§ 13. Тікбұрышты үшбұрыштар

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 тарау: Үшбұрыштар. 77–82-беттер.

Нені үйренесің

• Тікбұрышты үшбұрышты танып, оның қабырғаларын атауды: гипотенуза және катеттер.
• Мұндай үшбұрышта неге екі сүйір бұрыш болатынын және гипотенузаның неге ең ұзын екенін түсінуді.
• Тікбұрышты үшбұрыштар теңдігінің төрт белгісін білуді.
• Оларды дәлелдеу есептерінде және өмірде қолдануды, мысалы, қол жетпейтін нүктеге дейінгі қашықтықты табуда.

Ой қозғау

• Қандай бұрышты тік бұрыш дейді? $90^\circ$-қа тең бұрышты, мысалы, дәптердің немесе футбол алаңының бұрышындай.
• Қандай бұрыш сүйір, қандай бұрыш доғал болады? Сүйір бұрыш $90^\circ$-тан кіші, доғал бұрыш $90^\circ$-тан үлкен, бірақ $180^\circ$-тан кіші.
• Үшбұрыштар теңдігінің үш белгісін ата. Екі қабырғасы және арасындағы бұрышы бойынша; қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы бойынша; үш қабырғасы бойынша.
• Үшбұрыштың сыртқы бұрышы туралы не білесің? Ол өзімен сыбайлас емес әрбір ішкі бұрыштан үлкен.
• Теңбүйірлі үшбұрыштың табанына жүргізілген биссектрисасы немен бірдей? Ол сонымен бірге биіктік те, медиана да болады.

Тақырыпты талдаймыз

Қайсысы гипотенуза, қайсысы катет

Кітаптың бұрышы, есіктің бұрышы, футбол алаңының бұрышы: тік бұрыш айналамызда жиі кездеседі. Үшбұрышта тік бұрыш болса, мұндай үшбұрышты тікбұрышты деп атайды.

Тік бұрышқа қарсы жатқан қабырға гипотенуза деп аталады. Тік бұрышты «құшақтап» тұрған қалған екі қабырға катеттер деп аталады.

📌 Тік бұрышы $C$ болатын $ABC$ тікбұрышты үшбұрышында: $AB$ — гипотенуза, $AC$ және $BC$ — катеттер.

Екі сүйір бұрыш және ұзын гипотенуза

Үшбұрыштың сыртқы бұрышы өзімен сыбайлас емес әрбір ішкі бұрыштан үлкен. Тік бұрышпен қатар сыртқы бұрыш та тік болады. Демек, қалған екі бұрыш $90^\circ$-тан кіші, яғни сүйір.

💡 Қорытынды: тікбұрышты үшбұрышта бір бұрыш тік, ал қалған екеуі сүйір. Доғал бұрыш болуы мүмкін емес.

Үлкен бұрышқа үлкен қабырға қарсы жататындықтан, тік бұрышқа (ол ең үлкен бұрыш) қарсы ең ұзын қабырға жатады. Сондықтан гипотенуза әрбір катеттен үлкен.

Тікбұрышты үшбұрыштар теңдігінің белгілері

Тікбұрышты үшбұрыштарда бір бұрыш бұрыннан бірдей: $90^\circ$. Сондықтан кәдімгі үшбұрыштарға қарағанда тексеретін нәрсе аз. Барлығы төрт белгі бар.

1 және 2-белгілерді оқулық өзіңе дәлелдеуді ұсынады. Бұл оңай: олар үшбұрыштар теңдігінің белгілі белгілерінен тікелей шығады, өйткені тік бұрыштар бұрыннан тең.

3-белгі: гипотенуза және катет

📌 3-белгі. Егер бір тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеті екінші тікбұрышты үшбұрыштың сәйкесінше гипотенузасы мен катетіне тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

4-белгі: гипотенуза және сүйір бұрыш

📌 4-белгі. Егер бір тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен сүйір бұрышы екінші тікбұрышты үшбұрыштың сәйкесінше гипотенузасы мен сүйір бұрышына тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

Мұнда кері жору әдісін қолданамыз: тұжырым дұрыс емес деп алып, мағынасыз нәтиже аламыз.

