§ 11. Дұрыс және дұрыс емес пішінді денелердің көлемін өлшеу
Физика, 7 сынып. Оқулық: Кронгарт Б.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 4 тарау: Тығыздық. 64–68-беттер.
Нені үйренесің
- Көлем мен сыйымдылықтың не екенін түсіндіруді және көлем бірліктерін атауды.
- Құралдың шкаласын оқуды және бөлік құнын табуды.
- Мензурканың көмегімен сұйықтың және қатты дененің көлемін өлшеуді.
- Текше мен тікбұрышты параллелепипедтің (білеудің) көлемін сызықтық өлшемдері бойынша есептеуді.
- Өлшеу нәтижесін қателігімен бірге жазуды.
Ой қозғау
- Ұзындықты немен, ал уақытты немен өлшейді? Ұзындықты сызғышпен немесе рулеткамен, уақытты сағатпен немесе секундомермен. Әр шамаға өз құралы бар.
- Физикалық шама дегеніміз не? Дененің немесе құбылыстың өлшеуге болатын және санмен, өлшем бірлігімен өрнектелетін қасиеті: ұзындық, масса, уақыт.
- 3 × 2 × 2 білеуде неше текше бар? $3\cdot2\cdot2=12$ текше: бұл — осындай білеудің «текшелермен» өлшенген көлемі.
- Не көбірек сияды: стақан ба, әлде бөтелке ме? Бөтелке. Оның ішкі көлемі (сыйымдылығы) үлкенірек.
Тақырыпты талдаймыз
Өлшеуіш құралдар және шкала
Физика табиғатты бақылап қана қоймайды, өлшейді де. Шаманы өлшеу үшін өлшеуіш құрал керек. Ол шаманың мәнін белгілі бір диапазонда көрсетеді. Кез келген құрал белгілі бір дәлдікпен өлшейді: абсолютті дәл өлшейтін құрал жоқ.
Құралдың шкаласы болады. Оның элементтері:
- шкала штрихы — шаманың кейбір мәндеріне сәйкес келетін шкаладағы белгілер (сызықша, нүкте т.б.);
- цифрланған штрих — сандар қойылған шкала белгілері;
- нөлдік белгі — өлшенетін шаманың нөлдік мәніне сәйкес келетін шкала белгісі;
- шкаланың бөлігі — шкаланың екі іргелес белгісі арасындағы аралық;
- бөлік құны — шкаланың екі іргелес белгісіне сәйкес келетін шама мәндерінің айырымы.
📌 Бөлік құны = (үлкен цифрланған штрихтың мәні − кіші штрихтың мәні) : (олардың арасындағы бөліктер саны).
Мензурканың бөлік құнын қалай табамыз
Мензурка (өлшеуіш цилиндр) — сұйықтың көлемін өлшейтін шкаласы бар ыдыс. Іргелес екі цифрланған белгіге қараймыз, мысалы, 80 және 90 мл. Олардың арасында 10 бөлік бар.
$\text{Б.Қ.}=\frac{90-80}{10}=1,\text{мл}$
Егер су 70-тен 2 бөлік жоғары штрихқа жетсе, онда көлем $V=72,\text{мл}$. Өлшеу қателігін бөлік құнының жартысына тең етіп алады: $\Delta V=\frac{1}{2}=0{,}5,\text{мл}$. Нәтижені былай жазады:
$V=(72\pm0{,}5),\text{мл}$
⚠️ Жиі кететін қате. Бөлік құнын «көзбен шамалап» алу немесе оның орнына цифрланған штрихтар арасындағы айырымды алу. Бөлік құны — іргелес штрихтар арасындағы айырым, ал жазылған сандар арасындағы емес. Бөліктер санына бөлуді ұмытпа.
Көлем дегеніміз не
Көлем — дене немесе зат алатын кеңістіктің сандық сипаттамасы. Онымен сыйымдылық тығыз байланысты: ыдыстың, қораптың, контейнердің ішкі кеңістігінің көлемі. Көлемнің негізгі қасиеті — аддитивтілік: кез келген дененің көлемі оның бөліктері көлемінің қосындысына тең.
Көлемді $V$ әрпімен белгілейді (лат. volume — көлем, толтыру).
| Шама | Белгіленуі | ХБЖ бірлігі |
|---|---|---|
| Көлем | $V$ | метр куб, $\text{м}^3$ |
Одан туынды бірліктер жасалады:
| Бірлік | Ол не | Неге тең |
|---|---|---|
| 1 см³ | кубтық сантиметр | = 1 мл |
| 1 дм³ | кубтық дециметр | = 1 л (литр) = 1000 см³ |
| 1 м³ | метр куб | = 1000 л = $10^{6},\text{см}^3$ |
⚠️ Жиі кететін қате. 1 см³ мен 1 л-ді шатастыру. Литрлік банкаға 1000 см³ су сияды, ал 1 см³ емес. Бір кубтық сантиметр — шамамен бір кесек қант сияқты көлем.
