§ 7. Бүтін көрсеткішті дәреженің қасиеттері

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 бөлім: Бүтін көрсеткішті дәреже. 50–56-беттер.

Нені үйренесің

• Дәреженің бес қасиеті нөлдік және теріс көрсеткіш үшін де орындалатынын түсіндіруді.
• Көрсеткіштері теріс болғанда да негіздері бірдей дәрежелерді көбейтуді және бөлуді.
• Көбейтіндіні, бөліндіні және дәрежені дәрежеге шығаруды, көрсеткіштегі минустан именбеуді.
• Дәрежесі бар өрнектерді ықшамдауды және айнымалының берілген мәнінде мәнін есептеуді.
• Коэффициенттері дәреже түрінде жазылған теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді.

Ой қозғау

Натурал $n$ және $m$ үшін бес қасиетті еске түсірейік (негіздер нөлге тең емес). Алдымен өзің жауап бер.

• $a^n \cdot a^m$ көбейтіндісін қалай табамыз? Негізін сол күйінде қалдырамыз, көрсеткіштерін қосамыз: $a^{n+m}$.
• $a^n : a^m$ бөліндісін қалай табамыз? Көрсеткіштерін азайтамыз: $a^{n-m}$.
• Дәрежені дәрежеге шығару $(a^m)^n$ қалай орындалады? Көрсеткіштерін көбейтеміз: $a^{mn}$.
• Көбейтіндіні дәрежеге шығару $(ab)^n$ қалай орындалады? Әр көбейткішті дәрежеге шығарамыз: $a^n b^n$.
• Бөлшекті дәрежеге шығару $\left(\frac{a}{b}\right)^n$ қалай орындалады? Алымын да, бөлгішін де жеке дәрежеге шығарамыз: $\frac{a^n}{b^n}$.
• $a^{-n}$ неге тең? Ол $\frac{1}{a^n}$-ге тең, ал $a^0 = 1$, мұндағы $a \ne 0$.

Тақырыпты талдаймыз

Басты жаңалық

Бұрын ережелер натурал көрсеткіштер үшін тексерілді: $2, 3, 10$. Енді көрсеткіш кез келген бүтін сан болуы мүмкін, оның ішінде $0$ және теріс сан. Ең қуаныштысы: ережелер сол күйінде қалады. Ештеңені өзгертудің керегі жоқ.

📌 Кез келген $m$ және $n$ бүтін сандары мен $a \ne 0$, $b \ne 0$ үшін мына теңдіктер ақиқат:

1. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$; 2) $a^n : a^m = a^{n-m}$; 3) $(a^m)^n = a^{mn}$; 4) $(ab)^n = a^n b^n$; 5) $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Неге ақиқат: алдымен сандармен тексереміз

Қатаң дәлелдеуге кіріспес бұрын ереже теріс көрсеткіште қалай жұмыс істейтінін көрейік. $2^5 \cdot 2^{-3}$ көбейтіндісін алайық.

Дәлелдеу қалай құрылған (қарапайым тілмен)

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ қасиетін дәлелдейміз. Барлығын қасиеті бұрыннан дәлелденген натурал көрсеткішке келтіру үшін жағдайларды бөлек қарастырамыз.

1-жағдай: бір көрсеткіш оң, екіншісі теріс. $m = k$, $n = -p$ болсын, мұндағы $k$ мен $p$ натурал сандар. Онда

$a^k \cdot a^{-p} = a^k \cdot \frac{1}{a^p} = \frac{a^k}{a^p}$.

Одан әрі үш жағдай бар:

• $k > p$: натурал көрсеткішті дәрежелерді бөлу ережесі бойынша $\frac{a^k}{a^p} = a^{k-p}$;
• $k < p$: бөлшекті $a^k$-ға қысқартамыз, $\frac{1}{a^{p-k}} = a^{-(p-k)} = a^{k-p}$ шығады;
• $k = p$: бөлшек $1 = a^0 = a^{k-p}$-ға тең.

Үш жағдайда да $a^{k-p} = a^{k+(-p)} = a^{m+n}$ шықты. Дәлелденді.

2-жағдай: екі көрсеткіш те теріс. $m = -k$, $n = -p$ болсын. Онда

$a^{-k} \cdot a^{-p} = \frac{1}{a^k} \cdot \frac{1}{a^p} = \frac{1}{a^k \cdot a^p} = \frac{1}{a^{k+p}} = a^{-(k+p)} = a^{-k-p} = a^{m+n}$.

