§ 9. Санның стандарт түрі. Мәтінді есептерді шығару

Алгебра, 7 сынып. Оқулық: Әбілқасымова А.Е. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 бөлім: Бүтін көрсеткішті дәреже. 63–74-беттер.

Нені үйренесің

• Өте үлкен және өте кіші сандарды $a\cdot 10^{n}$ стандарт түрінде жазуды.
• Санның мәнді бөлігі мен ретін табуды.
• Стандарт түрдегі сандарды салыстыруды және олармен амалдар орындауды.
• Жуық мәннің абсолюттік және салыстырмалы қателігін есептеуді.
• Сандарды дөңгелектеуді және $x = x_1 \pm h$ жазуын түсінуді.

Ой қозғау

• $10^{3}$ неге тең? $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
• $10^{-2}$ неге тең? $\frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0{,}01$.
• Үтірді 3 орынға оңға жылжытсақ, сан қалай өзгереді? $10^3 = 1000$ есе артады.
• $10^{5}\cdot 10^{-2}$ неге тең? Көрсеткіштерді қосамыз: $10^{3}$.
• $5{,}748$ санын жүздік үлеске дейін қалай дөңгелектейміз? Жүздіктен кейінгі цифрға қараймыз: ол 8, яғни жоғары қарай дөңгелектейміз, $5{,}75$ шығады.

Тақырыпты талдаймыз

Неге ерекше жазу керек

Жерден Күнге дейінгі қашықтық — шамамен 150 000 000 км. ДНК молекуласының диаметрі — 0,000 000 002 м. Нөлдерді санау қиын, ал бір нөлді қателесу — 10 есе қателесу деген сөз. Сондықтан қысқа жазу ойлап тапқан.

📌 Санның стандарт түрі деп оның $a\cdot 10^{n}$ түрінде жазылуын айтады, мұндағы $1 \le a < 10$ және $n$ — бүтін сан. $a$ санын мәнді бөлік, $n$ санын санның реті дейді.

Мысалы, Күнге дейінгі қашықтық $1{,}5\cdot 10^{8}$ км. Мәнді бөлігі $1{,}5$, реті $8$. Ал ДНК диаметрі $2\cdot 10^{-9}$ м: мәнді бөлігі $2$, реті $-9$.

💡 Ретті санның «масштабы» деп ойла. Рет $3$ болса, сан $1000$ мен $10,000$ аралығында жатады. Рет $-2$ болса, сан $0{,}01$ мен $0{,}1$ аралығында. Үлкен оң рет — сан алып, үлкен теріс рет — сан өте кішкентай.

Санды стандарт түрде қалай жазамыз

Үш қадам жасаймыз. Күннің диаметрін, 1 300 000 км-ді, мысалға алайық.

Кіші сандармен керісінше. $0{,}000,000,000,000,005$ санында үтірді оңға 15 орынға жылжытамыз, $5$ шығады. Санды $10^{15}$ есе үлкейттік, сондықтан $10^{-15}$-ке көбейтеміз. Нәтиже: $5\cdot 10^{-15}$ м — бұл атом ядросының диаметрі.

⚠️ Жиі кететін қате. $50\cdot 10^{4}$ жазуы стандарт түр емес: $50$ саны он санынан кіші емес. Дұрысы: $5\cdot 10^{5}$. $0{,}5\cdot 10^{9}$ да стандарт түр емес: $0{,}5 < 1$. Дұрысы: $5\cdot 10^{8}$.

Сандарды салыстырамыз

Стандарт түрдегі сандармен амалдар

• Реттері бірдей сандарды қосу және азайту. Мәнді бөліктерін қосамыз (азайтамыз), ретін өзгеріссіз қалдырамыз: $3{,}5\cdot 10^{7} + 2\cdot 10^{7} = 5{,}5\cdot 10^{7}$.
• Реттері әртүрлі сандар. Алдымен бірдей ретке келтіреміз: $2\cdot 10^{6} = 0{,}2\cdot 10^{7}$, сонда $3{,}5\cdot 10^{7} + 0{,}2\cdot 10^{7} = 3{,}7\cdot 10^{7}$.
• Көбейту. Мәнді бөліктерін көбейтеміз, реттерін қосамыз: $(3{,}5\cdot 10^{7})(2\cdot 10^{5}) = 7\cdot 10^{12}$.
• Бөлу. Мәнді бөліктерін бөлеміз, реттерін азайтамыз: $(3{,}5\cdot 10^{7}) : (2\cdot 10^{5}) = 1{,}75\cdot 10^{2}$.

📌 Амалдан кейін жауабың стандарт түрде екенін тексер. Егер $18\cdot 10^{3}$ шықса, оны $1{,}8\cdot 10^{4}$ деп қайта жаз.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан «өмірден» бір нәрсені стандарт түрде жаздырып көріңіз: Қазақстан халқының саны (шамамен 20 млн), ел аумағы (шамамен 2,7 млн км²), шаштың қалыңдығы (шамамен 0,00005 м). Үтірдің қайда жылжитынын түсінген-түсінбегені бірден көрінеді.

Жуық мәндер және қателік

Біз шамаларды «соңғы молекулаға дейін» өлшемейміз. Жер телімінің ұзындығын метрге дейін дөңгелектейміз, ұнды грамға дейін өлшейміз. Яғни жуық мәндермен жұмыс істейміз.

📌 $x$ — нақты мән, ал $x_1$ — жуық мән болсын. Абсолюттік қателік — $\Delta = |x - x_1|$. Модуль қателік теріс болмасын деп қойылады: қай жаққа қателескеніміз емес, қаншаға қателескеніміз маңызды.

