§ 8. Құрамында дәрежесі бар өрнектерді түрлендіру

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 бөлім: Бүтін көрсеткішті дәреже. 56–63-беттер.

Нені үйренесің

• Дәрежелері көбейтілетін, бөлінетін және дәрежеге шығарылатын өрнектерді ықшамдауды.
• Үлкен сандарды есептемей-ақ, ауыр өрнектердің мәнін табуды.
• Дәрежелерді негіздерін немесе көрсеткіштерін теңестіру арқылы салыстыруды.
• Тепе-теңдіктерді және өрнек мәнінің айнымалыға тәуелді еместігін дәлелдеуді.
• Үлкен дәреженің соңғы цифрын табуды.

Ой қозғау

Бұл — өткен параграфтағы «Жаңа білімді меңгеруге дайындалыңдар» тапсырмалары.

• $183^0 \cdot 5^3 : 3^2 + \frac{2}{9}$ неге тең? $\frac{125}{9} + \frac{2}{9} = \frac{127}{9} = 14\frac{1}{9}$.
• $100^2 \cdot 5^2 : 2^3$ неге тең? $10000 \cdot 25 : 8 = 31250$.
• $\frac{x^4}{x^4} + x^0$ неге әрдайым $2$-ге тең ($x \ne 0$ болғанда)? Өйткені $\frac{x^4}{x^4} = 1$ және $x^0 = 1$.
• $\frac{x^5}{x^4}$ өрнегін қалай ықшамдаймыз? Көрсеткіштерін азайтамыз: $x^{5-4} = x$.

Тақырыпты талдаймыз

Жарық жылдамдығы біздің пайдамызға жұмыс істейді

1-мысал. Жарық жылдамдығы $3 \cdot 10^8$ м/с. Күннен Жерге дейінгі қашықтық $1{,}5 \cdot 10^{11}$ м. Осы қашықтықты жарық қанша уақытта жүріп өтеді?

Жүрілген жол $s = v \cdot t$ формуласымен табылады, мұндағы $v$ — қозғалыс жылдамдығы, $t$ — қозғалыс уақыты. Демек, $t = \frac{s}{v}$.

$t = \frac{1{,}5 \cdot 10^{11}}{3 \cdot 10^8} = 0{,}5 \cdot 10^{11-8} = 0{,}5 \cdot 10^3 = 500$ секунд, яғни 8 мин 20 с.

🌟 Күннің жарығы Жерге 8 минут 20 секундта жетеді. Яғни біз Күнді сегіз минуттан астам бұрынғы қалпында көріп тұрмыз.

Ықшамдаудың үш құпиясы

1. Барлық сандарды бір негізге келтір. $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $25 = 5^2$.
2. Жақшаны аш: дәрежені, көбейтіндіні және бөлшекті дәрежеге шығар.
3. Негіздері бірдей дәрежелердің көрсеткіштерін қос немесе азайт.

2-мысал. Үлкен сандарды санамай есептейміз

Есептейік: 1) $\frac{(2^3)^3 \cdot 32}{64^2}$; 2) $\frac{25^5 \cdot 36^4}{30^7}$.

1. $\frac{2^9 \cdot 2^5}{(2^6)^2} = \frac{2^{14}}{2^{12}} = 2^{14-12} = 2^2 = 4$.

2. $\frac{(5^2)^5 \cdot (6^2)^4}{(5 \cdot 6)^7} = \frac{5^{10} \cdot 6^8}{5^7 \cdot 6^7} = 5^{10-7} \cdot 6^{8-7} = 5^3 \cdot 6 = 125 \cdot 6 = 750$.

3-мысал. Бірнеше негізі бар бөлшектер

$\frac{13^4 \cdot 11^7 \cdot 5^9}{13 \cdot 11^6} : \frac{13^6 \cdot 11^4 \cdot 5^8}{13^4 \cdot 11^3}$ өрнегінің мәнін табайық.

Әр бөлшекті бөлек ықшамдаймыз: $\frac{13^4 \cdot 11^7 \cdot 5^9}{13 \cdot 11^6} = 13^3 \cdot 11 \cdot 5^9$ және $\frac{13^6 \cdot 11^4 \cdot 5^8}{13^4 \cdot 11^3} = 13^2 \cdot 11 \cdot 5^8$. Бөлеміз: $13^{3-2} \cdot 11^{1-1} \cdot 5^{9-8} = 13 \cdot 11^0 \cdot 5 = 65$.

4-мысал. Қайсысы үлкен?

$3^{40} \cdot 2^{40}$ және $33^{20}$ өрнектерінің мәндерін салыстырайық.

Көрсеткіштерін теңестіреміз: $3^{40} \cdot 2^{40} = (3 \cdot 2)^{40} = 6^{40} = (6^2)^{20} = 36^{20}$. Енді көрсеткіштері тең, демек негізі үлкен дәреже үлкен: $36^{20} > 33^{20}$.

📌 Натурал көрсеткішті дәрежелерді салыстырғанда оларды бірдей негізге немесе бірдей көрсеткішке келтіреді. Бірінші жағдайда негізі үлкен дәреже үлкен, екінші жағдайда көрсеткіші үлкен дәреже үлкен (негіз 1-ден үлкен болса).

5-мысал. Бәрін бір негізге келтіреміз

$\frac{4^{-2} \cdot 8^{-6}}{2^{-22}}$ бөлшегінің мәнін табайық.

Алдымен алымындағы дәрежелерді 2 санының дәрежесі түрінде жазамыз: $4^{-2} = (2^2)^{-2} = 2^{-4}$, $8^{-6} = (2^3)^{-6} = 2^{-18}$. Сонда $\frac{2^{-4} \cdot 2^{-18}}{2^{-22}} = 2^{-4+(-18)-(-22)} = 2^0 = 1$.

6-мысал. Екі әрпі бар өрнекті ықшамдаймыз

$\left(-\frac{1}{3}x^6y^{-7}\right)^{-2} \cdot 9^{-1}x^{13}y^{-13}$ өрнегін ықшамдайық.

