§ 5. Өлшеулер мен есептеулердің дәлдігі. Үлкен және кіші сандарды жазу

Физика, 7 сынып. Оқулық: Кронгарт Б.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 тарау: Физикалық шамалар мен өлшеулер. 26–32-беттер.

Нені үйренесің

• Өлшеу қателігі неден шығатынын және онсыз неге болмайтынын түсіндіруді.
• Кез келген құрал шкаласының бөлік құнын табуды.
• Абсолюттік қателікті есептеп, нәтижені $A = a \pm \Delta a$ түрінде жазуды.
• Өте үлкен және өте кіші сандарды он дәрежесі бар стандарт түрде жазуды.
• Стандарт түрдегі сандарды көбейту мен бөлуді.

Ой қозғау

• Партаның ұзындығын абсолют дәл өлшеуге бола ма? Болмайды. Миллиметрдің сызғыш көрсетпейтін одан да ұсақ үлесі әрқашан табылады.
• Қарапайым мектеп сызғышы мен тігінші лентасы немен ерекшеленеді? Штрихтардың арақашықтығымен: сызғышта штрихтар жиі (1 мм сайын), лентада сирек (5 мм сайын).
• «Миллион» санында неше нөл бар? Алты: $1,000,000 = 10^{6}$.
• $\frac{1}{100}$-ді он дәрежесі түрінде қалай жазамыз? $10^{-2}$.

Тақырыпты талдаймыз

«Мінсіз дәл» неге болмайды

Дәрігер температураны градустың оннан бір үлесіне дейінгі дәлдікпен өлшейді. Мал дәрігері малға қосатын витаминдік қоспаны миллиграмға дейінгі дәлдікпен өлшейді. Бірақ екеуі де «қылдай дәл» санды ала алмайды. Кез келген өлшеу аздап қателеседі, ал бұл қателікті өлшеу қателігі деп атайды.

Қателіктің басты себебі — құрал. Әр құралдың шкаласы бар: сандары жазылған штрихтар, олардың бойымен жылжитын көрсеткіш (тіл, сұйықтың деңгейі, жарық сәулесі). Екі жақын штрихтың арақашықтығын бөлік деп атайды.

📕 Оқулықта дене қызуы туралы айтылғанда «36,6%» деп басылған, бірақ дұрысы «36,6 °C»: температураны пайызбен емес, Цельсий градусымен өлшейді.

Бөлік құны: бір штрих неше тұрады

Бөлік құны штрихтан көрші штрихқа өткенде өлшенетін шаманың қаншаға өзгеретінін көрсетеді. Оны қалай табамыз:

1. Шкаладағы екі жақын жазылған санды ал.
2. Үлкенінен кішісін азайт.
3. Айырманы олардың арасындағы бөлік санына бөл.

$C = \frac{a_2 - a_1}{n}$

📌 Бөлік құны неғұрлым кіші болса, өлшеу соғұрлым дәл. Құралды есепке қарай таңдау керек: стадионның ұзындығын сызғышпен өлшеу ыңғайсыз, ал қағаздың қалыңдығын 5 метрлік өлшеуіш таспамен өлшеу ыңғайсыз.

Абсолюттік қателік: бөлік құнының жартысы

Шкаланы оқығандағы қателікті бөлік құнының жартысына тең деп алады. Оны өлшеудің абсолюттік қателігі $\Delta a$ деп атайды (грекше «дельта»).

$\Delta a = \frac{C}{2}$

$C = 1$ мм сызғыш үшін $\Delta a = 0{,}5$ мм $= 0{,}05$ см шығады. $C = 5$ мм таспа үшін $2{,}5$ мм $= 0{,}25$ см шығады.

Өлшеу нәтижесін осы түзетумен жазады:

$A = a \pm \Delta a$

Білеуше мысалы. Сызғышпен ұзындығын $10{,}2$ см, таспамен $10$ см деп өлшедік. Жазамыз: сызғыш $l = (10{,}2 \pm 0{,}05)$ см береді, таспа $l = (10 \pm 0{,}25)$ см береді. Таспамен нәтиже «жайылыңқы» болады: оның мүмкін мәндер аралығы кеңірек.

