§ 9. Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 тарау: Үшбұрыштар. 53–59-беттер.

Нені үйренесің

• Екінші белгіні айтуды: қабырға және оған іргелес жатқан екі бұрыш.
• «Іргелес» бұрыштарды қалғандарынан айыруды және бірінші белгіні екіншісімен шатастырмауды.
• Үшбұрыштардың теңдігін екінші белгі бойынша дәлелдеп, қабырғалар мен бұрыштар туралы қорытынды жасауды.
• Белгіні суреттері бар есептерде және жер бетінде қолдануды.

Ой қозғау

• Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі не дейді? Бірінші үшбұрыштың екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш екінші үшбұрыштың екі қабырғасына және олардың арасындағы бұрышқа тең болса, үшбұрыштар тең болады.
• «Бұрыш қабырғаға іргелес жатыр» дегеніміз не? Қабырға сол бұрыштың қабырғаларының бірі болады. $AB$ қабырғасына $A$ және $B$ бұрыштары іргелес жатыр.
• Вертикаль бұрыштар тең бе? Иә, тең.
• Тақырыпқа дайындық (№ 8.19). Бір үшбұрыштың екі бұрышы екінші үшбұрыштың екі бұрышына тең болса, үшбұрыштар тең бола ма? Міндетті емес: пішіні бірдей үлкен және кіші үшбұрыштардың бұрыштары бірдей болады.

Тақырыпты талдаймыз

Қабырға мен екі бұрыш бойынша саламыз

$ABC$ үшбұрышын сал: $AB = 5$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$. 5 см кесінді сызып, бір ұшынан транспортирмен $60^\circ$, екінші ұшынан $45^\circ$ өлше. Сәулелер $C$ нүктесінде қиылысады.

Сыныптасың дәл осы сандармен салса, дәл сондай үшбұрыш шығады. Белгі дәл осыны айтады.

Екінші белгі

📌 Теорема (екінші белгі). Егер бірінші үшбұрыштың бір қабырғасы және оған іргелес жатқан екі бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес қабырғасы мен оған іргелес жатқан екі бұрышына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

Қысқаша: бұрыш, қабырға, бұрыш.

Дәлелдеуі

⚠️ Жиі кететін қате. Дәл іргелес жатқан бұрыштар керек: екеуі де тең қабырғаның ұштарынан шығуы тиіс. $AB$ қабырғасы үшін бұл $A$ және $B$ бұрыштары, ал $C$ емес.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан дәптерде үшбұрыштағы бір қабырғаны белгілеп, оның екі ұшындағы екі бұрышты доғамен белгілеуін сұраңыз. Доғалар бір қабырғаның екі ұшында тұрса, бұл — екінші белгі.

🌟 Бұл белгіні ежелгі Грецияда да қолданған: аңыз бойынша, философ Фалес теңіздегі кемеге дейінгі қашықтықты жағадағы бір қабырғаны және екі бұрышты өлшеп қана тапқан. Геодезиядағы триангуляция да осылай жұмыс істейді: бір сызық пен екі бұрыш арқылы қол жетпейтін нүктеге дейінгі қашықтықты табады.

Екі белгі қатар

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісін айт. Егер бір үшбұрыштың қабырғасы және оған іргелес жатқан екі бұрышы екінші үшбұрыштың қабырғасы мен оған іргелес жатқан екі бұрышына тең болса, үшбұрыштар тең болады.
• Екінші белгі бойынша $\triangle ABC$ және $\triangle DEF$ үшбұрыштары элементтерінің теңдігін жаз («Өздерің жазыңдар» тапсырмасы). Мысалы, $AB = DE$, $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$.
• Екінші белгі бірінші белгіден немен ерекшеленеді? Біріншіде екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш, екіншіде бір қабырға және оның ұштарындағы екі бұрыш беріледі.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 9.1

9.2-суретте $\angle 1 = \angle 3$, $\angle 2 = \angle 4$. $CDA$ және $ABC$ үшбұрыштары тең бе?

Қалай ойлаймыз. Ортақ қабырға — $AC$ диагоналі. Екі бұрыш та оған іргелес жатқанын тексер.