3-жағдай: көрсеткіштердің бірі нөлге тең. Мұны өзің тексере аласың: $a^0 \cdot a^n = 1 \cdot a^n = a^n = a^{0+n}$. Міне, бітті.

💡 2–5-қасиеттер де дәл солай дәлелденеді: бәрін натурал көрсеткішке келтіреміз. Мысалы, 2-қасиет: $a^n : a^m = a^n \cdot a^{-m} = a^{n+(-m)} = a^{n-m}$. Ал 5-қасиет: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = (a \cdot b^{-1})^n = a^n \cdot b^{-n} = \frac{a^n}{b^n}$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Дәлелдеуді сөзбе-сөз жаттатудың қажеті жоқ. Баланың идеяны түсінгені жеткілікті: теріс көрсеткіш бөлшекке айналады, сосын таныс ережелер жұмыс істейді. Одан $3^4 \cdot 3^{-6}$ өрнегін сандармен көрсетуін сұраңыз.

Үш мысал

📌 Негіздері бірдей (нөлден өзгеше) бүтін көрсеткішті дәрежелерді көбейткенде олардың негізін өзгертпей қалдырып, көрсеткіштерін қосады.

1-мысал. $b^{19} \cdot b^{-13}$ көбейтіндісін ықшамдайық ($b \ne 0$). Негіздері бірдей дәрежелерді көбейту ережесін қолданамыз: $b^{19} \cdot b^{-13} = b^{19+(-13)} = b^{19-13} = b^6$. Жауабы: $b^6$.

2-мысал. $c^7 : c^{11}$ бөліндісін ықшамдайық ($c \ne 0$). Негіздері бірдей дәрежелерді бөлу ережесін қолданамыз: $c^{7-11} = c^{-4}$. Бөлшекпен де жазуға болады: $\frac{1}{c^4}$. Жауабы: $c^{-4}$.

3-мысал. $(-3x^{-4}y^2)^{-5}$ өрнегін ықшамдайық. Алдымен әр көбейткішті дәрежеге шығарамыз:

$(-3)^{-5} \cdot (x^{-4})^{-5} \cdot (y^2)^{-5} = -\frac{1}{243} \cdot x^{20} \cdot y^{-10}$.

Жауабы: $-\frac{1}{243}x^{20}y^{-10}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Көрсеткіштегі минус санды теріс етпейді! $2^{-3} = \frac{1}{8}$, ал $-8$ емес. Теріс көрсеткіш бөлшекті «аударады», бірақ санның таңбасын өзгертпейді.

⚠️ Жиі кететін қате. Қосу керек жерде көрсеткіштерді көбейтуге болмайды: $a^3 \cdot a^{-2} = a^{1}$, ал $a^{-6}$ емес. Көрсеткіштерді тек дәрежені дәрежеге шығарғанда көбейтеміз.

💡 Негіз неге нөл бола алмайды? Өйткені $0^{-1} = \frac{1}{0}$, ал нөлге бөлуге болмайды. Біздің барлық ережелеріміз тек $a \ne 0$ және $b \ne 0$ болғанда жұмыс істейді.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Неліктен бүтін көрсеткішті дәрежелердің қасиеттерін қолданғанда дәрежелердің негіздері нөлге тең болмауы керек? Өйткені нөлдің теріс дәрежесі нөлге бөлуді білдіреді ($0^{-2} = \frac{1}{0^2}$), ал нөлге бөлуге болмайды. Нөлдің нөлдік дәрежесі де анықталмаған.
• Негіздері бірдей дәрежелерді бөлгенде нәтижесі 0-ге тең болуы мүмкін бе? Жоқ. Нәтиже $a^{n-m}$ — нөлге тең емес санның дәрежесі, ал мұндай дәреже ешқашан нөлге тең болмайды. Мысалы, $2^{-5} = \frac{1}{32}$: сан кішкентай, бірақ нөл емес.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 7.1

Бүтін көрсеткішті дәреженің қасиеттерін қолданып, өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $2a^{-2} \cdot 3a^4$; 2) $24a^5 : (6a^{-3})$; 3) $(2c^{-3})^2$; 4) $2(3^{-3}b^3)^2 \cdot 3b^{-4}$.