⚠️ Жиі кететін қате. «Екі сүйір бұрыш» деген белгіні қолдануға болмайды: егер тек бұрыштар тең болса, үшбұрыштардың өлшемі әртүрлі болуы мүмкін. Кем дегенде бір қабырғасының теңдігі де қажет.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан гипотенузасы мен сүйір бұрышы бірдей, бірақ катеттерінің ұзындығы әртүрлі екі тікбұрышты үшбұрыш сызып көруін сұраңыз. Ол шықпайды, осылайша 4-белгінің мәні анық көрінеді.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай үшбұрыш тікбұрышты деп аталады? Тік бұрышы бар үшбұрыш.
• Гипотенуза мен катеттер деп нені айтады? Гипотенуза — тік бұрышқа қарсы жатқан қабырға; катеттер — қалған екі қабырға.
• Тікбұрышты үшбұрыштар теңдігінің белгілерін тұжырымда. 1) екі катеті бойынша; 2) катеті және оған іргелес сүйір бұрышы бойынша; 3) гипотенузасы және катеті бойынша; 4) гипотенузасы және сүйір бұрышы бойынша.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 13.1

Торкөз қағазға $AC$ кесіндісі катеті болатын, ал $B$ төбесі торкөздердің бір түйінінде орналасқан кез келген тікбұрышты үшбұрыш сыз (13.6-сурет: екі сызба, а) және ә)).

Қалай ойлаймыз. Тік бұрышты $C$ төбесінде жасауға болады. Сонда $CB$ кесіндісі $AC$-ға «тік бұрыш жасап» кетуі керек. Торкөзде бұл кесіндінің қадамын $90^\circ$-қа бұру дегенді білдіреді.

Шешуі. а) $C$-дан $A$-ға дейін 2 клетка солға және 2 клетка жоғары жүру керек. $90^\circ$-қа бұрамыз: $C$-дан 2 клетка оңға және 2 клетка жоғары жүріп, $B$ нүктесін аламыз. ә) $C$-дан $A$-ға дейін: 1 клетка солға және 2 клетка жоғары. Бұру: $C$-дан 2 клетка оңға және 1 клетка жоғары жүріп, $B$ нүктесін аламыз. Басқа нұсқаны да алуға болады: тік бұрыш $A$ төбесінде.

Жауабы: суретті қара. Дұрыс нұсқалар бірнешеу, бастысы — $C$ бұрышы тік болуы керек.

№ 13.2

Торкөз қағазға $AB$ кесіндісі гипотенузасы болатын, ал $C$ төбесі торкөздердің бір түйінінде орналасқан кез келген тікбұрышты үшбұрыш сыз (13.7-сурет: а) және ә)).

Қалай ойлаймыз. $C$ төбесі $AB$-ға тік бұрышпен «қарап» тұруы керек. Ең оңай нұсқа: $AB$-ны шаршының диагоналі етіп алу, сонда шаршының қалған екі төбесі де жарайды.

Шешуі. а) $A$ және $B$ — өлшемі $3\times3$ клетка шаршының қарама-қарсы төбелері. $C$ ретінде қалған екі төбенің бірін аламыз. ә) $AB$ көлденең және 4 клеткаға тең. $C$ нүктесін $A$-дан 2 клетка оңға және 2 клетка жоғары алсаң, катеттер «диагональ бойымен» өтеді және $C$ бұрышы тік болады.

Жауабы: суретті қара.

№ 13.3

13.8-суреттен тең тікбұрышты үшбұрыштарды көрсет.

Қалай ойлаймыз. Әрбір үшбұрыштың катеттерін клеткалармен санап шық. Екі үшбұрыштың катеттері сәйкесінше тең болса, олар 1-белгі бойынша тең.

Шешуі. 1, 4 және 5 үшбұрыштарының катеттері 2 клеткадан. 2, 3 және 7 үшбұрыштарының катеттері 1 және 2 клетка. 6 үшбұрыш қалғандарының ешқайсысына тең емес. Демек, тең топтар: 1, 4, 5 және 2, 3, 7.

Жауабы: 1, 4, 5 және 2, 3, 7.

№ 13.4

Тікбұрышты үшбұрыштар: а) теңбүйірлі; ә) теңқабырғалы бола ма?

Қалай ойлаймыз. Еске түсір: теңбүйірлі үшбұрыштың табанындағы екі бұрышы тең, ал теңқабырғалы үшбұрыштың үш бұрышы да $60^\circ$.

