§ 15. Түзулердің параллельдігі

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 3 тарау: Түзулердің өзара орналасуы. 89–93-беттер.

Нені үйренесің

• Қиюшымен қиғанда пайда болатын бұрыштар жұбын танып білуді: сәйкес, ішкі айқыш, ішкі тұстас.
• Ішкі айқыш бұрыштардың теңдігі (және оның салдарлары) бойынша түзулердің параллель екенін дәлелдеуді.
• Параллель түзулердің аксиомасын қолдануды: түзуде жатпайтын нүкте арқылы тек бір ғана параллель түзу жүргізуге болады.
• Түзулер параллель екені белгілі болса, бұрыштарды табуды.

Ой қозғау

• Қандай түзулерді параллель дейді? Бір жазықтықта жатып, ортақ нүктесі жоқ түзулерді.
• Сыбайлас бұрыштардың қосындысы неге тең? $180^\circ$-қа.
• Вертикаль бұрыштар туралы не айта аласың? Олар тең.
• Үшбұрыштың сыртқы бұрышы деп қандай бұрышты айтады және ол туралы не білеміз? Үшбұрыштың ішкі бұрышымен сыбайлас бұрышты; ол өзімен сыбайлас емес әрбір ішкі бұрыштан үлкен.

Тақырыпты талдаймыз

Қиюшы және сегіз бұрыш

Екі рельс пен шпалды елестетші: шпал екі рельсті де қиып өтеді. Берілген екі түзуді қиып өтетін түзуді қиюшы дейді. Параллельдікті былай жазады: $a\parallel b$.

$c$ қиюшысы мен $a$, $b$ түзулері сегіз бұрыш жасайды. Оларды суреттегідей нөмірлейік: жоғарғы түзуде — 5, 6, 7, 8, төменгісінде — 1, 2, 3, 4.

Бұрыштар жұбының өз аттары бар:

💡 «$a$ және $b$ параллель ме?» деген сұрақты көзбен шеше алмасаң, бұрыштарға қара. Жоғарыдағы суретте түзулер параллель емес сияқты: төменгі түзудің еңкеюі жоғарғысынан басқаша. Бірақ көзбен шешуге болмайды: өлшеу немесе дәлелдеу керек.

Параллельдік белгісі

Түзулер параллель болуы үшін ішкі айқыш бұрыштар қандай болуы керек? Жауапты теорема береді.

📌 Теорема (екі түзудің параллельдік белгісі). Егер екі түзуді үшінші түзумен қиғанда ішкі айқыш бұрыштары тең болса, онда бұл екі түзу параллель болады.

Белгіден бірден үш салдар шығады.

📌 1-салдар. Егер екі түзуді үшінші түзумен қиғанда сәйкес бұрыштары тең болса, онда бұл екі түзу параллель болады. 2-салдар. Егер ішкі тұстас бұрыштарының қосындысы $180^\circ$ болса, онда бұл екі түзу параллель болады. 3-салдар. Егер екі түзу үшінші түзуге перпендикуляр болса, онда олар өзара параллель болады.

Неліктен? Бұл жағдайлардың бәрінде ішкі айқыш бұрыштар тең болып шығады, сондықтан белгіні қолдануға болады. Мысалы, екіншісінде: ішкі тұстас бұрыш $+$ оның сыбайлас бұрышы $=180^\circ$, ал ішкі тұстас бұрыш $+$ екінші ішкі тұстас бұрыш $=180^\circ$, демек, сыбайлас бұрыш екіншісіне тең, ал бұлар — ішкі айқыш бұрыштар.

⚠️ Жиі кететін қате. Сәйкес және ішкі айқыш бұрыштарды шатастырады. Ішкі айқыш бұрыштар — түзулер арасындағы «Z», ал сәйкес бұрыштар — «бірдей орындағылар»: біреуі жоғарыда, екіншісі төменде.

Параллель түзулер аксиомасы

📌 Аксиома. Түзуде жатпайтын нүкте арқылы осы түзуге параллель түзу жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Аксиома — дәлелдеусіз қабылданатын тұжырым. Белгімен бірге ол мынаны береді: мұндай нүкте арқылы дәл біреу ғана параллель түзу өтеді.

