.

Шешуі. Хабарлама үлгісі:

1. Ол кім. Николе Шюке XV ғасырда Францияда өмір сүрген (шамамен 1445 — шамамен 1488 ж.), дәрігер және математик болған.
2. Не жазды. Арифметика мен алгебра ережелері жиналған сандар туралы қолжазба трактат. Қолжазба ұзақ уақыт жарияланбай жатты.
3. Немен танымал. Ол нөлдік және теріс көрсеткіштерді қолданған: бүгін біз оларды $a^0$ және $a^{-n}$ деп жазамыз. Көрсеткіштердің әдеттегі жазылуын математиктер кейінірек бекітті.
4. Неліктен маңызды. Мұндай көрсеткіштердің арқасында өте кіші сандарды қысқа жазуға болады, біз $10^{-3}$-пен жасағандай.

Жауабы: хабарлама үлгісі жоғарыда жазылған; шынайы баяндама үшін кітаптар мен энциклопедиялардан тағы деректер табу керек.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 6.12

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(5^3\cdot5^2)^4:5^{15}$; 2) $(3^3)^4\cdot9^2:3^{10}$; 3) $3^2\cdot(-3)^4-3^6$; 4) $25^3:5^2$; 5) $3^4\cdot9^1$; 6) $4^2\cdot(-4)^1$.

Қалай ойлаймыз. Бәрін бір негізге келтіреміз, сосын көрсеткіштерді қосамыз және азайтамыз. $9$ үшін бұл $3^2$, $25$ үшін $5^2$.

Шешуі.

1. $(5^5)^4:5^{15}=5^{20-15}=5^5=3125$.
2. $3^{12}\cdot3^4:3^{10}=3^{6}=729$.
3. $(-3)^4=81=3^4$, демек, $3^2\cdot3^4-3^6=3^6-3^6=0$.
4. $25^3=5^6$, демек, $5^6:5^2=5^4=625$.
5. $3^4\cdot3^2=3^6=729$.
6. $16\cdot(-4)=-64$.

Жауабы: 1) 3125; 2) 729; 3) 0; 4) 625; 5) 729; 6) $-64$.

Жадынама

• Нөлдік дәреже 1 береді, ал теріс дәреже — бөлшек.
• Көрсеткіштегі минус: «бірді дәрежеге бөлу».
• $2^{-3}=\frac18$ оң сан, $-8$ емес.
• Нөлді нөлдік және теріс дәрежеге шығаруға болмайды.

Шағын тест