Шешуі. $\angle 1$ ($AB$ мен $AC$ арасында) және $\angle 4$ ($CB$ мен $CA$ арасында) $\triangle ABC$ үшбұрышында $AC$ қабырғасына іргелес жатыр. $\angle 3$ ($CD$ мен $CA$ арасында) және $\angle 2$ ($AD$ мен $AC$ арасында) $\triangle CDA$ үшбұрышында $CA$ қабырғасына іргелес жатыр. Салыстырамыз: $\angle 1 = \angle 3$, $\angle 4 = \angle 2$ (берілген), $AC = CA$ (ортақ). Екінші белгі бойынша $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Жауабы: иә, тең.

№ 9.2

9.3, а, ә-суреттерде $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$. Суреттен тең кесінділерді көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Екі үшбұрышқа ортақ диагональды тап және екі бұрыштың да оған іргелес жатқанына көз жеткіз.

Шешуі. а) Ортақ қабырға — $AC$. $\triangle ACD$ үшбұрышында $A$ төбесіндегі бұрыш — $\angle 1$, $C$ төбесіндегі бұрыш — $\angle 4$; $\triangle CAB$ үшбұрышында $C$ төбесіндегі бұрыш — $\angle 2$, $A$ төбесіндегі бұрыш — $\angle 3$. $\angle 1 = \angle 2$ және $\angle 4 = \angle 3$ болғандықтан, екінші белгі бойынша $\triangle ACD = \triangle CAB$. Тең бұрыштардың қарсысында тең қабырғалар жатады: $AB = CD$, $BC = AD$. ә) Ортақ қабырға — $AC$. $\triangle ABC$ және $\triangle ADC$ үшбұрыштарында: $\angle 2 = \angle 1$ ($A$ төбесінде), $\angle 4 = \angle 3$ ($C$ төбесінде). Екінші белгі бойынша тең, демек, $AB = AD$, $CB = CD$.

Жауабы: а) $AB = CD$, $BC = AD$; ә) $AB = AD$, $CB = CD$.

№ 9.3

9.4-суретте тең кесінділер және тең бұрыштар көрсетілген. Осылардан тең үшбұрыштарды көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Әр суретте белгіленген жұптарды тауып, олар қандай белгіні құрайтынын қарап шық: қабырғалар мен олардың арасындағы бұрыш (бірінші) немесе қабырға мен екі бұрыш (екінші).

Шешуі. а) $\triangle ABC$ және $\triangle ADC$: $AC$ ортақ, $\angle BAC = \angle DAC$, $\angle BCA = \angle DCA$ (екінші белгі). ә) $\triangle ABD$ және $\triangle CDB$: $BD$ ортақ, $\angle ABD = \angle CDB$, $\angle ADB = \angle CBD$ (екінші белгі). б) $\triangle ABD$ және $\triangle CBE$: $DB = BE$, $\angle D = \angle E$, $\angle ABD = \angle CBE$ вертикаль бұрыштар ретінде (екінші белгі). в) $\triangle AOD$ және $\triangle BOC$: $AO = BO$, $\angle DAO = \angle CBO$, $\angle AOD = \angle BOC$ (вертикаль), екінші белгі. Осыдан $AD = BC$ және $OD = OC$. Сонда $\triangle ACD$ және $\triangle BDC$: $AC = AO + OC = BO + OD = BD$, $AD = BC$, $\angle DAC = \angle CBD$ — бірінші белгі. г) $\triangle ACD$ және $\triangle BCE$: $CD = CE$, $CA = CE + EA = CD + DB = CB$ (белгіленген кесінділер), ортақ $\angle C$ — бірінші белгі. Содан кейін $\triangle AOE$ және $\triangle BOD$: $AE = BD$, $\angle AEO = \angle BDO$ (белгіленген), $\angle EAO = \angle DBO$ (бірінші жұптан) — екінші белгі. Тағы $\triangle ABE$ және $\triangle BAD$ үш қабырғасы бойынша тең: $AE = BD$, $BE = AD$, $AB$ ортақ (бұл — § 11-дегі үшінші белгі). ғ) $\triangle AOD$ және $\triangle BOC$: $DO = CO$, $\angle D = \angle C$, $\angle AOD = \angle BOC$ (екінші белгі). Осыдан $AD = BC$ және $AO = BO$. Сонда $\triangle ABD$ және $\triangle BAC$: $AD = BC$, $\angle D = \angle C$, $DB = DO + OB = CO + OA = CA$ — бірінші белгі.

Жауабы: а) $ABC$ және $ADC$; ә) $ABD$ және $CDB$; б) $ABD$ және $CBE$; в) $AOD$ және $BOC$, $ACD$ және $BDC$; г) $ACD$ және $BCE$, $ABE$ және $BAD$, $AOE$ және $BOD$; ғ) $AOD$ және $BOC$, $ABD$ және $BAC$.