1. Әр көбейткішті $-2$ дәрежесіне шығарамыз: $\left(-\frac{1}{3}\right)^{-2} = (-3)^2 = 9$, $(x^6)^{-2} = x^{-12}$, $(y^{-7})^{-2} = y^{14}$.
2. Көбейтеміз: $9 \cdot x^{-12} \cdot y^{14} \cdot \frac{1}{9} \cdot x^{13} \cdot y^{-13} = x^{-12+13} \cdot y^{14-13} = xy$.

7-мысал. Алдымен ықшамдап, сосын санды қоямыз

$y = \frac{1}{5}$ болғандағы $\frac{5}{6^2}x^7y^4 \cdot 36x^{-7}y^{-5}$ өрнегінің мәнін табайық.

Алдымен ықшамдаймыз: $5 \cdot 6^{-2}x^7y^4 \cdot 6^2x^{-7}y^{-5} = 5 \cdot 6^0 \cdot x^0 \cdot y^{-1} = 5y^{-1}$. Енді $y$-тің орнына $\frac{1}{5}$ қоямыз: $5 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5 \cdot 5 = 25$.

8-мысал. Тепе-теңдікті дәлелдейміз

$\left(-\frac{1}{2}a^{-1}b^2\right)^2 \cdot 4a^3b^{-3} = ab$ тепе-теңдігін дәлелдейік.

Теңдіктің сол жағын ықшамдаймыз: $\frac{1}{4}a^{-2}b^4 \cdot 4a^3b^{-3} = a^{-2+3} \cdot b^{4-3} = ab$. Берілген тепе-теңдік дәлелденді. Мұнда үш ереже қолдандық: көбейтіндіні дәрежеге шығару, дәрежені дәрежеге шығару және негіздері бірдей дәрежелерді көбейту.

9-мысал. Өрнек айнымалыға тәуелді емес

$\frac{5^{-2n} \cdot 7^{-2}}{25^{-n} \cdot 49^{-1} \cdot 3^{-3}}$ өрнегінің мәні $n$-ге тәуелді емес екенін дәлелдейік.

Алдымен 25 пен 49 сандарын дәреже түрінде жазамыз: $25^{-n} = (5^2)^{-n} = 5^{-2n}$ және $49^{-1} = (7^2)^{-1} = 7^{-2}$. Бөлшек былай болады: $\frac{5^{-2n} \cdot 7^{-2}}{5^{-2n} \cdot 7^{-2} \cdot 3^{-3}}$. Қысқартамыз: $\frac{1}{3^{-3}} = 1 : \frac{1}{3^3} = 3^3 = 27$. Өрнектің мәні $27$-ге тең болғандықтан, ол $n$-ге тәуелді емес.

⚠️ Жиі кететін қате. $-3^2 \ne (-3)^2$. Біріншісі $-9$-ға тең (минус сыртта тұр), екіншісі $9$-ға тең. Сол сияқты $(-3)^{-2} = \frac{1}{9}$, ал $-3^{-2} = -\frac{1}{9}$. Жақша қайда тұрғанына қара.

⚠️ Жиі кететін қате. Негіздерді қосуға болмайды: $2^3 \cdot 3^3 \ne 5^3$, ал $2^3 \cdot 3^3 = 6^3$. Көрсеткіштері бірдей болса, негіздерін көбейтуге болады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сұраңыз: «Ықшамдауды неден бастайсың?» Дұрыс жауап: бәрін жай негіздерге (2, 3, 5…) келтіремін. Егер бала бірден калькуляторға ұмтылса, бұл идея әлі меңгерілмегенінің белгісі.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• 8-мысалдағы тепе-теңдікті дәлелдегенде дәреженің қандай қасиеттері қолданылды? Көбейтіндіні дәрежеге шығару, дәрежені дәрежеге шығару және негіздері бірдей дәрежелерді көбейту (көрсеткіштерін қосу).
• $\frac{2^{-22}}{2^{-22}} = 1$ теңдігінің ақиқат екенін түсіндіріңдер. Алымы мен бөлгіші — нөлден өзгеше бірдей сан. Ал мұндай санды өзіне бөлгенде $1$ шығады. Ереже бойынша есептесек, $2^{-22-(-22)} = 2^0 = 1$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 8.1

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(a^5)^2 : a^9 \cdot a^3$; 2) $a^{21} \cdot (a^4)^3 : (a^3)^{10}$; 3) $b^{40} : (b^2)^{11} : (b^4)^2$; 4) $(b^6)^4 : (b^7)^3 \cdot (b^2)^3$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен дәрежені дәрежеге шығарамыз, сосын амалдарды солдан оңға қарай орындаймыз.

Шешуі.

1. $a^{10} : a^9 \cdot a^3 = a \cdot a^3 = a^4$.
2. $a^{21} \cdot a^{12} : a^{30} = a^{33-30} = a^3$.
3. $b^{40} : b^{22} : b^8 = b^{18} : b^8 = b^{10}$.
4. $b^{24} : b^{21} \cdot b^6 = b^3 \cdot b^6 = b^9$.

Жауабы: 1) $a^4$; 2) $a^3$; 3) $b^{10}$; 4) $b^9$.

№ 8.2

Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $(x^2y)^6 : (x^5y^3)^2 \cdot xy$; 2) $(xy^3)^7 \cdot (x^6y^4)^3 : (x^{24}y^{32})$; 3) $\left(\frac{x}{y}\right)^8 : \left(\frac{x^2}{y}\right)^4 \cdot xy^5$; 4) $x^5y^8 \cdot (xy)^5 : (x^5y^3)^2$.

Қалай ойлаймыз. $x$ пен $y$ көрсеткіштерін бөлек санаймыз.

Шешуі.

