§ 4. Векторлық және скалярлық шамалар

Физика, 7 сынып. Оқулық: Кронгарт Б.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 тарау: Физикалық шамалар мен өлшеулер. 22–26-беттер.

Нені үйренесің

• Скаляр шаманың векторлық шамадан несімен ерекшеленетінін түсіндіруді.
• Екеуіне де мысал келтіруді (масса, температура, жол, уақыт және жылдамдық, күш, орын ауыстыру).
• Нұсқамасы бар $\vec{v}$ және нұсқамасыз $v$ жазуын түсінуді.
• Векторды берілген масштабта бағытталған кесінді ретінде бейнелеуді.
• Бір түзудегі екі вектор қосындысының модулін табуды.

Ой қозғау

• Сабақ қанша уақытқа созылады? 45 минутқа. «45» деп айту жеткілікті ме? Өлшем бірлігі керек. Ал уақыттың бағыты болмайды.
• Автобус 50 км жүрді. Ол қазір қайда? Белгісіз: қай бағытқа жүргенін айту керек.
• Досыңа қазынаның қайда жатқанын қалай түсіндіресің? «Солтүстікке қарай 10 қадам жүр». Қадам саны да, бағыт та керек.

💡 Кейбір шамаларды бір ғана сан толық сипаттайды, ал басқаларына бағыт та керек. Бұл — шамалардың екі түрлі «сорты».

Тақырыпты талдаймыз

Скаляр шамалар: сан жеткілікті

Бір қап картоптың массасы 3 кг, ауаның температурасы $-10,°\text{C}$, білектің ұзындығы 1 м. Мұнда тағы не қосуға болады? Ештеңе. Өлшем бірлігі бар сан бәрін айтып тұр.

📌 Скалярлық шама — бір ғана сипаттамасы, яғни сан мәні болатын физикалық шама. Ол оң да, теріс те бола алады.

Скалярлық шамаларға жатады: масса, температура, жол, уақыт, көлем, аудан, ұзындық, дене өлшемдері.

Векторлық шамалар: сан және бағыт

Басқа шамалар үшін сан жеткіліксіз. Жылдамдық 54 км/сағ: қайда барамыз? Астанаға ма, Шымкентке ме? Мұндай шамалар үшін векторлар енгізілген.

📌 Векторлық шама — екі сипаттамасы бар физикалық шама: модулі (сан мәні) және кеңістіктегі бағыты.

Векторлық шаманың әрпінің үстіне нұсқама қояды: жылдамдық $\vec{v}$, орын ауыстыру $\vec{s}$, күш $\vec{F}$. Нұсқамасы бар $\vec{v}$ жазуы жылдамдықтың бағыты бар екенін білдіреді. Нұсқамасыз $v$ жазуы тек модульді, яғни санды білдіреді.

Векторды қалай сызамыз

Векторды бағытталған кесінді ретінде сызады. Кесіндінің таңдап алынған масштабтағы ұзындығы модульді көрсетеді, ал нұсқама бағытты көрсетеді. Кесіндінің басы — вектордың басы, ал нұсқама тұрған жер — вектордың ұшы.

Мысал: дененің жылдамдығы $v=6,\text{м/с}$. Масштабты таңдайық: бір тор көздің ұзындығындағы кесінді $2,\text{м/с}$ болсын. Сонда ұзындығы үш тор көз болатын нұсқама саламыз: $6\div2=3$.

Екі велосипедші бір-біріне қарама-қарсы $v_1=4,\text{км/сағ}$ және $v_2=8,\text{км/сағ}$ жылдамдықпен қозғалып келеді. Жылдамдық векторлары қарама-қарсы жаққа қарайды, ал $\vec{v}_2$ векторы екі есе ұзын.

🌟 «Вектор» сөзі латынша «тасымалдаушы» дегенді білдіреді. Нұсқаманы белгілі бір бағытпен «алып жүреді».

Векторларды қалай қосамыз

Векторларды қосуға, азайтуға, көбейтуге, бөлуге болады, бірақ арнайы ережемен. Біз әзірге векторлар бір түзуде жататын екі қарапайым жағдайды қарастырамыз.

1-жағдай. Векторлар бір бағытқа қарайды. Қосындының модулі модульдердің қосындысына тең, ал қосынды векторы да сол жаққа қарайды.

2-жағдай. Векторлар қарама-қарсы бағытқа қарайды. Қосындының модулі модульдердің айырмасына тең (үлкенінен кішісін азайтамыз), ал қосынды векторы үлкен вектордың бағытына қарайды.

Бір-біріне қарама-қарсы қозғалған велосипедшілер үшін жақындау жылдамдығының модулі $v_{\text{жақ}}=v_2-v_1=8-4=4,\text{км/сағ}$ (қарама-қарсы бағытталған жылдамдық векторларын қосқанда осылай есептейді), ал ол $\vec{v}_2$ қарай бағытталады.

Шатастыратын үш мысал

1. Жол және орын ауыстыру. Жол — скаляр: жай ғана сан. Орын ауыстыру — векторлық: сан және бағыт. «Машина 50 км жол жүрді» дегенмен оның қайда екені белгісіз.
2. Масса және дене салмағы. Масса — скалярлық: денеде зат қанша екенін білдіреді. Салмақ — векторлық: дененің тірекке қысатын немесе аспаны тартатын күші.
3. Көлем, аудан, дене өлшемдері — скалярлық. Орын ауыстыру, жылдамдық, күш — векторлық.