Мысал. $\frac{3}{7}$ бөлшегін $0{,}42$ ондық бөлшегімен алмастырдық. Қателік: $\Delta = \left|\frac{3}{7} - \frac{21}{50}\right| = \left|\frac{150 - 147}{350}\right| = \frac{3}{350}.$

$x = x_1 \pm h$ жазуы мынаны білдіреді: $x_1$ — жуық мән, ал қателік $h$-тан аспайды. Бұдан қос теңсіздік шығады: $x_1 - h \le x \le x_1 + h$.

Мысалы, $x = 1{,}4 \pm 0{,}05$ жазуы $1{,}35 \le x \le 1{,}45$ дегенді білдіреді. $1{,}35$ және $1{,}45$ сандары — кемімен және артығымен алынған жуық мәндер.

Дөңгелектеу және ақиқат цифрлар

$5{,}748$ санын жүздік үлеске дейін дөңгелектейміз. Кемімен $5{,}74$ шығады (қателігі $0{,}008$), артығымен $5{,}75$ (қателігі $0{,}002$). Екінші нұсқа дәлірек.

📌 Дөңгелектеу ережесі. Егер бірінші алынып тасталатын цифр 5-тен кіші болса, жуық мәнді кемімен аламыз. Егер 5-ке тең немесе 5-тен артық болса — артығымен аламыз.

Дөңгелектегенде қателік ең кіші разрядтың бірлігінен аспайды деп есептейді және барлық цифрлардың мәні ақиқат болады. $a\cdot 10^{n}$ санында $a$ мәнді бөлігінің барлық цифры ақиқат деп саналады. Мысалы, жарық жылы $9{,}46\cdot 10^{12}$ км: мұнда $9{,}46 \pm 0{,}01$.

Салыстырмалы қателік

Екі өлшемді салыстыр: $x = 0{,}2 \pm 0{,}1$ см және $y = 200{,}0 \pm 0{,}1$ см. Қателік бірдей, $0{,}1$ см. Бірақ $0{,}2$ см үшін бұл үлкен қателік, ал $200$ см үшін — түк емес. Мұны көру үшін салыстырмалы қателікті есептейді.

📌 $\varepsilon = \dfrac{|x - x_1|}{|x_1|}$, ал бағасы: $\varepsilon \le \dfrac{h}{|x_1|}$. Оны жиі пайызбен өрнектейді, $100%$-ға көбейтеді.

$x$ үшін: $\varepsilon \le \frac{0{,}1}{0{,}2}\cdot 100% = 50%$. $y$ үшін: $\varepsilon \le \frac{0{,}1}{200}\cdot 100% = 0{,}05%$. Енді екінші өлшем 1000 есе сапалы екені көрінеді.

Тағы бір мысал. $x = 7{,}45\cdot 10^{22}$ саны. Соңғы дұрыс цифр жүздік орында тұр, сондықтан $h = 0{,}01\cdot 10^{22} = 10^{20}$. Салыстырмалы қателік $\frac{10^{20}}{7{,}45\cdot 10^{22}}\cdot 100% = \frac{1}{7{,}45}% \approx 0{,}134%$.

🌟 Жарық жылы — жарықтың бір жылда жүретін қашықтығы: шамамен $9{,}46\cdot 10^{12}$ км. Күннен кейінгі бізге ең жақын жұлдызға жарық төрт жылдан астам уақыт жүреді.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Өлшегенде қандай шамалар алынады? Жуық мәндер: ұзындық, масса, уақыт және т.б. абсолют дәл емес, белгілі бір дәлдікпен өлшенеді.
• Кез келген санды стандарт түрде жазуға бола ма? Кез келген оң санды жазуға болады: $a\cdot 10^{n}$, мұндағы $1\le a<10$. Теріс санның алдына жазудан бұрын минус қоямыз. Нөлді стандарт түрде жазуға болмайды.
• $1{,}5\cdot 10^{3}$; $0{,}5\cdot 10^{9}$; $50\cdot 10^{4}$; $2{,}3\cdot 10^{2}$ сандарының қайсысы стандарт түрде жазылған? Бірінші және төртінші: $1{,}5\cdot 10^{3}$ және $2{,}3\cdot 10^{2}$. Қалғандарының мәнді бөлігі 1-ден 10-ға дейін емес.
• Абсолюттік қателік нені көрсетеді? Жуық мәннің нақты мәннен (модуль бойынша) қаншаға ерекшеленетінін.
• Абсолюттік және салыстырмалы қателіктер қалай байланысқан? Салыстырмалы қателік — абсолюттік қателіктің жуық мән модуліне қатынасы: $\varepsilon = \frac{\Delta}{|x_1|}$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 9.1

Стандарт түрде көрсетілген санның ретін атаңдар: 1) $4{,}3\cdot 10^{5}$; 2) $2{,}34\cdot 10^{-3}$; 3) $8{,}3\cdot 10^{-13}$; 4) $9{,}123\cdot 10^{-1}$; 5) $5{,}31\cdot 10^{12}$; 6) $7{,}1\cdot 10^{-32}$.

Қалай ойлаймыз. Сандар стандарт түрде тұр. Рет — он санының дәреже көрсеткіші.

Шешуі. Көрсеткішті оқи саламыз: 1) $5$; 2) $-3$; 3) $-13$; 4) $-1$; 5) $12$; 6) $-32$.