Шешуі. а) Иә. Екі бірдей катет ал, мысалы, 3 см-ден. Бұрыштары $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$ болатын теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыш шығады. ә) Жоқ. Теңқабырғалы үшбұрышта барлық бұрыш тең, ал тікбұрышты үшбұрышта екі бұрыш сүйір, олар тік бұрышқа тең бола алмайды. Теңқабырғалы үшбұрышта барлық бұрыш $60^\circ$-тан, тік бұрыш жоқ.

Жауабы: а) иә; ә) жоқ.

№ 13.5

Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары 4, 5, 5 бола ма?

Қалай ойлаймыз. Гипотенуза — ең ұзын қабырға және ол әрбір катеттен қатаң түрде үлкен.

Шешуі. Мұндағы ең ұзын қабырға екеу және олар 5 см-ге тең. Бірақ гипотенуза екі катеттен де қатаң түрде үлкен болуы керек. Демек, мұндай тікбұрышты үшбұрыш жоқ.

Жауабы: жоқ.

№ 13.6

Тікбұрышты үшбұрыштың катеттері 11 см және 111 см бола ма?

Қалай ойлаймыз. Салып көрейік: тік бұрыш жасап, оның қабырғаларына катеттерді саламыз.

Шешуі. $C$ тік бұрышын сыз, бір қабырғасына $CA=11$ см, екіншісіне $CB=111$ см салып, $A$ мен $B$ нүктелерін қос. Тік бұрышы $C$ болатын үшбұрыш шығады. Оның гипотенузасы 111 см-ден үлкен. Демек, мұндай үшбұрыш бар.

Жауабы: иә.

№ 13.7

Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары 3 см, 4 см, 5 см. Гипотенузасы неге тең?

Қалай ойлаймыз. Гипотенуза катеттерден үлкен, демек, ол ең ұзын қабырға.

Шешуі. 3, 4, 5 сандарының ішіндегі ең үлкені — 5. Демек, 5 см — гипотенуза, ал катеттері 3 см және 4 см.

Жауабы: 5 см.

B деңгейі

№ 13.8

Тікбұрышты үшбұрыштың екі сүйір бұрышы болатынын дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Сыртқы бұрышты қолдан: ол өзімен сыбайлас емес әрбір ішкі бұрыштан үлкен.

Шешуі. Берілгені: $\triangle ABC$, $\angle C=90^\circ$. Дәлелдеу керек: $\angle A<90^\circ$ және $\angle B<90^\circ$.

1. $C$ төбесіндегі сыртқы бұрыш $C$ бұрышымен сыбайлас, демек, ол да $90^\circ$-қа тең ($180^\circ-90^\circ$).
2. Сыртқы бұрыш өзімен сыбайлас емес әрбір ішкі бұрыштан үлкен, яғни $\angle A$-дан да, $\angle B$-дан да үлкен.
3. Демек, $\angle A<90^\circ$ және $\angle B<90^\circ$, яғни екеуі де сүйір.

Жауабы: дәлелденді.

№ 13.9

Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы оның катеттерінен үлкен екенін дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Үшбұрышта үлкен бұрышқа үлкен қабырға қарсы жатады.

Шешуі. Берілгені: $\triangle ABC$, $\angle C=90^\circ$. Дәлелдеу керек: $AB>AC$ және $AB>BC$.

1. 13.8-ден $A$ және $B$ бұрыштары сүйір, демек, $\angle C>\angle A$ және $\angle C>\angle B$.
2. $C$ бұрышына $AB$, $A$ бұрышына $BC$, $B$ бұрышына $AC$ қарсы жатыр.
3. Демек, $AB>BC$ және $AB>AC$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 13.10

$ABC$ теңбүйірлі үшбұрышында $AC=BC$ және $CD$ — биіктік. $ACD$ және $BCD$ үшбұрыштарының тең болатынын дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Биіктік тік бұрыштар жасайды, демек, екі кіші үшбұрыш та тікбұрышты. Тең гипотенуза мен катетті іздейміз.

Шешуі. Берілгені: $AC=BC$, $CD\perp AB$. Дәлелдеу керек: $\triangle ACD=\triangle BCD$.

