§ 11. Үшбұрыштар теңдігінің үшінші белгісі

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 тарау: Үшбұрыштар. 66–72-беттер.

Нені үйренесің

• Үшбұрыштар теңдігінің үшінші белгісін айтуды: үш қабырға бойынша.
• Оның бірінші белгі арқылы қалай дәлелденетінін түсінуді.
• Суреттен тең үшбұрыштарды табуды және олардың қандай қабырғалары мен бұрыштары тең екенін жазуды.
• Диагональ жүргізіп, тең үшбұрыштар жұбын тауып, кесінділер мен бұрыштардың теңдігін дәлелдеуді.

Ой қозғау

• Үшбұрыштар теңдігінің қандай екі белгісін білесің? Біріншісі: екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы. Екіншісі: қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы.
• Тең бүйірлі үшбұрыштың табанындағы бұрыштар туралы не айтуға болады? Олар тең.
• $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$ жазуын қалай оқимыз? Төбелер сәйкестік ретімен тұр: $A$ төбесі $A_1$-мен, $B$ төбесі $B_1$-мен, $C$ төбесі $C_1$-мен беттеседі.
• «Ортақ қабырға» дегеніміз не? Бірден екі үшбұрышқа тиесілі кесінді. Ол өз-өзіне тең, ал бұл дәлелдеуді жиі құтқарады.

Тақырыпты талдаймыз

Үш қабырға — және фигура «қатып қалады»

Үш таяқшаны алып, ұштарын топсамен қос. Қанша тырыссаң да, бір ғана пішін шығады: үшбұрышты қисайта алмайсың. Төрт таяқшадан ромб шығады, ол оңай «жығылып», параллелограмға айналады. Сондықтан көпір фермаларын, шатыр арқалықтарын және киіз үйдің шаңырақ қаңқасын үшбұрыштардан құрайды.

Математиктер дәл осыны дәлірек айтады.

📌 Үшбұрыштар теңдігінің үшінші белгісі. Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы екінші үшбұрыштың сәйкесінше үш қабырғасына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

$\triangle ABC$ және $\triangle DEF$ үшін бұл үш теңдік: $AB=DE$, $BC=EF$, $AC=DF$. Олардан бұрыштар да тең екені шығады: $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$.

Мұны қалай дәлелдейді

Идея: жаңа белгіні бұрыннан белгілі бірінші белгіге келтіреміз. $\triangle ABC$ және $\triangle A_1B_1C_1$ үшбұрыштарының қабырғалары сәйкесінше тең болсын. $A_1B_1$ сәулесінен бастап $ABC$ үшбұрышына тең үшбұрышты $A_1B_1$ түзуіне қатысты екінші жағына салайық. Оның үшінші төбесі $C_2$ нүктесіне түседі.

💡 $C_1C_2$ сәулесі $A_1C_1B_1$ бұрышының ішінде жатуы, оның бір қабырғасымен беттесуі немесе бұрыштың сыртында жатуы мүмкін. Жоғарыда ең көрнекі бірінші жағдай талқыланды, қалғандары да осылай дәлелденеді. Оқулық оларды өзің қарастыруды ұсынады, байқап көр.

🌟 Мықтылық туралы. Сондықтан Бәйтерек пен өзендерден өтетін көпірлер үшбұрыштардан тұратын қаңқаға сүйенеді, ал төрт рейкадан жасалған жай рамаға диагональ бойымен тағы бір планка керек: ол төртбұрышты екі үшбұрышқа айналдырады.

Белгіні іс жүзінде қалай қолданамыз

Есептерде көбіне төртбұрыш беріліп, оған диагональ жүргізіледі.

«Бұрыштар (немесе кесінділер) тең екенін дәлелде» деген есепке арналған алгоритм:

1. Керекті бұрыштар не кесінділер жатқан екі үшбұрышты тап.
2. Үш жұп тең қабырғаны тексер. Олардың біреуі көбіне «ортақ қабырға» болады.
3. Былай жаз: $\triangle ABC=\triangle CDA$ (үш қабырға бойынша). Теңдіктен сәйкес бұрыштардың да тең екені шығады.

