Өзіңді тексер! II тарау

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 тарау: Үшбұрыштар. 82–85-беттер.

Нені қайталаймыз

II тарау «Үшбұрыштар» (§ 7–13) бойынша A–D нұсқалы 20 сұрақтан тұратын тест. Не керек болады:

• үшбұрыштың түрлері мен элементтері: медиана, биссектриса, биіктік;
• тең бүйірлі және теңқабырғалы үшбұрыштың қасиеттері;
• үшбұрыштар мен тікбұрышты үшбұрыштар теңдігінің белгілері;
• үшбұрыштың сыртқы бұрышы;
• қабырғалар мен бұрыштар арасындағы қатынас: үлкен қабырғаға қарсы үлкен бұрыш жатады.

Оқулықта бұл тестің жауаптары жоқ, сондықтан төмендегі әр шешім пайымдау арқылы тексерілген. Алдымен өзің шығарып көр, содан кейін кеңесті аш.

Жаттығуларды шығарамыз

№ 1

Қандай үшбұрыштың кез келген биіктігі берілген үшбұрышты тең екі үшбұрышқа бөледі? A) Теңбүйірлі. B) Кез келген. C) Теңқабырғалы. D) Мұндай үшбұрыш жоқ.

Қалай ойлаймыз. Тең бүйірлі үшбұрышта тек табанына жүргізілген биіктік оны тең бөліктерге бөледі. Ал егер барлық қабырғалары тең болса ше?

Шешуі. Теңқабырғалы үшбұрышта кез келген қабырғаны табан деп санауға болады. Оған жүргізілген биіктік әрі медиана да болады, ол үшбұрышты екі тең тікбұрышты үшбұрышқа бөледі (гипотенузасы мен катеті бойынша). Теңбүйірлі (теңқабырғалы емес) үшбұрышта тек табанына жүргізілген биіктік осылай бөледі.

Жауабы: C (теңқабырғалы).

№ 2

Үшбұрыштың бір қабырғасына жүргізілген медианасы қабырғаға перпендикуляр. Берілген үшбұрыштың түрін анықтаңдар. A) Тікбұрышты. B) Әртүрлі қабырғалы. C) Теңбүйірлі. D) Анықтау мүмкін емес.

Қалай ойлаймыз. Медиана мен биіктік дәл келді. Қандай үшбұрыш өзін осылай ұстайды?

Шешуі. $AM$ – $BC$ қабырғасына жүргізілген медиана және $AM\perp BC$ болсын. $ABM$ және $ACM$ тікбұрышты үшбұрыштары екі катеті бойынша тең: $BM=MC$ (медиана), $AM$ ортақ. Демек, $AB=AC$, үшбұрыш тең бүйірлі.

Жауабы: C (теңбүйірлі).

№ 3

$AB=BC=CA$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген. $CD$ – биссектриса, $AD=3$ см. $ABC$ үшбұрышының периметрін табыңдар. A) 3 см. B) 6 см. C) 9 см. D) 18 см.

Қалай ойлаймыз. Үшбұрыш теңқабырғалы, демек $CD$ биссектрисасы әрі медиана да болады.

Шешуі. $D$ – $AB$-ның ортасы, сондықтан $AB=2\cdot AD=6$ см. Барлық қабырғасы 6 см-ден, периметрі $3\cdot 6=18$ см.

Жауабы: D (18 см).

№ 4

Үшбұрыштың бір қабырғасына жүргізілген биіктік қабырғаны қақ бөледі. Үшбұрыштың түрін анықтаңдар. A) Тікбұрышты. B) Әртүрлі қабырғалы. C) Теңбүйірлі. D) Анықтау мүмкін емес.

Қалай ойлаймыз. Биіктік медианамен дәл келді.

Шешуі. $AH\perp BC$ және $BH=HC$ болсын. $ABH$ және $ACH$ тікбұрышты үшбұрыштары екі катеті бойынша тең, демек $AB=AC$. Үшбұрыш тең бүйірлі.

Жауабы: C (теңбүйірлі).

№ 5

$AB=BC=CA$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген. $BH$ – биіктік. Берілген үшбұрыштың периметрі 42 см. $AH$ ұзындығын табыңдар. A) 7 см. B) 14 см. C) 21 см. D) 35 см.

Қалай ойлаймыз. Алдымен қабырғаны табамыз, сосын теңқабырғалы үшбұрыштың биіктігі қабырғаны қақ бөлетінін еске түсіреміз.

