§ 8. Бірқалыпты және бірқалыпсыз түзу сызықты қозғалыс. Жылдамдық және орташа жылдамдықты есептеу

Физика, 7 сынып. Оқулық: Кронгарт Б.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 тарау: Механикалық қозғалыс. 47–53-беттер.

Нені үйренесің

• Бірқалыпты түзу сызықты қозғалысты бірқалыпсыздан ажыратуды.
• $x=x_0+vt$ қозғалыс теңдеуін жазуды және оның көмегімен дененің орнын табуды.
• Орташа жылдамдықты есептеуді және оны жылдамдықтардың арифметикалық ортасымен шатастырмауды.
• Жылдамдық жолдың не уақыттың бөліктері бойынша өзгеретін есептерді шығаруды.

Ой қозғау

• Дененің жылдамдығы нені көрсетеді? Дененің жолды қаншалықты тез өтетінін: бір секунд ішінде қанша метр жүріп немесе жүгіріп өтетінін.
• Жылдамдық белгілі болса, жолды қандай формуламен есептейді? $s=vt$: жылдамдықты уақытқа көбейтеміз.
• Траектория дегеніміз не? Дене қозғалатын сызық.

💡 Алматы — Астана пойызы көп сағат жүреді. Ол бүкіл уақыт бірдей жылдамдықпен жүре ме? Әрине, жоқ: орнынан қозғалады, жылдамдайды, станцияларда тоқтайды. Мұндай сапарды бір сан арқылы қалай сипаттауға болатынын қазір білеміз.

Тақырыпты талдаймыз

Ең қарапайым қозғалыс

Қозғалыс қисық сызық бойымен де, түзу бойымен де болады. Жылдамдық өзгеріп те, тұрақты да болуы мүмкін. Ең қарапайым жағдай: дене түзу бойымен жүреді және жылдамдығы өзгермейді.

📌 Бірқалыпты түзу сызықты қозғалыс — дене түзу бойымен жүреді, оның жылдамдығы шамасы бойынша да, бағыты бойынша да өзгермейді. Кез келген бірдей уақыт аралығында ол бірдей қашықтық өтеді.

Табиғатта бұл сирек кездеседі. Бірақ қысқа уақыт ішінде көп дене осыған жақын қозғалады: жол түзу бөлігіндегі электровоз, метродағы эскалатор.

$t$ уақыттан кейін дене қайда болады?

Электровоз түзу темір жол бойымен жүріп келеді. $x$ осін рельстер бойымен бағыттайық. Басында ол $x_0$ нүктесінде тұрды, содан кейін $x$ нүктесіне жетті. Қозғалыс түзу және бір бағытта, сондықтан жол мен орын ауыстыру бірдей:

$s=vt$, және де $s=x-x_0$.

Бұдан: дененің қайда болатынын табу үшін бастапқы координатаға орын ауыстыруды қосу керек.

📌 Бірқалыпты түзу сызықты қозғалыс теңдеуі: $x=x_0+vt$

Мысал: дене 10 м белгісінен басталып, 3 м/с жылдамдықпен жүреді. Сонда $x=10+3t$. 5 с-тан кейін: $x=10+3\cdot5=25$ м.

Әр секунд сайын координата бір санға (3 м-ге) артады. Сондықтан график — түзу сызық.

⚠️ Жиі кететін қате. $x_0$-ді ұмытып, $x=vt$ деп жазады. Бұл тек дене нөлден басталғанда ғана дұрыс. Егер ол 10 м белгісінен басталса, 10 м-ді қосу керек.

Ал өмірде ше?

Автобус аялдамадан жылжиды: жылдамдығы артады. Келесі аялдамаға жақындайды: жылдамдығы азаяды. Шарик көлбеу науамен төмен домалайды — жылдамдығы артады, жоғары домалайды — кемиді. Блок арқылы ілінген жүк тартатын арбаша да жылдамдайды.