⚠️ Жиі кететін қате. Төбелерді дұрыс емес ретпен жазады. Тең бұрыштар — тең қабырғалардың қарсысында жатқандар. Әрдайым тексер: $AB$ қабырғасы $DE$ қабырғасына сәйкес, демек, $C$ төбесіндегі бұрыш $F$ төбесіндегі бұрышқа тең (олар осы қабырғаларға қарама-қарсы жатыр).

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан циркуль мен сызғыш арқылы үш берілген қабырғасы бойынша кез келген үшбұрыш сызуды, сосын дәл сондай қабырғалары бар тағы біреуін сызуды сұраңыз. Ол екеуінің бірдей екенін көреді, тек бұрылған немесе аударылған болады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Үшбұрыштар теңдігінің үшінші белгісі қалай тұжырымдалады? Егер бір үшбұрыштың үш қабырғасы екінші үшбұрыштың сәйкесінше үш қабырғасына тең болса, үшбұрыштар тең.
• Осы белгіні дәлелдеуде не істейді? Берілген үшбұрыштардың біріне тең үшбұрышты ортақ қабырғаның екінші жағына салады да, екі тең бүйірлі үшбұрышқа және бірінші белгіге сүйенеді.
• $\triangle ABC=\triangle DEF$ болғанда бұрыштардың қандай теңдіктерін жазады? $\angle A=\angle D$, $\angle B=\angle E$, $\angle C=\angle F$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 11.1

11.3-суреттерде (а–д) тең кесінділер мен тең бұрыштар белгіленген. Осы суреттерден тең үшбұрыштарды көрсет.

Қалай ойлаймыз. Белгі-сызықшаларға қараймыз: сызықшалар саны бірдей болса, кесінділер тең. Әр үшбұрыштар жұбынан үш жұп тең қабырға іздейміз, олардың біреуі көбіне ортақ болады.

Шешуі. а) $ABC$ үшбұрышында $CD$ кесіндісі табанды бөледі: $AD=DB$ (белгілер), $AC=CB$ (белгілер), $CD$ — $\triangle ADC$ және $\triangle BDC$ үшбұрыштарының ортақ қабырғасы. Олар үш қабырғасы бойынша тең. ә) $EH=HG$, $EF=FG$, $HF$ ортақ: $\triangle EFH=\triangle GFH$. б) $KL=MN$, $KN=LM$, $LN$ ортақ: $\triangle KLN=\triangle MNL$. в) $RP=RQ$, $OP=OQ$, $RO$ ортақ: $\triangle POR=\triangle QOR$. Одан әрі $OP=OQ$, $PS=QS$, $OS$ ортақ: $\triangle POS=\triangle QOS$. Соңында $RP=RQ$, $PS=QS$, $RS$ ортақ: $\triangle PRS=\triangle QRS$. г) Диагональдары қиылысатын $ABCD$ трапециясы: $AO=BO$, $DO=CO$, $AD=BC$ болғандықтан, $\triangle AOD=\triangle BOC$. $AC=AO+OC$ және $BD=BO+OD$ диагональдары тең, сондықтан $\triangle ABD=\triangle BAC$ ($AD=BC$, $AB$ ортақ, $BD=AC$) және $\triangle ACD=\triangle BDC$ ($AD=BC$, $AC=BD$, $DC$ ортақ). ғ) $KS=NS$, $LS=MS$, $KL=NM$ болғандықтан, $\triangle KLS=\triangle NMS$. Тағы $KM=NL$, $KS=NS$, $MS=LS$ болғандықтан, $\triangle KMS=\triangle NLS$. д) Төрт қабырғасы да тең, диагональдары $O$ нүктесінде тең кесінділерге бөлінеді: $AOB$, $BOC$, $COD$, $AOD$ төрт кішкентай үшбұрыш өзара тең. $ABD$, $BCD$, $ADC$, $DAB$ төрт үлкен үшбұрыш та өзара тең: олардың әрқайсысында фигураның екі қабырғасы және диагональ бар.