Жауабы: 1) $5$; 2) $-3$; 3) $-13$; 4) $-1$; 5) $12$; 6) $-32$.

№ 9.2

Сандарды стандарт түрде жазыңдар және оның мәнді бөлігін табыңдар: 1) $23,000,000,000$; 2) $3,043,000,000$; 3) $153,000,000$; 4) $0{,}0,000,012$; 5) $600{,}32\cdot 10^{5}$; 6) $0{,}00,000,203$.

Қалай ойлаймыз. Үтірді солдан бір ғана нөлден өзге цифр қалғанша жылжытамыз және неше орынға жылжытқанымызды санаймыз. Солға — рет оң, оңға — теріс. Бесінші тармақта сан көбейткішпен тұр, сондықтан алдымен $600{,}32$ санын $6{,}0032\cdot 10^{2}$ түріне келтіреміз.

Шешуі.

1. $23,000,000,000$: үтірді солға 10 орынға жылжытамыз, $2{,}3$ шығады. Демек, $2{,}3\cdot 10^{10}$, мәнді бөлігі $2{,}3$.
2. $3,043,000,000 = 3{,}043\cdot 10^{9}$, мәнді бөлігі $3{,}043$.
3. $153,000,000 = 1{,}53\cdot 10^{8}$, мәнді бөлігі $1{,}53$.
4. $0{,}0000012$: үтір оңға 6 орынға, $1{,}2$ шығады. Нәтиже: $1{,}2\cdot 10^{-6}$, мәнді бөлігі $1{,}2$.
5. $600{,}32\cdot 10^{5} = 6{,}0032\cdot 10^{2}\cdot 10^{5} = 6{,}0032\cdot 10^{7}$, мәнді бөлігі $6{,}0032$.
6. $0{,}00000203$: үтір оңға 6 орынға, $2{,}03$ шығады. Нәтиже: $2{,}03\cdot 10^{-6}$, мәнді бөлігі $2{,}03$.

Жауабы: 1) $2{,}3\cdot 10^{10}$; $2{,}3$. 2) $3{,}043\cdot 10^{9}$; $3{,}043$. 3) $1{,}53\cdot 10^{8}$; $1{,}53$. 4) $1{,}2\cdot 10^{-6}$; $1{,}2$. 5) $6{,}0032\cdot 10^{7}$; $6{,}0032$. 6) $2{,}03\cdot 10^{-6}$; $2{,}03$.

№ 9.3

Сандарды 10 санының дәрежесі түрінде жазыңдар және оның мәнді бөлігін табыңдар: 1) $1000$; 2) $10,000,000$; 3) $0{,}00,001$; 4) $0{,}00,000,001$.

Қалай ойлаймыз. Бұл «дөңгелек» сандар: бір және нөлдер. Олардың мәнді бөлігі әрқашан $1$. Тек нөлдерді санаймыз.

Шешуі.

1. $1000 = 10^{3}$.
2. $10,000,000 = 10^{7}$ (жеті нөл).
3. $0{,}00001 = 10^{-5}$ (бір үтірден кейін бесінші орында тұр).
4. $0{,}00000001 = 10^{-8}$ (бір сегізінші орында тұр).

Жауабы: 1) $10^{3}$; 2) $10^{7}$; 3) $10^{-5}$; 4) $10^{-8}$. Барлық жағдайда мәнді бөлігі $1$-ге тең.

№ 9.4

Төмендегі сөйлемдерде кездесетін сандарды стандарт түрде жазыңдар: 1) түйреуіштің диаметрі $0{,}001$ м; 2) сутек атомының диаметрі $0{,}00,000,000,003$ м; 3) Дүниежүзілік мұхиттың жер бетінен алып жатқан ауданы $361,000,000$ км²; 4) Балқаш көлінің жер бетінен алып жатқан ауданы $22,000$ км²; 5) Каспий теңізінің жер бетінен алып жатқан ауданы $370,000$ км²; 6) компьютердің пернесін басқанда $0{,}1$ Дж энергия жұмсалады; 7) араның қанат қағысына жұмсалатын энергия $0{,}0009$ Дж; 8) сутек атомының массасы $0{,}000,000,000,000,000,000,000,167$ г; 9) Жердің массасы $6,000,000,000,000,000,000,000,000$ кг.

Қалай ойлаймыз. Тәсіл сол. Үлкен сандарда рет оң, кішілерде теріс. Рет үтірді неше орынға жылжытқанымызға тең.

Шешуі.

1. $0{,}001 = 1\cdot 10^{-3}$ м.
2. $0{,}00000000003 = 3\cdot 10^{-11}$ м (үтірді 11 орынға жылжытамыз).
3. $361,000,000 = 3{,}61\cdot 10^{8}$ км².
4. $22,000 = 2{,}2\cdot 10^{4}$ км².
5. $370,000 = 3{,}7\cdot 10^{5}$ км².
6. $0{,}1 = 1\cdot 10^{-1}$ Дж.
7. $0{,}0009 = 9\cdot 10^{-4}$ Дж.
8. $1{,}67\cdot 10^{-24}$ г.
9. $6\cdot 10^{24}$ кг.

Жауабы: 1) $10^{-3}$ м; 2) $3\cdot 10^{-11}$ м; 3) $3{,}61\cdot 10^{8}$ км²; 4) $2{,}2\cdot 10^{4}$ км²; 5) $3{,}7\cdot 10^{5}$ км²; 6) $10^{-1}$ Дж; 7) $9\cdot 10^{-4}$ Дж; 8) $1{,}67\cdot 10^{-24}$ г; 9) $6\cdot 10^{24}$ кг.