📌 Бірқалыпсыз түзу сызықты қозғалыс — дене түзу бойымен жүреді, бірақ бірдей уақыт аралығында әртүрлі қашықтық өтеді.

7-сыныпта біз тек түзу сызықты қозғалысты қарастырамыз. Онда жол мен орын ауыстыру — бір сан.

Орташа жылдамдық

«Астана — Алматы пойызының жылдамдығы» дегенде қандай да бір аспаптың көрсеткіші емес, орташа жылдамдық айтылады.

📌 Орташа жылдамдық — бүкіл жолды қозғалыстың бүкіл уақытына бөлгенге тең: $v_{\text{орт}}=\frac{s}{t}$

⚠️ Жиі кететін қате. Орташа жылдамдықты «арифметикалық орта» деп есептейді: $\frac{v_1+v_2}{2}$. Әдетте бұл дұрыс емес. Мысалы, сен жолдың жартысын 80 км/сағ, екінші жартысын 20 км/сағ жылдамдықпен жүрдің. Арифметикалық орта — 50 км/сағ, ал шынайы орташа жылдамдық — 32 км/сағ. Неге олай екенін 3-мысалдан қара.

🌟 Алматы — Астана ұшағы шамамен 800 км/сағ жылдамдықпен ұшады, ал пойыз орта есеппен он есе баяу жүреді. Бірақ ұшақтың да ұшып көтерілгендегі, ұшудағы және қонудағы жылдамдығы әртүрлі, сондықтан кестеде де орташа жылдамдық тұрады.

1-мысал. Бірқалыпты қозғалыс

Пойыз бірқалыпты жүріп, 1,5 сағ ішінде 90 км жол жүреді. Жылдамдығын тап.

Берілгені: $s=90,\text{км}$, $t=1{,}5,\text{сағ}$. ХБЖ: $s=90,000,\text{м}$, $t=5400,\text{с}$. Табу керек: $v$.

Шешуі. $v=\frac{s}{t}=\frac{90,000,\text{м}}{5400,\text{с}}\approx16{,}7,\text{м/с}$. км/сағ-пен: $\frac{90,\text{км}}{1{,}5,\text{сағ}}=60,\text{км/сағ}$.

Жауабы: $60,\text{км/сағ}\approx16{,}7,\text{м/с}$.

2-мысал. Тоқтаулары бар кездегі орташа жылдамдық

Пойыз 30 км-ді 40 мин-та жүріп өтеді, содан кейін тағы 30 км-ді 20 мин-та жүреді. Бүкіл жолдағы орташа жылдамдығы қандай?

Берілгені: $s_1=s_2=30,\text{км}$, $t_1=40,\text{мин}$, $t_2=20,\text{мин}$.

Шешуі. Мұнда ХБЖ-ге аудармай, километр мен сағатты алған ыңғайлы.

1. Бүкіл жол: $s=30+30=60$ км.
2. Бүкіл уақыт: $t=40+20=60$ мин $=1$ сағ.
3. $v_{\text{орт}}=\frac{60,\text{км}}{1,\text{сағ}}=60,\text{км/сағ}$.

Жауабы: $60,\text{км/сағ}$.

3-мысал. Жолдың жартысы бір жылдамдықпен, жартысы екінші жылдамдықпен

Автомобиль жолдың бірінші жартысын 60 км/сағ, екінші жартысын 40 км/сағ жылдамдықпен жүріп өтті. Бүкіл жолдағы орташа жылдамдықты тап.

📌 Егер жолдың жартысын әртүрлі жылдамдықпен өтсе, онда $v_{\text{орт}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$. Бұл жағдайда арифметикалық орта жарамайды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сұраңыз: «Егер жолдың жартысын 60, жартысын 40-пен жүрсек, неге орташасы 50 емес?» Кеңес: машина көбірек уақытты қай бөлікте өткізді: жылдам бөлікте ме, әлде баяу бөлікте ме?

