§ 10. Теңбүйірлі үшбұрыштар

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 тарау: Үшбұрыштар. 59–66-беттер.

Нені үйренесің

• Әртүрлі қабырғалы, теңбүйірлі және теңқабырғалы үшбұрыштарды айыруды.
• Теңбүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғалары мен табанын атауды.
• Теореманы дәлелдеп, қолдануды: табандағы бұрыштар тең.
• Белгіні қолдануды: екі бұрышы тең үшбұрыш теңбүйірлі болады.
• Теңбүйірлі үшбұрышта табанына жүргізілген биссектриса, медиана және биіктік — бір және сол кесінді екенін есте сақтауды.

Ой қозғау

• Үшбұрыштың төбесін қарсы қабырғасының ортасымен қосатын кесінді қалай аталады? Медиана.
• Үшбұрыштың биссектрисасы дегеніміз не? Бұрышты тең екіге бөлетін және төбені қарсы қабырғадағы нүктемен қосатын кесінді.
• Үшбұрыштың биіктігі дегеніміз не? Төбеден қарсы қабырғасы жатқан түзуге түсірілген перпендикуляр.
• Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі қалай айтылады? Бір үшбұрыштың екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш екінші үшбұрыштың екі қабырғасына және олардың арасындағы бұрышқа тең болса, үшбұрыштар тең болады.
• «$A$ бұрышы $B$ бұрышына тең» дегенді басқаша қалай жазады? $\angle A = \angle B$.

Тақырыпты талдаймыз

Үшбұрыштың үш түрі

Сызғыш алып, үш үшбұрыштың қабырғаларын өлше. Бәрі ұзындықтары бірдей қабырғалардың санына байланысты.

📌 Әртүрлі қабырғалы үшбұрыш: барлық қабырғаларының ұзындықтары жұп-жұбымен әртүрлі. Теңбүйірлі: екі қабырғасы тең. Теңқабырғалы: үш қабырғасы да тең.

Теңбүйірлі үшбұрыштың екі тең қабырғасын бүйір қабырғалар, ал үшіншісін табан деп атайды. Егер үш қабырғасы да, үш бұрышы да тең болса, үшбұрышты дұрыс деп атайды.

💡 Теңқабырғалы үшбұрыш — теңбүйірлі үшбұрыштың дербес жағдайы: онда екі емес, үш қабырға тең. Сондықтан теңбүйірлі үшбұрыштар үшін дұрыс нәрсенің бәрі теңқабырғалылар үшін де дұрыс.

Басты теорема: табандағы бұрыштар тең

Киіз үйдің шаңырағын елестет: төбеде түйісетін ұзындығы бірдей екі уық және төменгі тегіс көлденең жол. Ортасынан «айналы» сызық жүргізсең, екі жартысы да беттеседі. Дәлелдеу осы ойға сүйенеді.

📌 Теорема. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштары тең болады.

Осыдан бірден шығады: теңқабырғалы үшбұрыштың барлық бұрыштары тең (кез келген қабырғаны табан деп есептеуге болады). Демек, теңқабырғалы үшбұрыш — дұрыс үшбұрыш.

Кері теорема: теңбүйірлі үшбұрыштың белгісі

$AB=5$ см кесіндісін сызып, оның ұштарынан $70^\circ$-тан екі бұрыш сал. Қабырғалар $C$ нүктесінде түйіседі. $AC$ және $BC$ қабырғаларын өлше: олар тең болып шығады.

📌 Теңбүйірлі үшбұрыштың белгісі. Егер үшбұрыштың екі бұрышы тең болса, онда ол теңбүйірлі үшбұрыш болады.

⚠️ Жиі кететін қате. Қай қабырғалар тең екенін шатастырады. Тең бұрыштардың қарсысында тең қабырғалар жатады. Егер $\angle A=\angle B$ болса, онда $BC$ және $AC$ тең, ал $AB$ емес.

Биссектриса, медиана және биіктік — бір нәрсе

$ABC$ теңбүйірлі үшбұрышында ($AC=BC$) $CD$ биссектрисасын жүргіз. $ACD$ және $BCD$ үшбұрыштарының теңдігінен шығады:

• $AD=BD$, демек, $CD$ — медиана;
• $\angle ADC=\angle BDC$, ал бұл бұрыштар сыбайлас, олардың қосындысы $180^\circ$, демек, әрқайсысы $90^\circ$ және $CD$ — биіктік.

📌 Теорема. Теңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген биссектрисасы бір мезгілде медиана да, биіктік те болады.

Яғни бір $CD$ кесіндісі бірден үш жұмыс атқарады. Керісінше де дұрыс: теңбүйірлі үшбұрышта табанына биіктік (немесе медиана) жүргізсең, ол биссектриса да болады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан қағаздан теңбүйірлі үшбұрыш қиып алып, оны симметрия осімен қақ бүктеуін сұраңыз. Шеттері беттеседі: табандағы бұрыштардың теңдігі де, «үш кесіндінің» бір болатыны да осылай анық көрінеді.