B деңгейі

№ 9.4

9.5-суретте $BC = CD$, $\angle B = \angle D$, $AC = CE$ екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $AC$ және $CE$ — $ABC$ және $EDC$ үшбұрыштарының қабырғалары. $C$ төбесіндегі вертикаль бұрыштар тең.

Шешуі. Берілгені: $BC = CD$, $\angle B = \angle D$. Дәлелдеу керек: $AC = CE$. $\triangle ABC$ және $\triangle EDC$ үшбұрыштарында:

1. $BC = DC$ (берілген);
2. $\angle ABC = \angle EDC$ (берілген);
3. $\angle ACB = \angle ECD$ вертикаль бұрыштар ретінде. $BC$ қабырғасы $DC$ қабырғасына тең, және олардың ұштарындағы бұрыштар тең. Екінші белгі бойынша $\triangle ABC = \triangle EDC$, осыдан $AC = EC$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 9.5

9.6-суретте $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$, $AB = AD$ екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Ортақ қабырға — $AC$. 1 және 2 бұрыштары $A$ төбесінде, 3 және 4 бұрыштары $C$ төбесінде.

Шешуі. Берілгені: $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$. Дәлелдеу керек: $AB = AD$. $\triangle ABC$ және $\triangle ADC$ үшбұрыштарында: $AC$ ортақ, $\angle BAC = \angle DAC$ ($\angle 1 = \angle 2$), $\angle BCA = \angle DCA$ ($\angle 3 = \angle 4$). Екінші белгі бойынша $\triangle ABC = \triangle ADC$, сондықтан $AB = AD$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 9.6

9.7-суретте $\angle DBC = \angle DAC$ және $BO = AO$. $C$ бұрышы $D$ бұрышына тең болатынын және $AC = BD$ екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $O$ — $AD$ және $BC$ кесінділерінің қиылысу нүктесі. $O$ төбесіндегі бұрыштар вертикаль, $A$ және $B$ төбелеріндегі бұрыштар тең. $AO = BO$ қабырғасы олардың арасында.

Шешуі. Берілгені: $\angle DBC = \angle DAC$, $BO = AO$. Дәлелдеу керек: $\angle C = \angle D$, $AC = BD$. $\triangle AOC$ және $\triangle BOD$ үшбұрыштарында:

1. $AO = BO$ (берілген);
2. $\angle CAO = \angle DBO$: себебі $\angle CAO = \angle DAC$, $\angle DBO = \angle DBC$, ал олар тең (берілген);
3. $\angle AOC = \angle BOD$ (вертикаль). Екінші белгі бойынша $\triangle AOC = \triangle BOD$. Сондықтан $\angle C = \angle D$ және $AC = BD$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 9.7

9.8-суретте $AD = CF$, $\angle BAC = \angle EDF$, $\angle 1 = \angle 2$ болатындай фигура кескінделген. $ABC$ және $DEF$ үшбұрыштары тең болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. 1 және 2 бұрыштары «сыртқы», ал бізге үшбұрыштардың өз бұрыштары керек. Оларды жазыңқы бұрышқа дейін толықтыр. $AC$ қабырғасын $AD$, $DC$ және $CF$ арқылы табамыз.

Шешуі. Берілгені: $AD = CF$, $\angle BAC = \angle EDF$, $\angle 1 = \angle 2$ ($\angle 1$ — $BCF$ бұрышы, $\angle 2$ — $EFD$ бұрышы). Дәлелдеу керек: $\triangle ABC = \triangle DEF$.

1. $\angle ACB = 180^\circ - \angle 1$ және $\angle DFE = 180^\circ - \angle 2$ (сыбайлас). $\angle 1 = \angle 2$ болғандықтан, $\angle ACB = \angle DFE$.
2. $AC = AD + DC$, $DF = DC + CF$, ал $AD = CF$, сондықтан $AC = DF$.
3. $\triangle ABC$ және $\triangle DEF$ үшбұрыштарында: $AC = DF$, $\angle BAC = \angle EDF$, $\angle ACB = \angle DFE$. Екінші белгі.

Жауабы: дәлелденді.