1. $\frac{x^{12}y^6}{x^{10}y^6} \cdot xy = x^2 \cdot xy = x^3y$.
2. $x^7y^{21} \cdot x^{18}y^{12} = x^{25}y^{33}$. $x^{24}y^{32}$-ге бөлеміз: $xy$.
3. $\frac{x^8}{y^8} : \frac{x^8}{y^4} = \frac{x^8}{y^8} \cdot \frac{y^4}{x^8} = \frac{1}{y^4}$. Онда $\frac{1}{y^4} \cdot xy^5 = xy$.
4. $x^5y^8 \cdot x^5y^5 = x^{10}y^{13}$. $x^{10}y^6$-ға бөлеміз: $y^7$.

Жауабы: 1) $x^3y$; 2) $xy$; 3) $xy$; 4) $y^7$.

№ 8.3

Өрнекті ықшамдап, мәнін табыңдар: 1) $a^{10}b^{17} : (a^4b^8)^2$, мұндағы $a = 3\frac{1}{2}$ және $b = \frac{4}{7}$; 2) $(x^{14})^2 \cdot (y^{20})^3 : (x^9y^{19})^3$, мұндағы $x = \frac{6}{11}$ және $y = -11$; 3) $(m^6)^4 \cdot (n^8)^2 : (m^{11}n^7)^2$, мұндағы $m = -\frac{8}{9}$ және $n = 0{,}81$; 4) $(c^{10}d^6)^3 : (c^9)^3 : (d^2)^8$, мұндағы $c = -0{,}25$ және $d = \frac{4}{5}$.

Қалай ойлаймыз. Кішкентай дәрежелер қалғанша ықшамдаймыз, санды содан кейін ғана қоямыз.

Шешуі.

1. $a^{10}b^{17} : (a^8b^{16}) = a^2b$. Қоямыз: $\left(\frac{7}{2}\right)^2 \cdot \frac{4}{7} = \frac{49}{4} \cdot \frac{4}{7} = 7$.
2. $x^{28}y^{60} : (x^{27}y^{57}) = xy^3$. Қоямыз: $\frac{6}{11} \cdot (-11)^3 = \frac{6}{11} \cdot (-1331) = -6 \cdot 121 = -726$.
3. $m^{24}n^{16} : (m^{22}n^{14}) = m^2n^2$. Қоямыз: $\frac{64}{81} \cdot 0{,}6561 = 64 \cdot 0{,}0081 = 0{,}5184$.
4. $c^{30}d^{18} : c^{27} : d^{16} = c^3d^2$. Қоямыз: $(-0{,}25)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 = -\frac{1}{64} \cdot \frac{16}{25} = -\frac{1}{100} = -0{,}01$.

Жауабы: 1) $7$; 2) $-726$; 3) $0{,}5184$; 4) $-0{,}01$.

№ 8.4

Сандар тізбегінің белгісіз мүшелерін табыңдар: 1) $5^1, 5^2, ?, 5^4, 5^5, ?$, мұнда тізбек мүшелері 5 саны дәрежелерінің өсу ретімен жазылған; 2) $6, 36, ?, ?$, мұнда тізбек мүшелері 6 санының дәрежелерін береді; 3) $\frac{2}{3}, \frac{4}{9}, ?, \frac{16}{81}, ?$, мұнда тізбек мүшелері $\frac{2}{3}$ санының дәрежелерін береді.

Қалай ойлаймыз. Әрбір келесі мүше — сол санның келесі дәрежесі.

Шешуі.

1. Жетпейтіні $5^3 = 125$ және $5^6 = 15625$.
2. $6 = 6^1$, $36 = 6^2$; әрі қарай $6^3 = 216$ және $6^4 = 1296$.
3. $\frac{2}{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$, $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$. Жетпейтіні $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$ және $\left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{32}{243}$.

Жауабы: 1) $5^3 = 125$; $5^6 = 15625$; 2) $216$; $1296$; 3) $\frac{8}{27}$; $\frac{32}{243}$.

№ 8.5

$m$ айнымалысының қандай мәнінде теңдік ақиқат болады? 1) $303 - 7^3 + (2^4)^2 = m^3$; 2) $(-3)^5 + (-5)^2 + 282 = m^3$; 3) $-16{,}31 - (-1{,}3)^2 + (-19)^2 = m^3$; 4) $49\frac{1}{8} + \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + (-24)^2 = m^2$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағын есептейміз, сосын керекті дәрежеде осы нәтижені беретін санды іздейміз.

Шешуі.

1. $303 - 343 + 256 = 216 = 6^3$, демек $m = 6$.
2. $-243 + 25 + 282 = 64 = 4^3$, демек $m = 4$.
3. $-16{,}31 - 1{,}69 + 361 = 343 = 7^3$, демек $m = 7$.
4. $49\frac{1}{8} - \frac{1}{8} + 576 = 49 + 576 = 625 = m^2$, демек $m = 25$ немесе $m = -25$.

Жауабы: 1) $6$; 2) $4$; 3) $7$; 4) $-25$ және $25$.

№ 8.6

Теңдік ақиқат болатындай етіп жұлдызшаның орнына сан қойыңдар: 1) $10^4 - 9375 = 5^$; 2) $-2015 + 14^3 = 9^$; 3) $3^9 - 11,683 = (20)^$; 4) $1,199 + 7^4 = (60)^$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағын есептеп, оның қандай дәреже екенін анықтаймыз.

Шешуі.

1. $10000 - 9375 = 625 = 5^4$. Жұлдызша $4$.
2. $-2015 + 2744 = 729 = 9^3$. Жұлдызша $3$.
3. $19683 - 11683 = 8000 = 20^3$. Жұлдызша $3$.
4. $1199 + 2401 = 3600 = 60^2$. Жұлдызша $2$.

Жауабы: 1) $4$; 2) $3$; 3) $3$; 4) $2$.