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай қозғалыс бірқалыпты түзу сызықты қозғалыс деп аталады? Дененің жылдамдығы өзгермейтін және кез келген бірдей уақыт аралығында бірдей жол жүріп өтетін түзу бойымен қозғалыс.
• Бірқалыпты түзу сызықты қозғалыс кезіндегі жолды қалай есептейді? Жылдамдықты уақытқа көбейтеді: $s=vt$.
• Бірқалыпты түзу сызықты қозғалатын дененің қозғалыс теңдеуі қандай? $x=x_0+vt$.
• Бірқалыпсыз қозғалыс деп қандай қозғалысты айтады? Бірқалыпсыз қозғалысқа мысалдар келтір. Дене бірдей уақыт аралығында әртүрлі қашықтық жүріп өтетін қозғалыс. Мысалдар: автобус аялдамадан жылжиды, шарик науамен домалайды, тежеліп бара жатқан пойыз.
• Бірқалыпсыз қозғалысты қандай жылдамдық сипаттайды? Орташа жылдамдық.
• Дененің орташа жылдамдығын біле тұра, оның кез келген уақыт мезетіндегі орнын анықтауға бола ма? Неліктен? Жоқ. Орташа жылдамдық тек бүкіл уақыттың қорытындысын көрсетеді, ал дененің ішінде қалай қозғалғанын көрсетпейді: ол тоқтауы, жылдамдауы, тежелуі мүмкін. Сондықтан нақты мезеттегі орнын одан табуға болмайды.
• Бірқалыпсыз қозғалыстың орташа жылдамдығы қандай формуламен есептеледі? $v_{\text{орт}}=\frac{s}{t}$: бүкіл жолды бүкіл уақытқа бөлу.

Жаттығуларды шығарамыз

Тәжірибе жасаңдар

№ 1

«Тәжірибе жасаңдар», 1-тапсырма. Көрші екі үйдің арасындағы жолды бірдей қадаммен бір бағытта қозғала отырып, жүрген жолды, орын ауыстыруды және орташа жылдамдықты анықтаңдар. Қозғалыс уақытын секундтық тілі бар сағаттың көмегімен өлшеңдер.

Қалай ойлаймыз. Жолды қадаммен немесе рулеткамен өлшеуге болады. Сен түзу жүріп, кері бұрылмағандықтан, жол орын ауыстыруға тең.

Шешуі. Өлшеу үлгісі: 0,75 м-лік 48 қадам, демек, $s=48\cdot0{,}75=36$ м. Секундомермен уақыт $t=30$ с. Сонда $v_{\text{орт}}=\frac{s}{t}=\frac{36,\text{м}}{30,\text{с}}=1{,}2,\text{м/с}$.

Жауабы: жол мен орын ауыстыру бірдей (мысалда 36 м-ден), орташа жылдамдық шамамен 1,2 м/с (сенде сандар өзгеше болады; қадамның қалыпты жылдамдығы 1–1,5 м/с).

💡 Әртүрлі бөліктегі уақытты өлшесең, нәтиже аздап әртүрлі шығады: сен біресе сәл жылдамдайсың, біресе баяулайсың. Бұл — бірқалыпсыз қозғалыс.

№ 2

«Тәжірибе жасаңдар», 2-тапсырма. Қолдарыңда теннис добы және шар бар. Оларды еденнен 1,5–2 м жоғары көтеріп, еденге тастаңдар. Осы екі дененің жылдамдығын анықтаңдар. Қандай жылдамдық туралы айтып отырмыз? Денелер қалай қозғалады?

Қалай ойлаймыз. Шарлар түзу төмен құлайды. Ойлан: олар тұрақты жылдамдықпен құлай ма, әлде барған сайын жылдамдай ма?