📕 Оқулықтағы 8-тармақта нөлдер саны сәл кем басылған көрінеді (басылған санды сөзбе-сөз оқысақ, $1{,}67\cdot 10^{-22}$ шығар еді). Сутек атомының нақты массасы $1{,}67\cdot 10^{-24}$ г, сондықтан жауапты осылай жаздық.

№ 9.5

Мәтінде кездесетін сандарды стандарт түрде жазыңдар: «Қазақстан жерінің аумағы $2,724,900$ км². Батыс, солтүстік-шығыс және солтүстігінде Ресей Федерациясымен (шекара ұзындығы $6467$ км), оңтүстігінде Орталық Азия республикаларымен, оның ішінде Өзбекстанмен ($2,300$ км), Қырғызстанмен ($980$ км) және Түрікменстанмен ($380$ км), ал оңтүстік-шығысында Қытай Халық Республикасымен шектеседі ($1460$ км). Қазақстан шекарасының жалпы ұзындығы $12,200$ км, оның ішінде $600$ км батыста Каспий теңізі арқылы өтеді. Теміржол торабының жалпы ұзындығы $14{,}5$ мың км, ал автомобиль жолдары $87{,}4$ мың км».

Қалай ойлаймыз. Он сан бар. Алдымен «мың км» деген бірлікті км-ге айналдырамыз: $14{,}5$ мың км $= 14,500$ км, $87{,}4$ мың км $= 87,400$ км. Содан кейін әрқайсысында үтір солға жылжиды, рет оң.

Шешуі. Аумағы: $2,724,900 = 2{,}7249\cdot 10^{6}$ км². Қалғандары:

• Ресей: $6467 = 6{,}467\cdot 10^{3}$ км;
• Өзбекстан: $2300 = 2{,}3\cdot 10^{3}$ км;
• Қырғызстан: $980 = 9{,}8\cdot 10^{2}$ км;
• Түрікменстан: $380 = 3{,}8\cdot 10^{2}$ км;
• Қытай: $1460 = 1{,}46\cdot 10^{3}$ км;
• шекараның барлығы: $12,200 = 1{,}22\cdot 10^{4}$ км;
• Каспий: $600 = 6\cdot 10^{2}$ км;
• теміржол: $14{,}5$ мың км $= 14,500 = 1{,}45\cdot 10^{4}$ км;
• автомобиль жолдары: $87{,}4$ мың км $= 87,400 = 8{,}74\cdot 10^{4}$ км.

Жауабы: $2{,}7249\cdot 10^{6}$; $6{,}467\cdot 10^{3}$; $2{,}3\cdot 10^{3}$; $9{,}8\cdot 10^{2}$; $3{,}8\cdot 10^{2}$; $1{,}46\cdot 10^{3}$; $1{,}22\cdot 10^{4}$; $6\cdot 10^{2}$; $1{,}45\cdot 10^{4}$; $8{,}74\cdot 10^{4}$.

№ 9.6

9.1-кестеде күн жүйесінің ғаламшарларынан Күнге дейінгі арақашықтықтар көрсетілген. Кестедегі бос орындарды толтырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Кестедегі деректердің бір бөлігі дайын. Бір жазудан екіншісіне ауыстыру керек. Қашықтықтар — анықтамалықтағы мәндер, дереккөзбен тексеріп көр.

Шешуі. $a\cdot 10^{n}$ санын ($n>0$) ондық жазуға ауыстыру үшін үтірді оңға $n$ орынға жылжытамыз. Кері бағытта — үтірді бір цифр қалғанша солға жылжытамыз.

Жауабы: жоғарыдағы кесте (Меркурий — $57,900,000$, Шолпан — $1{,}082\cdot 10^{8}$, Жер — $149,500,000$, Марс — $228,000,000$, Юпитер — $7{,}781\cdot 10^{8}$, Сатурн — $1{,}427\cdot 10^{9}$, Уран — $2{,}871\cdot 10^{9}$, Нептун — $4,497,000,000$).

№ 9.7

9.2-кестені толтырыңдар: берілген сандар $25609$; $0{,}003$; $0{,}00087$; $2,570,000$ және жартылай стандарт түрі, мәнді бөлігі мен реті. Әр жолдағы жетіспейтінді табу керек.

Қалай ойлаймыз. Әр жолда екі нәрсені білу жеткілікті: мәнді бөлік пен рет. Олардан стандарт түрі де, әдеттегі жазуы да құралады.

Шешуі.

• $25609 = 2{,}5609\cdot 10^{4}$: мәнді бөлігі $2{,}5609$, реті $4$.
• $0{,}003 = 3\cdot 10^{-3}$: мәнді бөлігі $3$, реті $-3$.
• Стандарт түрі $9{,}13\cdot 10^{5}$: саны $913,000$, реті $5$.
• Стандарт түрі $7{,}2\cdot 10^{-2}$: саны $0{,}072$, мәнді бөлігі $7{,}2$.
• Саны $0{,}00087$, мәнді бөлігі $8{,}7$: стандарт түрі $8{,}7\cdot 10^{-4}$, реті $-4$.
• Саны $2,570,000$, реті $6$: стандарт түрі $2{,}57\cdot 10^{6}$, мәнді бөлігі $2{,}57$.
• Мәнді бөлігі $6{,}41$, реті $-3$: стандарт түрі $6{,}41\cdot 10^{-3}$, саны $0{,}00641$.
• Мәнді бөлігі $1{,}5$, реті $4$: стандарт түрі $1{,}5\cdot 10^{4}$, саны $15,000$.

