§ 14. Перпендикуляр және көлбеу

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 тарау: Түзулердің өзара орналасуы. 85–89-беттер.

Нені үйренесің

• Перпендикуляр мен көлбеуді ажыратып, табанын және проекциясын табуды.
• Нүктеден түзуге дейінгі қашықтықтың не екенін түсіндіруді.
• Нүктеден түзуге тек бір ғана перпендикуляр түсіруге болатынын дәлелдеуді.
• Перпендикулярдың кез келген көлбеуден қысқа екенін дәлелдеп, есептерде қолдануды.

Ой қозғау

• Қандай бұрышты тік бұрыш дейді? $90^\circ$-қа тең бұрышты.
• Гипотенуза мен катеттер деген не? Гипотенуза — тікбұрышты үшбұрыштың тік бұрышына қарсы жатқан қабырғасы, катеттер — қалған екі қабырғасы.
• Тікбұрышты үшбұрыштың қай қабырғасы ең ұзын? Гипотенуза: ол ең үлкен бұрышқа қарсы жатыр.
• Биіктіктің медианадан айырмашылығы неде? Биіктік төбеден қарсы қабырғаға тік бұрышпен жүргізіледі, медиана оның ортасына жүргізіледі.

Тақырыпты талдаймыз

Перпендикуляр: ең тік жол

Елестет: сен Бәйтерек алдында $A$ нүктесінде тұрсың, ал жанынан $b$ түзу аллеясы өтеді. Аллеяға шығу үшін әртүрлі соқпақпен жүруге болады. Бірақ олардың бірі ерекше: аллеяға дәл «тік бұрышпен» баратыны.

$A$ нүктесі арқылы $b$ түзуіне перпендикуляр $a$ түзуін жүргізейік. Ол $b$ түзуін $B$ нүктесінде қияды. Сонда:

• $AB$ кесіндісі — $A$ нүктесінен $b$ түзуіне түсірілген перпендикуляр;
• $B$ нүктесі — перпендикулярдың табаны;
• $AB$ ұзындығы — $A$ нүктесінен $b$ түзуіне дейінгі қашықтық.

Ал $A$ нүктесінен $b$ түзуінің $C$ нүктесіне ($C\ne B$) дейінгі кез келген басқа $AC$ кесіндісі — көлбеу. $C$ нүктесі — оның табаны, ал $BC$ кесіндісі — көлбеудің $b$ түзуіндегі проекциясы. Проекция — көлбеудің түзудегі «көлеңкесі».

📌 Перпендикуляр біреу. Сол нүктеден көлбеуді қалағаныңша жүргізуге болады.

⚠️ Жиі кететін қате. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық — перпендикулярдың ұзындығы, түзуге дейінгі кез келген кесіндінің ұзындығы емес. Қашықтықты сызғышпен «тік бұрышпен» өлшейді, қиғаштап емес.

Теорема: перпендикуляр әрқашан біреу

📌 Теорема. Берілген түзуде жатпайтын кез келген нүкте арқылы осы түзуге перпендикуляр жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Дәлелдеу екі кезеңнен тұрады: алдымен перпендикулярдың бар екенін, содан кейін оның жалғыз екенін көрсетеміз.

Неге ол жалғыз. $A$ нүктесінен $b$ түзуіне екі $AD_1$ және $AD_2$ перпендикуляры түсірілген делік. Сонда $AD_1D_2$ үшбұрышында екі тік бұрыш болар еді. Бірақ үшбұрышта екі тік бұрыш болуы мүмкін емес (бұл тікбұрышты үшбұрыштың қасиеті: бір бұрышы тік, қалғандары сүйір). Демек, екінші перпендикуляр жоқ.

💡 Ал нүкте түзудің бойында жатса ше? Онда да ол арқылы перпендикуляр түзуді тек біреу жүргізуге болады: тік бұрыш сәуледен бір ғана жолмен салынады.