Шешуі. Тәжірибе: шарларды шамамен 1,6 м биіктіктен жіберіп, құлау уақытын өлше (телефонға бейнеге түсіріп, кадр-кадрмен көрген дұрыс). Мысалы, $t\approx0{,}57$ с. Сонда орташа жылдамдық $v_{\text{орт}}=\frac{1{,}6,\text{м}}{0{,}57,\text{с}}\approx2{,}8,\text{м/с}$. Мұнда дәл орташа жылдамдық туралы айтылады: жіберген мезетте жылдамдық нөлге тең, еденге жеткенде үлкенірек (шамамен 5–6 м/с). Демек, құлау бірқалыпсыз: жылдамдық артады. Екі шар да дерлік бірдей құлайды, айырмашылығы аз (жеңіл теннис добына ауа сәл көбірек кедергі жасайды).

Жауабы: орташа жылдамдықты $v_{\text{орт}}=\frac{s}{t}$ бойынша есептейміз (1,5–2 м биіктікте шамамен 2–3 м/с); қозғалыс түзу сызықты бірқалыпсыз.

⚠️ Тәжірибені сынғыш заттар жоқ еденде жаса. Шарды лақтырма, тек жіберіп қой, ол секіріп бетіңе тиіп кетпесін, аяғыңа түспесін.

Бақылаңдар

№ 3

«Бақылаңдар» (нөмірсіз тапсырма, сары шаршымен белгіленген). Автомобильмен келе жатып спидометр көрсеткішін бақылаңдар. Ол қандай жылдамдықты көрсетеді? Спидометрдің көмегімен нені анықтайды: қашықтықты ма, әлде орын ауыстыруды ма? Жауаптарыңды негіздеңдер.

Қалай ойлаймыз. Ойлан: егер саяжайға барып, үйге қайтып келсең, километр санағышы не көрсетеді?

Шешуі. Спидометр автомобильдің осы мезеттегі жылдамдығын, яғни дәл қазір қаншалықты тез жүріп бара жатқанын көрсетеді. Бұл жылдамдық өзгереді: бағдаршамда ол нөлге тең, тасжолда үлкен. Қасындағы жүріс санағышы жүрілген жолды есептейді. «Барып-қайту» сапарынан кейін орын ауыстыру нөлге тең (сен сол нүктеге қайттың), ал санағыш бәрібір ондаған километр көрсетеді.

Жауабы: спидометр осы мезеттегі жылдамдықты көрсетеді (ол өзгереді); жүріс санағышының көрсеткіші бойынша жүрілген жолды анықтайды, орын ауыстыруды емес.

🌟 Автомобиль санағышы дәл жолды есепке алады. Сондықтан «шеңберлі» жарыстар болады: онда машиналар жүздеген километр жүреді, ал олардың бір айналымдағы орын ауыстыруы — нөл.

Талдаңдар

№ 4

«Талдаңдар», 1-тапсырма. ⭐ күрделілігі жоғары тапсырма — байқап көргенің жақсы! Дененің бірқалыпты қозғалатынын тәжірибеде қалай анықтауға болады?

Қалай ойлаймыз. Анықтаманы еске түсір: кез келген бірдей уақыт аралығында дене бірдей қашықтық өтеді.

Жауап үлгісі. Жол бойына белгілерді (километрлік бағаналарды, плиткаларды, бормен белгілерді) таңдап, уақытты өлшеңдер. Немесе бірдей уақыт аралықтарын (мысалы, әр 10 с-тан) белгілеп, әрқайсысында дененің қанша жүргенін өлшеңдер.

• Егер бірдей уақыт аралығындағы қашықтықтар бірдей болса, дене бірқалыпты қозғалады.
• Егер әртүрлі болса, бірқалыпсыз. Автомобиль үшін бірінші жағдайда спидометр тілі бір орында тұрады.

Жауабы: бірдей уақыт аралықтарында жүрілген жолдарды өлшеу керек; егер олар бірдей болса, қозғалыс бірқалыпты.