Жауабы: жоғарыдағы кесте.

№ 9.8

$x = 1{,}3\cdot 10^{6}$; $y = 2{,}4\cdot 10^{4}$; $z = 2\cdot 10^{-2}$ сандары берілген. Табыңдар: 1) $x+y$; 2) $z-y$; 3) $x\cdot y$; 4) $x:z$; 5) $y+z-x$; 6) $x\cdot y:z$.

Қалай ойлаймыз. Қосу және азайту үшін бірдей ретке келтіреміз, көбейту және бөлу үшін мәнді бөліктермен және реттермен бөлек жұмыс істейміз.

Шешуі.

1. $y = 0{,}024\cdot 10^{6}$, сонда $x+y = (1{,}3+0{,}024)\cdot 10^{6} = 1{,}324\cdot 10^{6}$.
2. $z - y = 0{,}02 - 24,000 = -23,999{,}98 = -2{,}399998\cdot 10^{4}$.
3. $x\cdot y = (1{,}3\cdot 2{,}4)\cdot 10^{6+4} = 3{,}12\cdot 10^{10}$.
4. $x : z = (1{,}3:2)\cdot 10^{6-(-2)} = 0{,}65\cdot 10^{8} = 6{,}5\cdot 10^{7}$.
5. $y + z - x = 24,000{,}02 - 1,300,000 = -1,275,999{,}98 = -1{,}27599998\cdot 10^{6}$.
6. $x\cdot y : z = 3{,}12\cdot 10^{10} : (2\cdot 10^{-2}) = 1{,}56\cdot 10^{12}$.

Жауабы: 1) $1{,}324\cdot 10^{6}$; 2) $-2{,}399998\cdot 10^{4}$; 3) $3{,}12\cdot 10^{10}$; 4) $6{,}5\cdot 10^{7}$; 5) $-1{,}27599998\cdot 10^{6}$; 6) $1{,}56\cdot 10^{12}$.

№ 9.9

$x = 6\cdot 10^{2}$; $y = 1{,}2\cdot 10^{4}$; $z = 1{,}2\cdot 10^{-2}$; $t = 2\cdot 10^{-3}$ сандары берілген. 1) $y$ және $z$; 2) $x$ және $y$; 3) $z$ және $t$ сандарын салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Реттеріне қараймыз. Мәнді бөліктері тең болса, рет шешеді. Реттері тең болса, мәнді бөлік шешеді. Әйтпесе бірдей ретке келтіреміз.

Шешуі.

1. Мәнді бөліктері тең ($1{,}2$), реттері $4$ және $-2$. Реті үлкені үлкен: $y > z$.
2. Реттері $2$ және $4$. $x = 0{,}06\cdot 10^{4}$ деп аламыз. Сонда $0{,}06 < 1{,}2$, демек $x < y$.
3. $t = 0{,}2\cdot 10^{-2}$ деп аламыз. Бірдей ретте $1{,}2$ және $0{,}2$ салыстырамыз: $z > t$.

Жауабы: 1) $y > z$; 2) $x < y$; 3) $z > t$.

№ 9.10

Жазуларды түсіндіріңдер: 1) $a = 4{,}7\pm 0{,}2$; 2) $a = 43{,}74\pm 0{,}05$; 3) $a = -3{,}45\pm 0{,}15$; 4) $0{,}97\pm 0{,}01$.

Қалай ойлаймыз. $x_1 \pm h$ жазуы мынаны білдіреді: жуық мән $x_1$, ал нақты сан одан $h$-тан артық айырмашылықта емес.

Шешуі.

1. Жуық мәні $4{,}7$, қателігі $0{,}2$-ден аспайды: $4{,}5 \le a \le 4{,}9$.
2. Жуық мәні $43{,}74$, дәлдігі $0{,}05$: $43{,}69 \le a \le 43{,}79$.
3. Жуық мәні $-3{,}45$, дәлдігі $0{,}15$: $-3{,}6 \le a \le -3{,}3$.
4. Сан $0{,}97$ шамасында, дәлдігі $0{,}01$: ол $0{,}96$ мен $0{,}98$ аралығында жатыр.

Жауабы: 1) $4{,}5$-тен $4{,}9$-ға дейін; 2) $43{,}69$-дан $43{,}79$-ға дейін; 3) $-3{,}6$-дан $-3{,}3$-ке дейін; 4) $0{,}96$-дан $0{,}98$-ге дейін.

№ 9.11

Берілген теңдіктерді қостеңсіздік түрінде жазыңдар: 1) $x = 43{,}32\pm 0{,}05$; 2) $x = -513{,}2\pm 0{,}05$; 3) $x = 433\pm 0{,}1$.

Қалай ойлаймыз. Жуық мәннен қателікті азайтамыз және оны қосамыз.

Шешуі.

1. $43{,}32 - 0{,}05 = 43{,}27$ және $43{,}32 + 0{,}05 = 43{,}37$.
2. $-513{,}2 - 0{,}05 = -513{,}25$ және $-513{,}2 + 0{,}05 = -513{,}15$.
3. $433 - 0{,}1 = 432{,}9$ және $433 + 0{,}1 = 433{,}1$.

Жауабы: 1) $43{,}27 \le x \le 43{,}37$; 2) $-513{,}25 \le x \le -513{,}15$; 3) $432{,}9 \le x \le 433{,}1$.