🌟 «Теңбүйірлі» сөзі «бүйір» деген сөзден шыққан: бүйір қабырғалары тең дегенді білдіреді. Теңбүйірлі үшбұрыштар Мысыр папирустарында да кездескен, олар туралы 10.26 тапсырмада білесің.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қабырғаларының арасындағы қатынасқа байланысты үшбұрыштардың түрлерін ата. Әртүрлі қабырғалы, теңбүйірлі, теңқабырғалы.
• Қандай үшбұрыш әртүрлі қабырғалы? теңбүйірлі? теңқабырғалы деп аталады? Әртүрлі қабырғалы — барлық қабырғалары жұп-жұбымен тең емес. Теңбүйірлі — екі қабырғасы тең. Теңқабырғалы — үш қабырғасы да тең.
• Қандай қабырғалар бүйір, ал қайсысы табан деп аталады? Бүйір қабырғалар — екі тең қабырға, табан — үшінші қабырға.
• Теңбүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштар туралы не айтуға болады? Олар тең.
• Теңбүйірлі үшбұрыштың белгісін тұжырымда. Егер үшбұрыштың екі бұрышы тең болса, онда ол теңбүйірлі үшбұрыш болады.
• Теңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген биссектрисасы туралы не айтуға болады? Ол бір мезгілде медиана да, биіктік те болады (сондай-ақ табанының ортасы арқылы жүргізілген перпендикуляр).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 10.1

10.5-суреттен барлық теңбүйірлі үшбұрыштарды атаңдар: а) $AC=BC$, $AO=BO$; ә) $MN=KN$, $PN=QN$, $MP=KQ$.

Қалай ойлаймыз. Екі қабырғасы тең үшбұрыш теңбүйірлі болады. Мұндай қабырғаларды белгіленген теңдіктерден және суреттегі белгілерден іздейміз.

Шешуі. а) $AC=BC$ — демек, $\triangle ABC$ теңбүйірлі. $AO=BO$ — демек, $\triangle AOB$ теңбүйірлі. Шарт бойынша басқа теңдік жоқ: $OC$ кесіндісінде белгі жоқ, сондықтан $\triangle AOC$ және $\triangle BOC$ теңбүйірлі екені шықпайды. ә) $MN=KN$ — $\triangle MNK$ теңбүйірлі. $PN=QN$ — $\triangle PNQ$ теңбүйірлі. Суретте $MP$, $PN$, $QN$, $QK$ кесінділері бір-ақ сызықшамен белгіленген, яғни төртеуі де тең. Сонда $MP=PN$ және $QN=QK$, сондықтан тағы екі үшбұрыш, $\triangle MPN$ және $\triangle NQK$, теңбүйірлі болады.

Жауабы: а) $ABC$, $AOB$; ә) $MPN$, $PNQ$, $NQK$, $MNK$.

📕 Оқулықтың жауабында а) үшін $ABC$, $AOB$, $AOC$, $BOC$ деп төрт үшбұрыш аталған. Бірақ 10.5, а-суретте $OC$ кесіндісінде белгі жоқ, шартта да $OC$ туралы ештеңе айтылмаған: $AOC$ және $BOC$ үшбұрыштарының теңбүйірлі екені шықпайды. Дұрысы — екеуі: $ABC$ және $AOB$.

№ 10.2

Табаны $AB$ кесіндісі болатын, $C$ төбесі торкөздердің бір түйінінде орналасқан теңбүйірлі үшбұрышты кескіндеңдер (10.6-сурет): а) $AB$ көлденең жатыр (4 клетка); ә) $AB$ тік жатыр (2 клетка).

Қалай ойлаймыз. Теңбүйірлі үшбұрыштың төбесі табанына оның ортасы арқылы жүргізілген перпендикулярда жатады. $AB$ ортасын тауып, перпендикуляр бойымен жүреміз.

Шешуі. а) $AB$ ортасы $A$ нүктесінен 2 клетка қашықтықта. Одан жоғары қарай 3 клетка жүріп, $C$ нүктесін қоямыз. Сонда $AC=BC$ (оңға немесе солға екі қадам және жоғары үш қадам). ә) Тік $AB$ кесіндісінің ортасы $A$ нүктесінен 1 клетка қашықтықта. Одан көлденең бойымен оңға, мысалы, 3 клеткаға жүреміз: $C$ нүктесі осы көлденеңдегі түйінде. Сонда $AC=BC$.

Жауабы: а) $AB$ ортасы арқылы өтетін тік түзудегі кез келген түйін жарайды (мысалы, ортасынан 3 клетка жоғары); ә) $AB$ ортасы арқылы өтетін көлденең түзудегі кез келген түйін (мысалы, 3 клетка оңға). Жарайтын нүктелер көп.

№ 10.3

Табаны $AB$ кесіндісі болатын, $C$ төбесі торкөздердің бір түйінінде орналасқан теңбүйірлі үшбұрышты кескіндеңдер (10.7-сурет): а) $A$-дан $B$-ға дейін — 2 клетка оңға және 2 клетка төмен; ә) $A$-дан $B$-ға дейін — 4 клетка оңға және 2 клетка төмен.