№ 5

«Талдаңдар», 2-тапсырма. ⭐ күрделілігі жоғары тапсырма — байқап көргенің жақсы! Механикалық қозғалысқа қатысты зертханалық жұмысты орындағанда оқушылар екі дененің жүріп өткен жолы мен уақыты туралы мәліметтерді кестеге енгізді. Кестедегі мәліметтерді талдап, денелердің қозғалысы туралы қорытынды жасаңдар. Екі дененің жүрген жолының уақытқа тәуелді графигін салыңдар. 1-дене: қашықтық 2, 4, 6, 8, 10, 12 м, уақыт 4, 8, 12, 16, 20, 24 с. 2-дене: қашықтық 4, 9, 16, 25, 36, 49 м, уақыт 4, 6, 8, 10, 12, 14 с.

Қалай ойлаймыз. Дененің бірдей уақыт аралығында қанша жүретінін тап. Ол үшін көрші мәндердің айырмасын есепте.

Шешуі. 1-дене. Уақыт 4 с-қа артады, әр жолы қашықтық 2 м-ге артады. Демек, бірдей уақыт аралығында (4 с-тан) бірдей жол жүреді: $v=\frac{2,\text{м}}{4,\text{с}}=0{,}5$ м/с. Жылдамдық тұрақты — қозғалыс бірқалыпты. Тағы тексеру: $\frac{s}{t}$ барлық жерде 0,5 м/с.

2-дене. Уақыт 2 с-қа артады, ал қашықтық 5, 7, 9, 11, 13 м-ге артады. Бірдей уақыт аралықтарында (2 с-тан) жолдар әртүрлі және барған сайын көбейеді. Осы аралықтардағы жылдамдық: $\frac{5}{2}=2{,}5$; $\frac{7}{2}=3{,}5$; $\frac{9}{2}=4{,}5$; $5{,}5$; $6{,}5$ м/с. Демек, дене жылдамдайды — қозғалыс бірқалыпсыз.

1-дене — түзу сызық, 2-дене — барған сайын тіктеп жоғары көтерілетін сызық.

Жауабы: 1-дене 0,5 м/с жылдамдықпен бірқалыпты қозғалады (график — түзу сызық), 2-дене бірқалыпсыз қозғалады: оның жылдамдығы артады (график — қисық, барған сайын тіктей түседі).

Шығарыңдар

№ 6

«Шығарыңдар», 1-есеп. Метро эскалаторы 80 см/с жылдамдықпен қозғалады. Жолаушы эскалатормен байланысқан санақ жүйесінде 0,2 м/с жылдамдықпен қозғалыс бағытында келе жатыр. Жолаушының жерге қатысты 64 м орын ауыстыруына кеткен уақытты табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Эскалатор апарады және жолаушы жүреді, демек, олардың жерге қатысты жылдамдықтары қосылады.

Шешуі. Берілгені: $v_1=80,\text{см/с}=0{,}8,\text{м/с}$, $v_2=0{,}2,\text{м/с}$, $s=64,\text{м}$.

1. $v=v_1+v_2=0{,}8+0{,}2=1,\text{м/с}$.
2. $t=\frac{s}{v}=\frac{64,\text{м}}{1,\text{м/с}}=64,\text{с}$.

Жауабы: 64 с (оқулықтағы жауаппен сәйкес).

№ 7

«Шығарыңдар», 2-есеп. Жеңіл және жүк көліктері бірдей 50 км/сағ жылдамдықпен қозғалып келеді. Жеңіл көліктің: а) Жермен; ә) жүк көлігімен байланысқан санақ жүйелеріндегі қозғалысын сипаттаңдар. Екі жағдайды қарастырыңдар: 1) көліктер бір бағытта; 2) бір-біріне қарама-қарсы қозғалып келеді.

Қалай ойлаймыз. Жылдамдық қайдан қарағаныңа байланысты. Егер жерден қарасақ, бұл — әдеттегі жылдамдық. Егер жүк көлігінен қарасақ, оның өз қозғалысын ескеру керек: бір бағытта қозғалғанда жылдамдықтар азайтылады, қарама-қарсы қозғалғанда қосылады.