Шешуі. Қабырғасы: $42:3=14$ см. $BH$ – $AC$-ға жүргізілген биіктік, демек медиана да: $AH=14:2=7$ см.

Жауабы: A (7 см).

№ 6

Үшбұрыштың периметрі 60 см. Оның қабырғалары $3:4:5$ қатынасындай. Қабырғаларын табыңдар. A) 9 см, 12 см, 15 см. B) 12 см, 16 см, 20 см. C) 10 см, 20 см, 30 см. D) 15 см, 20 см, 25 см.

Қалай ойлаймыз. Қабырғалар – $3$, $4$ және $5$ тең бөлік. Бір бөлікте неше сантиметр бар екенін табамыз.

Шешуі. Барлығы $3+4+5=12$ бөлік, сондықтан бір бөлік: $60:12=5$ см. Қабырғалары: $3\cdot5=15$, $4\cdot5=20$, $5\cdot5=25$ см. Тексеру: $15+20+25=60$.

Жауабы: D (15 см, 20 см, 25 см).

№ 7

Үшбұрыштың бір қабырғасына жүргізілген биссектрисасы қабырғаны қақ бөледі. Үшбұрыштың түрін анықтаңдар. A) Тікбұрышты. B) Әртүрлі қабырғалы. C) Теңбүйірлі. D) Анықтау мүмкін емес.

Қалай ойлаймыз. Биссектриса медианамен дәл келді.

Шешуі. $AD$ – биссектриса және $BD=DC$ болсын. $AD$-ны $D$-дан әрі қарай $DE=AD$ кесіндісіне жалғастырайық. $ABD$ және $ECD$ үшбұрыштары тең (екі қабырғасы және вертикаль бұрыштары), демек $AB=CE$ және $\angle BAD=\angle CED$. Бірақ $\angle BAD=\angle CAD$, сондықтан $\angle CAE=\angle CED$ және $ACE$ үшбұрышы тең бүйірлі: $AC=CE=AB$. Демек, бастапқы үшбұрыш тең бүйірлі.

Жауабы: C (теңбүйірлі).

№ 8

Теңбүйірлі үшбұрыштың периметрі 32 см. Табанына қарсы жатқан бұрыштың биссектрисасы үшбұрышты периметрлері 24 см болатын екі үшбұрышқа бөледі. Осы биссектриса ұзындығын табыңдар. A) 6 см. B) 8 см. C) 12 см. D) 16 см.

Қалай ойлаймыз. Табанына жүргізілген биссектриса әрі медиана да, ол екі кіші үшбұрыштың ортақ қабырғасы.

Шешуі. Екі бөліктің периметрлерінің қосындысы: $24+24=48$ см. Бұл бүтіннің периметрі ($32$ см) мен екі рет санаған биссектрисаның қосындысы: $48=32+2l$. Демек, $l=8$ см.

Жауабы: B (8 см).

№ 9

$EF$ және $GH$ кесінділері қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді. Егер $EH=10$ см болса, онда $GF$ кесіндісінің ұзындығын табыңдар. A) 5 см. B) 10 см. C) 15 см. D) 20 см.

Қалай ойлаймыз. Кесінділер $O$ нүктесінде қиылыссын. Вертикаль бұрыштары бар тең үшбұрыштарды іздейміз.

Шешуі. $EO=OF$, $GO=OH$, $EOH$ және $FOG$ бұрыштары вертикаль. Демек, $\triangle EOH=\triangle FOG$ екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша. Сондықтан $GF=EH=10$ см.

Жауабы: B (10 см).

№ 10

Теңқабырғалы үшбұрыштар теңдігін орнату үшін олардың қандай элементтерінің теңдігін тексеру жеткілікті? A) Бір қабырғасы. B) Бір бұрышы. C) Бір бұрышы мен бір қабырғасы. D) Екі қабырғасы.

Қалай ойлаймыз. Теңқабырғалы үшбұрышты бір қабырғасы анықтайды: қалғандары да соған тең.

Шешуі. Егер бір үшбұрыштың қабырғасы екіншісінің қабырғасына тең болса, онда үш қабырғасы да жұптасып тең болады. Үшінші белгі (үш қабырға) бойынша үшбұрыштар тең. Бұрыштың өзі ештеңе бермейді: кез келген теңқабырғалы үшбұрыштың барлық бұрышы $60^\circ$.

Жауабы: A (бір қабырғасы).