Қалай ойлаймыз. Сандар мен әріптерді бөлек қараймыз: коэффициенттерді көбейтеміз немесе бөлеміз, бірдей әріптердің көрсеткіштерін қосамыз немесе азайтамыз.

Шешуі.

1. $2 \cdot 3 \cdot a^{-2+4} = 6a^2$.
2. $24 : 6 = 4$, $a^{5-(-3)} = a^8$, яғни $4a^8$.
3. $2^2 \cdot c^{-6} = 4c^{-6}$.
4. $2 \cdot 3^{-6} b^6 \cdot 3 b^{-4} = 2 \cdot 3^{-6+1} \cdot b^{6-4} = 2 \cdot 3^{-5} b^2 = \frac{2b^2}{243}$.

Жауабы: 1) $6a^2$; 2) $4a^8$; 3) $4c^{-6}$; 4) $2 \cdot 3^{-5}b^2 = \frac{2b^2}{243}$.

№ 7.2

Өрнектерін бүтін көрсеткішті дәреже түрінде көрсетіңдер: 1) $125 \cdot 5^{-4}$; 2) $27 \cdot \frac{1}{9} \cdot 3^{-4} : 3^{-2}$; 3) $\frac{1}{32} \cdot 2^7 : 64$; 4) $100^2 \cdot 10^{-3}$.

Қалай ойлаймыз. Барлық сандарды бір негіздің (5, 3, 2, 10) дәрежесі етіп жазамыз, сосын көрсеткіштермен жұмыс істейміз.

Шешуі.

1. $125 = 5^3$, демек $5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{-1}$.
2. $27 = 3^3$, $\frac{1}{9} = 3^{-2}$: $3^3 \cdot 3^{-2} \cdot 3^{-4} : 3^{-2} = 3^{3-2-4+2} = 3^{-1}$.
3. $\frac{1}{32} = 2^{-5}$, $64 = 2^6$: $2^{-5} \cdot 2^7 : 2^6 = 2^{-5+7-6} = 2^{-4}$.
4. $100^2 = 10^4$: $10^4 \cdot 10^{-3} = 10^1$.

Жауабы: 1) $5^{-1}$; 2) $3^{-1}$; 3) $2^{-4}$; 4) $10^1$ $(=10)$.

№ 7.3

Есептеңдер: 1) $64^{-1} \cdot 32^2$; 2) $(6^3)^2 : 36^5$; 3) $\frac{4^{-3} \cdot 2^5}{8^{-4}}$; 4) $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 3^7}{27^2}$.

Қалай ойлаймыз. Бір негізге келтіріп, көрсеткіштерді санаймыз.

Шешуі.

1. $2^{-6} \cdot 2^{10} = 2^4 = 16$.
2. $6^6 : 6^{10} = 6^{-4} = \frac{1}{1296}$.
3. $4^{-3} = 2^{-6}$, $8^{-4} = 2^{-12}$: $\frac{2^{-6} \cdot 2^5}{2^{-12}} = 2^{-1+12} = 2^{11} = 2048$.
4. $\frac{3^{-9} \cdot 3^7}{3^6} = \frac{3^{-2}}{3^6} = 3^{-8} = \frac{1}{6561}$.

Жауабы: 1) 16; 2) $\frac{1}{1296}$; 3) 2048; 4) $\frac{1}{6561}$.

№ 7.4

Өрнектерінің мәндерін табыңдар: 1) $10^{-3} : 0{,}001$; 2) $13^0 \cdot (13^{-2}) : 13^{-4}$; 3) $\frac{(3^{-2})^{-2} \cdot 9^{-1}}{27}$; 4) $\frac{25^{-2} \cdot 125}{5^3}$.

Қалай ойлаймыз. $0{,}001$ — бұл $10^{-3}$. Қалғанын үштің және бестің дәрежелеріне келтіреміз.

Шешуі.

1. $0{,}001 = 10^{-3}$, демек $10^{-3} : 10^{-3} = 1$.
2. $13^{0-2+4} = 13^2 = 169$.
3. $(3^{-2})^{-2} = 3^4$, $9^{-1} = 3^{-2}$, $27 = 3^3$: $\frac{3^4 \cdot 3^{-2}}{3^3} = 3^{4-2-3} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
4. $25^{-2} = 5^{-4}$, $125 = 5^3$: $\frac{5^{-4} \cdot 5^3}{5^3} = 5^{-4} = \frac{1}{625}$.

