§ 37. Иінтіректің тепе-теңдік шарты

Физика, 7 сынып. Оқулық: Кронгарт Б.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 9 тарау: Күш моменті. 183–190-беттер.

Нені үйренесің

• Иінтірек, күш иіні және күш моменті деген не екенін түсіндіруді.
• Иінтіректің тепе-теңдік ережесін айтып, формуламен жазуды.
• Иінтіректен, блоктан және көлбеу жазықтықтан күштен қанша есе ұтатыныңды есептеуді.
• Жылжымайтын блоктың жылжымалы блоктан айырмашылығын түсіндіруді.
• Иінтірек пен блоктың тепе-теңдігіне есептер шығаруды.

Ой қозғау

• Банканың қатты қақпағын қалай ашу оңай: саусақпен бе, әлде қасықты қақпақтың астына сұғып алып па? Қасықпен. Қасық иінтірек сияқты жұмыс істеп, қолдың күшін арттырады.
• Есіктің тұтқасын неге топсаның қасына емес, одан алысқа орнатады? Айналу осінен алыс болған сайын есікті итеру жеңіл. Топсаның қасында болса, бар күшіңді салуға тура келер еді.
• Әткеншекте үлкен кісі мен кішкентай баланы қалай теңестіреді? Үлкен кісіні ортаға жақын, баланы одан алыс отырғызады.
• Сүймен, қайшы және сомын кілті не ортақ? Үшеуі де қандай да бір нүктенің төңірегінде бұрылады, яғни иінтірек ретінде жұмыс істейді.

💡 Иінтіректер айналамызда көп: қайшы, есік, ескек, қант қысқышы, әткеншек. Бүгін олардың бәрі қандай ережемен жұмыс істейтінін білеміз.

Тақырыпты талдаймыз

Иінтірек деген не

Иінтірек — тіректің қозғалмайтын нүктесінен (осінен) айнала алатын қатты дене. Иінтірек болып таяқ, тақтайша немесе сүймен (лом) қызмет ете алады. Елестетші: сүймені ауыр тастың астына сұғып, ұзын ұшына басып тұрсың. Қысқа ұшы тасты көтереді.

Бұл суретте екі күш бар. Сен сүйменің ұзын ұшына $F_1$ күшпен әсер етесің, ал тас қысқа ұшына $F_2$ күшпен әсер етеді. Олар тіректің қарама-қарсы жақтарына түсірілген.

📌 Күштің әсер ету сызығы — бойымен күш әсер ететін түзу сызық.

Күш иіні: «сызыққа дейінгі» қашықтық

Иінтіректің неге күшті арттыратынын түсіну үшін күш иінін енгізу керек. Бұл — тірек нүктесінен күштің әсер ету сызығына дейінгі ең қысқа қашықтық. Оны перпендикулярмен, яғни көлбеу бойымен емес, «түзу бұрыш жасап» өлшейді.

Штативтегі тәжірибе (37.2-сурет): $O$ осінен айнала алатын көлденең өзекте оң жақта 2 жүк, сол жақта 4 жүк ілулі тұр. Сол жақтағы жүктерді оське жақын, оң жақтағыларды алыс ілсең, өзек қозғалмай тұрып қалады. Оське дейінгі қашықтық: оң күшке дейін — $d_1$, сол күшке дейін — $d_2$.

Күш моменті

Әр күш иінтіректі бұруға тырысады. Қаншалықты күшті бұратынын күш моменті көрсетеді:

$M = F\cdot d$

📌 «Момент» сөзі латыннан келген, «қозғаушы күш», «түрткі» деген мағына береді. Күш неғұрлым үлкен және иін неғұрлым ұзын болса, «түрткі» соғұрлым күшті.

⚠️ Жиі кететін қате. Иін — иінтіректің бүкіл ұзындығы емес және таяқтың ұшына дейінгі қашықтық та емес. Бұл — тіректен күштің әсер ету сызығына дейінгі қашықтық. Сантиметрді метрге айналдыруды да ұмытпа: $20,\text{см}=0{,}2,\text{м}$.