Әртүрлі елдерде сұйық және сусымалы заттар үшін жүйеден тыс көлем бірліктері де қолданылады: галлон, баррель және т.б. Мұнайды, мысалы, әлі күнге дейін баррельмен өлшейді.
Дұрыс пішінді дененің көлемі
Егер дене дұрыс пішінді болса, оның көлемін формула бойынша есептейді. Сызғышпен ұзындығын, енін және биіктігін өлшеу керек.
| Дене пішіні | Формула | Белгіленуі |
|---|---|---|
| Текше | $V=a^{3}$ | $a$ — текшенің қыры |
| Тікбұрышты параллелепипед (білеу) | $V=abc$ | $a$, $b$, $c$ — ұзындығы, ені, биіктігі |
📌 Барлық өлшемдер сантиметрмен өлшенсе, көлем $\text{см}^3$-пен, метрмен өлшенсе, $\text{м}^3$-пен шығады. Бірліктерді араластырма!
2-мысал. Кірпіштің көлемі
Кірпіштің өлшемдері 25 см × 12 см × 6,5 см. Оның көлемін тап.
| Берілгені | Табу керек |
|---|---|
| $a=25,\text{см}$ | $V$ |
| $b=12,\text{см}$ | |
| $c=6{,}5,\text{см}$ |
Шешуі. $V=abc=25\cdot12\cdot6{,}5,\text{см}^3=300\cdot6{,}5,\text{см}^3=1950,\text{см}^3$.
Жауабы: $V=1950,\text{см}^3$ (екі литрге жуық).
Дұрыс емес пішінді дененің көлемі: мензурка
Тас, сомын немесе кілт кубикке ұқсамайды. Онда көлемді былай табады:
- Мензуркаға аздап су құйып, оның көлемін $V_1$ анықтайды.
- Денені (жіпке байлап) су астына толық батырады. Су көтеріледі. Жаңа көлемді $V_2$ анықтайды.
- Дененің көлемі айырымға тең: $V=V_2-V_1$.
Деңгей 50-ден 80 мл-ге көтерілді. Демек, тастың көлемі $80-50=30$ мл $=30,\text{см}^3$.
Тағы бір тәсіл: масса және тығыздық арқылы
Көлемді басқаша да табуға болады: денені өлшеп, заттың кестедегі тығыздығын $\rho$ пайдалану керек: $V=\frac{m}{\rho}$. Тығыздық дегеніміз не екенін келесі сабақта білесің.
🌟 Аңызға қарағанда, Архимед осылай істеген: тәжді суға батырып, ығысқан судың көлемі арқылы оның таза алтыннан жасалған-жасалмағанын түсінген. Мензурка да дәл сол принциппен жұмыс істейді.
👨👩👧 Ата-анаға. Әр ас үйде өлшегіш стақан бар. Баламен бірге картоптың немесе қасықтың көлемін табып көріңіздер: суды белгіге дейін құйып, затты салып, су қаншаға көтерілгенін қараңыздар. Зат тар стақанда батып кетпесін немесе жүзіп кетпесін, соған көз салыңыздар.
Түсінгеніңді тексер
Өзіңді тексер
- Физикалық шама дегеніміз не? Денелердің немесе құбылыстардың өлшеуге болатын және санмен, өлшем бірлігімен өрнектелетін қасиеті, мысалы, ұзындық, масса, көлем, уақыт.
- Физикалық шаманы өлшеу деген нені білдіреді? Оны бірлікпен (эталонмен) салыстырып, бірліктің онда неше рет сыятынын білу, әдетте құралдың көмегімен.
- Құралдың шкаласы дегеніміз не және шкаланың негізгі элементтерін ата. Шкала — көрсеткіштерді оқуға арналған сандары бар штрихтар қатары. Элементтері: штрих, цифрланған штрих, нөлдік белгі, шкаланың бөлігі, бөлік құны.
- Шкаланың бөлік құнын қалай анықтайды? Іргелес екі цифрланған штрихты алып, үлкен мәннен кішісін алып тастап, олардың арасындағы бөліктер санына бөлу керек.
- Дененің немесе сұйықтың көлемі деген не? Дененің немесе сұйықтың алатын кеңістігінің өлшемі; ХБЖ-дегі бірлігі — $\text{м}^3$.