🌟 Бұл аксиома — Евклид геометриясының басты идеясы. Екі мың жылдан астам математиктер оны дәлелдеуге тырысты, тек XIX ғасырда ол орындалмайтын геометрияны да ойлап табуға болатыны анықталды.

Кері теорема: параллель түзулер тең бұрыштар береді

📌 Теорема. Егер екі параллель түзуді үшінші түзумен қиса, онда олардың ішкі айқыш бұрыштары тең болады.

Дәлелдеуі. $a\parallel b$ болсын, $c$ қиюшысы оларды $A$ және $B$ нүктелерінде қисын. $A$ нүктесі арқылы $a_1$ түзуін $a_1$, $b$, $c$ түзулерінен жасалған ішкі айқыш бұрыштар тең болатындай етіп жүргізейік. Белгі бойынша $a_1\parallel b$. Бірақ $A$ нүктесі арқылы $b$-ға параллель жалғыз түзу өтеді (аксиома), ал $a$ да $b$-ға параллель. Демек, $a_1$ түзуі $a$ түзуімен беттеседі, сондықтан $a$, $b$, $c$ түзулерінен жасалған бұрыштар тең болады.

📌 1-салдар. Егер екі параллель түзуді үшінші түзумен қиса, онда сәйкес бұрыштары тең болады. 2-салдар. Егер екі параллель түзуді үшінші түзумен қиса, онда ішкі тұстас бұрыштарының қосындысы $180^\circ$-қа тең болады.

2-салдар неге дұрыс: ішкі айқыш бұрыштар тең, ал ішкі тұстас бұрыш өзінің сыбайлас бұрышымен бірге $180^\circ$ береді. Сыбайлас бұрышты өзіне тең ішкі айқыш бұрышпен ауыстырсақ, ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы $180^\circ$ болады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баламен бірге дәптер парағына екі «рельс» пен қиюшы сызыңыз. Транспортирмен ішкі айқыш бұрыштарды өлшеп, олардың теңдігіне көз жеткізу — ережені жаттағаннан гөрі пайдалы.

Өзіңді тексер

• Екі берілген түзу үшін қандай түзуді қиюшы деп атайды? Берілген екі түзуді де әртүрлі нүктелерде қиып өтетін түзуді.
• Екі түзудің параллельдік белгілерін тұжырымда. Егер екі түзуді үшінші түзумен қиғанда ішкі айқыш бұрыштары тең болса, онда түзулер параллель болады.
• Параллель түзулердің аксиомасын тұжырымда. Түзуде жатпайтын нүкте арқылы осы түзуге параллель түзу жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.
• Жазықтықта берілген нүкте арқылы берілген түзуге параллель неше түзу жүргізуге болады? Нүкте түзуде жатпаса — дәл біреу. Егер нүкте түзудің өзінде жатса, параллель түзу жоқ (түзудің өзі нүкте арқылы өтеді).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 15.1

Екі параллель түзуді үшінші түзумен тік бұрыш жасамай қиғанда пайда болған бұрыштардың ішіндегі нешеуі доғал бұрыш болуы мүмкін?

Қалай ойлаймыз. Параллель түзулерде сегіз бұрыштың барлығы тек екі мәнді қабылдайды: сүйір бұрыш немесе доғал бұрыш. Қиюшы перпендикуляр емес болса, нешеуі доғал екенін санау жеткілікті.

Шешуі. Қиюшы түзулермен тік бұрыш жасамайды, сондықтан әр қиылысу нүктесінде төрт бұрыш бар: екі сүйір және екі доғал. Параллель түзулерде сәйкес бұрыштар тең, сондықтан екінші нүктеде де дәл солай: екі доғал бұрыш. Барлығы: $2+2=4$ доғал бұрыш (қалған төртеуі сүйір).

Жауабы: 4.

📕 Оқулықтың жауаптарында «0, 2, 4» деп жазылған. Бұл — түзулер кез келген (параллель емес) болған жағдайдың жауабы. Параллель түзулер мен тік емес қиюшы үшін дұрыс жауап — тек «4».