Иінтіректің тепе-теңдік ережесі

Бір момент иінтіректі сағат тілімен бұрады, екіншісі — оған қарсы. Тәжірибе мынаны көрсетеді: бұл моменттер тең болғанда иінтірек қозғалмай тұрады.

$M_1=M_2,\quad\text{яғни}\quad F_1d_1=F_2d_2.$

Бұл ережені Архимед екі мың жылдан астам уақыт бұрын тапқан. Екі жағын бөлсек, басқаша жазылу шығады:

$\frac{F_2}{F_1}=\frac{d_1}{d_2}.$

📌 Иінтірекке әсер етуші күштер осы күштердің иіндеріне кері пропорционал болса, иінтірек тепе-теңдік қалпын сақтайды. Иін неше есе ұзын болса, күш сонша есе кіші.

$\dfrac{F_2}{F_1}$ қатынасын күштен ұтыс деп атайды. Егер $d_1$ иіні $d_2$-ден екі есе ұзын болса, ұтыс 2-ге тең: сен жүк басатын күштен екі есе әлсіз басасың.

Графикке қара. Күш моменті $12,\text{Н}\cdot\text{м}$ болсын. Сонда иін ұзын болған сайын, күш аз керек, ал тәуелділік тегіс «төмен түсетін төбе» болып шығады.

🌟 Күштен ұтыс тегін емес. Екі есе әлсіз бассаң, ұзын ұшы екі есе ұзын жол жүреді. Күштен ұттың, жолдан ұттырдың.

Иінтіректің екі түрі

• Бірінші текті иінтірек. Тірек нүктесі күштердің әсер ету сызықтарының арасында жатады. Мысалдар: әткеншек, қайшы, шегесуырғыш.
• Екінші текті иінтірек. Күш тіректің бір жағында жатады, екі күш те сол жақта. Мысалдар: арба, жаңғақ қысқыш, есік.

Блоктар

Блок — айналу осіне қатысты айналатын науасы бар доңғалақ. Науа арқылы жіп, арқан немесе трос тасталады. Блоктың екі түрі бар.

Жылжымайтын блок. Оның осі бекітілген, қозғалмайды. Бұл — иіндері доңғалақтың радиусына тең теңиінді иінтірек. Күштен ұтыс жоқ: $F_1=F_2$. Бірақ жүк жоғары көтерілу үшін төмен қарай тартуға болады. Туды тулағышқа осылай көтереді.

Жылжымалы блок. Оның осі жүкпен бірге көтеріледі. Бұл иіндері $r$ және $2r$ болатын иінтірек, себебі тірек нүктесі — жіп бекітілген доңғалақ жиегі. Сонда $\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{2r}{r}=2$.

📌 Жылжымалы блок күштен 2 есе ұтыс береді, ал жылжымайтын блок ұтыс бермейді, тек күштің бағытын өзгертеді.

Көлбеу жазықтық

Жүкті $h$ биіктікке көтеру үшін оны вертикаль жоғары $F_1$ күшпен көтеруге немесе ұзындығы $l$ тегіс төбеге $F_2$ күшпен сүйреп шығаруға болады (үйкеліс жоқ). Екі жағдайда да жұмыс бірдей: $F_1h=F_2l$. Бұдан:

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{l}{h}.$

Төбе өзінің биіктігінен неше есе ұзын болса, жүкті тарту сонша есе жеңіл. Көлбеу жазықтыққа сына, бұранда, таудағы серпантин, баспалдақ және конвейер жатады. Мысалы, Алматыдағы таулы курорттарға апаратын серпантин жол дәл осы үшін керек: көлікке тік жоғары өрмелегенше, ұзын әрі жайлы жолмен жүру жеңіл.

Есеп шығару үлгілері

1-мысал. Иінтірек тепе-теңдікте бола ма?

Массасы $m$ сол жақтағы жүк жылжымайтын блок арқылы жіпке ілінген және иінтіректің оң ұшын төмен тартады. Бұл күштің иіні $4d$. Екінші жағында жалпы массасы $2m$ жүктер $2d$ иінде ілулі тұр.

Шешуі.