Қалай ойлаймыз. $C$ нүктесі $AB$ кесіндісінің орта перпендикулярында жатуы керек. Егер $AB$ «оңға $a$, төмен $b$» бағытымен жүрсе, онда перпендикуляр «оңға $b$, жоғары $a$» бағытымен жүреді (және кері).

Шешуі. а) $A(0;,2)$, $B(2;,0)$ болсын. Ортасы $(1;,1)$. $AB$ диагональ бойымен төмен жүреді, демек, перпендикуляр диагональ бойымен жоғары жүреді. $C(2;,2)$ аламыз: $CA=2$ клетка, $CB=2$ клетка. ә) $A(0;,2)$, $B(4;,0)$ болсын. Ортасы $(2;,1)$. Перпендикуляр бойымен қадам: 1 оңға және 2 жоғары. $C(3;,3)$ шығады. Тексеру: $CA^2=3^2+1^2=10$, $CB^2=1^2+3^2=10$.

Жауабы: а) мысалы, $C(2;,2)$ (немесе $C(0;,0)$); ә) мысалы, $C(3;,3)$ (немесе $C(1;,-1)$). Орта перпендикулярдағы кез келген түйін жарайды.

№ 10.4

Бір қабырғасы $AB$ кесіндісі болатын, $C$ төбесі торкөздердің бір түйінінде орналасқан теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрышты кескіндеңдер (10.8-сурет): а) $AB$ — 4 клетка оңға және 2 клетка жоғары; ә) $AB$ — ұзындығы 4 клетка көлденең кесінді.

Қалай ойлаймыз. Теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрышта екі катет тең. $AB$ кесіндісі катет те, гипотенуза да бола алады, екі жағдай да жарайды.

Шешуі. а) $A(0;,0)$, $B(4;,2)$ болсын. $AB$ гипотенуза болсын. Ортасы $(2;,1)$. Одан перпендикуляр бойымен гипотенузаның жартысындай жүреміз: 1 солға және 2 жоғары, бұл — $C(1;,3)$ түйіні. Тексеру: $CA^2=1+9=10$, $CB^2=9+1=10$, $AB^2=16+4=20=10+10$, демек, $C$ бұрышы тік. ә) $A(0;,0)$, $B(4;,0)$ болсын. $AB$ катет болсын: $A$ нүктесінен жоғары 4 клетка жүреміз — $C(0;,4)$. Сонда $AC=AB=4$ және $A$ бұрышы тік.

Жауабы: а) мысалы, $C(1;,3)$ немесе $C(3;,-1)$; ә) мысалы, $C(0;,4)$, $C(4;,4)$ немесе $C(2;,2)$.

B деңгейі

№ 10.5

10.9-суреттің әрқайсысында барлығы қанша теңбүйірлі үшбұрыштар кескінделген? Суреттердің әрқайсысындағы тең кесінділерді атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Егер үшбұрышта тең бұрыштар белгіленген болса, онда теңбүйірлі үшбұрыштың белгісі бойынша олардың қарсысындағы қабырғалар тең. Осындай бұрыштар жұбын іздейміз.

Шешуі. а) $A$, $B$, $O$, $A_1$, $B_1$ төбелері бар фигура. $\triangle AOB$ үшбұрышында $B$ және $O$ төбелеріндегі бұрыштар тең, демек, $AO=AB$. $\triangle A_1OB_1$ үшбұрышында $B_1$ және $O$ төбелеріндегі бұрыштар тең (вертикаль бұрыштар тең), демек, $A_1O=A_1B_1$. Екі үшбұрыш. ә) $EFGH$ фигурасы. $\triangle HFG$ үшбұрышында $F$ және $G$ төбелеріндегі бұрыштар тең, демек, $HG=HF$. $\triangle EFG$ үшбұрышында $F$ және $G$ төбелеріндегі бұрыштар тең, демек, $EG=EF$. Екі үшбұрыш. б) Диагональдары бар $KLMN$ төртбұрышы. $\triangle LMP$: $L$ және $M$ төбелеріндегі бұрыштар тең, демек, $LP=MP$. $\triangle KLM$: $KL=ML$. $\triangle NLM$: $NM=LM$. Үш үшбұрыш. в) $E$ центрі бар $QRST$ ромб тәрізді фигура. Теңбүйірлі үшбұрыштар сегіз: төртеуінің төбесі $E$ центрінде ($EQ=ER$, $ER=ES$, $ES=ET$, $ET=EQ$) және төрт «үлкені» ($QR=SR$, $RS=TS$, $ST=QT$, $TQ=RQ$).

Жауабы: а) екі үшбұрыш, $AO=AB$, $A_1O=A_1B_1$; ә) екі үшбұрыш, $HG=HF$, $EG=EF$; б) үш үшбұрыш, $LP=MP$, $KL=ML$, $NM=LM$; в) сегіз үшбұрыш, $EQ=ER$, $ER=ES$, $ES=ET$, $ET=EQ$, $QR=SR$, $RS=TS$, $ST=QT$, $TQ=RQ$.