Теорема: перпендикуляр көлбеуден қысқа

📌 Теорема. Берілген нүктеден берілген түзуге түсірілген перпендикуляр осы нүктеден осы түзуге жүргізілген кез келген көлбеуден қысқа болады. Басқаша айтқанда, нүктеден түзуге дейінгі қашықтық осы нүктеден осы түзудің нүктелеріне дейінгі қашықтықтардың ішінен ең кішісі болады.

Дәлелдеуі қысқа. $AB$ — перпендикуляр, $AC$ — көлбеу болсын. Сонда $ABC$ — тікбұрышты үшбұрыш: $AB$ — катет, $AC$ — гипотенуза. Катет гипотенузадан қысқа, демек $AB<AC$.

🌟 Дәл сондықтан үйге сымды бағаннан қабырғаға перпендикуляр етіп тартады: сонда кабель ең аз кетеді.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан торкөз қағазға түзу, оның үстінен нүкте және нүктеден түзуге дейін бірнеше кесінді сызып, оларды сызғышпен өлшеп көруін сұраңыз. Ең қысқасы «тіп-тік» тұрған кесінді екеніне көзі жетсін.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Берілген нүктеден берілген түзуге түсірілген перпендикуляр деген не? Перпендикулярдың табаны деген не? $a$ түзуі $A$ нүктесі арқылы өтіп, $b$ түзуіне перпендикуляр болсын, ал $B$ — олардың қиылысу нүктесі. Сонда $AB$ кесіндісі — перпендикуляр. $B$ нүктесі — перпендикулярдың табаны.
• Көлбеу деген не? Көлбеудің табаны және көлбеудің проекциясы деген не? Көлбеу — $A$ нүктесінен түзудің перпендикулярдың табанынан өзге $C$ нүктесіне дейінгі $AC$ кесіндісі. $C$ — көлбеудің табаны, $BC$ кесіндісі (перпендикулярдың табанынан көлбеудің табанына дейін) — проекция.
• Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық деген не? Нүктеден түзуге түсірілген перпендикулярдың ұзындығы.
• Бір нүктеден бір түзуге жүргізілген перпендикуляр мен көлбеудің қайсысы үлкен? Көлбеу үлкен: перпендикуляр кез келген көлбеуден қысқа.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 14.1

Берілген нүктеден берілген түзуге неше перпендикуляр жүргізуге болады?

Қалай ойлаймыз. Осы параграфтағы перпендикулярдың бар болуы және жалғыздығы туралы теореманы еске түсір.

Шешуі. Нүкте түзуде жатпаса, теорема бойынша перпендикуляр бар және ол біреу ғана. Нүкте түзудің бойында жатса, оған перпендикуляр түзу де жалғыз.

Жауабы: біреу.

№ 14.2

Берілген нүктеден берілген түзуге ұзындығы белгілі неше көлбеу жүргізуге болады?

Қалай ойлаймыз. Көлбеу перпендикулярдан ұзын. Берілген ұзындық үшін (түзуге дейінгі қашықтықтан үлкен) көлбеудің табанын перпендикулярдың табанының екі жағынан да алуға болады.

Шешуі. $AB$ — перпендикуляр, ал керекті ұзындық $l>AB$ болсын. Сонда түзуде $A$ нүктесінен $l$ қашықтықта жатқан дәл екі нүкте бар: $B$ нүктесінің сол жағында және оң жағында. Бұл екі симметриялы көлбеу.

Жауабы: екеу.

№ 14.3

Үшбұрыштың медианасы сол төбеден жүргізілген биіктігінен кіші бола ма?

Қалай ойлаймыз. Биіктік — қабырғаға перпендикуляр, ал медиана — сол қабырғаға жүргізілген көлбеу (немесе биіктікпен беттеседі).

Шешуі. Медиана мен биіктік бір төбеден қарсы қабырға жатқан түзуге жүргізіледі. Биіктік — перпендикуляр, ол кез келген көлбеуден ұзын емес. Демек, медиана биіктіктен кіші бола алмайды. Олар тек медиана өзі биіктік болғанда тең болады.

Жауабы: жоқ.

№ 14.4

Үшбұрыштың биссектрисасы сол төбеден жүргізілген биіктігінен кіші бола ма?