1. Жылжымайтын блок күшті өзгертпейді, сондықтан жіптің күші $F_{\text{к}}=mg$.
2. Жіптің моменті: $M_1=mg\cdot4d=4mgd$.
3. Екі жүктің моменті: $M_2=2mg\cdot2d=4mgd$.
4. Моменттер тең, демек, тепе-теңдік бар.

Жауабы: иә, иінтірек тепе-теңдікте.

2-мысал. Қандай массалы жүк керек

$A$ нүктесіне $m_x$ жүгін ілу керек. Жылжымалы блок массасы $m_1=200,\text{г}$ жүкті ұстап тұр. $B$ нүктесінде әрқайсысының массасы $m=100,\text{г}$ 3 жүк ілулі. Блоктың массасы мен үйкеліс ескерілмейді. Суретке сәйкес өлшемдер: жіптің күші $5d$ иінде әсер етеді, жүктер $2d$ иінде, белгісіз жүк $4d$ иінде.

Берілгені: $m=100,\text{г}$, $m_1=200,\text{г}$. Табу керек: $m_x$.

3-мысал. Судағы жүк

Массасы $200,\text{г}$ және ұзындығы $3l$ иінтіректің тіреу жағындағы қабырғадан $2l$ қашықтықта $m_{\text{ж}}$ жүгі ілінген. Иінтіректің ұшында блок арқылы өтетін жіп суға салынған, көлемі $50,\text{см}^3$ болат жүкті ұстап тұр. Болаттың тығыздығы $7{,}8,\text{г/см}^3$, судікі $1,\text{г/см}^3$. $m_{\text{ж}}$ массасы қандай болуы керек?

Шешуі.

1. Жіп болат жүкті ұстайды, бірақ оған Архимед күші көмектеседі. Жіптің күшін «грамм салмақпен» өрнектесек: $(\rho_{\text{б}}-\rho_{\text{с}})V=(7{,}8-1)\cdot50=340,\text{г}$.
2. Иінтіректің өзін оның ортасындағы жүк деп алуға болады: иіні $1{,}5l$, массасы $200,\text{г}$.
3. Қабырғадағы оське қатысты моменттердің теңдігі: $200\cdot1{,}5l+m_{\text{ж}}\cdot2l=340\cdot3l$.
4. $300+2m_{\text{ж}}=1020$, бұдан $m_{\text{ж}}=\dfrac{720}{2}=360,\text{г}$.

Жауабы: $360,\text{г}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Архимед күшін ұмыту: суда жіп болат жүктің бүкіл салмағын емес, одан азын ұстайды. Тағы бір қате — иінді оське дейін емес, иінтіректің ұшынан есептеу.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Үйде ережені сызғышпен тексеруге болады. Сызғышты қарындашқа қойып, ұштарына тиындар салыңыз да, сызғыш қозғалмай қалғанша қарындашты жылжытыңыз. Бір иін екіншісінен неше есе ұзын екенін және әр ұшта неше тиын жатқанын сұраңыз.

Өзіңді тексер

• Иінтірек деген не? Тіректің қозғалмайтын нүктесінен немесе осінен айнала алатын қатты дене.
• Күштің әсер ету сызығы деп нені айтамыз? Бойымен күш әсер ететін түзу сызық.
• Күш иіні дегеніміз не? Оны қалай анықтауға болады? Бұл — тірек нүктесінен күш әсер ететін сызыққа дейінгі ең қысқа қашықтық. Оны сол сызыққа түсірілген перпендикулярдың ұзындығы ретінде анықтайды.
• Күш моменті деп нені айтады? Күш пен оның иінінің көбейтіндісіне тең физикалық шама: $M=F\cdot d$. Өлшем бірлігі — $\text{Н}\cdot\text{м}$.
• Күштен ұту дегеніміз не және оны қалай анықтайды? Ұтыс біз түсіретін күш теңестіретін күштен неше есе кіші екенін көрсетеді. Оны күштердің қатынасымен $\dfrac{F_2}{F_1}$ анықтайды, ал ол иіндердің қатынасына $\dfrac{d_1}{d_2}$ тең.
• Иінтірек қандай жағдайда тепе-теңдікте болады? Оны сағат тілімен айналдыратын күштің моменті сағат тіліне қарсы айналдыратын күштің моментіне тең болғанда: $F_1d_1=F_2d_2$.