№ 10.6

10.10-суретте $AB=BC$. $\angle 1=\angle 2$ болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. 1-бұрыш және 2-бұрыш — сыртқы бұрыштар (үшбұрыштың $AC$ табанындағы бұрыштарымен сыбайлас). Тең бұрыштармен сыбайлас бұрыштар да тең.

Шешуі. Берілгені: $AB=BC$. Дәлелдеу керек: $\angle 1=\angle 2$.

1. $\triangle ABC$ — табаны $AC$ болатын теңбүйірлі үшбұрыш, демек, $\angle BAC=\angle BCA$ (табандағы бұрыштар).
2. $\angle 1$ бұрышы $\angle BAC$ бұрышымен сыбайлас: $\angle 1=180^\circ-\angle BAC$.
3. $\angle 2$ бұрышы $\angle BCA$ бұрышымен сыбайлас: $\angle 2=180^\circ-\angle BCA$.
4. $\angle BAC=\angle BCA$ болғандықтан, $\angle 1=\angle 2$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 10.7

10.11-суретте $AB=AC$ және $\angle 1=\angle 2$. $\angle 3=\angle 4$ болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. 3-бұрыш — $\angle ADE$, 4-бұрыш — $\angle AED$. $\triangle ADE$ теңбүйірлі, яғни $AD=AE$ болса, олар тең болады. Мұны екі кішірек үшбұрыштың теңдігінен аламыз.

Шешуі. Берілгені: $AB=AC$, $\angle 1=\angle 2$ ($\angle CAD=\angle BAE$). Дәлелдеу керек: $\angle 3=\angle 4$.

1. $AB=AC$, демек, $\angle C=\angle B$ (табандағы бұрыштар).
2. $ACD$ және $ABE$ үшбұрыштары: $AC=AB$, $\angle C=\angle B$, $\angle 1=\angle 2$. Олар екінші белгі бойынша тең (қабырға және екі іргелес бұрыш).
3. Демек, $AD=AE$, және $\triangle ADE$ теңбүйірлі.
4. $DE$ табанындағы бұрыштар тең: $\angle 3=\angle 4$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 10.8

10.12-суретте $AB=BC$, $CD=DE$. $\angle A=\angle E$ болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Мұнда екі теңбүйірлі үшбұрыш бар, және олардың $C$ нүктесінде тең вертикаль бұрыштары бар. Бәрін теңдіктер тізбегіне біріктіреміз.

Шешуі. Берілгені: $AB=BC$, $CD=DE$. Дәлелдеу керек: $\angle A=\angle E$.

1. $\triangle ABC$ теңбүйірлі: $\angle A=\angle BCA$.
2. $\angle BCA=\angle DCE$ — вертикаль бұрыштар.
3. $\triangle CDE$ теңбүйірлі: $\angle DCE=\angle E$.
4. Тізбек: $\angle A=\angle BCA=\angle DCE=\angle E$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 10.9

$ABC$ дұрыс үшбұрышының қабырғаларынан $AD$, $BE$ және $CF$ тең кесінділері алынған. $D$, $E$ және $F$ нүктелері кесінділермен қосылған (10.13-сурет). $DEF$ дұрыс үшбұрыш болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Үш кішкентай бұрыштық үшбұрыштың тең екенін дәлелдейміз, сонда $DF=ED=FE$. Дұрыс үшбұрыш — барлық қабырғалары (және бұрыштары) тең үшбұрыш.

Шешуі. Берілгені: $\triangle ABC$ дұрыс, $AD=BE=CF$. Дәлелдеу керек: $\triangle DEF$ дұрыс.

1. $AB=BC=CA$ және $AD=BE=CF$, демек, қалған бөліктер де тең: $DB=AB-AD$, $EC=BC-BE$, $FA=CA-CF$, яғни $DB=EC=FA$.
2. Дұрыс үшбұрыштың $A$, $B$, $C$ бұрыштары тең.
3. $\triangle ADF$, $\triangle BED$, $\triangle CFE$: әрқайсысының екі қабырғасы ($AD$ және $AF$; $BE$ және $BD$; $CF$ және $CE$) сәйкесінше тең, және олардың арасындағы бұрыштар тең. Бірінші белгі бойынша бұл үш үшбұрыш тең.
4. Демек, $DF=ED=FE$: $DEF$ үшбұрышы теңқабырғалы, ал теңқабырғалы үшбұрыштың барлық бұрыштары тең. Ол — дұрыс үшбұрыш.

Жауабы: дәлелденді.

№ 10.10

$ABC$ үшбұрышы қабырғаларының жалғасынан $AA_1$, $BB_1$ және $CC_1$ тең кесінділері алынған (10.14-сурет). $A_1B_1C_1$ дұрыс үшбұрыш болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Идея 10.9-дағыдай: үш үшбұрыштың теңдігін дәлелдеп, $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1A_1$ қабырғаларының теңдігін аламыз.

