§ 38. Жай механизмдердің пайдалы әсер коэффициенті. Механиканың “алтын ережесі”

Физика, 7 сынып. Оқулық: Кронгарт Б.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 9 тарау: Күш моменті. 190–194-беттер.

Нені үйренесің

• Пайдалы жұмыстың неге әрқашан жұмсалған жұмыстан аз болатынын түсіндіруді.
• Иінтіректің, блоктардың және көлбеу жазықтықтың ПӘК-ін есептеуді.
• ПӘК-тің неге 100 %-ға тең болмайтынын, одан да артық болмайтынын түсінуді.
• Механиканың алтын ережесін айтуды: күштен неше есе ұтсақ, жолдан сонша есе ұтыламыз.

Тірек ұғым: пайдалы әсер коэффициенті (ПӘК).

Ой қозғау

• Механикалық жұмыс деген не және оны қалай есептейді? Жұмыс күштің күш бағытындағы жолға көбейтіндісіне тең: $A = F \cdot s$. Өлшем бірлігі — джоуль (Дж).
• Иінтірек нені береді: күштен ұтыс па, әлде басқа нәрседен бе? Күштен ұтыс береді. Иін ұзын болса, күш аз.
• Үйкеліс күші деген не және жүкті көтергенде ол кедергі ме, әлде көмек пе? Үйкеліс денелер қозғалғанда пайда болады және кедергі жасайды: күштің бір бөлігі оны жеңуге кетеді.
• Массасы $m$ жүктің ауырлық күші неге тең? $F = mg$, мұндағы $g \approx 10,\text{Н/кг}$.

Тақырыпты талдаймыз

Пайдалы жұмыс неге әрқашан аз

Сен құдықтан блоктың көмегімен шелек көтеріп жатырсың. Күштің бір бөлігі су құйылған шелектің өзін көтеруге кетеді. Ал екінші бөлігі — арқанның блокқа үйкелісіне және блоктың өзін көтеруге. Дәл осы «артық» жұмыс ешкімге керек емес, бірақ одан құтыла алмайсың.

Сондықтан физиктер екі жұмысты ажыратады:

• пайдалы жұмыс $A_{\text{п}}$ — бәрі соның үшін істелетін жұмыс (мысалы, жүкті көтеру);
• толық (жұмсалған) жұмыс $A_{\text{т}}$ — біз шын мәнінде атқарған барлық жұмыс.

Кез келген нақты механизмде $A_{\text{п}} < A_{\text{т}}$.

ПӘК: жұмсалғанның қаншасы «іске» жарады

Механизмдерді салыстыру үшін ПӘК (пайдалы әсер коэффициенті) шамасын енгізген. Оны грек әрпі $\eta$ («эта») арқылы белгілейді. ПӘК жұмсалған жұмыстың қандай бөлігі пайдалы жұмысқа айналғанын көрсетеді. Әдетте оны пайызбен есептейді:

$\eta = \frac{A_{\text{п}}}{A_{\text{т}}} \cdot 100%$

📌 Кез келген нақты механизмнің ПӘК-і 100 %-дан кем. Энергия міндетті түрде шығынға ұшырайды, сондықтан шығынсыз «мәңгілік» механизм жасау мүмкін емес.

⚠️ Жиі кететін қате. ПӘК-ті «керісінше» есептейді: жұмсалған жұмысты пайдалы жұмысқа бөліп, 100 %-дан үлкен сан алады. Өзіңді тексер: жауап 100 %-дан артық болса, алым мен бөлім шатасқан.

Мұнда жүкті көтеруге 160 Дж кетті, ал адам 240 Дж жұмсады. 80 Дж айырма — шығын. ПӘК $=\frac{160}{240}\cdot100% \approx 67%$.

Әртүрлі механизмдердің ПӘК-і

Барлық жағдайда пайдалы жұмыс — жүкті көтеру: $A_{\text{п}} = mgh$. Тек толық жұмысты есептеу өзгереді: $A_{\text{т}} = F \cdot l$, мұндағы $l$ — күштің түсу нүктесі жүрген жол.

💡 Жылжымалы блоктың бөлімінде екілік тұр: жүк 1 м көтерілуі үшін арқанның бос ұшын 2 м тарту керек. Біз күштен (шамамен екі есе) ұтамыз, бірақ жолдан ұттырамыз.