Шешуі. а) Жер санақ жүйесінде жеңіл көлік екі жағдайда да 50 км/сағ жылдамдықпен жүреді. ә) Бір бағытта: жүк көлігіне қатысты жеңіл көліктің жылдамдығы $50-50=0$, яғни ол жүк көлігінің қасында тұрғандай болады. Қарама-қарсы: жүк көлігіне қатысты жеңіл көліктің жылдамдығы $50+50=100$ км/сағ, ол осы жылдамдықпен жақындайды (ал кездескеннен кейін алыстайды).

Жауабы: а) екі жағдайда да 50 км/сағ; ә) бір бағытта — 0 (жүк көлігіне қатысты тыныштықта); қарама-қарсы — 100 км/сағ.

№ 8

«Шығарыңдар», 3-есеп. ⭐ күрделілігі жоғары тапсырма — байқап көргенің жақсы! Автомобиль жүрген жолының бірінші жартысын 30 м/с жылдамдықпен, ал екінші жартысын 72 км/сағ жылдамдықпен қозғалды. Автомобильдің барлық жолдағы орташа жылдамдығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бірінші ереже: жылдамдықтарды бір бірлікке келтір. Екінші: жолдың жартылары болса, $\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$ формуласы қолданылады, арифметикалық орта емес.

Шешуі. Берілгені: $v_1=30,\text{м/с}$, $v_2=72,\text{км/сағ}=\frac{72,000,\text{м}}{3600,\text{с}}=20,\text{м/с}$. $v_{\text{орт}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}=\frac{2\cdot30\cdot20,\text{м/с}}{30+20}=\frac{1200}{50},\text{м/с}=24,\text{м/с}$.

Жауабы: 24 м/с (оқулықпен сәйкес).

⚠️ Арифметикалық орта 25 м/с берер еді. Бұл дұрыс емес: екінші жартысында автомобиль баяуырақ жүріп, көбірек уақыт жұмсады.

№ 9

«Шығарыңдар», 4-есеп. ⭐ күрделілігі жоғары тапсырма — байқап көргенің жақсы! Адам жүрген жолының үштен бір бөлігін велосипедпен 15 км/сағ, ал қалған бөлігін жаяу 5 км/сағ-пен жүріп өтті. Барлық жолдағы оның орташа жылдамдығы қандай?

Қалай ойлаймыз. Бүкіл жолды $s$ әрпімен белгілейік. Жылдамдықтар әртүрлі, жол үлестері де әртүрлі (үштен бір және үштен екі). Әр бөліктегі уақытты тауып, қосамыз.

Шешуі.

1. Бірінші бөлік: $s_1=\frac{s}{3}$, $t_1=\frac{s/3}{15}=\frac{s}{45}$.
2. Екінші бөлік: $s_2=\frac{2s}{3}$, $t_2=\frac{2s/3}{5}=\frac{2s}{15}=\frac{6s}{45}$.
3. Бүкіл уақыт: $t=\frac{s}{45}+\frac{6s}{45}=\frac{7s}{45}$.
4. $v_{\text{орт}}=\frac{s}{t}=\frac{45}{7}\approx6{,}4,\text{км/сағ}$.

Жауабы: $\approx6{,}4$ км/сағ (оқулықпен сәйкес).

№ 10

«Шығарыңдар», 5-есеп. ⭐ күрделілігі жоғары тапсырма — байқап көргенің жақсы! Жаяу жүргінші жолдың бір бөлігін 3 км/сағ жылдамдықпен жүріп өтті, бұған жалпы қозғалыс уақытының 2/3 бөлігін жұмсады. Қалған жолды 6 км/сағ жылдамдықпен жүрді. Жаяу жүргіншінің барлық жолдағы орташа жылдамдығы қандай?

Қалай ойлаймыз. Енді жолдың емес, уақыттың үлестері белгілі. Бүкіл уақыт $T$ болсын, екі жолды да табайық.

Шешуі.

1. Бірінші бөлік: уақыты $\frac{2T}{3}$, жолы $s_1=3\cdot\frac{2T}{3}=2T$.
2. Екінші бөлік: уақыты $\frac{T}{3}$, жолы $s_2=6\cdot\frac{T}{3}=2T$.
3. Бүкіл жол $s=2T+2T=4T$.
4. $v_{\text{орт}}=\frac{4T}{T}=4,\text{км/сағ}$.