Шешуі. Берілгені: $\triangle ABC$ дұрыс, $AA_1=BB_1=CC_1=x$ ($A$, $B$, $C$ нүктелерінің арғы жағындағы $BA$, $CB$, $AC$ жалғастарында жатқан кесінділер). Дәлелдеу керек: $\triangle A_1B_1C_1$ дұрыс.

1. $ABC$ үшбұрышының қабырғасы $a$ болсын. Сонда $A_1B=a+x$, $B_1C=a+x$, $C_1A=a+x$.
2. Жалғас пен қабырғаның арасындағы бұрыштар: мысалы, $A_1BB_1$ бұрышы үшбұрыштың $B$ бұрышымен сыбайлас: $180^\circ-60^\circ=120^\circ$. Сол сияқты $\angle B_1CC_1=120^\circ$ және $\angle C_1AA_1=120^\circ$.
3. $\triangle A_1BB_1$, $\triangle B_1CC_1$, $\triangle C_1AA_1$: екі қабырға ($a+x$ және $x$) және олардың арасындағы $120^\circ$ бұрыш тең. Бірінші белгі бойынша үшбұрыштар тең.
4. Демек, $A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1$, ал теңқабырғалы үшбұрыштың барлық бұрыштары тең. Ол — дұрыс үшбұрыш.

Жауабы: дәлелденді.

№ 10.11

Теңбүйірлі үшбұрыштың периметрі 15,6 м. Егер оның: а) табаны бүйір қабырғасынан 3 м кіші; ә) табаны бүйір қабырғасынан 3 м үлкен болса, үшбұрыштың қабырғаларын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бүйір қабырғасын $b$ деп белгілейміз. Сонда екі бүйір қабырғасы да $b$, ал табанын $b$ арқылы өрнектейміз.

Шешуі. а) Табаны $b-3$. Периметр: $b+b+(b-3)=15{,}6$, яғни $3b=18{,}6$, $b=6{,}2$. Табаны $6{,}2-3=3{,}2$. ә) Табаны $b+3$. Периметр: $3b+3=15{,}6$, $3b=12{,}6$, $b=4{,}2$. Табаны $4{,}2+3=7{,}2$.

Жауабы: а) 3,2 м, 6,2 м, 6,2 м; ә) 7,2 м, 4,2 м, 4,2 м.

№ 10.12

Теңбүйірлі үшбұрыштың табаны мен бүйір қабырғасының қатынасы 3 : 8, периметрі 38 см. Үшбұрыштың қабырғаларын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қатынас 3 : 8 болса, табаны — 3 бөлік, ал әр бүйір қабырғасы — 8 бөліктен. Периметр — барлық бөліктердің қосындысы.

Шешуі.

1. Табаны $3k$, бүйір қабырғалары $8k$ және $8k$.
2. Периметр: $3k+8k+8k=19k=38$, осыдан $k=2$.
3. Табаны $3\cdot 2=6$ см, бүйір қабырғалары $8\cdot 2=16$ см.

Жауабы: 6 см, 16 см, 16 см.

№ 10.13

$CDE$ үшбұрышында $\angle 1=\angle 2$ (10.15-сурет). Осы үшбұрыш теңбүйірлі деген тұжырым дұрыс па?

Қалай ойлаймыз. 1 және 2 бұрыштары — $C$ және $E$ төбелеріндегі сыртқы бұрыштар. Сыртқы бұрыштар ішкі бұрыштармен сыбайлас. Егер сыртқы бұрыштар тең болса, онда олармен сыбайлас ішкі бұрыштар да тең.

Шешуі.

1. $\angle 1$ бұрышы $\angle DCE$ бұрышымен сыбайлас, $\angle 2$ бұрышы $\angle DEC$ бұрышымен сыбайлас.
2. $\angle DCE=180^\circ-\angle 1$ және $\angle DEC=180^\circ-\angle 2$. $\angle 1=\angle 2$ болғандықтан, $\angle DCE=\angle DEC$.
3. Теңбүйірлі үшбұрыштың белгісі бойынша $DC=DE$ (тең бұрыштардың қарсысындағы қабырғалар).

Жауабы: иә, дұрыс.

№ 10.14

$FGH$ үшбұрышының 1, 2 және 3 бұрыштары өзара тең (10.16-сурет). Осы үшбұрыш: а) теңбүйірлі; ә) теңқабырғалы; б) дұрыс үшбұрыш деген тұжырым дұрыс па?

Қалай ойлаймыз. 1, 2, 3 бұрыштары — үшбұрыштың әр төбесіндегі сыртқы бұрыштар. Ішкі бұрыштар солармен сыбайлас, сондықтан үш ішкі бұрыш та тең болады.

Шешуі.

1. 1, 2, 3 бұрыштары — $FGH$ үшбұрышының әртүрлі төбелеріндегі сыртқы бұрыштар. Ішкі бұрыштар олармен сыбайлас, сондықтан $\angle F=\angle G=\angle H=180^\circ-\angle 1$.
2. Үш бұрыш та тең. Теңбүйірлі үшбұрыштың белгісі бойынша барлық қабырғалар да тең: $FG=GH=HF$.
3. Демек, үшбұрыш теңбүйірлі (атап айтқанда, екі қабырғасы тең), теңқабырғалы (үш қабырғасы да тең) және дұрыс (барлық қабырғалары мен бұрыштары тең).