📌 $l = (10{,}2 \pm 0{,}05)$ см жазуы былай оқылады: нақты ұзындық $10{,}15$ және $10{,}25$ см аралығында.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан үйдегі кез келген құралды (асүй таразысын, тілді сағатты, градусникті) алып, «көрші сандардың айырмасын штрих санына бөлеміз» деген ережемен бөлік құнын дауыстап тапқызыңыз. Тез шықса, тақырып меңгерілген.

Артық қателікті қалай болдырмаймыз

Құралдың «адал» қателігінен басқа өрескел қате болады: алаңдап қалдың, штрихты шатастырдың, сызғышты сәтсіз қойдың. Оны қайта өлшегенде байқауға болады: нәтиже күрт өзгешелеу болады. Мұндай нәтижені есептеуден алып тастайды.

Өлшегенде көз шкалаға қатаң перпендикуляр, штрих деңгейіне қарауы керек. Бүйірден қараса, санақ «ығысады». Бұл сынауықтағы немесе мензуркадағы сұйық деңгейін оқығанда ерекше байқалады.

⚠️ Жиі кететін қате. Шкалаға бұрыштан қарау. Мензурка үшін көз судың беті деңгейінде болуы керек, жоғарыдан қарауға болмайды.

Қазір көптеген құрал цифрлық: сан экранда көрінеді, ештеңе есептеудің қажеті жоқ. Бірақ олардың да қателігі бар, сондықтан нәтижені оны ескеріп жазады. Құралдың дәлдігі туралы оның дәлдік класы айтады.

Өте үлкен және өте кіші сандар

Физика жолға да сыймайтын сандармен жұмыс істейді. Жылға қарашы: $365$ тәулік $= 8760$ сағ $= 525,600$ мин $= 31,536,000$ с. Тәулікпен есептеу секундпен есептегеннен ыңғайлы.

Нөлдерді санамау үшін санды он дәрежесімен жазады:

• $1000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{3}$, демек $3000 = 3 \cdot 10^{3}$;
• $0{,}00001 = \frac{1}{100,000} = \frac{1}{10^{5}} = 10^{-5}$.

Нөлінші дәрежедегі 10 саны бірге тең: $10^{0} = 1$.

📌 Санның стандарт түрі: $a \cdot 10^{n}$. Бірінші көбейткіш $a$ әдетте 1-ден 10-ға дейін, екінші көбейткіш — дәреже көрсеткіші $n$ бар 10 саны, үтірдің неше таңба жылжығанын айтады. Үлкен сан оң $n$ береді, кіші сан теріс $n$ береді.

🌟 Жердің массасы шамамен $6 \cdot 10^{24}$ кг. Он дәрежесінсіз алтыны және 24 нөлді жазуға тура келер еді. Масаның массасы $2$ мг $= 2 \cdot 10^{-6}$ кг. Ал ұзындығы $40,000,000$ м Жер экваторы қысқаша $4 \cdot 10^{7}$ м деп жазылады. Бұл — 40 мың километр: Алматыдан Астанаға темір жолмен отыз реттен астам барып келгенмен тең.

Он дәрежесімен есептейміз

$x = a \cdot 10^{n}$ және $y = b \cdot 10^{m}$ болсын. Сонда:

$x \cdot y = ab \cdot 10^{,n+m}, \qquad \frac{x}{y} = \frac{a}{b} \cdot 10^{,n-m}$

Ереже қарапайым: сандарды бөлек есептейміз, дәреже көрсеткіштерін көбейткенде қосамыз, бөлгенде азайтамыз.

1-мысал. Бөлу

$\dfrac{36 \cdot 10^{8}}{4 \cdot 10^{-6}}$ мәнін табыңдар.

Шешуі. Сандар: $36 : 4 = 9$. Көрсеткіштер: $8 - (-6) = 14$. Демек, жауабы $9 \cdot 10^{14}$.

2-мысал. Көбейту, сан «стандартқа сай» болмай шыққанда

$5{,}2 \cdot 10^{4} \cdot 4 \cdot 10^{7}$ мәнін табыңдар.

Шешуі. $5{,}2 \cdot 4 = 20{,}8$, көрсеткіштер: $4 + 7 = 11$. $20{,}8 \cdot 10^{11}$ шығады. Нағыз стандарт түр алу үшін үтірді бір таңбаға жылжытамыз: $2{,}08 \cdot 10^{12}$.