⚠️ Жиі кететін қате. Температура $-10,°\text{C}$ теріс болғандықтан, оның бағыты «төмен» деп ойлайды. Олай емес: минус температураның нөлден төмен екенін көрсетеді, бұл — санның жай белгісі. Температураның кеңістікте бағыты жоқ, ол скалярлық.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сұраңыз: «Мен 80 км/сағ жылдамдықпен жүрдім десем, қайда екенімді түсінесің бе?» Ол «қайда» деген сөзсіз сурет толық болмайтынын өзі байқасын. Сонда «вектор» сөзі қорқынышты болудан қалады.

Өзіңді тексер

• Қандай физикалық шамалар скалярлық шамалар деп аталады? Мысал келтір. Тек сан мәні (модулі) бар шамалар. Мысалы, масса, температура, жол, уақыт, көлем, ұзындық.
• Қандай физикалық шамалар векторлық шамалар деп аталады? Модулі және кеңістіктегі бағыты бар шамалар: жылдамдық, орын ауыстыру, күш.
• Скалярлық шама векторлық шамадан қалай ерекшеленеді? Скалярлық шамада тек сан, векторлық шамада сан да, бағыт та бар.
• Векторлық физикалық шама қалай белгіленеді? Әріптің үстіне нұсқама қояды: $\vec{v}$, $\vec{s}$, $\vec{F}$. Нұсқамасыз әріп — тек модуль.
• Суретте вектордың бағыты қалай көрсетіледі? Бағытталған кесіндімен (нұсқамамен). Кесіндінің таңдалған масштабтағы ұзындығы модульді көрсетеді.
• Қайсысы векторлық шама: жол немесе орын ауыстыру? Оны қалай анықтадың? Орын ауыстыру. Оның мәні ғана емес, бағыты да бар, ал жол бір санмен сипатталады.
• Неліктен температура мен массаны векторлық шамалар деп санауға болмайды? Оларға кеңістікте бағыт беруге болмайды: өлшем бірлігі бар сан жеткілікті.
• Дененің ұзындығы немесе көлемі векторлық шамалар ма? Жоқ, екеуі де скалярлық: бұлар тек өлшем бірліктері бар сандар.
• Мотоцикл мен мопед автовокзалдан қала көшелерімен 15 м/с жылдамдықпен қозғалады. Бұл деректер олардың орналасқан жерін 10 с-тан кейін анықтау үшін жеткілікті ме? Жоқ. Жылдамдықтың модулі белгілі, ал бағыты белгісіз. 10 с-та әрқайсысы $15\cdot10=150,\text{м}$ жүреді, бірақ автовокзалдан қай жаққа кететінін білмейміз. Көшелер әртүрлі, орындары да әртүрлі болуы мүмкін.
• Қайсысы векторлық шама: көлем немесе күш? Оны қалай анықтадың? Күш. Ол белгілі бір бағытта әсер етеді, оның сан мәні де, бағыты да бар. Көлем бір санмен сипатталады.

Жаттығуларды шығарамыз

Шығарыңдар

№ 1

«Шығарыңдар», 1-есеп. Егер $|\vec{a}|=5$, ал $|\vec{b}|=3$ болса, онда $\vec{a}$ және $\vec{b}$ векторлары қосындысының модулін анықтаңдар (4.3, а-сурет).

Қалай ойлаймыз. 4.3, а-суретке қараймыз: екі вектор да бір бағытқа (оңға) бағытталған. Демек, модульдерді қосамыз.

Шешуі. $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|=5+3=8$.

Жауабы: $8$. Қосынды векторы $\vec{a}$ және $\vec{b}$ векторларымен бір бағытқа қарайды.

№ 2

«Шығарыңдар», 2-есеп. Егер $|\vec{a}|=5$, ал $|\vec{b}|=3$ болса, онда $\vec{a}$ және $\vec{b}$ векторлары қосындысының модулін анықтаңдар (4.3, а-сурет).

Қалай ойлаймыз. Оқулықта бұл есептің шартында 4.3, а-сурет деп жазылған, бірақ ол қате: векторлары қарама-қарсы бағытталған сурет — 4.3, ә. Онда векторлар қарама-қарсы жаққа қарайды, сондықтан үлкен модульден кішісін азайтамыз.

Шешуі. $|\vec{a}+\vec{b}|=|,5-3,|=2$.

Жауабы: $2$. Қосынды векторы үлкен вектордың бағытына қарайды.

📕 Оқулықтағы қате. 2-есептің шартында «4.3, а-сурет» деп көрсетілген, ал 1-есепте де дәл сол сурет. Мағынасына қарай екінші есеп 4.3, ә-суретке қатысты болуы керек.

Түсіндіріңдер

№ 3

«Түсіндіріңдер». Екі вектор қосындысының модулі 0-ге тең болуы мүмкін бе?

Қалай ойлаймыз. Қарама-қарсы бағыттар үшін ережені еске түсір: қосындының модулі модульдердің айырмасына тең. Айырма қашан нөлге тең болады?

Жауап үлгісі. Иә, мүмкін. Екі вектор қарама-қарсы бағытталып, модульдері бірдей болуы керек: $|\vec{a}|=|\vec{b}|$. Сонда $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|-|\vec{b}|=0$. Мысалы, екі балуан арқанды әрқайсысы 300 Н күшпен қарама-қарсы жаққа тартады: жалпы әсер нөлге тең, арқан орнында тұр.

Жауабы: иә, егер векторлардың модульдері бірдей және олар қарама-қарсы бағытталса.

Жадынама

• Жол — скалярлық, орын ауыстыру — векторлық.
• Масса — скалярлық, салмақ (күш) — векторлық.
• Масштаб: бір тор көзде шаманың қанша бірлігі болса, нұсқаманың ұзындығын сол бойынша санаймыз.
• Қарама-қарсы бағытталған тең векторлар қосындысы нөл береді.

Шағын тест