⚠️ Жиі кететін қате. Сантиметрді метрге, массаны килограмға айналдырмайды. Қоймас бұрын бәрін ХБЖ-ге келтір: 80 см $= 0{,}8$ м.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан жылжымалы блок формуласында неге $2F$ тұрғанын өз сөзімен түсіндіруді сұраңыз. Ол «арқанды екі есе ұзын тартамыз» десе, тақырып меңгерілген.

Механиканың алтын ережесі

Механизм идеал делік: үйкеліс жоқ, ПӘК 100 %. Онда пайдалы және жұмсалған жұмыс тең: $A_1 = A_2$, яғни $F_1 l_1 = F_2 l_2$. Бұдан:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{l_1}{l_2}$

Бұл — ежелгі ғалымдарға белгілі механиканың алтын ережесі.

📌 Күштен неше есе ұтсақ, жолдан сонша есе ұтыламыз. Ешқандай механизм жұмыстан ұтыс бермейді.

Таудағы серпантин жолды елестетші, мысалы, Медеу биік таулы мұз айдынына көтерілетін жол. Жол ұзын әрі жайлы: жүру жеңіл, бірақ жол алыс. Беткейден тура жоғары жүрсең, жол қысқа, бірақ тік әрі ауыр. Бірдей биіктікке көтерілу жұмысы екі жағдайда да бірдей.

Күш азаяды, жол ұзарады, ал жұмыс әрқашан бірдей: 100 Дж. Үйкеліс болса, одан да көп жұмыс керек болады.

🌟 Ежелгі Грецияда-ақ «күштен ұттың — жолдан ұттырдың» деп білген. Мысырлықтар мен пирамида салушылар зәулім тас блоктарды ұзын жайлы көлбеу жазықтықпен сүйреп шығарған.

Өзіңді тексер

• ПӘК деген не? Жұмсалған жұмыстың қандай бөлігі пайдалы жұмысқа жұмсалғанын көрсететін шама.
• Механизмдердің ПӘК-ін қай формула бойынша есептейді? $\eta = \frac{A_{\text{п}}}{A_{\text{т}}} \cdot 100%$.
• Қандай жұмыс пайдалы, ал қандай жұмыс толық (жұмсалған) деп аталады? Пайдалы жұмыс — механизм соның үшін қолданылатын жұмыс (мысалы, жүкті көтеру). Толық жұмыс — процесс барысында атқарылған барлық жұмыс, үйкеліске және механизм бөліктерін көтеруге кеткен шығындарды қоса.
• ПӘК-і а) 75 %; ә) 120 % болатын механизм жасауға бола ма? а) Иә, мұндай механизмдер бар: энергияның бір бөлігі жоғалады. ә) Жоқ: пайдалы жұмыс жұмсалғаннан артық болмайды, ПӘК әрқашан 100 %-дан кем.
• Иінтіректің ПӘК-ін қалай есептеуге болады? $\eta = \frac{mgh_1}{Fh_2} \cdot 100%$, мұндағы $h_1$ — жүктің көтерілу биіктігі, $h_2$ — ұзын иін ұшының жүрген жолы.
• Жылжымайтын блоктың ПӘК-ін қалай есептеуге болады? $\eta = \frac{mg}{F} \cdot 100%$, өйткені арқанның бос ұшы жүктегідей жол жүреді.
• Жылжымалы блоктың ПӘК-ін қалай есептеуге болады? $\eta = \frac{mg}{2F} \cdot 100%$, өйткені бос ұшы екі есе ұзын жол жүреді.
• Көлбеу жазықтықтың ПӘК-ін қалай есептеуге болады? $\eta = \frac{mgh}{Fl} \cdot 100%$, мұндағы $h$ — биіктігі, $l$ — жазықтықтың ұзындығы.
• Механиканың «алтын ережесін» айтыңдар. Күштен неше есе ұтсақ, жолдан сонша есе ұтыламыз. Механизмдер жұмыстан ұтыс бермейді.

Жаттығуларды шығарамыз

Барлық есептеуде $g = 10,\text{Н/кг}$ аламыз.

«Түсіндіріңдер»

№ 1

«Түсіндіріңдер», 1-тапсырма. 38.4-суретті пайдаланып, кранның жұмысын түсіндіріңдер. Егер кранның жебесінің ұзындығы 15 м, ал кран көтеретін максимал жүктің массасы 3,5 т болса, қарсы салмақтың минимал массасы қандай болуы керек? Қарсы салмақтың ауырлық центрі кран осінен 1,2 м қашықтықта орналасқан.