1. $\angle ADC=\angle BDC=90^\circ$, демек, үшбұрыштар тікбұрышты, гипотенузалары $AC$ және $BC$.
2. $AC=BC$ шарт бойынша (гипотенузалар тең).
3. $CD$ — ортақ катет.
4. 3-белгі бойынша (гипотенузасы және катеті бойынша) $\triangle ACD=\triangle BCD$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 13.11

Егер үшбұрыштың екі биіктігі тең болса, бұл үшбұрыштың теңбүйірлі болатынын дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Тең биіктіктер — гипотенузасы ортақ екі тікбұрышты үшбұрыштың катеттері. 3-белгіні қолданамыз.

Шешуі. Берілгені: $\triangle ABC$, $AA_1$ және $BB_1$ биіктіктері тең. Дәлелдеу керек: $CA=CB$.

1. $ABA_1$ және $BAB_1$ тікбұрышты үшбұрыштарының $AB$ гипотенузасы ортақ.
2. $AA_1=BB_1$ катеттері шарт бойынша тең.
3. 3-белгі бойынша $\triangle ABA_1=\triangle BAB_1$.
4. Демек, сәйкес бұрыштар тең: $\angle ABA_1=\angle BAB_1$, яғни $ABC$ үшбұрышында $\angle B=\angle A$.
5. Үшбұрыштың екі бұрышы тең болса, ол теңбүйірлі: $CA=CB$.

Жауабы: дәлелденді.

C деңгейі

№ 13.12

Кері жору әдісін пайдаланып, бір тікбұрышты үшбұрыштың катеті мен оған қарсы жатқан сүйір бұрышы екінші тікбұрышты үшбұрыштың катеті мен оған қарсы жатқан бұрышына сәйкесінше тең болса, онда бұл үшбұрыштардың тең болатынын дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Екінші катет тең емес деп жорып, оған тең кесінді саламыз және сыртқы бұрыш туралы теоремаға қайшы келетін бұрыштар шығатынын табамыз.

Шешуі. Берілгені: $\angle C=\angle C_1=90^\circ$, $BC=B_1C_1$, $\angle A=\angle A_1$. Дәлелдеу керек: $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.

1. Керісінше деп жорыймыз: $AC\ne A_1C_1$. Анықтық үшін $AC>A_1C_1$ болсын.
2. $CA$ катетінде $C$ нүктесінен $CD=C_1A_1$ кесіндісін саламыз.
3. $\triangle BCD=\triangle B_1C_1A_1$ екі катеті бойынша (1-белгі): $BC=B_1C_1$, $CD=C_1A_1$.
4. Демек, $\angle BDC=\angle A_1=\angle A$.
5. Бірақ $\angle BDC$ — $ABD$ үшбұрышының сыртқы бұрышы, ол өзімен сыбайлас емес $\angle A$-дан үлкен болуы керек. Қайшылық.
6. Демек, $AC=A_1C_1$ және үшбұрыштар екі катеті бойынша тең.

Жауабы: дәлелденді.

№ 13.13

Тең үшбұрыштарда сәйкесінше биіктіктері тең болатынын дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Биіктік үшбұрышты тікбұрышты үшбұрыштарға бөледі. Олардан тең гипотенуза мен сүйір бұрышты табу керек (4-белгі).

Шешуі. Берілгені: $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$, $AH$ және $A_1H_1$ — сәйкес $BC$ және $B_1C_1$ қабырғаларына жүргізілген биіктіктер. Дәлелдеу керек: $AH=A_1H_1$.

1. $ABH$ және $A_1B_1H_1$ тікбұрышты үшбұрыштарын қарастырамыз.
2. $AB=A_1B_1$ тең үшбұрыштардың сәйкес қабырғалары ретінде (гипотенузалар).
3. $\angle B=\angle B_1$ тең үшбұрыштардың сәйкес бұрыштары ретінде. $B$ бұрышы сүйір болса, бұл тікбұрышты үшбұрыштардың сүйір бұрыштары. Доғал болса, олардың сүйір бұрыштары өздеріне сыбайлас бұрыштар болады, олар да тең.
4. 4-белгі бойынша тікбұрышты үшбұрыштар тең, демек, $AH=A_1H_1$ катеттері де тең.

Жауабы: дәлелденді.

№ 13.14

Жағалаудан (жағалаудағы белгілі $B$ нүктесінен) теңіздегі $A$ кемесіне дейінгі қашықтықты табу тәсілін көрсет (13.9, а-сурет). 13.9, ә-суретті пайдалан.

Қалай ойлаймыз. $AB$ жағалауға перпендикуляр болсын. Құрлықта $ABE$ үшбұрышына тең екінші үшбұрыш жасаймыз. Оның катетін өлшеуге болады.