⚠️ Жиі кететін қате. Бөлгенде көрсеткіштерді бөлмей, азайтатынын ұмыту. Тағы бір жайт: бөлімдегі теріс көрсеткішті азайтқанда «минус минус» болады: $8 - (-6) = 14$, ал $2$ емес.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Өлшеуіш құралының шкаласы деп нені айтады? Бойымен көрсеткіш құралдың тілі, сұйықтың деңгейі, жарық сәулесі жылжитын, сандары бар белгілер. Құралдың басты бөлігі — шкала: оның көрші штрихтарының арақашықтығы — бөлік.
• Құрал шкаласының бөлік құны дегеніміз не және оны қалай анықтауға болады? Бұл — бір бөлікке сәйкес келетін шаманың мәні. Оны табу үшін екі жақын жазылған санды алып, үлкенінен кішісін азайтады да, олардың арасындағы бөлік санына бөледі.
• Өлшеу қателігі дегеніміз не? Нәтиженің болмай қоймайтын дәлсіздігі. Ол құралға және онымен қалай жұмыс істегенге байланысты.
• Абсолюттік қателік дегеніміз не? Құрал шкаласының бөлік құнының жартысына тең қателік. Бөлік құны 1 мм сызғыш үшін ол $0{,}5$ мм.
• Шаманы қалай дәлірек өлшеуге болатынын түсіндір. Бөлік құны ең кіші, жарамды құралды алу, шкалаға дұрыс қарау (көз штрихқа перпендикуляр), өлшеуді қайталау және өрескел қателерді тастау.
• Неліктен үлкен және кіші сандарды стандарт түрде жазу ыңғайлы? Ондаған нөлді санап, қайта жазудың қажеті жоқ, қателесу мүмкіндігі аз, ал көбейту мен бөлу әлдеқайда оңай: дәреже көрсеткіштерін қосады немесе азайтады.
• Жер планетасының көлемі $1,083,000,000,000$ км³. Осы көлемді стандарт түрде көрсет. $1{,}083 \cdot 10^{12}$ км³. Санда бірінші таңбадан кейін 12 таңба бар, сондықтан көрсеткіш 12-ге тең.

Жаттығуларды шығарамыз

Шығарыңдар

№ 1

«Шығарыңдар», 1-есеп. Санды негізі бар дәреже түрінде көрсетіңдер (мысалы: $0{,}01 = 10^{-2}$, $50,000 = 5 \cdot 10^{4}$). 1-кестедегі сандарды стандарт түрде жазыңдар: $300$; $10,000$; $\frac{1}{100}$; $0{,}00000012$; $7000$; $5,000,000$; $0{,}0004$; $0{,}0000000008$.

Қалай ойлаймыз. Сан үлкен болса, үтірді солға неше таңбаға жылжытқанымызды санаймыз, бұл — оң дәреже. Сан кіші болса, үтірді оңға жылжытамыз, бұл — теріс дәреже.

Шешуі.

1. $300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^{2}$.
2. $10,000 = 10^{4}$.
3. $\frac{1}{100} = 10^{-2}$.
4. $0{,}00000012$: үтірді 7 таңбаға оңға жылжытамыз, $1{,}2$ шығады. Демек, $1{,}2 \cdot 10^{-7}$.
5. $7000 = 7 \cdot 10^{3}$.
6. $5,000,000 = 5 \cdot 10^{6}$.
7. $0{,}0004 = 4 \cdot 10^{-4}$.
8. $0{,}0000000008$: үтірді 10 таңбаға оңға жылжытамыз, $8$ шығады. Демек, $8 \cdot 10^{-10}$.

Жауабы: 1) $3 \cdot 10^{2}$; 2) $10^{4}$; 3) $10^{-2}$; 4) $1{,}2 \cdot 10^{-7}$; 5) $7 \cdot 10^{3}$; 6) $5 \cdot 10^{6}$; 7) $4 \cdot 10^{-4}$; 8) $8 \cdot 10^{-10}$.

Талдаңдар

№ 2

«Талдаңдар», 1-есеп. Оқушы сызғышының бөлік құнын анықтаңдар. Оның көмегімен қаламның ұзындығын өлшеңдер.