Қалай ойлаймыз. Кран — иінтірек. Ол аударылып кетпеуі керек: жүк пен қарсы салмақтың осіне қатысты моменттері теңесуі тиіс (иінтірек ережесі: $F_1 d_1 = F_2 d_2$). Күштер массаларға пропорционал, сондықтан $g$ қысқарады.

Шешуі. Берілгені: $m_1 = 3{,}5,\text{т} = 3500,\text{кг}$; $d_1 = 15,\text{м}$; $d_2 = 1{,}2,\text{м}$. Табу керек: $m_2$.

1. Тепе-теңдік шарты: $m_1 g d_1 = m_2 g d_2$.
2. $m_2 = \frac{m_1 d_1}{d_2} = \frac{3500 \cdot 15}{1{,}2} = 43,750,\text{кг} \approx 43{,}75,\text{т}$.
3. Минимал масса бұл мәннен кем емес, 44 т-ға дейін дөңгелектейміз.

«Түсіндіріңдер» жауабының үлгісі. Жебе жүкпен бірге кранды алға тартады, ал қысқа жағындағы қарсы салмақ оны теңестіреді. Қарсы салмақтың иіні кіші болғандықтан, ол өте ауыр болуы керек.

Жауабы: шамамен 44 т.

«Өзіңді таны»

№ 2

«Өзіңді таны», 1-тапсырма. Бекітілген және жылжымалы блоктарды, штатив және берік жіпті қолданып, күрделі механизм құрастырыңдар. Динамометр мен мектеп сызғышының көмегімен жылжымалы блокқа бекітілген жүкті белгілі бір биіктікке көтеріңдер. а) Пайдалы жұмысты; ә) толық жұмысты; б) механизмнің ПӘК-ін; в) күштен ұтысты; г) жұмыстан ұтысты табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Формулаларға керек нәрсенің бәрін өлшейміз: жүктің массасын (динамометрдегі салмағы бойынша), жүктің көтерілу биіктігін, жіптегі күшті және жіптің ұшы жүрген жолды.

Шешуі. Нәтижелер үлгісі (сенде сандар басқа болады). Көтеретін жүк пен блоктың массасы $m = 0{,}2,\text{кг}$; көтеру биіктігі $h = 0{,}10,\text{м}$; жіптің ұшы жүрген жол $l = 0{,}20,\text{м}$; динамометр $F = 1{,}25,\text{Н}$ көрсетті.

а) $A_{\text{п}} = mgh = 0{,}2 \cdot 10 \cdot 0{,}10 = 0{,}20,\text{Дж}$. ә) $A_{\text{т}} = Fl = 1{,}25 \cdot 0{,}20 = 0{,}25,\text{Дж}$. б) $\eta = \frac{0{,}20}{0{,}25} \cdot 100% = 80%$. в) күштен ұтыс: $\frac{mg}{F} = \frac{2}{1{,}25} = 1{,}6$ есе (идеал жағдайда 2 есе болар еді). г) жұмыстан ұтыс жоқ. Жұмсалған жұмыс ($0{,}25$ Дж) пайдалы жұмыстан ($0{,}20$ Дж) тіпті көп.

⚠️ Қауіпсіздік. Жүк аласа ілулі тұрсын және аяғыңның үстінде болмасын. Штативті үстелге орнықты қой.

Жауабы: ПӘК шамамен 80 %, күштен ұтыс шамамен 1,6 есе, жұмыстан ұтыс жоқ.

№ 3

«Өзіңді таны», 2-тапсырма. Адамның денесіндегі иінтіректерді көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Иінтірек — тірек нүктесінен айнала алатын қатты дене. Денеде бұл — сүйектер, ал күшті бұлшықеттер жасайды.

Шешуі. Мысалдар.

• Білек: тірек — шынтақ буыны, күшті екібас бұлшықет жасайды. Қолды жүкпен бүккенде жылдамдықтан және жолдан ұтамыз, күштен ұттырамыз.
• Табан, аяқтың ұшына көтерілгенде: тірек — табан саусақтары, күшті балтыр бұлшықеті Ахилл сіңірі арқылы жасайды.
• Бас: тірек — жоғарғы омыртқа, мойын бұлшықеттері оны тепе-теңдікте ұстайды.
• Төменгі жақ: тірек — құлақтың жанындағы буындар, шайнау бұлшықеттері күш жасайды.

Жауабы: денедегі иінтіректер — білек, табан, бас, төменгі жақ.