№ 11

Екі тікбұрышты үшбұрыштың бір сүйір бұрыштары тең. Осы үшбұрыштардың теңдігін орнату үшін тағы қандай элементтердің теңдігін тексеру жеткілікті? A) Екінші сүйір бұрышы. B) Іргелес катеті. C) Гипотенуза және екінші сүйір бұрышы. D) Катеті және екінші сүйір бұрышы.

Қалай ойлаймыз. Бұрыштардың теңдігі өлшемді өзі анықтамайды. Кемінде тағы бір қабырға керек.

Шешуі. A) Жоқ: бұрыштар тең, бірақ өлшемдері әртүрлі болуы мүмкін. B) Иә: тең сүйір бұрышқа іргелес катет осы бұрышпен бірге 2-белгіні береді. Бұл – ең үнемді шарт. C және D нұсқаларында да қабырға бар, яғни олар да жеткілікті болар еді, бірақ оларда артық дерек бар (бірінші бұрыш тең болса, екінші сүйір бұрыш өзінен-өзі тең). Ең аз шартты күтілетін жауап – B.

Жауабы: B (іргелес катеті).

№ 12

Теңбүйірлі үшбұрыштың табаны 8 см. Табанындағы бір төбесінің бұрышы арқылы жүргізілген медиана үшбұрыштың периметрін бірі екіншісінен 2 см-ге үлкен болатындай екі бөлікке бөледі. Үшбұрыштың бүйір қабырғасын табыңдар. A) 4 см. B) 8 см. C) 10 см. D) 12 см.

Қалай ойлаймыз. Табанындағы төбесінен жүргізілген медиана бүйір қабырғаға барады және оны қақ бөледі.

Шешуі. $AC=8$ – табан, $AB=BC=b$, $AM$ – $BC$-ға жүргізілген медиана, $BM=MC=\frac{b}{2}$. Периметр екі бөлікке бөлінеді: $AB+BM=\frac{3b}{2}$ және $AC+CM=8+\frac{b}{2}$. Айырмасы модулі бойынша 2: $|b-8|=2$, осыдан $b=10$ немесе $b=6$. Нұсқалар ішінде тек $10$ бар. Тексеру: бөліктер $15$ және $13$, айырмасы 2.

Жауабы: C (10 см).

№ 13

Үшбұрыштың бір сыртқы бұрышы тік екені белгілі. Үшбұрыштың түрін анықтаңдар. A) Тікбұрышты. B) Сүйір бұрышты. C) Доғал бұрышты. D) Анықтау мүмкін емес.

Қалай ойлаймыз. Сыртқы бұрыш ішкі бұрышқа сыбайлас, екеуі бірге $180^\circ$ береді.

Шешуі. Сыбайлас ішкі бұрыш: $180^\circ-90^\circ=90^\circ$. Тік бұрыш бар, демек үшбұрыш тікбұрышты.

Жауабы: A (тікбұрышты).

№ 14

Үшбұрыштың бір сыртқы бұрышы сүйір екені белгілі. Үшбұрыштың түрін анықтаңдар. A) Тікбұрышты. B) Сүйір бұрышты. C) Доғал бұрышты. D) Анықтау мүмкін емес.

Қалай ойлаймыз. Сүйір бұрышқа сыбайлас бұрыш – доғал.

Шешуі. Осы төбедегі ішкі бұрыш $180^\circ$-тан сүйір бұрышты алғанға тең, яғни $90^\circ$-тан үлкен. Демек, доғал бұрыш бар, үшбұрыш доғал бұрышты.

Жауабы: C (доғал бұрышты).

№ 15

Егер үшбұрыштың бір сыртқы бұрышы ішкі бұрышына тең болса, онда үшбұрыштың түрін анықтаңдар. A) Теңқабырғалы. B) Доғал бұрышты. C) Тікбұрышты. D) Сүйір бұрышты.

Қалай ойлаймыз. Сыртқы бұрыш пен оған сыбайлас ішкі бұрыш бірге $180^\circ$ береді. Олар тең болса, әрқайсысы жартысы.

Шешуі. Сыртқы бұрыш өзіне сыбайлас ішкі бұрышқа тең, ал екеуі бірге $180^\circ$. Демек, әрқайсысы $90^\circ$, яғни үшбұрышта тік бұрыш бар. (Егер ішкі бұрыш сыбайлас болмаса, сыртқы бұрыш одан үлкен болар еді, бұл шартқа қайшы.)

Жауабы: C (тікбұрышты).