№ 9.12

Барлық цифрлары дұрыс $x$ санының жуық мәнінің дәлдігін табыңдар: 1) $x\approx 2{,}74$; 2) $x \approx 35{,}274$; 3) $x\approx -4{,}004$; 4) $x\approx 0{,}740$.

Қалай ойлаймыз. Барлық цифр дұрыс болса, қателік соңғы разряд бірлігінен аспайды. Соңғы цифр қай орында тұрғанына қараймыз. Соңындағы нөл де есепке кіреді: $0{,}740$ мыңдыққа дейін жазылған.

Шешуі.

1. Соңғы цифр жүздікте: $\Delta \le 0{,}01$.
2. Соңғы цифр мыңдықта: $\Delta \le 0{,}001$.
3. Сол сияқты мыңдық: $\Delta \le 0{,}001$.
4. Соңындағы нөл сақталған, демек, мыңдыққа дейінгі дәлдік: $\Delta \le 0{,}001$.

Жауабы: 1) $0{,}01$; 2) $0{,}001$; 3) $0{,}001$; 4) $0{,}001$.

№ 9.13

Санды: 1) $12{,}4$ бірлікке; 2) $5{,}65$ ондық үлеске; 3) $876$ ондыққа; 4) $733{,}46$ мыңдыққа дейін дөңгелектеу нәтижесінен шыққан жуық мәннің абсолюттік және салыстырмалы қателіктерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен ереже бойынша дөңгелектейміз. Абсолюттік қателік — нақты және дөңгелектелген мәндер айырмасының модулі. Салыстырмалы қателік — оның дөңгелектелген мәнге қатынасы.

Шешуі.

1. $12{,}4 \approx 12$ (бірінші алынып тасталған цифр 4). $\Delta = |12{,}4 - 12| = 0{,}4$. $\varepsilon = \frac{0{,}4}{12} = \frac{1}{30} \approx 3{,}3%$.
2. $5{,}65 \approx 5{,}7$ (алынып тасталған цифр 5, жоғары қарай дөңгелектейміз). $\Delta = |5{,}65 - 5{,}7| = 0{,}05$. $\varepsilon = \frac{0{,}05}{5{,}7} \approx 0{,}0088 \approx 0{,}88%$.
3. $876 \approx 880$. $\Delta = 4$. $\varepsilon = \frac{4}{880} = \frac{1}{220} \approx 0{,}45%$.
4. $733{,}46 \approx 1000$ (жүздіктегі алынып тасталған цифр 7). $\Delta = 1000 - 733{,}46 = 266{,}54$. $\varepsilon = \frac{266{,}54}{1000} \approx 26{,}7%$.

Жауабы: 1) $\Delta = 0{,}4$; $\varepsilon \approx 3{,}3%$. 2) $0{,}05$; $\approx 0{,}88%$. 3) $4$; $\approx 0{,}45%$. 4) $266{,}54$; $\approx 26{,}7%$.

B деңгейі

№ 9.14

1) Массаларды стандарт түрде тоннамен жазыңдар: мұхиттардың массасы $1,450,000,000,000,000,000,000$ кг; Жердің массасы $5,980,000,000,000,000,000,000,000$ кг. 2) Аудандарды гектармен стандарт түрде жазыңдар: Күн бетінің ауданы $6,000,000,000,000$ км²; Жер бетінің ауданы $510,200,000$ км²; Ай бетінің ауданы $38,000,000$ км².

Қалай ойлаймыз. Алдымен бірліктерді ауыстырамыз, содан кейін стандарт түрін жазамыз. $1$ т — $1000$ кг, яғни $10^{3}$ кг. $1$ км² — $100$ га, яғни $10^{2}$ га.

Шешуі.

1. Мұхиттар: $1,450,000,000,000,000,000,000 = 1{,}45\cdot 10^{21}$ кг. $10^{3}$-ке бөлеміз: $1{,}45\cdot 10^{18}$ т. Жер: $5{,}98\cdot 10^{24}$ кг $= 5{,}98\cdot 10^{21}$ т.
2. Күн: $6\cdot 10^{12}$ км². $10^{2}$-ге көбейтеміз: $6\cdot 10^{14}$ га. Жер: $5{,}102\cdot 10^{8}$ км² $= 5{,}102\cdot 10^{10}$ га. Ай: $3{,}8\cdot 10^{7}$ км² $= 3{,}8\cdot 10^{9}$ га.

Жауабы: 1) $1{,}45\cdot 10^{18}$ т; $5{,}98\cdot 10^{21}$ т. 2) $6\cdot 10^{14}$ га; $5{,}102\cdot 10^{10}$ га; $3{,}8\cdot 10^{9}$ га.

№ 9.15

Өрнектеңдер: 1) $2{,}7\cdot 10^{4}$ тоннаны граммен; 2) $8{,}321\cdot 10^{5}$ килограмды тоннамен; 3) $1{,}3\cdot 10^{-3}$ тоннаны килограммен; 4) $5{,}36\cdot 10^{13}$ грамды миллиграммен; 5) $5{,}23\cdot 10^{12}$ дециметрді километрмен; 6) $4{,}31\cdot 10^{5}$ сантиметрді метрмен; 7) $1{,}32\cdot 10^{5}$ километрді метрмен; 8) $2{,}51\cdot 10^{7}$ миллиметрді сантиметрмен.