Жауабы: 1) 1; 2) 169; 3) $\frac{1}{3}$; 4) $\frac{1}{625}$.

№ 7.5

Берілген өрнекті дәреже түрінде жазып, мәнін табыңдар: 1) $5(5a^{-3})^{-2}a^{-2}$, мұндағы $a = (0{,}2)^{-1}$; 2) $(0{,}5a^{-9})^{-2} : (32a^5)^3$, мұндағы $a = (0{,}5)^{-4}$; 3) $(2^3a^{-3})^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$, мұндағы $a = -0{,}125$; 4) $27(-3^2a^{-4}) : (3^3a^{-1})^3$, мұндағы $a = -0{,}1$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен өрнекті $a$-ның бір дәрежесі мен сандық көбейткішке дейін ықшамдаймыз, сосын ғана санды қоямыз. Осылай оңай және қате аз кетеді.

Шешуі.

1. $5 \cdot 5^{-2} a^{6} \cdot a^{-2} = 5^{-1} a^4$. Мұнда $a = (0{,}2)^{-1} = 5$. Онда $5^{-1} \cdot 5^4 = 5^3 = 125$.
2. $(0{,}5)^{-2} a^{18} : (2^{15} a^{15}) = 4a^{18} : (2^{15}a^{15}) = 2^{-13}a^3$. Мұнда $a = 2^4 = 16$, $a^3 = 2^{12}$. Онда $2^{-13} \cdot 2^{12} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
3. $2^{-3}a^3 \cdot 2^6 a^{-4} \cdot a^5 = 2^3 a^4$. Мұнда $a = -\frac{1}{8}$, $a^4 = \frac{1}{4096}$. Онда $8 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{1}{512}$.
4. $27 \cdot (-9)a^{-4} : (3^9 a^{-3}) = -3^5 a^{-4} \cdot 3^{-9} a^{3} = -3^{-4}a^{-1}$. Мұнда $a^{-1} = -10$. Онда $-\frac{1}{81} \cdot (-10) = \frac{10}{81}$.

Жауабы: 1) $5^{-1}a^4 = 125$; 2) $2^{-13}a^3 = \frac{1}{2}$; 3) $2^3a^4 = \frac{1}{512}$; 4) $-3^{-4}a^{-1} = \frac{10}{81}$.

№ 7.6

Теңдеуді шешіңдер: 1) $2^{-2} + 3^{-1}x = 0{,}25$; 2) $3^{-1}x + 3^{-2}x = 9^{-2} + x$; 3) $2{,}25x = 5{,}125 - 4^{-1}x$; 4) $4^{-1}x - 2^{-2}x = 8^2 + x$.

Қалай ойлаймыз. Минусты дәрежелерді жай бөлшектерге айналдырамыз, сосын сызықтық теңдеуді шешеміз.

Шешуі.

1. $\frac{1}{4} + \frac{x}{3} = \frac{1}{4}$, демек $\frac{x}{3} = 0$ және $x = 0$.
2. $\frac{x}{3} + \frac{x}{9} = \frac{1}{81} + x$. Сол жағы $\frac{4x}{9}$. Онда $\frac{4x}{9} - x = \frac{1}{81}$, яғни $-\frac{5x}{9} = \frac{1}{81}$, бұдан $x = -\frac{9}{5 \cdot 81} = -\frac{1}{45}$.
3. $2{,}25x + 0{,}25x = 5{,}125$, яғни $2{,}5x = 5{,}125$, $x = 2{,}05 = \frac{41}{20}$.
4. $\frac{x}{4} - \frac{x}{4} = 64 + x$. Сол жағы нөл: $0 = 64 + x$, демек $x = -64$.

Жауабы: 1) $0$; 2) $-\frac{1}{45}$; 3) $\frac{41}{20}$; 4) $-64$.

B деңгейі

№ 7.7

Теңсіздікті шешіңдер: 1) $7^{-1}x - 2^{-2}x \geq 2\frac{4}{7}$; 2) $3{,}125 + x \leq 5{,}125 - 4^{-1}x$; 3) $7{,}25 + 2x > 5{,}125 - 5^{-1}x$; 4) $12{,}5x - 5{,}125 < 2^{-3} - 4^{-1}x$.