Қалай ойлаймыз. Дәл сол тәсіл: биіктік — перпендикуляр, ал биссектриса — сол түзуге жүргізілген көлбеу.

Шешуі. Биссектриса мен биіктік бір төбеден шығып, бір түзуге келеді. Перпендикуляр (биіктік) кез келген көлбеуден қысқа, демек, биссектриса биіктіктен қысқа бола алмайды. Биссектриса биіктікпен беттескенде (теңбүйірлі үшбұрышта) теңдік мүмкін.

Жауабы: жоқ.

№ 14.5

Торкөз қағазға 14.5-суретте көрсетілгендей нүктелер мен түзулерді кескіндеңдер (үш жағдай: а), ә), б)). $C$ нүктесінен $AB$ түзуіне $CD$ перпендикулярын түсіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Торкөзде үшбұрышты сызғыш қажет емес. $A$ нүктесінен $B$ нүктесіне $p$ клетка оңға және $q$ клетка төмен жүрсек, перпендикуляр бағыт «сандардың орнын ауыстырып, біреуінің таңбасын өзгертсек» шығады: $q$ клетка оңға және $p$ клетка жоғары.

Шешуі. Нүктелердің координаталарын торкөздің төменгі сол жақ бұрышынан санаймыз, $x$ оңға, $y$ жоғары.

а) $A(1;,4)$, $B(4;,1)$, $C(5;,4)$. $A$-дан $B$-ға: 3 клетка оңға және 3 төмен, яғни клеткалардың диагоналі бойымен. Мұндай диагональға перпендикуляр — екінші диагональ: $C$-дан 2 клетка солға және 2 төмен жүріп, $AB$ түзуіндегі $D(3;,2)$ түйініне түсеміз.

ә) $A(1;,3)$, $B(5;,1)$, $C(4;,4)$. $A$-дан $B$-ға: 4 клетка оңға және 2 төмен, яғни «2 оңға, 1 төмен» бағыты. Перпендикуляр бағыт: «1 оңға, 2 жоғары» (немесе «1 солға, 2 төмен»). $C$-дан 1 солға және 2 төмен жүріп, $D(3;,2)$ нүктесіне түсеміз. Тексеру: $D$ нүктесі $AB$ түзуінде жатыр ($A$-дан 2 клетка оңға, 1 төмен).

б) $A(1;,6)$, $B(3;,0)$, $C(5;,4)$. $A$-дан $B$-ға: 2 клетка оңға және 6 төмен, яғни «1 оңға, 3 төмен» бағыты. Перпендикуляр бағыт: «3 оңға, 1 жоғары» (немесе «3 солға, 1 төмен»). $C$-дан 3 солға және 1 төмен жүріп, $D(2;,3)$ нүктесіне түсеміз. Тексеру: $D$ нүктесі $AB$ түзуінде жатыр ($A$-дан 1 оңға, 3 төмен).

Жауабы: перпендикуляр $CD$ $AB$ түзуіне қатысты $90^\circ$-қа бұрылған бағытпен жүреді: а) $D(3;,2)$; ә) $D(3;,2)$; б) $D(2;,3)$. Үш жағдайда да табан торкөздің түйінінде жатыр.

B деңгейі

№ 14.6

Қабырғасы 1 болатын теңқабырғалы үшбұрыштың бір қабырғасының екінші қабырғасы жатқан түзудегі проекциясы неге тең?

Қалай ойлаймыз. $AB$ қабырғасының $AC$ түзуіндегі проекциясы — $A$-дан $B$ нүктесінен $AC$-ға түсірілген перпендикулярдың табанына дейінгі кесінді. Теңқабырғалы үшбұрышта бұл перпендикуляр — биіктік.

Шешуі. $ABC$ теңқабырғалы үшбұрышының $BH$ биіктігі сонымен бірге медиана болады, демек $AH=\frac12 AC=\frac12\cdot 1=0{,}5$.

Жауабы: $0{,}5$.

№ 14.7

Теңбүйірлі үшбұрыштың қабырғалары 6, 8, 8. Осы үшбұрыштың бүйір қабырғасының оның табаны жатқан түзудегі проекциясы неге тең?