«Зерттеңдер»

№ 4

«Зерттеңдер», 1-тапсырма. Жылжымайтын және жылжымалы блоктарды пайдаланып, жүкті еркін $h$ биіктікке көтерудің сызбанұсқасын салыңдар. Оған әсер ететін күштерді көрсетіңдер. Жұмыс барысында блоктардың ешқандай артықшылығы болмайтынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Адам атқаратын жұмысты блоксыз жүкті көтеру жұмысымен ($mgh$) салыстырамыз.

Шешуі. Сызба. Жылжымайтын блокты штативке бекітеміз, жіпті сол арқылы асамыз. Жүкке төмен қарай $mg$ ауырлық күші, жоғары қарай жіптің керілу күші әсер етеді. Жылжымалы блок жіпте ілулі, жүк соған бекітілген. Жіп оны екі жағынан жоғары тартады.

Жылжымайтын блок. Идеал жағдайда $F = mg$. Жіптің ұшы $l = h$ жол жүреді. $A = Fl = mgh$. Жылжымалы блок. Идеал жағдайда $F = \frac{mg}{2}$. Жіптің ұшы $l = 2h$ жүреді. $A = Fl = \frac{mg}{2} \cdot 2h = mgh$.

Блокпен істелген жұмыс блоксыз істелген жұмысқа тең: $mgh$. Үйкелісті ескерсек, $A$ тіпті көп болады. Демек, жұмыстан ұтыс жоқ.

Жауабы: блоктар күштен ұтыс (жылжымалы) береді немесе күштің бағытын өзгертеді (жылжымайтын), бірақ жұмыс әрқашан $\ge mgh$, жұмыстан ұтыс жоқ.

№ 5

«Зерттеңдер», 2-тапсырма. Білеушеге әсер ететін ауырлық күшін динамометрмен анықтаңдар (38.5-сурет). Білеушені көлбеу жазықтыққа орналастырып, бірқалыпты жоғары қарай көтергенде оған әсер ететін күшті табыңдар. Көлбеу жазықтықтың $h$ биіктігін және $L$ ұзындығын сызғышпен өлшеп, оның ПӘК-ін есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Пайдалы жұмыс: $mgh$, ал жұмсалған жұмыс: $F \cdot L$. Ауырлық күшін $mg$ динамометр тікелей көрсетеді.

Шешуі. Нәтижелер үлгісі. Білеушенің салмағы $mg = 2{,}0,\text{Н}$; $h = 0{,}20,\text{м}$; $L = 0{,}80,\text{м}$; бірқалыпты жоғары қозғалғанда динамометр $F = 0{,}7,\text{Н}$ көрсетті.

1. $A_{\text{п}} = mgh = 2{,}0 \cdot 0{,}20 = 0{,}40,\text{Дж}$.
2. $A_{\text{т}} = FL = 0{,}7 \cdot 0{,}80 = 0{,}56,\text{Дж}$.
3. $\eta = \frac{0{,}40}{0{,}56} \cdot 100% \approx 71%$.

Білеушені тақтайға қатаң параллель және бірқалыпты тарт, әйтпесе динамометр қателеседі.

Жауабы: үлгіде $\eta \approx 71%$ (сенде басқа сан шығады, бірақ 100 %-дан кем).

«Шығарындар»

№ 6

«Шығарындар», 1-есеп. Иінтіректің көмегімен 20 кг жүкті 80 см биіктікке бірқалыпты көтерді. Мұнда 120 Н күш түсірілген иінтіректің ұзын жағы 2 м-ге төмен түсті. Иінтіректің ПӘК-і қандай?

Қалай ойлаймыз. Пайдалы жұмыс — жүкті көтеру, жұмсалған жұмыс — ұзын иіндегі күштің жұмысы.

Шешуі. Берілгені: $m = 20,\text{кг}$; $h_1 = 80,\text{см} = 0{,}8,\text{м}$; $F = 120,\text{Н}$; $h_2 = 2,\text{м}$. Табу керек: $\eta$.

1. $A_{\text{п}} = mgh_1 = 20 \cdot 10 \cdot 0{,}8 = 160,\text{Дж}$.
2. $A_{\text{т}} = Fh_2 = 120 \cdot 2 = 240,\text{Дж}$.
3. $\eta = \frac{160}{240} \cdot 100% \approx 67%$.

Жауабы: 67 %.

№ 7

«Шығарындар», 2-есеп. Массасы 200 кг жүкті ПӘК-і 65 % көлбеу жазықтық бойымен бірқалыпты көтеру үшін қандай күш түсірілуі қажет? Көлбеу жазықтықтың биіктігі 1,2 м, ал ұзындығы 16 м.