Қалай ойлаймыз. Сызғыштағы екі жақын жазылған санды ал (мысалы, 1 және 2 см), азайтып, олардың арасындағы штрих санына бөл. Содан кейін қаламды сызғыштың нөліне қой.

Шешуі.

1. 1 және 2 см арасында 10 бөлік бар: $C = \frac{2-1}{10} = 0{,}1$ см $= 1$ мм.
2. Қателік $\Delta l = \frac{C}{2} = 0{,}5$ мм $= 0{,}05$ см.
3. Қалам $14{,}6$ см белгісінде аяқталсын делік. Жазамыз: $l = (14{,}60 \pm 0{,}05)$ см. Сенің қаламыңның ұзындығы өзіндік болады.

Жауабы: бөлік құны $1$ мм; қаламның ұзындығы, мысалы, $l = (14{,}60 \pm 0{,}05)$ см (әрқайсысында нәтиже өзінше).

№ 3

«Талдаңдар», 2-есеп. Өлшеуіш таспаның бөлік құнын анықтаңдар. Оның көмегімен үйдегі үстелдің ұзындығы мен енін өлшеңдер. Өлшеу қателігін есептеңдер.

Қалай ойлаймыз. Таспадан екі санды тауып, олардың арасындағы бөліктерді сана. Содан кейін абсолюттік қателік — бөлік құнының жартысы.

Шешуі.

1. Оқулықтағы таспада көрші сандардың арасында 2 бөлік бар, сондықтан $C = \frac{2-1}{2} = 0{,}5$ см. (Егер сенің таспаңда штрихтар жиірек болса, өз шкалаң бойынша сана.)
2. $\Delta l = \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25$ см.
3. Үстелдің ұзындығы $120{,}0$ см, ені $60{,}5$ см болды делік. Жазамыз: $l = (120{,}00 \pm 0{,}25)$ см, $b = (60{,}50 \pm 0{,}25)$ см.

Жауабы: бөлік құны $0{,}5$ см, қателік $0{,}25$ см; нәтиже үлгісі: $l = (120 \pm 0{,}25)$ см, $b = (60{,}5 \pm 0{,}25)$ см.

№ 4

«Талдаңдар», 3-есеп. Мензурканың өлшеу шегін және бөлік құнын анықтаңдар. Мензуркадағы судың көлемін, суға батырылған дененің көлемін, судың температурасын анықтаңдар (5.5-сурет).

Қалай ойлаймыз. Мензуркалардағы 8, 10, 12 мл жазуларына қара. Көрші жазулардың арасында (2 мл сайын) бір штрих тұр, демек штрихтар 1 мл сайын жүреді. Дененің көлемі — денемен және денесіз судың деңгейінің айырмасы.

Шешуі.

1. Бөлік құны: $C = \frac{10 - 8}{2} = 1$ мл (8 және 10 жазуларының арасында екі бөлік).
2. Қателік: $\Delta V = \frac{C}{2} = 0{,}5$ мл.
3. Денесіз су (а-сурет): деңгей 8 жазуында, $V_1 = (8 \pm 0{,}5)$ мл. Мұнда су температурасын өлшейтін термометр түсірілген: үлкейтілген бөлікте қызыл баған шамамен $60,°\text{C}$ белгісінде тұр.
4. ә) суреттегі дене: су 10 мл-ге дейін көтерілді, $V_2 = 10$ мл. Дененің көлемі $V = 10 - 8 = 2$ мл.
5. б) суреттегі дене: су 12 мл-ге дейін көтерілді. Дененің көлемі $V = 12 - 8 = 4$ мл.
6. Өлшеу шегі — шкаланың төменгі штрихынан жоғарғы жазылған санға дейін. Суретте шкаланың бір бөлігі көрінбейді, сондықтан жоғарғы шекті нақты мензуркадан қара.

Жауабы: $C = 1$ мл, $\Delta V = 0{,}5$ мл; су $8$ мл; ә) суретте дене шамамен $2$ мл, б) суретте шамамен $4$ мл; судың температурасы шамамен $60,°\text{C}$.