Жауабы: 4 км/сағ (оқулықпен сәйкес).

💡 Мұнда дәл «сәті түсті»: уақыт үлестері тең (жартыдан) болғанда, орташа жылдамдық арифметикалық ортаға тең. Бұл жерде үлестер әртүрлі (2/3 және 1/3), бірақ әдемі шықты.

№ 11

«Шығарыңдар», 6-есеп. ⭐ күрделілігі жоғары тапсырма — байқап көргенің жақсы! Автомобиль жолының жартысын 60 км/сағ жылдамдықпен, қалған уақытының жартысын 15 км/сағ, ал соңғы бөлігін 45 км/сағ жылдамдықпен жүрді. Автомобильдің барлық жолдағы орташа жылдамдығы қандай?

Қалай ойлаймыз. Мұнда шарттың екі түрі қосылған: бірінші жартысы жол бойынша берілген, ал екінші жартысы уақыт бойынша бөлінген. Екінші жартысының әр бөлігінің уақытын бір $\tau$ әрпімен белгіле.

Шешуі. Жоғарыдағы қадамдарды қара: $v_{\text{орт}}=\frac{s}{t}=\frac{s}{s/40}=40,\text{км/сағ}$.

Жауабы: 40 км/сағ (оқулықпен сәйкес).

№ 12

«Шығарыңдар», 7-есеп. ⭐ күрделілігі жоғары тапсырма — байқап көргенің жақсы! Алматыдан біріншісінен екіншісі 12 мин кейінірек шыққан екі автомобиль бірдей жылдамдықпен қозғалып келеді. Олар жолда 30 мин интервалмен велосипедшіні басып озды. Автомобильдердің жылдамдығы велосипедшінің жылдамдығынан неше есе артық?

Қалай ойлаймыз. Бірінші машина велосипедшіні қуып жеткен кезде екінші машина одан 12 мин жолға, яғни $12v$ қашықтыққа (жылдамдық $v$ көбейтілген 12 мин) артта болды. Одан әрі екінші машина велосипедшіні қуады. 30 мин ішінде ол осы қашықтықты жабуы керек.

Шешуі. Машиналардың жылдамдығы $v$, велосипедшінікі $u$ болсын. Екінші машинаның велосипедшіні қуып жету уақыты: қашықтық / жақындасу жылдамдығы.

1. Бірінші машина озған мезетте екінші машина мен велосипедші арасындағы қашықтық: $12v$ (уақытты минутпен алсақ).
2. Жақындасу жылдамдығы: $v-u$.
3. Уақыт: $\frac{12v}{v-u}=30$.
4. $12v=30v-30u$, бұдан $30u=18v$, яғни $\frac{v}{u}=\frac{30}{18}=\frac{5}{3}\approx1{,}67$.

Жауабы: шамамен 1,67 есе ($\frac{5}{3}$).

📕 Оқулықта «2,5 есе артық» деген жауап басылған (қазақша басылымда да солай), бірақ шарт бойынша (12 мин және 30 мин) $\frac{5}{3}\approx1{,}67$ шығады. 2,5 жауабы озу арасындағы интервал 30 емес, 20 мин болғанда шығар еді: $\frac{20}{20-12}=2{,}5$. Шартта қате басылған болуы мүмкін.

Жадынама

• Бірқалыпты қозғалыс — жылдамдық тұрақты; $x(t)$ графигі — түзу сызық.
• Дененің орны: бастапқы координатаға $vt$ қос.
• Орташа жылдамдық = бүкіл жол : бүкіл уақыт, бұл уақытқа тоқтаулар да кіреді.
• Орташа жылдамдықты жылдамдықтардың арифметикалық ортасымен шатастырма.
• Бірліктерді айналдыр: 72 км/сағ = 20 м/с, 80 см/с = 0,8 м/с.

Шағын тест