№ 9.8

9.9-суретте $AB$ және $CD$ кесінділері $O$ нүктесінде қиылысады. $OB = OC$ және $\angle B = \angle C$. $AOC$ және $DOB$ үшбұрыштарының теңдігін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Тең қабырға $OC = OB$, оның ұштарында $C$ және $B$ бұрыштары, және $O$ төбесіндегі вертикаль бұрыштар.

Шешуі. Берілгені: $OB = OC$, $\angle B = \angle C$. Дәлелдеу керек: $\triangle AOC = \triangle DOB$. $\triangle AOC$ және $\triangle DOB$ үшбұрыштарында:

1. $OC = OB$ (берілген);
2. $\angle ACO = \angle DBO$ (бұл шарттағы $C$ және $B$ бұрыштары, өйткені $O$ нүктесі $CD$ және $AB$ кесінділерінде жатыр);
3. $\angle AOC = \angle DOB$ (вертикаль). Екінші белгі бойынша $\triangle AOC = \triangle DOB$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 9.9

9.10-суретте $AC$ және $BD$ кесінділері $O$ нүктесінде қиылысады. $AO = OC$ және $\angle A = \angle C$. $AOB$ және $COD$ үшбұрыштарының теңдігін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Бәрі № 9.8-дегідей: қабырға және екі бұрыш (олардың бірі — вертикаль).

Шешуі. Берілгені: $AO = OC$, $\angle A = \angle C$. Дәлелдеу керек: $\triangle AOB = \triangle COD$.

1. $AO = CO$ (берілген);
2. $\angle BAO = \angle DCO$ (берілген);
3. $\angle AOB = \angle COD$ (вертикаль). Екінші белгі.

Жауабы: дәлелденді.

№ 9.10

9.11-суретте $AD$ және $BC$ сәулелері $O$ нүктесінде қиылысады. $\angle 1 = \angle 2$ және $OC = OD$. $A$ бұрышы $B$ бұрышына тең болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $A$ және $B$ бұрыштары бар екі үшбұрышты бөліп алу керек: $AOC$ және $BOD$. 1 және 2 бұрыштары сыртқы, оларды сыбайлас бұрыштарға дейін толықтырамыз.

Шешуі. Берілгені: $\angle 1 = \angle 2$, $OC = OD$. Дәлелдеу керек: $\angle A = \angle B$.

1. $\angle ACO = 180^\circ - \angle 1$, $\angle BDO = 180^\circ - \angle 2$ (сыбайлас). Демек, $\angle ACO = \angle BDO$.
2. $\triangle AOC$ және $\triangle BOD$ үшбұрыштарында: $OC = OD$ (берілген), $\angle ACO = \angle BDO$ (1-тармақ), $\angle AOC = \angle BOD$ (вертикаль). Екінші белгі бойынша $\triangle AOC = \triangle BOD$.
3. Тең қабырғалардың қарсысында тең бұрыштар жатады, сондықтан $\angle A = \angle B$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 9.11

9.12-суретте $BH \perp AC$, $DP \perp AC$, $AH = CP$ және $\angle BAC = \angle ACD$. Суреттен тең үшбұрыштарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AHB$ және $CPD$ тік бұрышты үшбұрыштар жұбынан баста, әрі қарай тізбектеп жүр.

Шешуі.

1. $\triangle AHB$ және $\triangle CPD$: $AH = CP$, $\angle H = \angle P = 90^\circ$, $\angle BAH = 180^\circ - \angle BAC$ және $\angle DCP = 180^\circ - \angle ACD$ (сыбайлас), сондықтан $\angle BAH = \angle DCP$. Екінші белгі. Демек, $AB = CD$ және $BH = DP$.
2. $\triangle ABC$ және $\triangle CDA$: $AB = CD$ (1-тармақ), $AC$ ортақ, $\angle BAC = \angle ACD$ (берілген). Бірінші белгі.
3. $\triangle BHC$ және $\triangle DPA$: $BH = DP$ (1-тармақ), $HC = HA + AC$ және $PA = PC + CA$, ал $HA = PC$, сондықтан $HC = PA$, $\angle H = \angle P = 90^\circ$. Бірінші белгі.

Жауабы: $AHB$ және $CPD$, $ABC$ және $CDA$, $BHC$ және $DPA$.

№ 9.12

9.13-суретте $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$. $ABC$ және $CDA$ үшбұрыштарының теңдігін дәлелдеңдер. Егер $AD = 19$ см, $CD = 11$ см болса, онда $AB$ және $BC$ қабырғаларын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ортақ қабырға — $AC$. 1 және 2 бұрыштары — $C$ және $A$ төбелеріндегі айқыш бұрыштар, 3 және 4 бұрыштары да солай.