№ 15.2

Екі параллель түзуді үшінші түзумен қиғанда ішкі тұстас бұрыштардың екеуі де доғал болуы мүмкін бе?

Қалай ойлаймыз. Параллель түзулерде ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы нешеге тең екенін еске түсір.

Шешуі. Параллель түзулерде ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы $180^\circ$. Екі доғал бұрыштың қосындысы $180^\circ$-тан артық болады (

Жауабы: жоқ.

№ 15.3

Екі түзуді үшінші түзумен қиғанда ішкі тұстас бұрыштары тең болуы мүмкін бе?

Қалай ойлаймыз. Ең қарапайым мысал ыңғайлы.

Шешуі. Иә. Мысалы, қиюшы екі түзуге де перпендикуляр: екі ішкі тұстас бұрыш та $90^\circ$ (түзулер бұл жағдайда параллель). Басқа мысал да бар: бұрыштар $60^\circ$ және $60^\circ$, онда түзулер параллель емес.

Жауабы: иә.

№ 15.4

Екі түзуді үшінші түзумен қиғанда пайда болған барлық бұрыштары өзара тең болуы мүмкін бе?

Қалай ойлаймыз. Сегіз бұрыштың барлығы бірдей мән қабылдай ала ма?

Шешуі. Иә. Егер екі түзу де қиюшыға перпендикуляр болса, барлық 8 бұрыш тік, яғни өзара тең ($90^\circ$).

Жауабы: иә.

№ 15.5

Торкөз қағазға $C$ нүктесі арқылы $AB$ түзуіне параллель түзу жүргізіңдер (15.4-сурет, а), ә), б) жағдайлары).

Қалай ойлаймыз. Торкөзде параллель түзуді «жылжыту» арқылы салады: $C$ нүктесінен $A$-дан $B$-ға барған «қадамдармен» жүреміз.

Шешуі. а) жағдайы: $A(1;,1)$, $B(5;,5)$ — 4 тор көз оңға және 4 жоғары. $C(1;,3)$ нүктесінен сол қадамдармен жүреміз: $(2;,4)$, $(3;,5)$, $(4;,6)$. $C$ және $(4;,6)$ нүктелері арқылы түзу жүргіземіз.

ә) жағдайы: $A(0;,1)$, $B(6;,4)$ — қадам «2 оңға, 1 жоғары». $C(1;,3)$ нүктесінен солай жүреміз: $(3;,4)$, $(5;,5)$. б) жағдайы: $A(1;,1)$, $B(2;,5)$ — қадам «1 оңға, 4 жоғары». $C(4;,1)$ нүктесінен: $(5;,5)$. Неге параллель болды: қадамдар бірдей болса, түзулер торкөздің көлденең сызығымен тең сәйкес бұрыштар жасайды.

Жауабы: параллель түзуді $C$ нүктесінен сол қадамдармен саламыз: а) $(4;,6)$ арқылы; ә) $(5;,5)$ арқылы; б) $(5;,5)$ арқылы.

№ 15.6

15.5-суреттен параллель түзулердің жұбын көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Сурет — торкөзді өрістегі түзулер шоғы. Параллель түзулер бірдей еңкеюмен, яғни тор көздер бойынша бірдей қадаммен жүреді. Көлденең $p$ және $q$ бірден параллель.

Шешуі. Еңкеюлерді тор көздер бойынша оқып, жұптар аламыз: $a$ және $f$, $b$ және $e$, $c$ және $g$, $d$ және $h$, $p$ және $q$. $r$ түзуінің жұбы жоқ.

Жауабы: $a\parallel f$, $b\parallel e$, $c\parallel g$, $d\parallel h$, $p\parallel q$.

№ 15.7

15.6-суреттегі қандай түзулер параллель болады?

Қалай ойлаймыз. Әр жұп түзу үшін қиюшыны тауып, ішкі тұстас бұрыштардың қосындысын тексер: $180^\circ$ болса — түзулер параллель.