Қалай ойлаймыз. ПӘК-ті білеміз, күшті табу керек: ПӘК формуласынан $F$-ті өрнектейміз. Пайызды үлеске айналдыруды ұмытпа: $65% = 0{,}65$.

Шешуі. Берілгені: $m = 200,\text{кг}$; $\eta = 65% = 0{,}65$; $h = 1{,}2,\text{м}$; $l = 16,\text{м}$. Табу керек: $F$.

1. $A_{\text{п}} = mgh = 200 \cdot 10 \cdot 1{,}2 = 2400,\text{Дж}$.
2. $A_{\text{т}} = \frac{A_{\text{п}}}{\eta} = \frac{2400}{0{,}65} \approx 3692,\text{Дж}$.
3. $F = \frac{A_{\text{т}}}{l} = \frac{3692}{16} \approx 231,\text{Н}$.

Жауабы: шамамен 231 Н.

№ 8

«Шығарындар», 3-есеп. ⭐ күрделілігі жоғары есеп. ПӘК-і 50 % жылжымалы блоктың көмегімен массасы 45 кг жүкті 12 м биіктікке көтереді. Тростың ұшына түсірілген күштің шамасын анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл күрделілігі жоғары есеп, бірақ талпынғаның үшін мақтаймын. Жылжымалы блок үшін $\eta = \frac{mg}{2F}$. 12 м биіктік бізге керек емес, ол қысқарады.

Шешуі. Берілгені: $m = 45,\text{кг}$; $\eta = 50% = 0{,}5$; $h = 12,\text{м}$. Табу керек: $F$.

1. $mg = 45 \cdot 10 = 450,\text{Н}$.
2. $F = \frac{mg}{2\eta} = \frac{450}{2 \cdot 0{,}5} = \frac{450}{1} = 450,\text{Н}$.

Қызық: күш жүктің салмағына тең болып шықты. ПӘК-і 50 % блок күштен ешқандай ұтыс бермейді.

Жауабы: 450 Н.

№ 9

«Шығарындар», 4-есеп. ⭐ күрделілігі жоғары есеп. Массасы 70 кг жүкті жылжымалы блок арқылы бірқалыпты көтеру үшін жіпке 400 Н күш түсірілді. Осы жылжымалы блоктың ПӘК-ін анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Жылжымалы блоктың формуласына қоямыз.

Шешуі. Берілгені: $m = 70,\text{кг}$; $F = 400,\text{Н}$. Табу керек: $\eta$.

1. $mg = 70 \cdot 10 = 700,\text{Н}$.
2. $\eta = \frac{700}{2 \cdot 400} \cdot 100% = \frac{700}{800} \cdot 100% = 87{,}5%$.

Жауабы: 87,5 %.

№ 10

«Шығарындар», 5-есеп. ⭐ күрделілігі жоғары есеп. Иінтіректің көмегімен массасы 12 кг жүкті 30 см биіктікке көтерді. Иінтіректің ұзын иіні қысқа иінінен 8 есе ұзын. Егер иінтіректің ПӘК-і 80 % болса, үлкен иінге қандай күш түсіру қажет? Бұл кезде ұзын иіннің ұшы қанша метр төмен түседі?

Қалай ойлаймыз. Иіндер 8 : 1 қатынасында, сондықтан иінтірек ұштары да сол қатынаста жол жүреді. Сосын жұмыстарды есептейміз.

Шешуі. Берілгені: $m = 12,\text{кг}$; $h_1 = 30,\text{см} = 0{,}3,\text{м}$; $d_2 = 8d_1$; $\eta = 80% = 0{,}8$. Табу керек: $F$, $h_2$.

1. $h_2 = 8h_1 = 2{,}4,\text{м}$.
2. $A_{\text{п}} = 12 \cdot 10 \cdot 0{,}3 = 36,\text{Дж}$.
3. $A_{\text{т}} = \frac{36}{0{,}8} = 45,\text{Дж}$.
4. $F = \frac{45}{2{,}4} = 18{,}75,\text{Н}$.

Жауабы: күш 18,75 Н; ұзын иіннің ұшы 2,4 м төмен түседі.

Жадынама

• Пайдалы жұмыс әрқашан жұмсалған жұмыстан аз, ПӘК 100 %-дан кем.
• Ешқандай механизм жұмыстан ұтыс бермейді.
• Есептеуден бұрын бәрін ХБЖ-ге келтір, пайызды үлеске айналдыр.
• ПӘК белгілі болса, жұмсалған жұмыс $A_{\text{т}} = A_{\text{п}} / \eta$.

Шағын тест