Қалай ойлаймыз. Жаңа бірліктің қаншалықты үлкен немесе кіші екенін жазып аламыз: 1 т $= 10^{6}$ г, 1 т $= 10^{3}$ кг, 1 г $= 10^{3}$ мг, 1 км $= 10^{4}$ дм, 1 м $= 10^{2}$ см, 1 км $= 10^{3}$ м, 1 см $= 10$ мм. Бірлік ұсағырақ болса, көрсеткіш артады, ірілеу болса — азаяды.

Шешуі.

1. $2{,}7\cdot 10^{4}\cdot 10^{6} = 2{,}7\cdot 10^{10}$ г.
2. $8{,}321\cdot 10^{5} : 10^{3} = 8{,}321\cdot 10^{2}$ т.
3. $1{,}3\cdot 10^{-3}\cdot 10^{3} = 1{,}3$ кг.
4. $5{,}36\cdot 10^{13}\cdot 10^{3} = 5{,}36\cdot 10^{16}$ мг.
5. $5{,}23\cdot 10^{12} : 10^{4} = 5{,}23\cdot 10^{8}$ км. ($1$ км-де $10,000$ дм бар.)
6. $4{,}31\cdot 10^{5} : 10^{2} = 4{,}31\cdot 10^{3}$ м.
7. $1{,}32\cdot 10^{5}\cdot 10^{3} = 1{,}32\cdot 10^{8}$ м.
8. $2{,}51\cdot 10^{7} : 10 = 2{,}51\cdot 10^{6}$ см.

Жауабы: 1) $2{,}7\cdot 10^{10}$ г; 2) $8{,}321\cdot 10^{2}$ т; 3) $1{,}3$ кг; 4) $5{,}36\cdot 10^{16}$ мг; 5) $5{,}23\cdot 10^{8}$ км; 6) $4{,}31\cdot 10^{3}$ м; 7) $1{,}32\cdot 10^{8}$ м; 8) $2{,}51\cdot 10^{6}$ см.

№ 9.16

$x = 9\cdot 10^{3}$; $y = 1{,}2\cdot 10^{5}$; $z = 6\cdot 10^{-2}$; $t = 3\cdot 10^{-4}$. 1) $x$ және $(y+z)$; 2) $y$ және $(x:t)$; 3) $(x:z)$ және $(y\cdot t)$ сандарын салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен әр өрнектің мәнін есептейміз, содан кейін салыстырамыз.

Шешуі.

1. $y + z = 120,000 + 0{,}06 = 120,000{,}06 \approx 1{,}2\cdot 10^{5}$, ал $x = 9000 = 0{,}09\cdot 10^{5}$. Демек, $x < y + z$.
2. $x : t = (9:3)\cdot 10^{3-(-4)} = 3\cdot 10^{7}$. $y = 1{,}2\cdot 10^{5}$ санымен салыстырамыз: рет $7$ саны $5$-тен үлкен, сондықтан $y < x : t$.
3. $x : z = (9:6)\cdot 10^{3+2} = 1{,}5\cdot 10^{5}$. $y\cdot t = 1{,}2\cdot 3\cdot 10^{5-4} = 3{,}6\cdot 10^{1} = 36$. Онда $x : z > y\cdot t$.

Жауабы: 1) $x < y+z$; 2) $y < x:t$; 3) $x:z > y\cdot t$.

C деңгейі

Мұнда есептер қиынырақ, бірақ қажеттінің бәрін сен білесің. Әрекет жасаудың өзі де есепке алынады!

№ 9.17

Жер диаметрінің ұзындығы $1{,}2756\cdot 10^{7}$ м, атом ядросы диаметрінің ұзындығы $5\cdot 10^{-15}$ м. Жер диаметрінің ұзындығы атом ядросы диаметрінің ұзындығынан неше есе үлкен екенін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Неше есе үлкен» — бұл бөлу.

Шешуі. Жоғарыдағы қадамдарды қара.

Жауабы: $2{,}5512\cdot 10^{21}$ есе.

№ 9.18

Жердің массасы $5{,}98\cdot 10^{24}$ кг, ал Юпитердің массасы $1{,}90\cdot 10^{27}$ кг. Жердің массасы мен Юпитердің массасының қайсысы үлкен және неше есе үлкен?

Қалай ойлаймыз. Юпитердің реті 3-ке артық, демек, ол ауыр. «Неше есе» деген сұраққа жауап беру үшін үлкен массаны кішіге бөлеміз.

Шешуі. $(1{,}90\cdot 10^{27}) : (5{,}98\cdot 10^{24}) = (1{,}90 : 5{,}98)\cdot 10^{3} \approx 0{,}3177\cdot 10^{3} \approx 318$.

Жауабы: Юпитердің массасы үлкен, шамамен $318$ есе ($\approx 3{,}18\cdot 10^{2}$).

№ 9.19

Өрнектердің мәнін стандарт түрде жазыңдар: 1) $(7{,}5\cdot 10^{4})\cdot(2{,}4\cdot 10^{-1})$; 2) $(4{,}3\cdot 10^{4})\cdot(3{,}7\cdot 10^{-3})$; 3) $(3{,}4\cdot 10^{4})\cdot(5{,}4\cdot 10^{-2})^{2}$; 4) $(5{,}5\cdot 10^{-3})\cdot(2{,}4\cdot 10^{2})^{3}$.

Қалай ойлаймыз. Мәнді бөліктерін көбейтеміз, реттерін қосамыз. Дәрежеге шығаруды екі бөлікке де қолданамыз: $(a\cdot 10^{n})^{k} = a^{k}\cdot 10^{nk}$. Соңында стандарт түрге қайтарамыз.

Шешуі.