Жауабы: а) $ADC$ және $BDC$; ә) $EFH$ және $GFH$; б) $KLN$ және $MNL$; в) $POR$ және $QOR$, $POS$ және $QOS$, $PRS$ және $QRS$; г) $AOD$ және $BOC$, $ABD$ және $BAC$, $ACD$ және $BDC$; ғ) $KLS$ және $NMS$, $KMS$ және $NLS$; д) $AOB$, $BOC$, $COD$, $AOD$; $ABD$, $BCD$, $ADC$, $DAB$.

№ 11.2

11.4-суретте $AB=DC$ және $BC=AD$. $B$ және $D$ бұрыштарының теңдігін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. $B$ және $D$ бұрыштары $AC$ диагоналімен бөлінген әртүрлі үшбұрыштарда жатыр. Осы үшбұрыштардың теңдігін дәлелдейміз.

Шешуі. $\triangle ABC$ және $\triangle CDA$ үшбұрыштарын қарастырамыз.

1. $AB=CD$ (шарт бойынша).
2. $BC=DA$ (шарт бойынша).
3. $AC$ — ортақ қабырға. Демек, $\triangle ABC=\triangle CDA$ үшінші белгі бойынша. $B$ бұрышы $AC$ қабырғасына қарсы жатыр, $D$ бұрышы да дәл сол $AC$ қабырғасына қарсы жатыр, сондықтан $\angle B=\angle D$.

Жауабы: $\angle B=\angle D$, дәлелдеу керегі де осы еді.

№ 11.3

11.5-суретте $AB=DC$ және $BC=AD$, $\angle BAC=31^\circ$, $\angle BCA=29^\circ$. $\angle ACD$ бұрышын тап.

Қалай ойлаймыз. Дәл 11.2-дегідей: $AC$ диагоналі фигураны екі тең үшбұрышқа бөледі. $ACD$ бұрышы $BAC$ бұрышына сәйкес.

Шешуі. $\triangle ABC=\triangle CDA$ үш қабырғасы бойынша ($AB=CD$, $BC=DA$, $AC$ ортақ). $\triangle ABC$ үшбұрышында $BAC$ бұрышы $BC$ қабырғасына қарсы жатыр, $\triangle CDA$ үшбұрышында тең $DA$ қабырғасына қарсы $DCA$ бұрышы жатыр. Демек, $\angle ACD=\angle BAC=31^\circ$. $29^\circ$ бұрышы мұнда керек емес.

Жауабы: $31^\circ$.

№ 11.4

11.6-суретте $AB=BD$ және $AC=CD$, $\angle ABC=61^\circ$, $\angle ACB=59^\circ$. $\angle BCD$ бұрышын тап.

Қалай ойлаймыз. $BC$ қабырғасы $\triangle ABC$ және $\triangle DBC$ үшбұрыштарына ортақ.

Шешуі. $\triangle ABC=\triangle DBC$: $AB=DB$, $AC=DC$, $BC$ ортақ. $BCD$ бұрышы $BD$ қабырғасына қарсы жатыр, ал оған тең $ACB$ бұрышы тең $AB$ қабырғасына қарсы жатыр. Демек, $\angle BCD=\angle ACB=59^\circ$.

Жауабы: $59^\circ$.

B деңгейі

№ 11.5

11.7-суретте $AB=AD$ және $DC=BC$. $AC$ кесіндісі $BAD$ бұрышының биссектрисасы болатынын дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Биссектриса бұрышты тең екіге бөледі. Үшбұрыштардың теңдігі арқылы $\angle BAC=\angle DAC$ екенін дәлелдеу керек.

Шешуі. $\triangle ABC$ және $\triangle ADC$ үшбұрыштарын қарастырамыз: $AB=AD$, $BC=DC$, $AC$ ортақ. Олар үш қабырғасы бойынша тең. Сонда $\angle BAC=\angle DAC$, ал $C$ нүктесі $BAD$ бұрышының ішінде жатыр. Демек, $AC$ сәулесі $BAD$ бұрышын тең екіге бөледі.

Жауабы: $AC$ — $BAD$ бұрышының биссектрисасы.