Жауабы: а), ә), б) — иә.

№ 10.15

10.17-суретте $AD=AE$, $\angle CAD=\angle BAE$. $BD=CE$ екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $\triangle ADE$ теңбүйірлі, сондықтан $\angle D=\angle E$. Содан кейін $ADB$ және $AEC$ үшбұрыштарын салыстырамыз.

Шешуі. Берілгені: $AD=AE$, $\angle CAD=\angle BAE$ (нүктелер түзуде $D$, $B$, $C$, $E$ ретімен жатыр). Дәлелдеу керек: $BD=CE$.

1. $AD=AE$, демек, $\angle D=\angle E$ ($DE$ табанындағы бұрыштар).
2. $\angle CAD=\angle DAB+\angle BAC$ және $\angle BAE=\angle BAC+\angle CAE$. Олар тең болғандықтан, $\angle DAB=\angle CAE$.
3. $\triangle ADB$ және $\triangle AEC$: $AD=AE$, $\angle D=\angle E$, $\angle DAB=\angle EAC$. Екінші белгі бойынша олар тең.
4. Демек, $BD=CE$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 10.16

10.18-суретте $CD=BD$, $\angle 1=\angle 2$. $\angle ACB$ бұрышы $\angle ABC$ бұрышына тең екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $D$ төбесінде $\angle 2=\angle ADC$ және $\angle 1=\angle ADB$, олардың ортақ қабырғасы $DA$. Сонда $ADC$ және $ADB$ үшбұрыштары бірінші белгі бойынша тең.

Шешуі. Берілгені: $CD=BD$, $\angle 1=\angle 2$ ($D$ нүктесіндегі $DA$ ортақ қабырғасы бар бұрыштар). Дәлелдеу керек: $\angle ACB=\angle ABC$.

1. $\triangle ADC$ және $\triangle ADB$: $DC=DB$, $AD$ — ортақ қабырға, $\angle 2=\angle 1$ (бұл қабырғалардың арасындағы бұрыштар).
2. Бірінші белгі бойынша $\triangle ADC=\triangle ADB$.
3. Демек, $AC=AB$, ал $\triangle ABC$ теңбүйірлі болғандықтан, табандағы бұрыштар тең: $\angle ACB=\angle ABC$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 10.17

10.19-суретте $\angle 1=\angle 2$, $\angle 5=\angle 6$. $\angle 3=\angle 4$ болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $AB$ — $A$ бұрышының биссектрисасы ($\angle 5=\angle 6$), ал $B$ төбесінде $\angle 1=\angle 2$. Екінші белгі бойынша $ABC$ және $ABD$ үшбұрыштары тең, одан $BC=BD$ шығады. Ал $BCD$ теңбүйірлі болса, табанындағы бұрыштар тең.

Шешуі. Берілгені: $\angle 1=\angle 2$, $\angle 5=\angle 6$. Дәлелдеу керек: $\angle 3=\angle 4$ (бұл — $BCD$ үшбұрышының $CD$ табанындағы бұрыштар).

1. $\triangle ABC$ және $\triangle ABD$: $AB$ — ортақ қабырға, $\angle 5=\angle 6$ ($BAC$ және $BAD$ бұрыштары), $\angle 1=\angle 2$ ($B$ төбесіндегі бұрыштар).
2. Екінші белгі бойынша $\triangle ABC=\triangle ABD$. Демек, $BC=BD$ (және $AC=AD$).
3. $\triangle BCD$ — табаны $CD$ болатын теңбүйірлі үшбұрыш. Табандағы бұрыштар тең: $\angle 3=\angle 4$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 10.18

10.20-суретте $AB=AD$ және $DC=BC$. $ABC$ және $ADC$ бұрыштарының теңдігін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Мұнда $BD$ табанында екі теңбүйірлі үшбұрыш бар: $\triangle ABD$ және $\triangle CBD$. $ABC$ және $ADC$ бұрыштары — олардың табандағы бұрыштарының айырмалары.

Шешуі. Берілгені: $AB=AD$, $DC=BC$. Дәлелдеу керек: $\angle ABC=\angle ADC$.

1. $\triangle ABD$ теңбүйірлі ($AB=AD$): $\angle ABD=\angle ADB$.
2. $\triangle CBD$ теңбүйірлі ($CB=CD$): $\angle CBD=\angle CDB$.
3. $C$ нүктесі $ABD$ және $ADB$ бұрыштарының ішінде жатыр, сондықтан $\angle ABC=\angle ABD-\angle CBD$ және $\angle ADC=\angle ADB-\angle CDB$.
4. 1–2 тармақтардан айырмалар тең: $\angle ABC=\angle ADC$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 10.19

10.21-суретте $DC=BC$, $B$ және $D$ бұрыштары тең. $AB=AD$ екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Кері идея: алдымен $\triangle CBD$ үшбұрышының $BD$ табанындағы бұрыштарының теңдігін аламыз, содан кейін бұрыштарды қосып, белгі бойынша қабырғалардың теңдігіне келеміз.