№ 8.7

Айнымалының кез келген мәнінде өрнектің мәні 1-ге тең болатынын дәлелдеңдер: 1) $(a^5)^6 \cdot (a^4b^2)^7 : (a^{29}b^7)^2$; 2) $(a^4b^5)^3 \cdot (a^8b^9) : (a^{10}b^{12})^2$; 3) $(c^8)^6 \cdot (d^{18})^3 : (c^8d^9)^6$; 4) $(x^{11}y^2)^4 \cdot (y^5)^2 : (x^{22}y^9)^2$.

Қалай ойлаймыз. Алымы мен бөлгішіндегі әр әріптің көрсеткіштерін санаймыз. Олар сәйкес келуі керек. (Әріптер нөлге тең емес.)

Шешуі.

1. $a^{30} \cdot a^{28}b^{14} = a^{58}b^{14}$. Бөлгіші: $a^{58}b^{14}$. Бөлшек $= 1$.
2. Алымы: $a^{12}b^{15} \cdot a^8b^9 = a^{20}b^{24}$. Бөлгіші: $a^{20}b^{24}$. Бөлшек $= 1$.
3. Алымы: $c^{48}d^{54}$. Бөлгіші: $c^{48}d^{54}$. Бөлшек $= 1$.
4. Алымы: $x^{44}y^8 \cdot y^{10} = x^{44}y^{18}$. Бөлгіші: $x^{44}y^{18}$. Бөлшек $= 1$.

Жауабы: төрт жағдайда да мәні $1$-ге тең.

№ 8.8

Өрнектің мәні айнымалының мәніне тәуелді емес екенін дәлелдеңдер: 1) $((n^3)^2)^4 : (n^7)^2 - 5 - n^{10}$; 2) $m^{30} : ((m^3)^2)^3 + 17 - (m^6)^2$; 3) $((a^2)^2)^2 \cdot a^4 + 19 - (a^4)^3$; 4) $-23 - b^{40} + ((b^5)^4)^2$.

Қалай ойлаймыз. Айнымалылар қысқарып кетуі керек, тек сан қалады.

Шешуі.

1. $n^{24} : n^{14} - 5 - n^{10} = n^{10} - 5 - n^{10} = -5$.
2. $m^{30} : m^{18} + 17 - m^{12} = m^{12} + 17 - m^{12} = 17$.
3. $a^8 \cdot a^4 + 19 - a^{12} = a^{12} + 19 - a^{12} = 19$.
4. $-23 - b^{40} + b^{40} = -23$.

Жауабы: 1) $-5$; 2) $17$; 3) $19$; 4) $-23$.

№ 8.9

Сандар тізбегінің заңдылығын анықтаңдар және келесі үш мүшесін жазыңдар: 1) $4, 16, 64, \dots$; 2) $7^1, 7^3, 7^5, \dots$; 3) $3^1, 3^4, 3^7, \dots$

Қалай ойлаймыз. Келесі мүшенің қалай өзгеретініне қараймыз: бір санға көбейе ме, әлде көрсеткіші өсе ме.

Шешуі.

1. Әрбір мүше алдыңғысынан 4 есе үлкен ($4 = 4^1$, $16 = 4^2$, $64 = 4^3$). Әрі қарай $4^4 = 256$, $4^5 = 1024$, $4^6 = 4096$.
2. Көрсеткіш $2$-ге өседі. Әрі қарай $7^7$, $7^9$, $7^{11}$.
3. Көрсеткіш $3$-ке өседі. Әрі қарай $3^{10}$, $3^{13}$, $3^{16}$.

Жауабы: 1) $256; 1024; 4096$; 2) $7^7; 7^9; 7^{11}$; 3) $3^{10}; 3^{13}; 3^{16}$.

№ 8.10

Берілген өрнектердің мәнін табыңдар: 1) $\frac{17^2 \cdot 17^{-4}}{17^{-3}}$; 2) $\frac{0{,}7^7 \cdot 0{,}7^{-3}}{0{,}7^3} \cdot 3$; 3) $\frac{0{,}5^4 \cdot 2^5}{4^2} : 8^2$; 4) $1{,}33^{-5} \cdot 1{,}33^6 : \pi^0$.

Қалай ойлаймыз. Негіз бірдей болса, тек көрсеткіштермен жұмыс істейміз.

Шешуі.

1. $17^{2-4-(-3)} = 17^1 = 17$.
2. $0{,}7^{7-3-3} \cdot 3 = 0{,}7 \cdot 3 = 2{,}1$.
3. $0{,}5^4 = 2^{-4}$, $4^2 = 2^4$, $8^2 = 2^6$. Онда $2^{-4+5-4-6} = 2^{-9} = \frac{1}{512}$.
4. $1{,}33^{-5+6} : 1 = 1{,}33$.

Жауабы: 1) $17$; 2) $2{,}1$; 3) $\frac{1}{512}$; 4) $1{,}33$.

№ 8.11

Сандар тізбегінің алғашқы үш мүшесі берілген: 1) $(0{,}5)^{-1}; 4; \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}; \dots$ 2) $0{,}0016; \frac{1}{125}; 0{,}04; \dots$ а) Берілген мүшелерді негіздері бірдей болатын натурал көрсеткішті дәреже түрінде жазыңдар; ә) сандар тізбегінің заңдылығын анықтаңдар және келесі екі мүшесін жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мүшелерді бір санның дәрежелері етіп жазамыз да, көрсеткіштің қалай өзгеретініне қараймыз.

Шешуі.

1. $(0{,}5)^{-1} = 2 = 2^1$; $4 = 2^2$; $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3$. Көрсеткіш 1-ге өседі. Келесі мүшелер: $2^4 = 16$ және $2^5 = 32$.
2. $0{,}0016 = 0{,}2^4$; $\frac{1}{125} = 0{,}008 = 0{,}2^3$; $0{,}04 = 0{,}2^2$. Көрсеткіш 1-ге кемиді. Келесі мүшелер: $0{,}2^1 = 0{,}2$ және $0{,}2^0 = 1$.

Жауабы: 1) а) $2^1, 2^2, 2^3$; ә) $2^4 = 16$, $2^5 = 32$; 2) а) $0{,}2^4, 0{,}2^3, 0{,}2^2$; ә) $0{,}2$ және $1$.