№ 11.6

11.8-суретте $AD=BC$ және $AC=BD$. $BAD$ және $ABC$ бұрыштарының тең екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Мұндағы ортақ қабырға — $AB$: ол $\triangle ABD$ және $\triangle BAC$ үшбұрыштарына тиесілі.

Шешуі. $\triangle DAB$ және $\triangle CBA$ үшбұрыштарын қарастырамыз: $DA=CB$, $DB=CA$, $AB$ ортақ. Олар үш қабырғасы бойынша тең. $BAD$ бұрышы $DB$ қабырғасына қарсы жатыр, ал $ABC$ бұрышы тең $CA$ қабырғасына қарсы жатыр. Демек, $\angle BAD=\angle ABC$.

Жауабы: $\angle BAD=\angle ABC$.

№ 11.7

11.9-суретте $AB=BC$, $AD=CD$. 1 және 2 бұрыштарының тең екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. 1 және 2 бұрыштары — төртбұрыштың $A$ және $C$ бұрыштары. $BD$ диагоналін жүргіземіз.

Шешуі. $\triangle ABD$ және $\triangle CBD$ үшбұрыштарын қарастырамыз: $AB=CB$, $AD=CD$, $BD$ ортақ. Олар үш қабырғасы бойынша тең. $\triangle ABD$ үшбұрышында 1 бұрышы $BD$ қабырғасына қарсы жатыр, $\triangle CBD$ үшбұрышында 2 бұрышы да $BD$ қабырғасына қарсы жатыр. Демек, $\angle 1=\angle 2$.

Жауабы: $\angle 1=\angle 2$.

№ 11.8

11.10-суретте $AO=OC$, $AD=CD$. $AB=BC$ екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Алдымен $O$ төбесіндегі бұрыштардың тең екенін дәлелдейміз, сосын $AOB$ және $COB$ үшбұрыштарына бірінші белгіні қолданамыз.

Шешуі.

1. $\triangle AOD=\triangle COD$: $AO=CO$, $AD=CD$, $DO$ ортақ (үш қабырғасы бойынша). Демек, $\angle AOD=\angle COD$.
2. $D$, $O$, $B$ нүктелері бір түзудің бойында жатыр, сондықтан $\angle AOB=180^\circ-\angle AOD$ және $\angle COB=180^\circ-\angle COD$. Демек, $\angle AOB=\angle COB$.
3. $\triangle AOB=\triangle COB$: $AO=CO$, $OB$ ортақ, олардың арасындағы бұрыштар тең (бірінші белгі). Сонда $AB=CB$.

Жауабы: $AB=BC$.

№ 11.9

11.11-суретте $AB=BC$, $AD=CD$. $AO=OC$ екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Мұнда да ұқсас: алдымен $\triangle ABD$ және $\triangle CBD$ үшбұрыштарының теңдігі, сосын $AO$ және $OC$ жатқан үшбұрыштардың теңдігі.

Шешуі.

1. $\triangle ABD=\triangle CBD$: $AB=CB$, $AD=CD$, $BD$ ортақ (үш қабырға). Демек, $\angle ABD=\angle CBD$, яғни $\angle ABO=\angle CBO$.
2. $\triangle ABO=\triangle CBO$: $AB=CB$, $BO$ ортақ, $\angle ABO=\angle CBO$ (бірінші белгі).
3. Сонда $AO=CO$.

Жауабы: $AO=OC$, $BD$ диагоналі $AC$ кесіндісін тең екіге бөледі.

№ 11.10

11.12-суретте $ABC$ және $CDA$ үшбұрыштары тең. $B$ және $D$ нүктелері $AC$ түзуінің әртүрлі жағында жатыр. $BCD$ және $DAB$ үшбұрыштарының теңдігін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. $\triangle ABC=\triangle CDA$ теңдігінен (сәйкестігі $A\to C$, $B\to D$, $C\to A$) тең қабырғаларды жазып аламыз да, $\triangle BCD$ және $\triangle DAB$ үшін үш жұп іздейміз.

Шешуі. $\triangle ABC=\triangle CDA$ теңдігінен: $AB=CD$, $BC=DA$. $\triangle BCD$ және $\triangle DAB$ үшбұрыштарын қарастырамыз: $BC=DA$, $CD=AB$, $BD$ ортақ. Олар үш қабырғасы бойынша тең.