Шешуі. $a$ қиюшысы: $c$ және $d$ арасындағы ішкі тұстас бұрыштар $116^\circ$ және $64^\circ$, қосындысы $180^\circ$. $b$ қиюшысы: бұрыштар $63^\circ$ және $117^\circ$, қосындысы да $180^\circ$. Демек, $c\parallel d$. $a$ және $b$ түзулері: $c$ қиюшысы ішкі тұстас $116^\circ$ және $63^\circ$ бұрыштарын береді, қосындысы $179^\circ\ne180^\circ$. Демек, $a$ және $b$ параллель емес: бір градус айырмашылық көзге байқалмайды, ал белгі оны көреді.

Жауабы: тек $c$ және $d$ параллель.

B деңгейі

№ 15.8

$ABC$ үшбұрышында $\angle A=40^\circ$, $\angle B=70^\circ$. $B$ төбесі арқылы $BC$ сәулесі $ABD$ бұрышының биссектрисасы болатындай $BD$ түзуі жүргізілген (15.7-сурет). $AC$ және $BD$ түзулері параллель екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $ABD$ бұрышын тауып, $AB$ қиюшысына қараймыз: егер ішкі тұстас бұрыштар $180^\circ$ берсе, түзулер параллель.

Шешуі. Берілгені: $\angle A=40^\circ$, $\angle ABC=70^\circ$, $BC$ — $ABD$ бұрышының биссектрисасы. Дәлелдеу керек: $AC\parallel BD$.

1. $BC$ — биссектриса болғандықтан, $\angle ABD=2\cdot\angle ABC=2\cdot70^\circ=140^\circ$.
2. $AC$ және $BD$ түзулерін $AB$ қиюшысы қиған. $\angle A=40^\circ$ және $\angle ABD=140^\circ$ — ішкі тұстас бұрыштар.
3. Олардың қосындысы: $40^\circ+140^\circ=180^\circ$.
4. Параллельдік белгісінің 2-салдары бойынша $AC\parallel BD$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 15.9

$AB$ және $CD$ кесінділерінің ортасы $O$ нүктесінде қиылысады (15.8-сурет). $AC$ және $BD$ түзулерінің параллель екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $AB$ қиюшысымен жасалған ішкі айқыш бұрыштардың тең екенін дәлелдейміз. Ол үшін $O$ нүктесіндегі екі үшбұрышты салыстырамыз.

Шешуі. Берілгені: $AO=OB$, $CO=OD$. Дәлелдеу керек: $AC\parallel BD$.

1. $AOC$ және $BOD$ үшбұрыштарында: $AO=OB$ және $CO=OD$ шарт бойынша.
2. $\angle AOC=\angle BOD$ вертикаль бұрыштар ретінде.
3. Үшбұрыштар екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы бойынша тең.
4. Демек, $\angle OAC=\angle OBD$. Бұл — $AC$, $BD$ түзулері мен $AB$ қиюшысынан жасалған ішкі айқыш бұрыштар.
5. Параллельдік белгісі бойынша $AC\parallel BD$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 15.10

Егер $AD\parallel BC$ болса, онда белгісіз бұрышты табыңдар (15.9-сурет, а), ә), б)).

Қалай ойлаймыз. Әр сурет үшін қиюшы мен бұрыштар жұбын тап: ішкі айқыш па, әлде ішкі тұстас па.

Шешуі.

а) $ABCD$ — $AD\parallel BC$ болатын трапеция, $AD$ табанындағы бұрыштар тең: $\angle A=\angle D=62^\circ$ (бірдей доғалармен белгіленген). $C$ және $D$ бұрыштары — параллель $AD$, $BC$ түзулері мен $CD$ қиюшысынан жасалған ішкі тұстас бұрыштар. Демек, $\angle C=180^\circ-62^\circ=118^\circ$.

ә) $F$ — төбе, $FB=FC$ (сызықшалармен белгіленген), $BC\parallel AD$, $\angle D=70^\circ$. $FCB$ және $D$ бұрыштары — параллель $BC$, $AD$ түзулері мен $FD$ қиюшысынан жасалған сәйкес бұрыштар, сондықтан $\angle FCB=70^\circ$. $FBC$ үшбұрышы тең бүйірлі, сондықтан табандағы $FBC$ бұрышы да $70^\circ$.