Шешуі. Берілгені: $DC=BC$, $\angle ABC=\angle ADC$. Дәлелдеу керек: $AB=AD$.

1. $\triangle CBD$ теңбүйірлі: $\angle CBD=\angle CDB$.
2. $C$ нүктесі $\triangle ABD$ үшбұрышының ішінде жатыр, сондықтан $\angle ABD=\angle ABC+\angle CBD$ және $\angle ADB=\angle ADC+\angle CDB$.
3. Тең бөліктерді қосамыз: $\angle ABD=\angle ADB$.
4. Теңбүйірлі үшбұрыштың белгісі бойынша $AB=AD$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 10.20

10.22-суретте $AB=BC$, $\angle 1=\angle 2$. $AD=CD$ екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $AC$ диагоналін жүргіземіз. Бірден екі теңбүйірлі үшбұрыш шығады: $ABC$ және $ACD$.

Шешуі. Берілгені: $AB=BC$, $\angle 1=\angle 2$ ($\angle DAB=\angle DCB$). Дәлелдеу керек: $AD=CD$.

1. $AC$ кесіндісін жүргіземіз. $\triangle ABC$ теңбүйірлі, демек, $\angle BAC=\angle BCA$.
2. $\angle DAC=\angle 1-\angle BAC$ және $\angle DCA=\angle 2-\angle BCA$. $\angle 1=\angle 2$ және $\angle BAC=\angle BCA$ болғандықтан, $\angle DAC=\angle DCA$.
3. $\triangle ACD$ үшбұрышында екі бұрыш тең, демек, ол теңбүйірлі: $AD=CD$.

Жауабы: дәлелденді.

C деңгейі

№ 10.21

Егер үшбұрыштың биссектрисасы оның биіктігі де болса, онда ол теңбүйірлі үшбұрыш болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Бұл — кері теорема: егер бір кесінді биссектриса да, биіктік те болса, үшбұрыш теңбүйірлі. Екі үшбұрыштың екінші белгі бойынша теңдігі арқылы дәлелдейміз.

Шешуі. Берілгені: $\triangle ABC$, $AD$ — биссектриса және биіктік ($D$ нүктесі $BC$ қабырғасында). Дәлелдеу керек: $AB=AC$.

1. $\angle BAD=\angle CAD$ (биссектриса).
2. $\angle ADB=\angle ADC=90^\circ$ (биіктік).
3. $\triangle ABD$ және $\triangle ACD$: $AD$ — ортақ қабырға, оған іргелес бұрыштар жұп-жұбымен тең. Екінші белгі бойынша $\triangle ABD=\triangle ACD$.
4. Демек, $AB=AC$, үшбұрыш теңбүйірлі.

Жауабы: дәлелденді.

№ 10.22

Теңбүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғаларына жүргізілген медианалары өзара тең болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Теңбүйірлі $\triangle ABC$ ал ($AB=BC$, табаны $AC$). Бүйір қабырғаларына жүргізілген медианалар — $AM$ ($BC$ қабырғасына) және $CK$ ($AB$ қабырғасына). $AKC$ және $CMA$ үшбұрыштарын салыстырамыз.

Шешуі. Берілгені: $AB=BC$, $K$ — $AB$ ортасы, $M$ — $BC$ ортасы. Дәлелдеу керек: $AM=CK$.

1. $AK=\dfrac{AB}{2}$ және $CM=\dfrac{BC}{2}$. $AB=BC$ болғандықтан, $AK=CM$.
2. $\angle KAC=\angle MCA$ — табандағы бұрыштар.
3. $AC$ — ортақ қабырға.
4. $\triangle AKC=\triangle CMA$ бірінші белгі бойынша (екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш).
5. Демек, $CK=AM$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 10.23

Теңбүйірлі үшбұрыштың бүйір қабырғаларына жүргізілген биссектрисалары өзара тең болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Тағы да $AB=BC$. $A$ бұрышының $AM$ және $C$ бұрышының $CK$ биссектрисалары. $A$ және $C$ бұрыштары тең, демек, олардың жартылары да тең.

Шешуі. Берілгені: $AB=BC$, $AM$ және $CK$ — биссектрисалар ($M$ нүктесі $BC$ қабырғасында, $K$ нүктесі $AB$ қабырғасында). Дәлелдеу керек: $AM=CK$.

1. $\angle A=\angle C$ (табандағы бұрыштар), сондықтан жартылары тең: $\angle KCA=\angle MAC=\dfrac{\angle A}{2}$.
2. $\triangle AKC$ және $\triangle CMA$: $AC$ — ортақ, $\angle KAC=\angle MCA$ (табандағы бұрыштар), $\angle KCA=\angle MAC$.
3. Екінші белгі бойынша $\triangle AKC=\triangle CMA$.
4. Демек, $CK=AM$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 10.24

Табаны $AC$ болатын $ABC$ теңбүйірлі үшбұрышында $BD$ медианасы жүргізілген. Егер $ABC$ үшбұрышының периметрі 50 м, ал $ABD$ үшбұрышының периметрі 40 м болса, онда $BD$ медианасының ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Медиана табанды қақ бөледі: $AD=\dfrac{AC}{2}$. Екі периметрді өрнектеп, азайтамыз.