№ 8.12

1) $2^5 \cdot 2^{-2} \cdot * = 2^7$; 2) $4^5 \cdot 8^{-2} \cdot * = 4^7$; 3) $5^5 \cdot 5^{-2} \cdot * = 5^7$ теңдіктерін ақиқат теңдікке айналдыратындай етіп жұлдызшаның орнына сан жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жұлдызшаның көрсеткішін «керек көрсеткіш минус қазір бар көрсеткіш» деп табамыз.

Шешуі.

1. $2^5 \cdot 2^{-2} = 2^3$. $2^7$ керек, демек $* = 2^{7-3} = 2^4 = 16$.
2. $4^5 = 2^{10}$, $8^{-2} = 2^{-6}$, олардың көбейтіндісі $2^4 = 16$. Ал $4^7 = 2^{14}$. Демек $* = 2^{14-4} = 2^{10} = 1024$.
3. $5^5 \cdot 5^{-2} = 5^3$. $5^7$ керек, демек $* = 5^4 = 625$.

Жауабы: 1) $16$; 2) $1024$; 3) $625$.

№ 8.13

$3^{-1}; 3^3; 9^2; 27^{-2}; 81^0; -3^2; -9^{-1}$ сандарын өсу ретімен орналастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр санды есептейміз: теріс сандар, сосын бөлшектер, бір, үлкен сандар.

Шешуі. $3^{-1} = \frac{1}{3}$; $3^3 = 27$; $9^2 = 81$; $27^{-2} = \frac{1}{729}$; $81^0 = 1$; $-3^2 = -9$; $-9^{-1} = -\frac{1}{9}$. Өсу ретімен: $-9 < -\frac{1}{9} < \frac{1}{729} < \frac{1}{3} < 1 < 27 < 81$.

Жауабы: $-3^2; -9^{-1}; 27^{-2}; 3^{-1}; 81^0; 3^3; 9^2$.

№ 8.14

$5^{-1}; 5^3; 25^2; 27^{-2}; 521^0; -8^2; -4^{-2}$ сандарын кему ретімен орналастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. № 8.13-тегідей, тек реті керісінше: ең үлкенінен ең кішісіне қарай.

Шешуі. $5^{-1} = 0{,}2$; $5^3 = 125$; $25^2 = 625$; $27^{-2} = \frac{1}{729}$; $521^0 = 1$; $-8^2 = -64$; $-4^{-2} = -\frac{1}{16}$. Кему ретімен: $625 > 125 > 1 > 0{,}2 > \frac{1}{729} > -\frac{1}{16} > -64$.

Жауабы: $25^2; 5^3; 521^0; 5^{-1}; 27^{-2}; -4^{-2}; -8^2$.

№ 8.15

1) $\frac{(-3)^3 \cdot 9^{-2}}{(-81)^2}$; 2) $\frac{(-4)^4 \cdot 9^{-2}}{-11^2}$; 3) $\frac{(-3)^3 \cdot \left(-9^{-2}\right)}{-8^2}$ өрнектерінің мәні теріс сан болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Дәл есептеудің қажеті жоқ: алым мен бөлгіштің таңбасын анықтау жеткілікті.

Шешуі.

1. Алымы: $(-3)^3 < 0$, оны $9^{-2} > 0$-ге көбейтеміз — сан теріс. Бөлгіші: $(-81)^2 > 0$. Теріс санды оң санға бөлгенде теріс сан шығады. Дәл мәні: $-\frac{27}{81 \cdot 6561} = -\frac{1}{19683}$.
2. Алымы: $(-4)^4 > 0$ және $9^{-2} > 0$, демек оң. Бөлгіші: $-11^2 = -121 < 0$. Нәтиже теріс. Дәл мәні: $-\frac{256}{9801}$.
3. Алымы: $(-3)^3 = -27$ және $-9^{-2} = -\frac{1}{81}$. Екі теріс санның көбейтіндісі: $\frac{1}{3} > 0$. Бөлгіші $-8^2 = -64 < 0$. Нәтиже теріс. Дәл мәні: $-\frac{1}{192}$.

Жауабы: барлық жағдайда мәні теріс.

№ 8.16

1) $21^0 - 3^{-2} - 4^{-2}$; 2) $2^{-3} + 3^{-1} + (-4)^2$; 3) $9^{-1} - \frac{(-3)^2}{\left(-5^2\right)}$ өрнектерінің мәні оң сан болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Дәл есептейміз: сандар кішкентай.

Шешуі.

1. $1 - \frac{1}{9} - \frac{1}{16} = \frac{144 - 16 - 9}{144} = \frac{119}{144} > 0$.
2. $\frac{1}{8} + \frac{1}{3} + 16 = 16\frac{11}{24} > 0$.
3. $\frac{(-3)^2}{(-5^2)} = \frac{9}{-25} = -\frac{9}{25}$. Онда $\frac{1}{9} - \left(-\frac{9}{25}\right) = \frac{1}{9} + \frac{9}{25} = \frac{25 + 81}{225} = \frac{106}{225} > 0$.

Жауабы: 1) $\frac{119}{144}$; 2) $16\frac{11}{24}$; 3) $\frac{106}{225}$ — барлық сандар оң.

B деңгейі

№ 8.17

Тепе-теңдікті дәлелдеңдер: 1) $x^3 : (x^{-1})^3 + \pi^0 = 1 + x^6$; 2) $(b^4 - b^3) : b^2 = b^2 - b$; 3) $\frac{2^4 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} \cdot a^2 = \frac{4}{a^{-4}}$.

Қалай ойлаймыз. Сол жағын ықшамдап, оң жағымен салыстырамыз.

Шешуі.