Жауабы: $\triangle BCD=\triangle DAB$.

№ 11.11

11.13-суретте $AD=CF$, $AB=FE$, $BC=ED$. 1 және 2 бұрыштарының тең екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. $A$, $D$, $C$, $F$ нүктелері бір түзудің бойында жатыр. $AD=CF$ теңдігінен $AC=DF$ шығады, сонда $ABC$ және $FED$ үшбұрыштарының үш қабырғасы да тең болады.

Шешуі.

1. $AC=AD+DC$ және $DF=DC+CF$, ал $AD=CF$. Демек, $AC=DF$.
2. $\triangle ABC=\triangle FED$: $AB=FE$, $BC=ED$, $AC=FD$. Сонда $\angle BCA=\angle EDF$.
3. $D$ төбесіндегі 1 бұрышы $\angle EDF$ бұрышымен сыбайлас, $C$ төбесіндегі 2 бұрышы $\angle BCA$ бұрышымен сыбайлас. Тең бұрыштардың сыбайлас бұрыштары да тең: $\angle 1=\angle 2$.

Жауабы: $\angle 1=\angle 2$.

№ 11.12

$A$, $B$, $C$, $D$ нүктелері бір түзудің бойында жатыр (осы ретпен). Егер $ABE_1$ және $ABE_2$ үшбұрыштары тең болса (11.14-сурет), онда $CDE_1$ және $CDE_2$ үшбұрыштарының да тең болатынын дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Бірінші жұптың теңдігінен $B$ төбесіндегі тең бұрыштарды аламыз, сосын $\triangle BCE_1$ және $\triangle BCE_2$ үшбұрыштарының теңдігін, ең соңында $C$ төбесіндегі үшбұрыштардың теңдігін дәлелдейміз.

Шешуі.

1. $\triangle ABE_1=\triangle ABE_2$, әріптер бойынша сәйкестік: $BE_1=BE_2$, $\angle ABE_1=\angle ABE_2$.
2. $E_1BC$ және $E_2BC$ бұрыштары тең бұрыштармен сыбайлас, сондықтан $\angle E_1BC=\angle E_2BC$.
3. $\triangle BCE_1=\triangle BCE_2$: $BE_1=BE_2$, $BC$ ортақ, олардың арасындағы бұрыштар тең. Демек, $CE_1=CE_2$ және $\angle BCE_1=\angle BCE_2$.
4. $DCE_1$ және $DCE_2$ бұрыштары тең бұрыштармен сыбайлас, сондықтан олар тең.
5. $\triangle CDE_1=\triangle CDE_2$: $CE_1=CE_2$, $CD$ ортақ, олардың арасындағы бұрыштар тең.

Жауабы: $\triangle CDE_1=\triangle CDE_2$.

№ 11.13

11.15-суретте $AB=CD$, $AD=BC$, $BE$ — $ABC$ бұрышының биссектрисасы, $DF$ — $ADC$ бұрышының биссектрисасы. $\triangle ABE=\triangle CDF$ екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. $AC$ диагоналі $ABC$ және $CDA$ тең үшбұрыштарын береді. Олардан $B$, $D$ тең бұрыштарын және $A$, $C$ төбелеріндегі бұрыштарды аламыз, сосын бәрін «қабырға және екі бұрыш» белгісіне жинаймыз.

Шешуі.

1. $\triangle ABC=\triangle CDA$ үш қабырғасы бойынша. Демек, $\angle ABC=\angle CDA$ және $\angle BAC=\angle DCA$.
2. Тең бұрыштардың жарттары тең: $\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\angle CDA=\angle CDF$.
3. $\triangle ABE$ және $\triangle CDF$: $AB=CD$, $\angle ABE=\angle CDF$, $\angle BAE=\angle BAC=\angle DCA=\angle DCF$ ($E$ және $F$ нүктелері $AC$ кесіндісінде жатыр). Олар қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы бойынша тең.

Жауабы: $\triangle ABE=\triangle CDF$.