Қалай ойлаймыз. Табаны — 6-ға тең қабырға (қалған екеуі тең). Бүйір қабырғасының табандағы проекциясы — табанның төбесінен биіктіктің табанына дейінгі кесінді.

Шешуі. Табанға түсірілген биіктік сонымен бірге медиана болады. Демек, ол $6$ табанды тең екіге бөледі және бүйір қабырғасының проекциясы $6:2=3$.

Жауабы: $3$.

№ 14.8

Тікбұрышты үшбұрыштың қабырғалары 3, 4, 5. Үшбұрыштың гипотенузасының оның үлкен катеті жатқан түзудегі проекциясы неге тең?

Қалай ойлаймыз. Гипотенуза 5, катеттер 3 және 4, үлкен катет — 4. Гипотенузаның оған проекциясы — төбеден гипотенуза ұшынан түсірілген перпендикулярдың табанына дейінгі кесінді.

Шешуі. $AB=4$ — үлкен катет, $BC=3$ — кіші катет, $AC=5$ — гипотенуза, $B$ бұрышы тік болсын. $C$ нүктесінен $AB$ түзуіне түсірілген перпендикуляр — катеттің өзі $CB$ (ол $AB$-ға перпендикуляр). Перпендикулярдың табаны — $B$ нүктесі, демек, $AC$ гипотенузасының проекциясы — $AB$ кесіндісі, яғни $4$.

Жауабы: $4$.

№ 14.9

$A$ нүктесінен $b$ түзуіне $AB$ перпендикуляры және $AB_1$, $AB_2$ көлбеулері жүргізілген. Егер: а) $B_1$ нүктесі $B$ мен $B_2$ аралығында жатса; ә) $B$ нүктесі $B_1$ мен $B_2$ аралығында жатса және $BB_1<BB_2$ болса, онда екі көлбеудің қайсысы кіші болады?

Қалай ойлаймыз. Проекциясы кіші көлбеу кіші болады. Мұны дәлелдеу керек. а) үшін идея: $AB_1B_2$ үшбұрышынан доғал бұрышты табу, ол ең үлкен қабырғаға қарсы жатады.

Шешуі. а) $AB_1B_2$ бұрышы $ABB_1$ тікбұрышты үшбұрышы үшін сыртқы бұрыш, ол $90^\circ$ мен сүйір бұрыштың қосындысына тең, демек, доғал. $AB_1B_2$ үшбұрышында доғал бұрышқа ең үлкен $AB_2$ қабырғасы қарсы жатады. Сондықтан $AB_2>AB_1$, яғни кіші көлбеу — $AB_1$.

ә) $BB_2$ кесіндісінде $BB_3=BB_1$ болатындай $B_3$ нүктесін белгілейміз. $ABB_1$ және $ABB_3$ тікбұрышты үшбұрыштары екі катеті бойынша тең, демек $AB_3=AB_1$. $B_3$ нүктесі $B$ мен $B_2$ аралығында жатыр ($BB_3=BB_1<BB_2$ болғандықтан), және а) тармағы бойынша $AB_3<AB_2$. Демек, $AB_1<AB_2$.

Жауабы: а) $AB_1$; ә) $AB_1$.

№ 14.10

Берілген нүктеден берілген түзуге жүргізілген өзара тең екі көлбеудің проекциялары да тең болатынын дәлелде (14.6-сурет).

Қалай ойлаймыз. Суретте $AB$ — перпендикуляр, $AC=AD$ — тең көлбеулер. $CB=BD$ екенін дәлелдеу керек.

Шешуі. Берілгені: $AB\perp CD$, $AC=AD$. Дәлелдеу керек: $CB=BD$.

1. $ACD$ үшбұрышы теңбүйірлі: $AC=AD$, табаны $CD$.
2. $AB$ — осы үшбұрыштың табанына жүргізілген биіктігі (ол $CD$-ға перпендикуляр).
3. Теңбүйірлі үшбұрышта табанына жүргізілген биіктік сонымен бірге медиана болады. Демек, $CB=BD$, яғни проекциялар тең.