1. $(x^{-1})^3 = x^{-3}$. Онда $x^3 : x^{-3} = x^6$, ал $\pi^0 = 1$. Шықты $x^6 + 1 = 1 + x^6$. Дұрыс.
2. Әр қосылғышты бөлеміз: $\frac{b^4}{b^2} - \frac{b^3}{b^2} = b^2 - b$. Дұрыс.
3. $2^4 : 4 = 4$, $14^0 = 1$: $\frac{4}{a^{-2}} \cdot a^2 = 4a^2 \cdot a^2 = 4a^4$. Оң жағы: $\frac{4}{a^{-4}} = 4a^4$. Дұрыс.

Жауабы: үш тепе-теңдік те дәлелденді.

№ 8.18

Өрнектерді ықшамдаңдар: 1) $\frac{(b^5)^3 \cdot (b^7)^7}{b^{19} \cdot b^{38}}$; 2) $\frac{c^{50} \cdot c^{11}}{(c^{20})^2 \cdot (c^2)^5}$; 3) $\frac{(a^9)^3 \cdot (a^3)^4 \cdot a^{23}}{a^{40} \cdot a^{18}}$; 4) $\frac{d^{13} \cdot (d^8)^3 \cdot (d^7)^2}{(d^3)^{10} \cdot (d^6)^2}$.

Қалай ойлаймыз. Алымның көрсеткішін, бөлгіштің көрсеткішін санап, азайтамыз.

Шешуі.

1. Алымы: $b^{15} \cdot b^{49} = b^{64}$ (бірінші жақшада $(b^5)^3 = b^{15}$, екіншісінде $(b^7)^7 = b^{49}$). Бөлгіші: $b^{19+38} = b^{57}$. Нәтиже $b^{64-57} = b^7$.
2. Алымы: $c^{61}$. Бөлгіші: $c^{40} \cdot c^{10} = c^{50}$. Нәтиже $c^{11}$.
3. Алымы: $a^{27} \cdot a^{12} \cdot a^{23} = a^{62}$. Бөлгіші: $a^{58}$. Нәтиже $a^4$.
4. Алымы: $d^{13+24+14} = d^{51}$. Бөлгіші: $d^{30+12} = d^{42}$. Нәтиже $d^9$.

Жауабы: 1) $b^7$; 2) $c^{11}$; 3) $a^4$; 4) $d^9$.

№ 8.19

$2^1, 4^2, 8^3, 16^4, 32^5, \dots$ сандар тізбегі берілген. 1) Сандар тізбегінің заңдылығын анықтаңдар және келесі мүшесін жазыңдар; 2) берілген тізбекті мүшелері 2 санының дәрежесі болатын сандар тізбегі түрінде жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. Негіздері — екінің дәрежелері: $2^1, 2^2, 2^3, \dots$ Ал көрсеткіші мүшенің нөміріне тең.

Шешуі.

1. Негізі: $2, 4, 8, 16, 32$ — екі еселенеді. Көрсеткіші: $1, 2, 3, 4, 5$ — $1$-ге өседі. Келесі мүшесі $64^6$.
2. $2^1$; $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$; $8^3 = (2^3)^3 = 2^9$; $16^4 = (2^4)^4 = 2^{16}$; $32^5 = (2^5)^5 = 2^{25}$. Көрсеткіштер: $1, 4, 9, 16, 25$ — нөмірлердің квадраттары. Келесісі $64^6 = (2^6)^6 = 2^{36}$.

Жауабы: 1) $64^6$; 2) $2^1, 2^4, 2^9, 2^{16}, 2^{25}, \dots$ — жалпы мүшесі $2^{n^2}$; келесісі $2^{36}$.

№ 8.20

1) $4^{13} + 5^{10} - 2^{16}$; 2) $7^{11} + 15^{10} - 3^{13}$; 3) $2^{23} + 6^{19} - 9^{18}$; 4) $8^{15} + 7^{10} - 9^{16}$ өрнегінің қандай цифрмен аяқталатынын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Дәреженің соңғы цифры шеңбер бойымен қайталанады. $2$ үшін: $2, 4, 8, 6$; $3$ үшін: $3, 9, 7, 1$; $7$ үшін: $7, 9, 3, 1$; $8$ үшін: $8, 4, 2, 6$ (кезеңі 4). $4$ үшін: $4, 6$; $9$ үшін: $9, 1$. $5$ пен $6$ үшін цифр әрдайым $5$ және $6$. Шеңбердегі орынды көрсеткішті $4$-ке бөлгендегі қалдық бойынша анықтаймыз.

Шешуі.

1. $4^{13}$: көрсеткіші тақ, цифры $4$. $5^{10}$ цифры $5$. $2^{16}$: $16$ саны $4$-ке бөлінеді, цифры $6$. Есептейміз: $4 + 5 - 6 = 3$.
2. $7^{11}$: қалдығы $11 : 4 = 3$, $7, 9, 3, 1$ шеңберіндегі үшінші цифр — $3$. $15^{10}$ цифры $5$. $3^{13}$: қалдығы $1$, цифры $3$. Есептейміз: $3 + 5 - 3 = 5$.
3. $2^{23}$: қалдығы $3$, цифры $8$. $6^{19}$ цифры $6$. $9^{18}$: көрсеткіші жұп, цифры $1$. Есептейміз: $8 + 6 - 1 = 13$, соңғы цифры $3$.
4. $8^{15}$: қалдығы $3$, цифры $2$. $7^{10}$: қалдығы $2$, цифры $9$. $9^{16}$: цифры $1$. Есептейміз: $2 + 9 - 1 = 10$, соңғы цифры $0$.

Жауабы: 1) $3$; 2) $5$; 3) $3$; 4) $0$.

№ 8.21

Өрнектердің мәнін табыңдар: 1) $\frac{\left(\frac{1}{9}\right)^{-3} \cdot \frac{1}{9}}{3^3}$; 2) $45 \cdot \frac{5^{-2}}{9^2}$; 3) $\frac{34^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 8^2$.

Қалай ойлаймыз. Сандарды жіктейміз: $9 = 3^2$, $34 = 2 \cdot 17$, $8 = 2^3$.

Шешуі.