Жаттығуларды шығарамыз

Барлық есептеуде $g = 10,\text{Н/кг}$ аламыз.

«Тәжірибе жасаңдар»

№ 1

«Тәжірибе жасаңдар», 1-тапсырма. Миллиметрлік сызғыштың көмегімен қайшының, есік кілтінің, сомын кілтінің және т.б. иіндерін өлшеңдер. Бұл қарапайым механизмдер күштен қалай ұтады?

Қалай ойлаймыз. Қайшыда ось — бұранда. Бір иін — бұрандадан саусақ басатын жерге дейін, екінші иін — бұрандадан қайшының қағазды кесетін жеріне дейін. Ұтыс — ұзын иіннің қысқа иінге қатынасы.

Шешуі.

1. Осьтен саусақ басатын нүктеге дейінгі қашықтықты өлше: $d_1$.
2. Осьтен жүзі кесетін немесе иегі қысатын нүктеге дейінгі қашықтықты өлше: $d_2$.
3. $\dfrac{d_1}{d_2}$ есептеп шығар.

Өлшеу мысалы: қайшы $d_1=9,\text{см}$, $d_2=4{,}5,\text{см}$, ұтыс $\dfrac{9}{4{,}5}=2$. Сомын кілті: $d_1=20,\text{см}$, $d_2=1,\text{см}$ (сомынның центрінен кілттің жиегіне дейін), ұтыс 20. Тістеуік: $d_1=15,\text{см}$, $d_2=3,\text{см}$, ұтыс 5.

Жауабы: қайшыда шамамен 2, тістеуікте шамамен 5, сомын кілтінде 20-ға дейін (құралға байланысты); бәрінде ұтыс 1-ден көп, себебі қол иіні жұмыс иінінен ұзын.

⚠️ Қайшы мен тістеуіктің жүзі өткір. Абайлап жұмыс істе, өзіңе қарай бағыттама, жүздеріне тиме. Өлшеу кезінде қасыңда ересек адам болғаны жөн.

№ 2

«Тәжірибе жасаңдар», 2-тапсырма. QR-код арқылы бейнематериалды қарап, иінтіректің көмегімен дененің массасы қалай анықталғанын; жылжымайтын блоктың күштің бағытына әсерін; жылжымалы блок арқылы күштен ұту мүмкіндігін түсіндіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Бейнематериал бұл жұмыста қолжетімсіз, сондықтан осы параграфтағы ережелерге сүйенеміз: үш сұрақтың үшеуіне де жауап моменттер теңдігінен шығады.

Жауап үлгісі.

• Иінтіректің көмегімен массаны анықтау. Иінтірекке массасы белгілі жүкті ілеміз де, белгісіз жүкті тепе-теңдік орнағанша жылжытамыз. Иіндерді өлшеп, $m_1d_1=m_2d_2$ теңдігінен белгісіз массаны табамыз: $m_2=\dfrac{m_1d_1}{d_2}$.
• Жылжымайтын блок. Иіндері тең, сондықтан күш өзгермейді ($F_1=F_2$), тек бағыты өзгереді: жүкті жоғары көтеру үшін жіпті төмен тартамыз.
• Жылжымалы блок. Оның иіндері $r$ және $2r$, сондықтан күштен 2 есе ұтамыз: $\dfrac{F_2}{F_1}=2$. Бірақ жіптің бос ұшы жүк көтерілген биіктіктен 2 есе ұзын жол жүреді.

Жауабы: массаны $m_2=\dfrac{m_1d_1}{d_2}$ арқылы табады; жылжымайтын блок күштің бағытын өзгертеді; жылжымалы блок күштен 2 есе ұтыс береді.

«Шығарындар»

№ 3

«Шығарындар», 1-есеп. Ұзындығы $80,\text{см}$ иінтірекке $5,\text{Н}$ күш әсер етеді. Егер оның әсер ету иіні $20,\text{см}$ болса, онда осы күштің күш моменті неге тең?