- Дененің көлемін қалай есептейді? Дұрыс пішінді денелер (текше, білеу) үшін сызғышпен өлшеп алып, формула бойынша: $V=a^3$ немесе $V=abc$. Дұрыс емес пішінді денелер үшін мензуркамен: $V=V_2-V_1$. Сондай-ақ $V=\frac{m}{\rho}$ деп те есептеуге болады.
Жаттығуларды шығарамыз
Тәжірибе жасаңдар
№ 1
«Тәжірибе жасаңдар», 1-тапсырма. Мензуркаға су құйып, оны өлше. Екі күннен кейін мензуркадағы судың көлемін қайтадан өлшеп, алдыңғы көрсеткішпен салыстыр. Тәжірибенің нәтижесін түсіндір.
Қалай ойлаймыз. Су бірнеше күн ашық тұрса, әсіресе жылы бөлмеде, онымен не болады?
Шешуі. Үйде өлшегіш шыныаяқ, дәрі мензуркасы немесе шкаласы салынған мөлдір бөтелке жарайды; айталық, 100 мл су құйып, деңгейін маркермен белгіле. Екі күннен кейін деңгей төмен болады, мысалы: 100 мл → 97 мл. Су буланды: беткі қабаттағы молекулалары ауаға ұшып кетті. Бөлме неғұрлым жылы әрі құрғақ болса, соғұрлым кемиді.
Тағы бір пайдалы кеңес: өлшегенде көзің судың деңгейімен тең болсын (әйтпесе көрсеткіш «ауытқып» кетеді), ал өлшегіш ыдыс тегіс тұрсын.
Жауабы: судың көлемі азайды, себебі судың бір бөлігі буланып кетті (нәтиже температура мен ылғалдылыққа байланысты).
№ 2
«Тәжірибе жасаңдар», 2-тапсырма. QR-код арқылы бейнематериалдың көмегімен стақандағы суға салынған дененің көлемін қалай анықтауға болады?
Қалай ойлаймыз. Дене суға батқанда оның орнына су көтеріледі: денемен бірдей көлемдегі су «орын босатады». Көтерілген судың көлемін өлшеу керек.
Шешуі. Стақанда шкала болмаса, былай істейміз:
- Стақанға су құйып, деңгейін маркермен белгілейміз (немесе мензуркамен өлшеп, $V_1$ деп жазамыз).
- Денені жіпке байлап, суға толық батырамыз да, су деңгейінің жаңа белгісін қоямыз.
- Денені алып, судың деңгейі екінші белгіге жеткенше мензуркамен су құямыз. Құйылған судың көлемі — дененің көлемі.
Шкаласы бар мензурка болса, одан да оңай: $V=V_2-V_1$.
Жауабы: денені суға батырып, судың деңгейі қаншаға көтерілгенін өлшейміз; көтерілген судың көлемі дененің көлеміне тең.
Талдаңдар
№ 3
«Талдаңдар», 1-тапсырма. Дұрыс тұжырымды таңда: 1) бір литрлік ыдысқа 1 см³ су сыяды; 2) қарбыздың массасын литрмен өлшеуге болмайды; 3) шелектегі сұйықтың көлемі килограммен өлшенеді; 4) әуе шарының көлемін литрмен өлшеуге болады.
Қалай ойлаймыз. Литр — көлем бірлігі (1 л = 1000 см³). Килограмм — масса бірлігі. Шаманы оның бірлігімен сәйкестендір.
Шешуі.
- Қате: бір литрлік ыдысқа 1 л = 1000 см³ сияды, ал 1 см³ емес.
- Дұрыс: қарбыздың массасы бар (кг), ал литр — көлем бірлігі.
- Қате: көлемді литрмен немесе м³-пен өлшейді, ал килограмм — масса бірлігі.
- Дұрыс: шардың көлемін литрмен өлшеуге болады.
Жауабы: дұрыс тұжырымдар — 2) және 4).
№ 4
«Талдаңдар», 2-тапсырма. 11.3-суреттегі өлшеуіш цилиндрлердің қайсысымен көлемді дәлірек анықтауға болады? Неге?
Қалай ойлаймыз. Бөліктер неғұрлым ұсақ болса, өлшеу соғұрлым дәл: өлшеу қателігі бөлік құнының жартысына тең.