Шешуі.

1. $AB=BC=a$, $AD=DC=x$, $BD=m$ болсын.
2. $P_{ABC}=2a+2x=50$, демек, $a+x=25$.
3. $P_{ABD}=a+x+m=40$.
4. Қоямыз: $25+m=40$, осыдан $m=15$.

Жауабы: 15 м.

Хабарлама дайындаңдар

№ 10.25

Хабарлама дайындаңдар: үшбұрыш — ертеден қалыптасқан алғашқы геометриялық фигуралардың бірі.

Қалай ойлаймыз. Бұл — хабарлама дайындау тапсырмасы. 3–4 фактісі бар қысқа әңгіме керек.

Шешуі. 1–2 минутқа арналған жоспар:

1. Адам үшбұрышты қайда көреді: үйдің төбесі, көпірдің фермасы, қатты рама, Мысыр пирамидалары.
2. Неге маңызды: үшбұрыш — ең «қатты» фигура, қабырғаларының ұзындығын өзгертпей оны қисайтып болмайды.
3. Ежелгі заманда не білген: мысырлықтар мен вавилондықтар үшбұрыштарды құрылыста және егістік жерді белгілеуде қолданған, мысалы, қабырғалары 3, 4, 5 болатын «мысырлық» үшбұрыш.
4. Гректер не істеген: үшбұрыштардың қасиеттерінен алғашқы дәлелдеулерді жасаған (Фалес, Евклид).

Жауабы: жоғарыдағы жоспар бойынша 1–2 минуттық хабарлама (деректерді дереккөздерден тексеріңдер).

№ 10.26

Хабарлама дайындаңдар: Ахмес папирусында кездесетін теңбүйірлі үшбұрыштар.

Қалай ойлаймыз. Ахмес папирусы (оны Райнд папирусы деп те атайды) — ежелгі мысыр математикалық құжаттарының бірі. Одан теңбүйірлі үшбұрыштар мен олардың ауданы туралы есептерді іздейміз.

Шешуі. Хабарлама жоспары:

1. Ахмес кім: біздің заманымызға дейінгі шамамен 1650 жылы арифметика мен геометрия есептері бар одан да ескі мәтінді көшірген мысырлық хатшы.
2. Папирус не туралы: бөлшектер, теңдеулер, егістік жерлердің аудандары, астық қоймаларының көлемдері.
3. Үшбұрыштар: онда теңбүйірлі үшбұрыштың ауданына есеп бар (мысырлықтар оны табанының жартысы мен биіктігі арқылы есептеген).
4. Қорытынды: сол кезде-ақ теңбүйірлі үшбұрышты жер телімдерін есептеуге қолданған.

Жауабы: жоғарыдағы жоспар бойынша 1–2 минуттық хабарлама (даталар мен есептердің нөмірлерін анықтамалықтан тексеріңдер).

Келесі сабаққа дайындаламыз

№ 10.27

Бір үшбұрыштың екі қабырғасы екінші үшбұрыштың сәйкесінше екі қабырғасына тең. Осы үшбұрыштар тең бола ма? Мысал келтіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Теңдік үшін қосымша шарттар керек: не қабырғалардың арасындағы бұрыш (бірінші белгі), не үшінші қабырға. Оларсыз үшбұрышты «қисайтуға» болатынын көрсетіп көрейік.

Шешуі.

1. Екі қабырғаны аламыз: 3 см және 4 см.
2. Олардың арасындағы бұрыш $90^\circ$ болса, үшінші қабырға 5 см.
3. Олардың арасындағы бұрыш $60^\circ$ болса, үшінші қабырға кіші болады (шамамен 3,6 см).
4. Екі қабырға бірдей, ал үшбұрыштар әртүрлі: үшінші қабырға мен бұрыштар өзгеше.

Жауабы: жоқ, міндетті емес. Мысал: қабырғалары 3 см және 4 см, олардың арасындағы бұрыш $90^\circ$ және $60^\circ$.

Жадынама

Анықтамалар мен теоремалар

• Әртүрлі қабырғалы үшбұрыш: барлық қабырғалары жұп-жұбымен тең емес.
• Теңбүйірлі үшбұрыш: екі қабырғасы тең (бүйір қабырғалар), үшіншісі — табан.
• Теңқабырғалы (дұрыс) үшбұрыш: барлық қабырғалары тең, барлық бұрыштары тең.
• Теорема: теңбүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштар тең.
• Белгі: егер үшбұрыштың екі бұрышы тең болса, онда ол теңбүйірлі.
• Теорема: теңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген биссектрисасы медиана да, биіктік те болады.
• Тәсіл: бұрыштардың немесе қабырғалардың теңдігін табу үшін теңбүйірлі үшбұрышты іздеп, табандағы бұрыштардың теңдігін қолдан.

Шағын тест