Қалай ойлаймыз. Теңдеудегідей: барлық $x$-терді солға, сандарды оңға жинаймыз. Бірақ есіңде болсын: теріс санға бөлгенде теңсіздік таңбасы қарама-қарсыға ауысады.

Шешуі.

1. $\frac{x}{7} - \frac{x}{4} = -\frac{3x}{28} \geq \frac{18}{7}$. $-\frac{28}{3}$-ке көбейтіп, таңбаны ауыстырамыз: $x \leq -\frac{18 \cdot 28}{7 \cdot 3} = -24$.
2. $x + 0{,}25x \leq 5{,}125 - 3{,}125$, яғни $1{,}25x \leq 2$, $x \leq 1{,}6$.
3. $2x + 0{,}2x > 5{,}125 - 7{,}25$, яғни $2{,}2x > -2{,}125$, $x > -\frac{2125}{2200} = -\frac{85}{88}$.
4. $12{,}5x + 0{,}25x < 0{,}125 + 5{,}125$, яғни $12{,}75x < 5{,}25$, $x < \frac{5{,}25}{12{,}75} = \frac{7}{17}$.

Жауабы: 1) $x \leq -24$; 2) $x \leq 1{,}6$; 3) $x > -\frac{85}{88}$; 4) $x < \frac{7}{17}$.

№ 7.8

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $27^{-1} \cdot 81^2 \cdot (3^{-3})^3 : 81^{-3} = 9^4$; 2) $7^{-2} \cdot 21^2 \cdot (6^{-3})^2 : 14^{-3} : 343 = 2^{-3}9^{-2}$; 3) $4^{-1} \cdot 8^2 \cdot (a^{-3})^3 : (8a^{-3})^2 = 0{,}25a^{-3}$; 4) $a^{-1} \cdot (ab)^2 \cdot (b^{-3})^3 : b^{-3} = ab^{-4}$.

Қалай ойлаймыз. «Дәлелдеу» — сол жақ бөлігін ықшамдап, оң жағын шығару. 1) және 2) тармақтарда сандарды жай көбейткіштерге жіктейміз.

Шешуі.

1. $27^{-1} = 3^{-3}$, $81^2 = 3^8$, $(3^{-3})^3 = 3^{-9}$, $81^{-3} = 3^{-12}$. Көрсеткіш: $-3 + 8 - 9 - (-12) = 8$. Шықты $3^8 = (3^2)^4 = 9^4$. Дұрыс.
2. $21^2 = 3^2 7^2$, $(6^{-3})^2 = 2^{-6}3^{-6}$, $14^{-3} = 2^{-3}7^{-3}$, $343 = 7^3$. Екілер: $-6 - (-3) = -3$. Үштер: $2 - 6 = -4$. Жетілер: $-2 + 2 - (-3) - 3 = 0$. Шықты $2^{-3}3^{-4} = 2^{-3}(3^2)^{-2} = 2^{-3}9^{-2}$. Дұрыс.
3. Сандар: $4^{-1} \cdot 8^2 = 2^{-2+6} = 2^4$. Бөлгіш $(8a^{-3})^2 = 2^6 a^{-6}$. Онда $2^{4-6} \cdot a^{-9-(-6)} = 2^{-2}a^{-3} = 0{,}25a^{-3}$. Дұрыс.
4. $a^{-1} \cdot a^2b^2 \cdot b^{-9} : b^{-3} = a^{-1+2} \cdot b^{2-9+3} = ab^{-4}$. Дұрыс.

Жауабы: төрт тепе-теңдік те дәлелденді: сол жақ бөліктері оң жағына келтірілді.

№ 7.9

Берілген өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $128^{-2} \cdot 32^3$ және $(6^3)^2 : 36^5$; 2) $\frac{8^{-3} \cdot 2^5}{16^{-4}}$ және $\frac{(3^{-3})^3 \cdot 9^7 \cdot 2^{-2}}{81^2}$.

Қалай ойлаймыз. Екі мәнді де есептеп, салыстырамыз.

Шешуі.

1. Сол жағы: $2^{-14} \cdot 2^{15} = 2$. Оң жағы: $6^6 : 6^{10} = 6^{-4} = \frac{1}{1296}$. Демек, $2 > \frac{1}{1296}$.
2. Сол жағы: $\frac{2^{-9} \cdot 2^5}{2^{-16}} = 2^{-9+5+16} = 2^{12} = 4096$. Оң жағы: $\frac{3^{-9} \cdot 3^{14} \cdot 2^{-2}}{3^8} = 3^{-3} \cdot 2^{-2} = \frac{1}{108}$. Демек, $4096 > \frac{1}{108}$.