Шешуі.

1. Жағалау бойымен $B$ нүктесінен $BD$ кесіндісін өлшеп, оның ортасын $E$ деп белгілейміз, сонда $BE=ED$.
2. $D$ нүктесінде жағалауға перпендикуляр тұрғызып, $C$, $E$ және $A$ нүктелері бір түзудің бойында жатқанша сол перпендикуляр бойымен жүреміз (кемеге $E$ арқылы қарап тұрамыз).
3. $\triangle ABE=\triangle CDE$: $BE=ED$, $\angle B=\angle D=90^\circ$, $\angle AEB=\angle CED$ вертикаль бұрыштар ретінде. Бұл 2-белгі (катеті және оған іргелес сүйір бұрышы).
4. Демек, $AB=CD$. $CD$ кесіндісін жағалауда өлшеу ғана қалды.

Жауабы: кемеге дейінгі қашықтық $CD$ кесіндісінің ұзындығына тең.

№ 13.15

Ахмес папирусындағы тікбұрышты үшбұрышқа арналған есептер жайлы не білесің? Өзара тең қабырғасы және оған іргелес жатқан екі бұрышы бойынша екі үшбұрыштың теңдігі туралы Фалес теоремасы жайында хабарлама дайында.

Қалай ойлаймыз. Бұл ақпарат іздеуге арналған тапсырма. Жауабың — 1–2 минуттық әңгімең.

Шешуі. Хабарламаның жоспары.

1. Ахмес папирусы дегеніміз не: ежелгі мысырлық математикалық шиыршық (шамамен 4 мың жыл бұрынғы), одан да ертедегі жазбалардың көшірмесі.
2. Онда қандай есептер бар: санау, бөлшектер, аудандар, көлемдер.
3. Тікбұрышты үшбұрыштар қайда кездеседі: аудандар туралы және пирамида қырларының еңісі туралы есептерде.
4. Өз қорытындың: мысырлықтар тікбұрышты үшбұрыштарға арналған есептерді гректерден әлдеқайда бұрын шеше білген.

Фалес жайлы жоспар.

1. Милеттік Фалес, ежелгі грек ғалымы (б.з.б. шамамен VII–VI ғасырлар).
2. Теорема: егер бір үшбұрыштың қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы екінші үшбұрыштың қабырғасына және оған іргелес екі бұрышына тең болса, онда үшбұрыштар тең болады.
3. Қолданылуы: аңыз бойынша, Фалес жағалаудан кемеге дейінгі қашықтықты осылай анықтаған (13.14-ті қара). Бір үшбұрыш жағалауда салынады, оған тең «теңіздегі» үшбұрышты өлшеуге болмайды, бірақ теңдік қажетті ұзындықты береді.

Жауабы: жоспар бойынша хабарлама.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 13.16

$b$ түзуін және оған тиісті емес $A$ нүктесін кескіндеңдер. $A$ нүктесі арқылы $b$ түзуіне перпендикуляр $a$ түзуін жүргізіңдер. Осындай неше түзу жүргізуге болады?

Қалай ойлаймыз. Үшбұрышты сызғышты бір қабырғасымен $b$ түзуіне қой, оның екінші қабырғасын $A$ нүктесіне қарай жылжыт. Мұндай жағдай нешеу болады?

Шешуі. Үшбұрышты сызғышты бір катетімен $b$ түзуіне жапсырамыз және оны сырғытып, екінші катеті $A$ нүктесінен өтетіндей етеміз. Осы катет бойымен $a$ түзуін жүргіземіз. Басқа нұсқа шықпайды: тік бұрыш белгілі сәуледен тек бір жолмен салынады. Бұл — келесі параграфтың негізгі ойы.

Жауабы: біреу.

Жадынама

• Тікбұрышты үшбұрыш: тік бұрышы бар; қалған екі бұрышы сүйір.
• Гипотенуза әрбір катеттен үлкен.
• Тікбұрышты үшбұрыштардың тең болуы үшін (тік бұрыштан басқа) екі элементінің теңдігі жеткілікті: катеті мен катеті, катеті мен іргелес бұрышы, гипотенузасы мен катеті, гипотенузасы мен сүйір бұрышы.
• 4-белгіні «кері жору» әдісімен дәлелдейді.

Шағын тест