№ 11.14

Егер $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $CM$ және $C_1M_1$ медианалары тең болса, онда $ABC$ және $A_1B_1C_1$ үшбұрыштарының тең болатынын дәлелде (11.16-сурет).

Қалай ойлаймыз. Медиана қабырғаны тең екіге бөледі, сондықтан $AM=A_1M_1$. Сонда $\triangle AMC$ және $\triangle A_1M_1C_1$ үшбұрыштарында үш жұп тең қабырға болады.

Шешуі.

1. $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}A_1B_1=A_1M_1$.
2. $\triangle AMC=\triangle A_1M_1C_1$: $AM=A_1M_1$, $AC=A_1C_1$, $CM=C_1M_1$. Демек, $\angle A=\angle A_1$.
3. $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$: $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$ (бірінші белгі).

Жауабы: үшбұрыштар тең.

№ 11.15

Жергілікті жерде бұрышты қақ бөлу қажет ($ABC$ бұрышы, 11.17-сурет). Ол үшін өлшеу құралынан өзара тең $BA$ және $BC$ кесінділері салынады. Содан кейін ортасы белгіленген ($O$ нүктесі) таспа алып, оның шеттері $A$ және $C$ нүктелерінде бекітіледі. Таспаның ортасынан тартып, жергілікті жерден $O$ нүктесінің орны белгіленеді. Сонда $BO$ сәулесі $ABC$ бұрышын қақ бөледі. Салудың дұрыстығын негіздеңдер.

Қалай ойлаймыз. Үш жұп тең қабырғасы бар екі үшбұрыш тап: $\triangle ABO$ және $\triangle CBO$.

Шешуі.

1. $BA=BC$ (өлшеу құралымен салынған).
2. $OA=OC$: $O$ — таспаның ортасы, ал таспаның ұштары $A$ және $C$ нүктелерінде бекітілген.
3. $BO$ — ортақ қабырға. Демек, $\triangle ABO=\triangle CBO$ үш қабырғасы бойынша және $\angle ABO=\angle CBO$. $BO$ сәулесі $ABC$ бұрышының биссектрисасы болады.

Жауабы: үшінші белгі бойынша $\triangle ABO=\triangle CBO$, сондықтан $\angle ABO=\angle CBO$.

C деңгейі

№ 11.16

$ABC$ және $A_1B_1C_1$ үшбұрыштарында $AC=A_1C_1$, $BC=B_1C_1$ және $CM$ медианасы $C_1M_1$ медианасына тең болса (11.18-сурет), онда үшбұрыштардың тең болатынын дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Бұл қиын есеп. Идея: медиананы екі еселеу, яғни оны сондай ұзындыққа жалғау. Сонда қабырғалары $AC$, $BC$, $2CM$ болатын $ACD$ үшбұрышын аламыз, ол $C$ бұрышын бір мәнді анықтайды.

Шешуі.

1. $CM$ жалғасына $M$ нүктесінен кейін $MD=CM$ кесіндісін саламыз. Сонда $\triangle BMC=\triangle AMD$: $BM=AM$, $CM=DM$, $\angle BMC=\angle AMD$ (вертикаль бұрыштар). Демек, $AD=BC$ және $\angle MDA=\angle MCB$.
2. Дәл солай бірінші үшбұрышта: $A_1D_1=B_1C_1$, $\angle M_1D_1A_1=\angle M_1C_1B_1$, $C_1D_1=2C_1M_1$.
3. $\triangle ACD=\triangle A_1C_1D_1$: $AC=A_1C_1$, $AD=BC=B_1C_1=A_1D_1$, $CD=2CM=2C_1M_1=C_1D_1$ (үш қабырға). Демек, $\angle ACD=\angle A_1C_1D_1$ және $\angle D=\angle D_1$.
4. $\angle ACB=\angle ACM+\angle MCB=\angle ACD+\angle D$ (өйткені $\angle MCB=\angle MDA=\angle D$). Дәл солай $\angle A_1C_1B_1=\angle A_1C_1D_1+\angle D_1$. Демек, $\angle C=\angle C_1$.
5. $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$: $AC=A_1C_1$, $BC=B_1C_1$, $\angle C=\angle C_1$ (бірінші белгі).