Жауабы: 1) біріншісі үлкен; 2) біріншісі үлкен.

№ 7.10

Берілген өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $13^0 \cdot 3^{-3} : 2^3$ және $10^2 \cdot 5^{-2} : 2^3$; 2) $\frac{14^0 \cdot 3^2 : 4^{-2}}{2 \cdot 3^3}$ және $\frac{21^3 \cdot 9^{-2}}{7^3}$.

Шешуі.

1. Сол жағы: $\frac{1}{27 \cdot 8} = \frac{1}{216}$. Оң жағы: $\frac{100}{25 \cdot 8} = \frac{1}{2}$. Демек, $\frac{1}{216} < \frac{1}{2}$.
2. Сол жағы: $\frac{1 \cdot 9 \cdot 16}{2 \cdot 27} = \frac{144}{54} = \frac{8}{3}$. Оң жағы: $\frac{21^3}{7^3} = 3^3 = 27$, сосын $27 \cdot 9^{-2} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$. Демек, $\frac{8}{3} > \frac{1}{3}$.

Жауабы: 1) біріншісі екіншісінен кіші; 2) біріншісі екіншісінен үлкен.

№ 7.11

Берілген өрнекті дәреже түрінде жазып, мәнін табыңдар: 1) $125(5a^{-3}b^3)^{-2} \cdot a^{-2}b^4$, мұндағы $a = 0{,}2$, $b = 0{,}5$; 2) $(0{,}5a^{-2})^{-2} : (32a^5b^2)^3$, мұндағы $a = (0{,}5)^{-4}$, $b = 0{,}25$; 3) $(2^3a^{-3}b)^{-1} \cdot 64a^{-4} : a^{-5}$, мұндағы $a = -0{,}125$, $b = 0{,}5$; 4) $27(-3^2a^3) : (3^5a^{-1}b^{-2})^3$, мұндағы $a = -0{,}1$, $b = 0{,}1$.

Қалай ойлаймыз. № 7.5-тегідей: әр әріптің бір дәрежесіне дейін ықшамдаймыз, санды ең соңында қоямыз.

Шешуі.

1. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $5a^4b^{-2} = \frac{4}{125} = 0{,}032$.
2. $(0{,}5)^{-2}a^{4} : (2^{15}a^{15}b^6) = 4 \cdot 2^{-15} a^{-11}b^{-6} = 2^{-13}a^{-11}b^{-6}$. $a = 2^4$, $b = 2^{-2}$ қоямыз: $a^{-11} = 2^{-44}$, $b^{-6} = 2^{12}$. Нәтиже: $2^{-13-44+12} = 2^{-45}$.
3. $2^{-3}a^3b^{-1} \cdot 2^6a^{-4} \cdot a^5 = 2^3a^4b^{-1}$. $a = -\frac{1}{8}$, $b = \frac{1}{2}$ болғанда: $8 \cdot \frac{1}{4096} \cdot 2 = \frac{16}{4096} = \frac{1}{256}$.
4. $27 \cdot (-9)a^3 : (3^{15}a^{-3}b^{-6}) = -3^{5} \cdot 3^{-15} a^{6} b^{6} = -3^{-10}a^6b^6$. $a = -0{,}1$, $b = 0{,}1$ болғанда: $a^6b^6 = 10^{-12}$. Нәтиже: $-\frac{1}{3^{10} \cdot 10^{12}} = -\frac{1}{59,049 \cdot 10^{12}}$.

Жауабы: 1) $5a^4b^{-2} = \frac{4}{125}$; 2) $2^{-13}a^{-11}b^{-6} = 2^{-45}$; 3) $2^3a^4b^{-1} = \frac{1}{256}$; 4) $-3^{-10}a^6b^6 = -\frac{1}{59049 \cdot 10^{12}}$.

C деңгейі

Мұнда ең күрделі есептер. Жартысын шығарсаң — тамаша нәтиже. Ал талпыныстың өзі жауаптан маңыздырақ.