1. $\left(\frac{1}{9}\right)^{-3} = 9^3$. Онда $\frac{9^3 \cdot 9^{-1}}{27} = \frac{81}{27} = 3$.
2. $\frac{45}{25 \cdot 81} = \frac{45}{2025} = \frac{1}{45}$.
3. $34^3 = 2^3 \cdot 17^3$, $8^2 = 2^6$. Онда $\frac{2^3 \cdot 17^3 \cdot 2^6}{17^2 \cdot 2^4} = 2^{3+6-4} \cdot 17^{3-2} = 2^5 \cdot 17 = 32 \cdot 17 = 544$.

Жауабы: 1) $3$; 2) $\frac{1}{45}$; 3) $544$.

C деңгейі

Бұл — ең қиын тапсырмалар. Бәрі шықпаса да, талпыныстың өзі өте құнды.

№ 8.22

Теңдіктің ақиқаттығын тексеріңдер: 1) $\frac{(2^4)^6 \cdot 4^5}{16^3 \cdot 8^7} = 2$; 2) $\frac{(17^8)^2 \cdot (17^3)^3 \cdot 16^5}{17^{22} \cdot 289 \cdot 8^6} = 68$.

Қалай ойлаймыз. Барлығын $2$ мен $17$ дәрежелеріне келтіреміз.

Шешуі.

1. $(2^4)^6 = 2^{24}$, $4^5 = 2^{10}$, $16^3 = 2^{12}$, $8^7 = 2^{21}$. Онда $\frac{2^{34}}{2^{33}} = 2$. Теңдік дұрыс.
2. Он жетілер: $17^{16} \cdot 17^9 = 17^{25}$; төменде $17^{22} \cdot 17^2 = 17^{24}$ ($289 = 17^2$ болғандықтан); $17$ шығады. Екілер: $16^5 = 2^{20}$, $8^6 = 2^{18}$; $2^2 = 4$ шығады. Барлығы $17 \cdot 4 = 68$. Теңдік дұрыс.

Жауабы: екі теңдік те дұрыс.

№ 8.23

Теңдіктің ақиқаттығын тексеріңдер: 1) $\frac{(a^5)^6 \cdot (b^9)^4 \cdot (a^2b^2)^3}{(b^4)^{10} \cdot (a^7)^5} = ab^2$; 2) $\frac{(c^8d^5)^{11} \cdot (c^7)^3 \cdot (d^4)^2}{(d^{31})^2 \cdot (c^{25})^4} = c^9d$.

Қалай ойлаймыз. $a$ мен $b$ (және $c$ мен $d$) көрсеткіштерін бөлек санаймыз.

Шешуі.

1. Алымы: $a^{30+6} = a^{36}$ және $b^{36+6} = b^{42}$. Бөлгіші: $b^{40}$ және $a^{35}$. Бөлшек: $a^{36-35}b^{42-40} = ab^2$. Теңдік дұрыс.
2. Алымы: $c^{88+21} = c^{109}$ және $d^{55+8} = d^{63}$. Бөлгіші: $d^{62}$ және $c^{100}$. Бөлшек: $c^9d$. Теңдік дұрыс.

Жауабы: екі теңдік те дұрыс.

№ 8.24

$a = 1$, $b = -1$ болғандағы өрнектердің мәндері тең екенін дәлелдеңдер: 1) $(a^5 \cdot b^6)^7 : (a^{33} \cdot b^{40}) + 1$ және $(a^8b^2)^2 : (a^5b)^3 + 3$; 2) $\frac{(a^4)^3 \cdot (b^{10})^2}{a^8 \cdot (b^5)^3} - 4$ және $\frac{(a^7)^4 \cdot (b^9)^2}{(a^5)^5 \cdot b^{16}} - 6$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен екі өрнекті де ықшамдаймыз, сосын $a = 1$, $b = -1$ қоямыз.

Шешуі.

1. Біріншісі: $a^{35}b^{42} : (a^{33}b^{40}) + 1 = a^2b^2 + 1 = 1 + 1 = 2$. Екіншісі: $a^{16}b^4 : (a^{15}b^3) + 3 = ab + 3 = -1 + 3 = 2$. Мәндері тең: $2 = 2$.
2. Біріншісі: $\frac{a^{12}b^{20}}{a^8b^{15}} - 4 = a^4b^5 - 4 = (-1) - 4 = -5$. Екіншісі: $\frac{a^{28}b^{18}}{a^{25}b^{16}} - 6 = a^3b^2 - 6 = 1 - 6 = -5$. Мәндері тең: $-5 = -5$.

Жауабы: 1) екеуі де $2$-ге тең; 2) екеуі де $-5$-ке тең.

№ 8.25

Амалдарды орындаңдар және шыққан өрнектерді теріс емес көрсеткішті дәреже түріне келтіріңдер: 1) $\frac{(a^{-3} \cdot x^4)^2}{(a^{-2})^2 \cdot x^{-7}} \cdot 2^{-2}$; 2) $\frac{(b^3 \cdot y^{-3})^2}{(b^2)^2 \cdot y^7} \cdot y^{-2}$; 3) $\frac{(3^3 \cdot x^4)^{-2}}{(3^2)^2 \cdot x^{-7}} + \frac{2}{x^{-3}}$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ықшамдаймыз, сосын теріс дәрежелерді бөлгішке «аударамыз».

Шешуі.

1. Алымы: $a^{-6}x^8$. Бөлгіші: $a^{-4}x^{-7}$. Бөлшек: $a^{-2}x^{15}$. $\frac{1}{4}$-ге көбейтеміз: $\frac{x^{15}}{4a^2}$.
2. Алымы: $b^6y^{-6}$. Бөлгіші: $b^4y^7$. Бөлшек: $b^2y^{-13}$. $y^{-2}$-ге көбейтеміз: $b^2y^{-15} = \frac{b^2}{y^{15}}$.
3. Алымы: $3^{-6}x^{-8}$. Бөлгіші: $3^4x^{-7}$. Бөлшек: $3^{-10}x^{-1} = \frac{1}{3^{10}x} = \frac{1}{59049x}$. Екінші қосылғыш: $\frac{2}{x^{-3}} = 2x^3$.