Қалай ойлаймыз. Иінтіректің бүкіл ұзындығы (80 см) мұнда артық. Бізге тек күш иіні керек.

Шешуі.

Берілгені: $F=5,\text{Н}$, $d=20,\text{см}=0{,}2,\text{м}$.

$M=F\cdot d=5,\text{Н}\cdot0{,}2,\text{м}=1,\text{Н}\cdot\text{м}$.

Жауабы: $1,\text{Н}\cdot\text{м}$.

№ 4

«Шығарындар», 2-есеп. Ұзындығы $90,\text{см}$ салмақсыз өзектің ұштарына массасы $400,\text{г}$ және $800,\text{г}$ болатын жүктер ілінген. Өзек тепе-теңдікте болуы үшін тіректі қай жеріне қою керек?

Қалай ойлаймыз. Ауыр жүктің иіні қысқа, жеңіл жүктің иіні ұзын болуы керек. Күштер массалар сияқты қатынасады: $800:400=2$, демек, иіндер $1:2$ қатынасында.

Шешуі.

Берілгені: $m_1=400,\text{г}$, $m_2=800,\text{г}$, $d_1+d_2=90,\text{см}$.

1. Тепе-теңдік шарты: $m_1g,d_1=m_2g,d_2$, бұдан $400,d_1=800,d_2$, яғни $d_1=2d_2$.
2. $d_1+d_2=3d_2=90,\text{см}$, демек, $d_2=30,\text{см}$, ал $d_1=60,\text{см}$.

Жауабы: тіректі $800,\text{г}$ жүгі бар ұшынан $30,\text{см}$ қашықтыққа (және $400,\text{г}$ жүктен $60,\text{см}$) қою керек.

№ 5

«Шығарындар», 3-есеп. Салмағы $420,\text{Н}$ жүкті механизмнің көмегімен көтереді (37.10-сурет). Арқалықтың массасы қандай? Көтеру кезінде арқалық горизонталь қалпында қалады.

Қалай ойлаймыз. Арқалық қабырғада топсамен бекітілген. Осы нүктені ось етіп ал. Сонда арқалықтың ұшындағы жіптің күшінің моменті екі жүктің және арқалықтың өз салмағының моменттерін теңестіреді. Арқалықтың салмағы оның ортасына түсірілген.

Шешуі.

$g=10,\text{м/с}^2$ аламыз. Арқалықтың ұзындығы $l$. Жүктер: $18,\text{кг}$ қабырғадан $\dfrac{l}{3}$ қашықтықта және $12,\text{кг}$ — $\dfrac{2l}{3}$ қашықтықта. Жіптің күші жүктің салмағына тең: $F=420,\text{Н}$, иіні $l$.

1. $420\cdot l=18\cdot10\cdot\dfrac{l}{3}+12\cdot10\cdot\dfrac{2l}{3}+m\cdot10\cdot\dfrac{l}{2}$.
2. $l$-ді қысқартамыз: $420=60+80+5m$.
3. $5m=280$, $m=56,\text{кг}$.

Жауабы: $m=56,\text{кг}$ (оқулықта $28,\text{кг}$ деп басылған).

📕 Оқулықта жауабы $28,\text{кг}$ деп берілген. Ол $420=60+80+10m$ теңдеуінен шығады, яғни арқалықтың салмағы оның ортасына емес, ұшына түсірілгендей есептелген. Дұрыс есептеуде арқалықтың салмағының иіні $\dfrac{l}{2}$, сондықтан $m=56,\text{кг}$.

№ 6

«Шығарындар», 4-есеп. Егер жіптің керілу күші $F$ болса, салмақсыз иінтіректің тепе-теңдік қалпын сақтау үшін жылжымайтын блоктан жіпке ілінген жүктің салмағы $P$ қандай болуы тиіс (37.11-сурет)?

Бірден шықпаса да қорықпа: блоктармен жұмыс істеп көру — өзі жақсы жаттығу.

Қалай ойлаймыз. Жіптің күші де, жүктің салмағы да блоктарға әсер етеді. Жүкті неше жіп бөлігі ұстап тұрғанын санау керек: әр бөлік жоғары қарай $F$ күшпен тартады.