Жауабы: үшбұрыштар тең.

№ 11.17

11.19-суретте $AB=CD$ және $AD=BC$. $BAC$ және $DCA$ бұрыштарының тең екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. $AC$ диагоналі екі тең үшбұрыш береді.

Шешуі. $\triangle ABC=\triangle CDA$: $AB=CD$, $BC=DA$, $AC$ ортақ (үш қабырға). $BAC$ бұрышы $BC$ қабырғасына қарсы жатыр, $DCA$ бұрышы тең $DA$ қабырғасына қарсы жатыр. Демек, $\angle BAC=\angle DCA$.

Жауабы: $\angle BAC=\angle DCA$.

№ 11.18

11.19-суретте $AB=CD$, $BAC$ және $DCA$ бұрыштары тең. $DAC$ және $BCA$ бұрыштарының тең екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Енді екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш белгілі: бірінші белгіні аламыз.

Шешуі. $\triangle ABC$ және $\triangle CDA$: $AB=CD$, $AC$ ортақ, $\angle BAC=\angle DCA$ ($AB$ және $AC$ арасындағы бұрыш $CD$ және $CA$ арасындағы бұрышқа тең). Олар бірінші белгі бойынша тең. $BCA$ бұрышы $AB$ қабырғасына қарсы, $DAC$ бұрышы $CD$ қабырғасына қарсы жатыр, олар тең.

Жауабы: $\angle DAC=\angle BCA$.

№ 11.19

11.19-суретте $\angle ABD=\angle CDB$ және $\angle ADB=\angle CBD$. $BAD$ және $DCB$ бұрыштарының тең екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Енді $BD$ қабырғасы ортақ, оған іргелес тең бұрыштар бар. Бұл — екінші белгі.

Шешуі. $\triangle ABD$ және $\triangle CDB$: $BD$ ортақ, $\angle ABD=\angle CDB$, $\angle ADB=\angle CBD$. Олар екінші белгі бойынша тең. Демек, $\angle BAD=\angle DCB$.

Жауабы: $\angle BAD=\angle DCB$.

№ 11.20

11.20-суретте $AD=BC$ және $AC=BD$. $ADC$ және $BCD$ бұрыштарының тең екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Мұндағы ортақ қабырға — $DC$.

Шешуі. $\triangle ADC$ және $\triangle BCD$: $AD=BC$, $AC=BD$, $DC$ ортақ (үш қабырға). $ADC$ бұрышы $AC$ қабырғасына қарсы, $BCD$ бұрышы тең $BD$ қабырғасына қарсы жатыр. Демек, олар тең.

Жауабы: $\angle ADC=\angle BCD$.

№ 11.21

11.20-суретте $AO=BO$ және $CO=DO$. $DAC$ және $CBD$ бұрыштарының тең екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. $O$ — диагональдардың қиылысу нүктесі, вертикаль бұрыштар бар.

Шешуі. $\triangle AOD$ және $\triangle BOC$: $AO=BO$, $DO=CO$, $\angle AOD=\angle BOC$ (вертикаль бұрыштар). Олар бірінші белгі бойынша тең. $DAO$ бұрышы $DO$ қабырғасына қарсы, $CBO$ бұрышы $CO$ қабырғасына қарсы жатыр. Демек, $\angle DAC=\angle CBD$.

Жауабы: $\angle DAC=\angle CBD$.

№ 11.22

11.20-суретте $\angle BAC=\angle ABD$, $\angle BAD=\angle ABC$. $AD=BC$ екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. $AB$ қабырғасы ортақ, оған іргелес бұрыштар тең.

Шешуі. $\triangle ABD$ және $\triangle BAC$: $AB$ ортақ, $\angle DAB=\angle CBA$, $\angle DBA=\angle CAB$. Олар екінші белгі бойынша тең. $AD$ қабырғасы $\angle ABD$ бұрышына қарсы, $BC$ қабырғасы $\angle BAC$ бұрышына қарсы жатыр, бұл бұрыштар тең. Демек, $AD=BC$.