№ 16

Егер $AB=5$ см, $AC=7$ см, $BC=6$ см болса, онда $ABC$ үшбұрышының бұрыштарын салыстырыңдар. A) $\angle A>\angle B>\angle C$. B) $\angle A>\angle C>\angle B$. C) $\angle C>\angle A>\angle B$. D) $\angle B>\angle A>\angle C$.

Қалай ойлаймыз. Үлкен қабырғаға қарсы үлкен бұрыш жатады. Қай бұрыш қай қабырғаға қарсы екенін анықта.

Шешуі. $AC=7$-ге қарсы $\angle B$ жатыр; $BC=6$-ға қарсы $\angle A$ жатыр; $AB=5$-ке қарсы $\angle C$ жатыр. $7>6>5$ болғандықтан, $\angle B>\angle A>\angle C$.

Жауабы: D.

№ 17

Егер $DE=DF=12$ см, $EF=5$ см болса, онда $DEF$ үшбұрышының бұрыштарын салыстырыңдар. A) $\angle D<\angle E=\angle F$. B) $\angle D>\angle E>\angle F$. C) $\angle D>\angle E=\angle F$. D) $\angle D<\angle F<\angle E$.

Қалай ойлаймыз. Үшбұрыш тең бүйірлі, табанындағы бұрыштар тең. Ал төбесіндегі бұрыш ең қысқа қабырғаға қарсы жатыр.

Шешуі. $DE=DF$, демек $\angle E=\angle F$ (олар тең $DF$ және $DE$ қабырғаларына қарсы жатыр). $EF=5$-ке қарсы $\angle D$ жатыр. $5<12$ болғандықтан, $\angle D<\angle E=\angle F$.

Жауабы: A.

№ 18

$ABC$ үшбұрышының қабырғаларын салыстырыңдар, мұндағы $\angle A<\angle B<\angle C$. A) $AB<AC<BC$. B) $AB<BC<AC$. C) $AB>AC>BC$. D) $AB>BC>AC$.

Қалай ойлаймыз. Үлкен бұрышқа қарсы үлкен қабырға жатады.

Шешуі. $\angle A$-ға қарсы $BC$ жатыр, $\angle B$-ға қарсы $AC$, $\angle C$-ға қарсы $AB$. $\angle A<\angle B<\angle C$ болғандықтан $BC<AC<AB$, яғни $AB>AC>BC$.

Жауабы: C.

№ 19

$DEF$ үшбұрышының қабырғаларын салыстырыңдар, мұндағы $\angle D>\angle E>\angle F$. A) $DE>DF>EF$. B) $DF>DE>EF$. C) $DF>EF>DE$. D) $EF>DF>DE$.

Қалай ойлаймыз. $\angle D$-ға қарсы $EF$ қабырғасы, $\angle E$-ға қарсы $DF$, $\angle F$-ға қарсы $DE$.

Шешуі. $\angle D>\angle E>\angle F$ болса, $EF>DF>DE$.

Жауабы: D.

№ 20

$ABC$ үшбұрышының қабырғаларын салыстырыңдар, мұндағы $\angle A<\angle B=\angle C$. A) $AB<AC=BC$. B) $BC<AB=AC$. C) $AC>BC=AB$. D) $AB>BC=AC$.

Қалай ойлаймыз. Тең бұрыштарға тең қабырғалар сәйкес келеді.

Шешуі. $\angle A$-ға қарсы $BC$ жатыр; $\angle B$-ға қарсы $AC$; $\angle C$-ға қарсы $AB$. $\angle B=\angle C$, демек $AC=AB$. $\angle A$ кіші, сондықтан $BC$ кіші: $BC<AB=AC$.

Жауабы: B.

Жадынама

• Үлкен қабырғаға қарсы үлкен бұрыш жатады және керісінше.
• Теңқабырғалы үшбұрышта кез келген биіктік әрі медиана, әрі биссектриса болады.
• Үшбұрышты ортақ қабырғамен бөлген екі бөліктің периметрлерінің қосындысы үшбұрыш периметрі мен осы қабырғаның екі еселенгеніне тең.
• Сыртқы бұрыш пен сыбайлас ішкі бұрыш бірге $180^\circ$ береді.
• Тікбұрышты үшбұрыштар екі катеті, катеті мен іргелес бұрышы, гипотенузасы мен катеті, гипотенузасы мен сүйір бұрышы бойынша тең.

Тест жауаптары: 1 C, 2 C, 3 D, 4 C, 5 A, 6 D, 7 C, 8 B, 9 B, 10 A, 11 B, 12 C, 13 A, 14 C, 15 C, 16 D, 17 A, 18 C, 19 D, 20 B.