Шешуі. Берілгені: $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$, $AD = 19$ см, $CD = 11$ см. $\triangle ABC$ және $\triangle CDA$ үшбұрыштарында: $AC$ ортақ, $\angle BCA = \angle 1 = \angle 2 = \angle CAD$, $\angle BAC = \angle 4 = \angle 3 = \angle ACD$. Екінші белгі. Төбелердің сәйкестігі: $A \to C$, $B \to D$, $C \to A$. Сондықтан $AB = CD = 11$ см, $BC = DA = 19$ см.

Жауабы: $AB = 11$ см, $BC = 19$ см.

C деңгейі

№ 9.13

Тең үшбұрыштардың сәйкесінше биссектрисалары тең болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Тең $\triangle ABC$ және $\triangle A_1B_1C_1$ үшбұрыштарын және $AM$ мен $A_1M_1$ биссектрисаларын ал. Тең бұрыштардың жартылары тең. Қабырға мен екі бұрышы бар екі үшбұрышты тап.

Шешуі. Берілгені: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, $AM$ және $A_1M_1$ — $A$ және $A_1$ бұрыштарының биссектрисалары. Дәлелдеу керек: $AM = A_1M_1$.

1. $\angle A = \angle A_1$, сондықтан олардың жартылары тең: $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$.
2. $\triangle ABM$ және $\triangle A_1B_1M_1$ үшбұрыштарында: $AB = A_1B_1$, $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$ (1-тармақ), $\angle B = \angle B_1$.
3. $AB$ қабырғасы және оған іргелес екі бұрыш тең. Екінші белгі бойынша $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$, осыдан $AM = A_1M_1$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 9.14

9.14-суретте $ABC$ және $A_1B_1C_1$ үшбұрыштары тең. $CD$ және $C_1D_1$ кесінділері сәйкесінше $CB$ және $C_1B_1$ қабырғаларымен тең бұрыштар құрайды. $AD = A_1D_1$ екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Тең $ACD$ және $A_1C_1D_1$ үшбұрыштарын іздейміз. Оларда $AC$ қабырғасы және оның ұштарындағы бұрыштар тең болуы керек.

Шешуі. Берілгені: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, $\angle DCB = \angle D_1C_1B_1$. Дәлелдеу керек: $AD = A_1D_1$.

1. $\angle ACB = \angle A_1C_1B_1$ және $\angle DCB = \angle D_1C_1B_1$. Азайтамыз: $\angle ACD = \angle ACB - \angle DCB = \angle A_1C_1B_1 - \angle D_1C_1B_1 = \angle A_1C_1D_1$.
2. $\triangle ACD$ және $\triangle A_1C_1D_1$ үшбұрыштарында: $AC = A_1C_1$ (тең үшбұрыштар), $\angle A = \angle A_1$, $\angle ACD = \angle A_1C_1D_1$ (1-тармақ).
3. Екінші белгі бойынша $\triangle ACD = \triangle A_1C_1D_1$. Демек, $AD = A_1D_1$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 9.15

9.15-суретте $\angle DAB = \angle CBA$, $\angle CAB = \angle DBA$, $CA = 13$ см. $DB$ кесіндісін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Ортақ қабырға — $AB$, оның ұштарындағы екі бұрыш та тең. Үшбұрыштар — $ABC$ және $BAD$.

Шешуі. $\triangle ABC$ және $\triangle BAD$ үшбұрыштарында: $AB$ ортақ, $\angle CAB = \angle DBA$, $\angle CBA = \angle DAB$. Екінші белгі бойынша $\triangle ABC = \triangle BAD$ ($A \to B$, $B \to A$, $C \to D$). Сонда $CA = DB = 13$ см.

Жауабы: $DB = 13$ см.

№ 9.16

$ABCD$ төртбұрышында $\angle DAB = \angle CBA$, $AC$ және $BD$ диагональдары $AB$ қабырғасымен тең бұрыштар жасайды (9.16-сурет), $AC = 4$ см. $BD$ диагоналін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AB$ қабырғасындағы тең бұрыштар: $\angle CAB = \angle DBA$. $\angle DAB = \angle CBA$ теңдігімен бірге бұл тағы да «қабырға және екі бұрыш» болады.