1. $7{,}5\cdot 2{,}4 = 18$; рет $4 + (-1) = 3$. $18\cdot 10^{3} = 1{,}8\cdot 10^{4}$.
2. $4{,}3\cdot 3{,}7 = 15{,}91$; рет $4 + (-3) = 1$. $15{,}91\cdot 10^{1} = 1{,}591\cdot 10^{2}$.
3. $(5{,}4\cdot 10^{-2})^{2} = 29{,}16\cdot 10^{-4}$. Көбейтеміз: $3{,}4\cdot 29{,}16 = 99{,}144$; рет $4 + (-4) = 0$. $99{,}144 = 9{,}9144\cdot 10^{1}$.
4. $(2{,}4\cdot 10^{2})^{3} = 13{,}824\cdot 10^{6}$. Көбейтеміз: $5{,}5\cdot 13{,}824 = 76{,}032$; рет $-3 + 6 = 3$. $76{,}032\cdot 10^{3} = 7{,}6032\cdot 10^{4}$.

Жауабы: 1) $1{,}8\cdot 10^{4}$; 2) $1{,}591\cdot 10^{2}$; 3) $9{,}9144\cdot 10^{1}$; 4) $7{,}6032\cdot 10^{4}$.

№ 9.20

$x = a\cdot 10^{n}$ түрінде жазылған $x$ жуық мәнінің салыстырмалы қателігін табыңдар: 1) $x\approx 34{,}58\cdot 10^{8}$; 2) $x\approx 5{,}93\cdot 10^{7}$; 3) $x\approx 2{,}75\cdot 10^{-5}$; 4) $x\approx 11{,}55\cdot 10^{0}$; 5) $x\approx 25{,}18\cdot 10^{-9}$; 6) $x\approx 0{,}086\cdot 10^{-8}$.

Қалай ойлаймыз. Мәнді бөліктің барлық цифры дұрыс, сондықтан $h$ — $a$ санының соңғы разрядының бірлігі. Бөлшектегі $10^{n}$ көбейткіші қысқарады: $\varepsilon \le \frac{h}{a}$.

Шешуі.

1. $h = 0{,}01$: $\varepsilon \le \frac{0{,}01}{34{,}58} \approx 0{,}00029 \approx 0{,}029%$.
2. $\frac{0{,}01}{5{,}93} \approx 0{,}0017 \approx 0{,}17%$.
3. $\frac{0{,}01}{2{,}75} \approx 0{,}0036 \approx 0{,}36%$.
4. $\frac{0{,}01}{11{,}55} \approx 0{,}00087 \approx 0{,}087%$.
5. $\frac{0{,}01}{25{,}18} \approx 0{,}0004 \approx 0{,}040%$.
6. $h = 0{,}001$ (соңғы цифр мыңдықта): $\frac{0{,}001}{0{,}086} \approx 0{,}0116 \approx 1{,}16%$.

Жауабы: 1) $\approx 0{,}029%$; 2) $\approx 0{,}17%$; 3) $\approx 0{,}36%$; 4) $\approx 0{,}087%$; 5) $\approx 0{,}040%$; 6) $\approx 1{,}16%$.

Келесі тақырыпқа дайындаламыз

Бұл екі тапсырма өрнектер мен нөлдік дәреже туралы. Олар келесі бөлімде, бірмүшелер мен көпмүшелер басталғанда керек болады.

№ 9.21

Өрнек болатын жазуларды көрсетіңдер: 1) $728 + 327$; 2) $728+327$; $7a+2b$; 3) $728+327$; $7a+2b$; $126$; 4) $728+327$; $7a+2b$; $126$; $152<200$.

Қалай ойлаймыз. Өрнек — амал белгілерімен біріктірілген сандар мен әріптер. Жалғыз сан да өрнек. Ал теңсіздік — салыстыру, ол өрнек емес.

Шешуі. $728 + 327$ — өрнек. $7a + 2b$ — өрнек (әріптері бар). $126$ — өрнек (жалғыз сан). $152 < 200$ — теңсіздік, өйткені онда салыстыру белгісі бар. Демек, теңсіздігі жоқ тек өрнектер тұрған нұсқа дұрыс: үшіншісі.

Жауабы: 3) нұсқа.

№ 9.22

Өрнектің мәнін есептеңдер: 1) $(327\cdot 14 - 4577)\cdot 11^{0}$; 2) $(32\cdot 74 - 45\cdot 52) : 14\cdot (-3)^{0}$.

Қалай ойлаймыз. Нөлден өзге кез келген санның нөлінші дәрежесі $1$-ге тең. Сондықтан $11^{0} = 1$ және $(-3)^{0} = 1$.

Шешуі.

1. $327\cdot 14 = 4578$; $4578 - 4577 = 1$; $1\cdot 11^{0} = 1\cdot 1 = 1$.
2. $32\cdot 74 = 2368$; $45\cdot 52 = 2340$; $2368 - 2340 = 28$; $28 : 14 = 2$; $2\cdot (-3)^{0} = 2\cdot 1 = 2$.

Жауабы: 1) $1$; 2) $2$.

Жадынама

• Үлкен оң рет — сан алып, үлкен теріс рет — сан өте кішкентай.
• Дөңгелектеу: бірінші алынып тасталған цифр 5 және одан артық болса — жоғары, 5-тен кіші болса — төмен.
• Дөңгелектегенде қателік қалдырылған ең кіші разрядтың бірлігінен аспайды.
• $a\cdot 10^{n}$ санында $a$-ның барлық цифры ақиқат деп саналады.

Шағын тест