Жауабы: дәлелденді: $CB=BD$.

№ 14.11

Берілген нүктеден берілген түзуге жүргізілген екі көлбеудің проекциялары тең болса, онда көлбеулердің де тең болатынын дәлелде (14.6-сурет).

Қалай ойлаймыз. Бұл 14.10-ға кері тұжырым. Екі тең үшбұрыш іздейміз.

Шешуі. Берілгені: $AB\perp CD$, $CB=BD$. Дәлелдеу керек: $AC=AD$.

1. $ABC$ және $ABD$ үшбұрыштарын қарастырамыз.
2. $AB$ — ортақ қабырға; $CB=BD$ шарт бойынша; $\angle ABC=\angle ABD=90^\circ$.
3. Үшбұрыштар екі қабырғасы және арасындағы бұрышы бойынша тең. Демек, $AC=AD$.

Жауабы: дәлелденді: $AC=AD$.

C деңгейі

№ 14.12

Берілген нүктеден берілген түзуге жүргізілген екі көлбеудің қайсысының проекциясы үлкен болса, сол көлбеу үлкен болатынын дәлелде (14.7-сурет).

Қалай ойлаймыз. Бұл 14.9 а)-дағыдай ой: үшбұрыштан доғал бұрышты іздейміз.

Шешуі. Берілгені: $AB\perp b$, түзудегі $C$, $D$, $B$ нүктелері (14.7-суреттегі) осы ретпен жатыр, $BC$ проекциясы $BD$ проекциясынан үлкен. Дәлелдеу керек: $AC>AD$.

1. $D$ нүктесі $C$ мен $B$ аралығында жатыр, өйткені $BC>BD$ (екі проекция да $B$ нүктесінен бір бағытқа салынады).
2. $ADC$ бұрышы — $ABD$ тікбұрышты үшбұрышының $D$ төбесіндегі сыртқы бұрышы. Ол $90^\circ$ мен $BAD$ сүйір бұрышының қосындысына тең, демек, доғал.
3. $ACD$ үшбұрышында доғал бұрышқа ең үлкен қабырға қарсы жатады. Ол — $AC$. Демек, $AC>AD$.

Көлбеулер перпендикулярдың әртүрлі жағында жатса, 14.10-ды қолданамыз: бір көлбеуді «шағылыстырып», екеуі де бір жақта жататын жағдайға келеміз.

Жауабы: дәлелденді: проекциясы үлкен көлбеудің ұзындығы да үлкен.

№ 14.13

Берілген нүктеден берілген түзуге жүргізілген екі көлбеудің қайсысы үлкен болса, сол көлбеудің проекциясы да үлкен болатынын дәлелде (14.7-сурет).

Қалай ойлаймыз. Бұл 14.12-ге кері тұжырым. «Кері жору» әдісімен дәлелдеген ыңғайлы.

Шешуі. Берілгені: $AC>AD$. Дәлелдеу керек: $BC>BD$. Олай емес деп жорыйық. Сонда екі жағдай болады.

1. $BC=BD$ болса, 14.11 бойынша көлбеулер тең: $AC=AD$. Бұл $AC>AD$ шартына қайшы.
2. $BC<BD$ болса, 14.12 бойынша (проекциясы үлкен көлбеу үлкен) $AC<AD$ шығады. Бұл да шартқа қайшы. Екі жағдай да мүмкін емес, демек, $BC>BD$.

Жауабы: дәлелденді: үлкен көлбеудің проекциясы да үлкен.

№ 14.14

Үшбұрыштың биссектрисасы сол төбеден жүргізілген медианасынан аспайтынын дәлелде.

Қалай ойлаймыз. Төбедегі екі қабырға тең болса, биссектриса мен медиана беттеседі. Қалған жағдайларда биссектриса табанындағы бұрыштың доғал екенін көрсетеміз, ал үшбұрышта доғал бұрышқа ең үлкен қабырға қарсы жатады.

Шешуі. Берілгені: $ABC$ үшбұрышы, $AL$ — биссектриса, $AM$ — медиана ($L$ және $M$ нүктелері $BC$-да жатыр). Дәлелдеу керек: $AL\le AM$.