Жауабы: 1) $\frac{x^{15}}{4a^2}$; 2) $\frac{b^2}{y^{15}}$; 3) $\frac{1}{59049x} + 2x^3$.

№ 8.26

1) $x = 0{,}5$ және $b = \frac{1}{3}$ болғанда $\frac{(3^3 \cdot x)^2}{(x^2)^3 \cdot b^2}$; 2) $a = 0{,}1$ және $x = 2$ болғанда $\frac{(a^3 \cdot x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot x^7}$ өрнектерінің мәні натурал сан бола ма?

Қалай ойлаймыз. Мәнін табамыз да, оның бүтін және оң екенін қараймыз.

Шешуі.

1. $\frac{3^6x^2}{x^6b^2} = 3^6x^{-4}b^{-2}$. Қоямыз: $729 \cdot 0{,}5^{-4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 729 \cdot 16 \cdot 9 = 104,976$. Бұл — натурал сан.
2. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $0{,}02$.

Жауабы: 1) иә ($104,976$); 2) жоқ ($0{,}02$).

№ 8.27

Өрнектердің мәні $n$-ге тәуелді болмайтынын дәлелдеңдер: 1) $\frac{2^{-2n} \cdot 3^{-2}}{4^{-n} \cdot 3^{-1}}$; 2) $\frac{5^{-3n} \cdot 34^{-2}}{125^{-n} \cdot 17^{-1}}$; 3) $\frac{0{,}2^{-2n} \cdot 13^{-2}}{0{,}04^{-n} \cdot 23^{-1}}$.

Қалай ойлаймыз. Алымы да, бөлгіші де $n$ бар бірдей дәрежеден тұрады. Олардың қысқаратынын көрсету керек: $4^{-n} = 2^{-2n}$, $125^{-n} = 5^{-3n}$, $0{,}04^{-n} = 0{,}2^{-2n}$.

Шешуі.

1. $4^{-n} = (2^2)^{-n} = 2^{-2n}$ — қысқарады. Қалады $\frac{3^{-2}}{3^{-1}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
2. $125^{-n} = (5^3)^{-n} = 5^{-3n}$ — қысқарады. Қалады $\frac{34^{-2}}{17^{-1}} = \frac{17}{34^2} = \frac{17}{1156} = \frac{1}{68}$.
3. $0{,}04^{-n} = (0{,}2^2)^{-n} = 0{,}2^{-2n}$ — қысқарады. Қалады $\frac{13^{-2}}{23^{-1}} = \frac{23}{169}$.

Жауабы: 1) $\frac{1}{3}$; 2) $\frac{1}{68}$; 3) $\frac{23}{169}$ — $n$ жоғалды, демек мәні оған тәуелді емес.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 8.28

Амалдарды орындаңдар: 1) $15,248 : 10^4$; 2) $0{,}0174 \cdot 10^2$; 3) $7124 : 10^3$; 4) $0{,}00824 \cdot 10^3$.

Қалай ойлаймыз. $10^n$-ге бөлгенде үтір $n$ таңбаға солға жылжиды, $10^n$-ге көбейткенде оңға жылжиды.

Шешуі.

1. $15248 : 10000 = 1{,}5248$ (үтір $4$ таңбаға солға).
2. $0{,}0174 \cdot 100 = 1{,}74$ ($2$ таңбаға оңға).
3. $7124 : 1000 = 7{,}124$.
4. $0{,}00824 \cdot 1000 = 8{,}24$.

Жауабы: 1) $1{,}5248$; 2) $1{,}74$; 3) $7{,}124$; 4) $8{,}24$.

№ 8.29

Өрнектердің мәндерін салыстырыңдар: 1) $7200 : 10^3$ және $7{,}2$; 2) $0{,}058 \cdot 10^2$ және $5{,}8$; 3) $193,000 : 10^5$ және $1{,}93$; 4) $0{,}0002 \cdot 10^3$ және $2$.

Қалай ойлаймыз. Алдымен үтірді жылжытамыз, сосын салыстырамыз.

Шешуі.

1. $7200 : 1000 = 7{,}2$. Тең.
2. $0{,}058 \cdot 100 = 5{,}8$. Тең.
3. $193000 : 100000 = 1{,}93$. Тең.
4. $0{,}0002 \cdot 1000 = 0{,}2$. $0{,}2 < 2$.

Жауабы: 1) $=$; 2) $=$; 3) $=$; 4)

№ 8.30

$243{,}478$; $4076{,}237$; $15,023{,}4083$ сандарын: 1) ондық үлеске; 2) жүздік үлеске; 3) ондыққа; 4) жүздікке дейін дөңгелектеңдер.

Қалай ойлаймыз. Керекті разрядтың оң жағындағы цифрға қараймыз: $5$ және одан үлкен болса — бірді қосамыз, $5$-тен кіші болса — өзгеріссіз қалдырамыз.

Шешуі.

1. Ондық үлеске дейін: $243{,}5$; $4076{,}2$; $15,023{,}4$.
2. Жүздік үлеске дейін: $243{,}48$; $4076{,}24$; $15,023{,}41$.
3. Ондыққа дейін: $240$; $4080$; $15,020$.
4. Жүздікке дейін: $200$; $4100$; $15,000$.

Жауабы: төмендегі кестені қара.

Жадынама

• Жай негіздерден баста: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $9 = 3^2$, $25 = 5^2$.
• Үлкен сандарды есептеме: алдымен дәрежелерді қысқарт.
• Тепе-теңдікті дәлелдегенде бір жағын екінші жағына дейін ықшамдаймыз.
• Сандарды ықшамдағаннан кейін ғана қой.
• Дәрежелерді салыстыру үшін оларды бірдей негізге немесе бірдей көрсеткішке келтір.

Шағын тест