№ 7.12

Теңдеуді шешіңдер: 1) $7^{-2}x = 21 + 3^{-1}$; 2) $0{,}01 \cdot 10^3x + 5^2 - x = 2 \cdot 5^2$; 3) $\frac{3 \cdot 3^{-2}}{6^{-2}}x = 2^2 \cdot 3$; 4) $\frac{5^3 \cdot 3^3}{12^0 \cdot 15^3 \cdot 2}x = 10^{-1}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен барлық дәрежелерді есептейміз, сонда әдеттегі сызықтық теңдеу шығады.

Шешуі.

1. $\frac{x}{49} = 21\frac{1}{3} = \frac{64}{3}$, бұдан $x = \frac{64 \cdot 49}{3} = \frac{3136}{3} = 1045\frac{1}{3}$.
2. $0{,}01 \cdot 1000 = 10$. Теңдеу: $10x + 25 - x = 50$, демек $9x = 25$ және $x = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$.
3. $3 \cdot 3^{-2} = \frac{1}{3}$, $6^{-2} = \frac{1}{36}$. Бөлшек $\frac{1}{3} \cdot 36 = 12$-ге тең. $12x = 12$ теңдеуі, демек $x = 1$.
4. $5^3 \cdot 3^3 = 15^3$, ал $12^0 = 1$. Бөлшек $\frac{15^3}{15^3 \cdot 2} = \frac{1}{2}$-ге тең. $\frac{x}{2} = \frac{1}{10}$ теңдеуі, демек $x = \frac{1}{5}$.

Жауабы: 1) $1045\frac{1}{3}$; 2) $2\frac{7}{9}$; 3) $1$; 4) $\frac{1}{5}$.

№ 7.13

Теңсіздікті қанағаттандыратын ең кіші бүтін санды табыңдар: 1) $8^{-2}x \geq 24{,}75 + 4^{-1}$; 2) $6^2 - x \geq -4^2 \cdot x + 5^{-1}$; 3) $3^{-1}x \geq 15^{-1} - 2x$.

Қалай ойлаймыз. Теңсіздікті шешіп, шекараны табамыз, сосын керекті жаққа қарай ең жақын бүтін санды аламыз.

Шешуі.

1. $\frac{x}{64} \geq 25$, демек $x \geq 1600$. Ең кіші бүтін сан $1600$.
2. $36 - x \geq -16x + 0{,}2$, яғни $15x \geq -35{,}8$, $x \geq -2\frac{23}{75}$ (шамамен $-2{,}39$). $-2{,}39$-дан оңға қарай бүтін сандар: $-2, -1, 0, \dots$ Ең кішісі $-2$.
3. $\frac{x}{3} + 2x \geq \frac{1}{15}$, яғни $\frac{7x}{3} \geq \frac{1}{15}$, $x \geq \frac{1}{35}$. Ең кіші бүтін сан $1$.

Жауабы: 1) $1600$; 2) $-2$; 3) $1$.

№ 7.14

Теңсіздікті қанағаттандыратын ең үлкен бүтін санды табыңдар: 1) $4^{-2}x \leq 12{,}75 - 4^{-1}$; 2) $12^2 + 3^4x \leq 8^2 \cdot x + 6^{-1}$; 3) $4^{-1}x \leq 13^0 - 12^{-1} - 3x$.

Шешуі.

1. $\frac{x}{16} \leq 12{,}5$, демек $x \leq 200$. Ең үлкен бүтін сан $200$.
2. $144 + 81x \leq 64x + \frac{1}{6}$, яғни $17x \leq -143\frac{5}{6} = -\frac{863}{6}$, $x \leq -\frac{863}{102} \approx -8{,}46$. Ең үлкен бүтін сан $-9$.
3. $\frac{x}{4} + 3x \leq 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$, яғни $\frac{13x}{4} \leq \frac{11}{12}$, $x \leq \frac{11}{39} \approx 0{,}28$. Ең үлкен бүтін сан $0$.

Жауабы: 1) $200$; 2) $-9$; 3) $0$.

№ 7.15

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $(0{,}25a^{-2})^2 \cdot 4^3a^3 = 2^2a^{-1}$; 2) $\frac{2^3 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a = \frac{2}{a^{-3}}$; 3) $\frac{2^3 : 8}{24^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = a^4$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағын ықшамдаймыз. Бөлгішінде $a^{-2}$ бар бөлшек: $\frac{1}{a^{-2}} = a^2$.

Шешуі.