Шешуі.

1. Суретке қарағанда жүк жылжымалы бөлікке ілінген, оны бір жіптің 4 бөлігі ұстап тұр, әр бөліктегі керілу күші $F$.
2. Тепе-теңдік: жүктің салмағы жіп күштерінің қосындысына тең, яғни $P=4F$.
3. Бұл екі жылжымалы блок сияқты жұмыс істейді: әрқайсысы күштен 2 есе ұтыс береді, екеуі бірге — 4 есе.

Жауабы: $P=4F$; оқулықта жауабы $P=4,\text{Н}$ деп берілген (яғни $F=1,\text{Н}$ болғанда).

📕 Есептің шартында $F$ белгіленген, ал оқулықтағы жауап «$P=4,\text{Н}$» санмен берілген, шартта $F$-тің мәні жоқ. Дұрыс жауап символмен жазылады: $P=4F$.

№ 7

«Шығарындар», 5-есеп. Ұзындығы $9,\text{м}$ және массасы $140,\text{кг}$ құбыр екі горизонталь тіректің үстінде жатыр. Бірінші тіреуіш құбырдың ұшында, ал екіншісі екінші ұшынан $1,\text{м}$ қашықтықта орналасқан. Тіреулердің реакция күштерін анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Құбыр біртекті, оның салмағы ортасына, ұшынан $4{,}5,\text{м}$ қашықтыққа түсірілген. $A$ тірегі сол жақ ұшында, $B$ тірегі одан $9-1=8,\text{м}$ қашықтықта. Екі теңдеу керек: моменттер мен күштер теңдеуі.

Шешуі.

Берілгені: $l=9,\text{м}$, $m=140,\text{кг}$, $AB=8,\text{м}$, $g=10,\text{м/с}^2$. Салмағы: $mg=1400,\text{Н}$.

1. $A$ нүктесіне қатысты моменттер: $N_B\cdot8=1400\cdot4{,}5$, бұдан $N_B=\dfrac{6300}{8}=787{,}5,\text{Н}$.
2. Күштердің қосындысы нөлге тең: $N_A+N_B=1400,\text{Н}$, бұдан $N_A=1400-787{,}5=612{,}5,\text{Н}$.

Жауабы: $N_A=612{,}5,\text{Н}\approx600,\text{Н}$, $N_B=787{,}5,\text{Н}\approx800,\text{Н}$.

📕 Оқулықта $N_A=600,\text{Н}$ және $N_B=800,\text{Н}$ деп басылған, бірақ дәлірек мәндері $612{,}5,\text{Н}$ және $787{,}5,\text{Н}$: басылған жауап жүздікке дейін дөңгелектенген. Күштердің қосындысы бірдей, $1400,\text{Н}$.

№ 8

«Шығарындар», 6-есеп. Мұзды тауда $480,\text{Н}$ салмағы бар шаналарды ұстап тұру үшін $120,\text{Н}$ күш қажет. Таудың көлбеуі оның бүкіл ұзындығында тұрақты. Егер биіктігі $4,\text{м}$ болса, таудың ұзындығы қанша?

Қалай ойлаймыз. Төбе — көлбеу жазықтық. Күштен ұтыс $\dfrac{480}{120}=4$. Ұзындық биіктіктен сонша есе көп.

Шешуі.

Берілгені: $P=480,\text{Н}$, $F=120,\text{Н}$, $h=4,\text{м}$.

1. $\dfrac{P}{F}=\dfrac{l}{h}$, сондықтан $l=h\cdot\dfrac{P}{F}$.
2. $l=4,\text{м}\cdot\dfrac{480,\text{Н}}{120,\text{Н}}=4,\text{м}\cdot4=16,\text{м}$.

Жауабы: $16,\text{м}$.

Жадынама

• Күш иіні — осьтен күштің әсер ету сызығына түсірілген перпендикуляр.
• Күш моменттері тең болғанда иінтірек тепе-теңдікте болады.
• Күштен ұтыс әрқашан жолмен төленеді: күш көп болса, жол аз.
• Есептеуден бұрын барлық ұзындықты метрге, массаны килограмға айналдыр.

Шағын тест