Жауабы: $AD=BC$.

№ 11.23

11.21-суретте $AB=CB$ және $AD=CD$. $BAD$ және $BCD$ бұрыштарының тең екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. $BD$ диагоналі ортақ.

Шешуі. $\triangle ABD=\triangle CBD$: $AB=CB$, $AD=CD$, $BD$ ортақ. Демек, $\angle BAD=\angle BCD$.

Жауабы: $\angle BAD=\angle BCD$.

№ 11.24

11.21-суретте $AD=CD$, $ADB$ және $CDB$ бұрыштары тең. $AB=BC$ теңдігін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Енді екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш: бірінші белгі.

Шешуі. $\triangle ABD$ және $\triangle CBD$: $AD=CD$, $BD$ ортақ, $\angle ADB=\angle CDB$. Олар бірінші белгі бойынша тең, демек, $AB=CB$.

Жауабы: $AB=BC$.

№ 11.25

11.21-суретте $ADB$ және $CDB$ бұрыштары тең, $AC$ мен $BD$ өзара перпендикуляр. $AD=CD$ екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. $AC\perp BD$ дегеніміз — $O$ нүктесінде тік бұрыштар пайда болады, сондықтан $\triangle ADO$ және $\triangle CDO$ үшбұрыштарына екінші белгіні қолдануға болады.

Шешуі. $\triangle ADO$ және $\triangle CDO$: $DO$ ортақ, $\angle ADO=\angle CDO$, $\angle AOD=\angle COD=90^\circ$. Олар екінші белгі бойынша тең. Демек, $AD=CD$.

Жауабы: $AD=CD$.

№ 11.26

11.22-суретте $AB=CB$ және $AD=CD$. $ADB$ және $CDB$ бұрыштарының тең екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. $BD$ — ортақ қабырға.

Шешуі. $\triangle ABD=\triangle CBD$: $AB=CB$, $AD=CD$, $BD$ ортақ. Демек, $\angle ADB=\angle CDB$.

Жауабы: $\angle ADB=\angle CDB$.

№ 11.27

11.22-суретте $AD=CD$, $ADB$ және $CDB$ бұрыштары тең. $BAD$ және $BCD$ бұрыштарының тең екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш: бірінші белгі.

Шешуі. $\triangle ABD=\triangle CBD$ бірінші белгі бойынша: $AD=CD$, $DB$ ортақ, $\angle ADB=\angle CDB$. Демек, $\angle BAD=\angle BCD$.

Жауабы: $\angle BAD=\angle BCD$.

№ 11.28

11.22-суретте $ADB$ және $CDB$ бұрыштары тең, $AC$ мен $OD$ өзара перпендикуляр. $AD=CD$ екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. 11.25-тегідей.

Шешуі. $O$ — $AC$ мен $BD$ түзуінің қиылысу нүктесі болсын. $\triangle ADO=\triangle CDO$ екінші белгі бойынша: $DO$ ортақ, $\angle ADO=\angle CDO$, $\angle AOD=\angle COD=90^\circ$. Демек, $AD=CD$.

Жауабы: $AD=CD$.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 11.29

$ABC$ үшбұрышында $A$ бұрышы $B$ бұрышынан үлкен. $AC$ немесе $BC$ қабырғаларының қайсысы үлкен?

Қалай ойлаймыз. Үлкен бұрышқа қарсы үлкен қабырға жатады. Келесі параграф дәл осы туралы.

Шешуі. $A$ бұрышына қарсы $BC$ қабырғасы жатыр, $B$ бұрышына қарсы $AC$ қабырғасы жатыр. $\angle A>\angle B$ болғандықтан, $BC>AC$.

Жауабы: $BC$ үлкен.

Жадынама

• Теорема (үшінші белгі). $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$, $AC=A_1C_1\Rightarrow \triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.
• Үшбұрыштар теңдігінен сәйкес бұрыштардың теңдігі шығады: тең қабырғаларға қарсы тең бұрыштар жатады.
• Типтік тәсіл: диагональ жүргіз, ортақ қабырғаны тап, белгіні қолдан.

Шағын тест