1. $(0{,}25)^2 = \frac{1}{16}$, $4^3 = 64$: $\frac{1}{16}a^{-4} \cdot 64a^3 = 4a^{-1} = 2^2a^{-1}$. Дұрыс.
2. $2^3 : 4 = 2$, $14^0 = 1$: $\frac{2}{a^{-2}} \cdot a = 2a^2 \cdot a = 2a^3$. Оң жағы: $\frac{2}{a^{-3}} = 2a^3$. Дұрыс.
3. $2^3 : 8 = 1$, $24^0 = 1$: $\frac{1}{a^{-2}} \cdot a^2 = a^2 \cdot a^2 = a^4$. Дұрыс.

Жауабы: үш тепе-теңдік те дәлелденді.

№ 7.16

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $\left(\frac{8x^{-2}}{y^{-3}}\right)^3 \cdot \left(\frac{2^{-4}}{x^{-2}y^2}\right)^3 = 0{,}125y^3$; 2) $\frac{3^3 : 27}{17^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^3 = \frac{a^2}{a^{-3}}$; 3) $\frac{5^3 : 75}{19^0 \cdot b^{-2}} \cdot b = \frac{5}{3b^{-3}}$.

Шешуі.

1. Бөлшектерді бір дәреженің астына жинаймыз: $\left(8x^{-2}y^3 \cdot 2^{-4}x^{2}y^{-2}\right)^3 = \left(\frac{8}{16} \cdot x^{0} \cdot y\right)^3 = \left(\frac{y}{2}\right)^3 = \frac{y^3}{8} = 0{,}125y^3$. Дұрыс.
2. $3^3 : 27 = 1$: $\frac{1}{a^{-2}} \cdot a^3 = a^2 \cdot a^3 = a^5$. Оң жағы: $\frac{a^2}{a^{-3}} = a^{2+3} = a^5$. Дұрыс.
3. $5^3 : 75 = \frac{125}{75} = \frac{5}{3}$: $\frac{5}{3} \cdot b^2 \cdot b = \frac{5b^3}{3}$. Оң жағы: $\frac{5}{3b^{-3}} = \frac{5b^3}{3}$. Дұрыс.

Жауабы: үш тепе-теңдік те дәлелденді.

Келесі тақырыпқа дайындаламыз

№ 7.17

Есептеңдер: 1) $183^0 \cdot 5^3 : 3^2 + \frac{2}{9}$; 2) $100^2 \cdot 5^2 : 2^3$; 3) $\frac{155^0 \cdot 3^2 \cdot 4^2}{8 \cdot 3^3}$.

Қалай ойлаймыз. Нөлден өзгеше кез келген санның нөлдік дәрежесі $1$-ге тең.

Шешуі.

1. $183^0 = 1$: $\frac{125}{9} + \frac{2}{9} = \frac{127}{9} = 14\frac{1}{9}$.
2. $10000 \cdot 25 : 8 = 250000 : 8 = 31250$.
3. $\frac{1 \cdot 9 \cdot 16}{8 \cdot 27} = \frac{144}{216} = \frac{2}{3}$.

Жауабы: 1) $14\frac{1}{9}$; 2) $31250$; 3) $\frac{2}{3}$.

№ 7.18

1) $2 \cdot \frac{x^4}{x^4} + x^0$; 2) $\frac{x^5}{x^4} - x + 3$ өрнегінің мәні $x$ айнымалысының мәніне тәуелді болмайтынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Өрнекті санға дейін ықшамдаймыз: барлық $x$ «жоғалуы» керек. ($x \ne 0$ деп есептейміз.)

Шешуі.

1. $\frac{x^4}{x^4} = 1$, $x^0 = 1$. Онда $2 \cdot 1 + 1 = 3$.
2. $\frac{x^5}{x^4} = x$. Онда $x - x + 3 = 3$.

Жауабы: екі жағдайда да мәні кез келген $x \ne 0$ үшін $3$-ке тең.

Жадынама

• Бес қасиеттің бәрі негіздері нөлге тең болмаса, кез келген бүтін көрсеткіш үшін ақиқат.
• Дәлелдеу: теріс көрсеткішті бөлшекке айналдырып, натурал көрсеткішке ораламыз.
• Салыстырғың немесе есептегің келсе: сандарды бір негізге келтір.
• Сандарды қоймас бұрын өрнекті ықшамда.
• Теңсіздікте теріс санға бөлгенде таңба қарама-қарсыға ауысады.

Шағын тест