Шешуі. $\triangle ABD$ және $\triangle BAC$ үшбұрыштарында: $AB$ ортақ, $\angle DAB = \angle CBA$ (берілген), $\angle ABD = \angle BAC$ (диагональдар $AB$ қабырғасымен тең бұрыштар жасайды). Екінші белгі бойынша $\triangle ABD = \triangle BAC$ ($A \to B$, $B \to A$, $D \to C$). Демек, $BD = AC = 4$ см.

Жауабы: $BD = 4$ см.

№ 9.17

9.17-суретте $AE = AC$, $\angle 1 = \angle 2$, $A$ бұрышы $50^\circ$, $B$ бұрышы $40^\circ$. $D$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $A$ бұрышы $\triangle ABC$ және $\triangle ADE$ үшбұрыштарына ортақ. Қалғаны: $AE = AC$ және $\angle 1 = \angle 2$.

Шешуі. $\triangle ADE$ және $\triangle ABC$ үшбұрыштарында: $AE = AC$ (берілген), $\angle A$ — ортақ, $\angle AED = \angle 1 = \angle 2 = \angle ACB$ (берілген). $A$ бұрышы және $\angle AED$ $AE$ қабырғасына іргелес, $A$ бұрышы және $\angle ACB$ $AC$ қабырғасына іргелес жатыр. Екінші белгі бойынша $\triangle ADE = \triangle ABC$ ($E \to C$, $D \to B$). Сондықтан $\angle D = \angle B = 40^\circ$.

Жауабы: $\angle D = 40^\circ$.

№ 9.18

9.18-сурет бойынша $A$ нүктесінен алыстағы $B$ нүктесіне (мысалы, аралдағы ағашқа) дейінгі қашықтықты қалай табуға болатынын түсіндіріңдер.

Қалай ойлаймыз. $AB$ қашықтығын құрлықтағы кесіндінің ұзындығымен алмастырғымыз келеді. Ол үшін $\triangle ABC$ үшбұрышына тең, $CD$ қабырғасы $AB$ қабырғасына тең үшбұрыш саламыз.

Шешуі.

1. Жағада $C$ нүктесін таңдап, $AC$ кесіндісін жүргіземіз.
2. $BAC$ бұрышын өлшеп, оған тең $\angle ACD$ бұрышын саламыз ($AC$ түзуінің екінші жағына).
3. $BCA$ бұрышын өлшеп, оған тең $\angle CAD$ бұрышын саламыз.
4. $CD$ және $AD$ сәулелері $D$ нүктесінде қиылысады.
5. $\triangle ABC$ және $\triangle CDA$ үшбұрыштарында: $AC$ ортақ, $\angle BAC = \angle ACD$, $\angle BCA = \angle CAD$. Екінші белгі бойынша $\triangle ABC = \triangle CDA$ және $AB = CD$. $CD$ ұзындығын рулеткамен өлшеуге болады.

Жауабы: құрлықта $AC$ ортақ қабырғасы және сондай бұрыштары бар $CDA$ үшбұрышын салу керек; сонда $CD = AB$.

№ 9.19

Жаңа білімді меңгеруге дайындалыңдар. Екі қабырғасы тең болатын үшбұрышты кескіндеңдер. Транспортирдің көмегімен оның үшінші қабырғасына іргелес жатқан бұрыштарды өлшеңдер. Олар тең бола ма?

Қалай ойлаймыз. Мысалы, қабырғалары $5$ см, $5$ см және $4$ см үшбұрыш сал. Табандағы бұрыштарды мұқият өлше.

Шешуі. Қабырғалары $5$, $5$ және $4$ см үшбұрышты аламыз. $4$ см қабырғадағы бұрыштар шамамен $66^\circ$-тан шығады. Бір-екі градустық айырма өлшеудің дәлсіздігінен болады. Бұл кездейсоқтық емес: § 10-да мұндай үшбұрышта табандағы бұрыштардың әрқашан тең екенін дәлелдейміз.

Жауабы: иә, бұрыштар тең болады.

Жадынама

• Екінші белгі: қабырға және оған іргелес екі бұрыш.
• Егер бұрыштар тең қабырғаға іргелес болмаса, бұл екінші белгі емес.
• Тең үшбұрыштарда медианалар (№ 8.15) және биссектрисалар (№ 9.13) тең болады.
• Қол жетпейтін нүктеге дейінгі қашықтықты құрлықта тең үшбұрыш салу арқылы табуға болады (№ 9.18).

Шағын тест