Шешуі. Суретте шкаласы 400 мл-ге дейінгі үш мензурка бар: біріншісінде бөліктер ең ірі (50 мл-ден), екіншісінде орташа (20 мл-ден), үшіншісінде, қызғылт түстісінде, штрихтар ең жиі (10 мл-ден). Үшінші мензурканың бөлік құны ең аз, сондықтан қателігі де ең аз, мысалы: $\Delta V=\frac{10}{2}=5,\text{мл}$, ал біріншісінде $\Delta V=\frac{50}{2}=25,\text{мл}$.
Жауабы: ең дәл өлшейтіні — үшінші мензурка (штрихтары ең жиі), өйткені оның бөлік құны ең аз.
№ 5
«Талдаңдар», 3-тапсырма. Судың ішіндегі дененің көлемін тап (11.4-сурет).
Қалай ойлаймыз. Дене суды ығыстырады, сөйтіп деңгей көтеріледі. Қаншаға көтерілсе, дененің көлемі де соншаға тең.
Шешуі. Жазылған белгілер бойынша оқимыз. Батырғанға дейін су 50 мл деңгейінде тұр ($V_1=50$ мл), батырғаннан кейін 80 мл деңгейінде ($V_2=80$ мл).
$V=V_2-V_1=80,\text{мл}-50,\text{мл}=30,\text{мл}=30,\text{см}^3$.
Жауабы: $V=30,\text{мл}=30,\text{см}^3$.
№ 6
«Талдаңдар», 4-тапсырма. 11.5-суреттегі өлшеуіш құралдардың көмегімен қатар жатқан денелердің көлемін қалай анықтауға болатынын айтып бер.
Қалай ойлаймыз. Суретте сызғыш, рулетка, ағаш білеу, металл цилиндр (гир), пішіні дұрыс емес тас, су құйылған колба және мензурка бар. Құралды дененің пішініне қарай таңда.
Шешуі.
- Білеу (дұрыс пішінді): сызғышпен ұзындығын, енін және биіктігін өлшеп, $V=abc$ деп есептейміз.
- Тас (дұрыс емес пішінді): мензуркаға су құямыз, $V_1$ жазамыз, тасты жіпке байлап батырамыз, $V_2$ жазамыз, $V=V_2-V_1$ табамыз.
- Гир-цилиндр: ол суға батады, сондықтан оның көлемін де тас сияқты мензуркамен табамыз (немесе цилиндр деп алып, сызғышпен). Мензуркаға суды колбадан құямыз.
- Рулетка үлкен денелерге немесе иілген беттерге керек, сызғыш жетпейтін жерде.
Жауабы: дұрыс пішінді денелерді (білеу) сызғышпен өлшеп, формула бойынша есептейді; дұрыс емес пішінді денелерді (тас, гир) суы бар мензуркаға батырып, $V=V_2-V_1$ деп есептейді.
№ 7
«Талдаңдар», 5-тапсырма. Сызғыштың көмегімен «Физика» 7-сынып оқулығының және осы оқулықтағы бір беттің көлемін есепте.
Қалай ойлаймыз. Оқулық — білеуге жуық: $V=abc$. Бір бет те білеу, тек өте жұқа. Оның қалыңдығын сызғышпен өлшеу мүмкін емес, сондықтан «кітаптың көлемін беттер санына бөлу» арқылы табады.
Шешуі. Типтік сандармен мысал (сенде өз сандарың болады).
- Өлшейміз: ұзындығы $a=22,\text{см}$, ені $b=17,\text{см}$, қалыңдығы $c=1{,}5,\text{см}$.
- Оқулықтың көлемі: $V=abc=22\cdot17\cdot1{,}5,\text{см}^3=561,\text{см}^3$.
- Беттерді санаймыз: айталық, кітапта 224 бет бар.
- Бір беттің көлемі: $\frac{561,\text{см}^3}{224}\approx2{,}5,\text{см}^3$.
⚠️ Бұл көлем мұқабасымен бірге алынған, сондықтан бір бет шын мәнінде болғанынан «қалың» шығады. Мұқабаны алып тастасақ (мұқаба шамамен 0,2 см), бір бет шамамен $2{,}2,\text{см}^3$ болады.
Жауабы: кітаптың көлемі шамамен 561 см³ (сенде өзгеше), бір беттің көлемі шамамен 2,5 см³ — яғни жалпы көлемді беттер санына бөледі.
Жадынама
- Ыдыстың сыйымдылығы — оның ішкі кеңістігінің көлемі.
- Дененің көлемі оның бөліктері көлемінің қосындысына тең (аддитивтілік).
- Шкаланы көзіңді сұйықтың деңгейімен тең ұстап оқы, еңкеймей.
- Көлем формуласындағы ұзындық бірліктері бірдей болуы керек.