1. $AB=AC$ болса, биссектриса мен медиана — бір сызық, $AL=AM$.
2. $AB<AC$ болсын. Сонда $\angle B>\angle C$ (үлкен қабырғаға үлкен бұрыш қарсы жатады).
3. $L$ нүктесі $B$ мен $M$ аралығында жатыр. Ол үшін медиананы $M$ нүктесінен әрі қарай $MD=AM$ кесіндісіне ұзартамыз. $MBA$ және $MCD$ үшбұрыштары екі қабырғасы және арасындағы бұрышы бойынша тең, сондықтан $CD=AB$ және $\angle ADC=\angle BAM$. $ACD$ үшбұрышында $AC>CD$, демек $\angle ADC>\angle CAD$, яғни $\angle BAM>\angle MAC$. Сонда $\angle BAM>\frac12\angle A=\angle BAL$, және $AL$ сәулесі $AB$ мен $AM$ аралығынан өтеді.
4. $ALC$ бұрышы $ABL$ үшбұрышы үшін сыртқы бұрыш, ол $\angle B+\frac12\angle A$-ға тең. Ал $ALB$ бұрышы $\angle C+\frac12\angle A$-ға тең ($ACL$ үшін сыртқы бұрыш). $\angle B>\angle C$ болғандықтан, $ALC$ бұрышы $ALB$ бұрышынан үлкен. Бұл бұрыштар сыбайлас, олардың қосындысы $180^\circ$, демек $\angle ALC>90^\circ$.
5. $M$ нүктесі $LC$ сәулесінде жатқандықтан, $ALM=\angle ALC$ бұрышы да доғал. $ALM$ үшбұрышында доғал бұрышқа ең үлкен қабырға $AM$ қарсы жатады. Демек, $AM>AL$. $AB>AC$ жағдайы дәл солай, $B$ мен $C$ орындарын ауыстырып қарастырылады.

Жауабы: дәлелденді: $AL\le AM$, теңдік тек $AB=AC$ болғанда.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 14.15

$b$ түзуін және оған тиісті емес $A$ нүктесін кескіндеңдер. $A$ нүктесі арқылы $b$ түзуіне параллель $a$ түзуін жүргізіңдер. Осындай неше түзу жүргізуге болады?

Қалай ойлаймыз. Бұл § 15-ке арналған «ой қозғау» сұрағы. Үшбұрышты сызғышты бір қабырғасымен $b$ түзуіне қойып, оның екінші жағына сызғыш қой. Үшбұрышты сызғышты жылжытып, $A$ арқылы өтетін түзу аламыз.

Шешуі. Үшбұрышты сызғышты бір қабырғасымен $b$ түзуіне жапсырамыз, ал оның екінші қабырғасына сызғышты қоямыз. Үшбұрышты сызғышты сызғыш бойымен оның қабырғасы $A$ арқылы өтетіндей етіп жылжытып, $a$ түзуін жүргіземіз. Ол $b$ түзуін қиып өтпейді. $A$ арқылы $b$-ға параллель басқа түзу жүргізе алмаймыз: $A$ арқылы өтетін кез келген басқа түзу $b$ түзуін қияды. (Бұл — § 15-тегі параллель түзулердің негізгі қасиеті.)

Жауабы: біреу.

Жадынама

• Анықтамалар. Перпендикуляр, перпендикулярдың табаны, көлбеу, көлбеудің табаны, проекция, нүктеден түзуге дейінгі қашықтық.
• 1-теорема. Түзуде жатпайтын нүктеден түзуге дәл бір перпендикуляр түсіруге болады.
• 2-теорема. Перпендикуляр кез келген көлбеуден қысқа ($AB<AC$, өйткені катет гипотенузадан қысқа).
• Жаттығулардан шығатын салдарлар. Тең көлбеулердің проекциялары тең және керісінше. Үлкен көлбеудің проекциясы үлкен және керісінше. Биссектриса медианадан аспайды, ал биіктік олардың екеуінен де аспайды.

Шағын тест