№ 5

«Талдаңдар», 4-есеп. Медициналық термометрдің құрылысын қарастырыңдар (5.6-сурет). Термометр шкаласының бөлік құнын, жоғарғы және төменгі шектерін анықтаңдар.

Қалай ойлаймыз. Бүтін градустар жазылған: 34, 35, 36 және т.с.с. Екі көрші жазудың арасында он ұсақ штрих бар.

Шешуі.

1. $C = \frac{37 - 36}{10} = 0{,}1,°\text{C}$.
2. Шкала $34,°\text{C}$-тан басталып, $42,°\text{C}$-та аяқталады. Бұл — төменгі және жоғарғы шектер.
3. Суреттегі баған $36{,}6,°\text{C}$ белгісіне жеткен — дене қызуының қалыпты мәні. Қателік $\Delta t = 0{,}05,°\text{C}$.

Жауабы: бөлік құны $0{,}1,°\text{C}$; төменгі шегі $34,°\text{C}$, жоғарғы шегі $42,°\text{C}$.

№ 6

«Талдаңдар», 5-есеп. Өлшеуіш цилиндрдің бөлік құнын және оның ішіндегі судың көлемін анықтаңдар (5.7-сурет).

Қалай ойлаймыз. Жазылған екі санды (мысалы, 80 және 100) алып, олардың арасындағы штрихтарды санаймыз.

Шешуі.

1. $20, 40, 60, 80, 100$ мл жазылған. 80 және 100 арасында төрт бөлік бар: $C = \frac{100 - 80}{4} = 5$ мл.
2. Судың деңгейі 60 және 80 жазуларының арасында, 70-ке жақынырақ. Көлемі шамамен $70$ мл.
3. Қателік $\Delta V = 2{,}5$ мл. Жазылуы: $V = (70 \pm 2{,}5)$ мл.

Жауабы: $C = 5$ мл, $V \approx 70$ мл.

№ 7

«Талдаңдар», 6-есеп. Сызғыштың бөлік құнын және білеушенің биіктігін анықтаңдар (5.8-сурет).

Қалай ойлаймыз. Алдымен сызғыштың бөлік құны: 1 және 2 см арасында тағы да көптеген ұсақ штрих бар. Содан кейін білеуше қай штрихта аяқталатынына қараймыз.

Шешуі.

1. Көрші сандардың арасында 10 ұсақ бөлік бар, сондықтан $C = \frac{2-1}{10} = 0{,}1$ см $= 1$ мм.
2. Білеуше нөлдік штрихтан 5 см белгісіне дейін созылады.
3. Қателік $0{,}05$ см. Биіктігі $h = (5{,}0 \pm 0{,}05)$ см.

Жауабы: $C = 1$ мм, $h = (5{,}0 \pm 0{,}05)$ см.

№ 8

«Талдаңдар», 7-есеп. Жіптің диаметрін анықтаңдар (5.9-сурет).

Қалай ойлаймыз. Бір жіптің диаметрі сызғышпен өлшеуге тым кіші. Сондықтан барлық оралған жіптің ұзындығын $l$ өлшеп, орам санына $n$ бөлеміз: $d = \frac{l}{n}$. Бұл — зертханалық жұмыстағы қатарлар тәсілі.

Шешуі.

1. Сызғыштың бөлік құны $1$ мм.
2. Суреттегі орам шамамен 2,0 см белгісінен басталып, 3,8 см шамасында аяқталады. Ұзындығы $l \approx 1{,}8$ см $= 18$ мм.
3. Суреттегі орамдарды санаймыз: шамамен $n = 12$.
4. $d = \frac{18,\text{мм}}{12} = 1{,}5$ мм.
5. Қателік $\Delta d = \frac{0{,}5,\text{мм}}{12} \approx 0{,}04$ мм: ол сызғыштың өз қателігінен 12 есе кіші.

Жауабы: $d \approx 1{,}5$ мм.

Жадынама

• Көз әрқашан шкала штрихына перпендикуляр қарайды.
• Өрескел қатені қайта өлшеп табады және есептеуден алып тастайды.
• Үлкен сан оң көрсеткіш береді, кіші сан теріс көрсеткіш береді.
• $365$ тәулік $\approx 3{,}15 \cdot 10^{7}$ с, Жердің массасы $6 \cdot 10^{24}$ кг.

Шағын тест