б) $AC$ және $BD$ кесінділері $O$ нүктесінде қиылысады, $OB=OC$ (белгіленген), $\angle ADB=65^\circ$. $AD\parallel BC$ және $BD$ қиюшысы кезінде $ADB$ және $DBC$ бұрыштары — ішкі айқыш, демек, $\angle DBC=65^\circ$. $OBC$ тең бүйірлі үшбұрышында ($OB=OC$) табандағы бұрыштар тең: $\angle OCB=\angle OBC=65^\circ$.

Жауабы: а) $118^\circ$; ә) $70^\circ$; б) $65^\circ$.

№ 15.11

Екі параллель түзудің қиюшымен жасайтын бұрыштарының: а) біреуі $150^\circ$-қа тең; ә) біреуі екіншісінен $70^\circ$-қа үлкен болса, осы бұрыштарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Барлығы сегіз бұрыш, бірақ мәні тек екеу: сүйір бұрыштар өзара тең, доғал бұрыштар өзара тең, ал сүйір $+$ доғал $=180^\circ$.

Шешуі. а) Бір бұрыш $150^\circ$ болса, онымен сыбайлас бұрыш $180^\circ-150^\circ=30^\circ$. Қалғандарының бәрі не $150^\circ$, не $30^\circ$. ә) Сүйір бұрыш $x$ болсын, сонда доғалы $x+70^\circ$. Сыбайлас бұрыштардың қосындысы: $x+(x+70^\circ)=180^\circ$, $2x=110^\circ$, $x=55^\circ$, екінші бұрыш $125^\circ$.

Жауабы: а) $150^\circ$ және $30^\circ$; ә) $55^\circ$ және $125^\circ$.

№ 15.12

Параллель түзулердің қиюшымен жасайтын екі ішкі айқыш бұрыштарының қосындысы $180^\circ$-қа тең. Осы бұрыштарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Параллель түзулерде ішкі айқыш бұрыштар тең. Демек, екеуі бірдей.

Шешуі. Екі тең бұрыштың қосындысы $180^\circ$, сондықтан әрқайсысы $180^\circ:2=90^\circ$. Яғни қиюшы екі түзуге де перпендикуляр.

Жауабы: $90^\circ$ және $90^\circ$.

№ 15.13

Параллель түзулердің қиюшымен жасайтын екі ішкі тұстас бұрыштарының айырымы $30^\circ$-қа тең. Осы бұрыштарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Параллель түзулерде ішкі тұстас бұрыштар $180^\circ$ береді. Қосындысы 180, айырымы 30 болатын екі сан керек.

Шешуі. Кіші бұрыш $x$ болсын, сонда екіншісі $x+30^\circ$. Теңдеу: $x+(x+30^\circ)=180^\circ$, $2x=150^\circ$, $x=75^\circ$, екінші бұрыш $105^\circ$. Тексеру: $105-75=30$.

Жауабы: $75^\circ$ және $105^\circ$.

№ 15.14

$AB$ кесіндісінің ұштары $a$ және $b$ параллель түзулерінде жатыр. Осы кесіндінің ортасын $O$ нүктесі арқылы өтетін түзу $a$ және $b$ түзулерін $C$ және $D$ нүктелерінде қиып өтеді. $CO=OD$ екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Идея 15.9-дағыдай: $O$ нүктесіндегі екі үшбұрыш және ішкі айқыш бұрыштар.

Шешуі. Берілгені: $A\in a$, $B\in b$, $a\parallel b$, $AO=OB$, $C\in a$, $D\in b$, $C$, $O$, $D$ бір түзуде жатыр. Дәлелдеу керек: $CO=OD$.

1. $AOC$ және $BOD$ үшбұрыштарын қарастырамыз.
2. $AO=OB$ шарт бойынша.
3. $\angle AOC=\angle BOD$ вертикаль бұрыштар ретінде.
4. $\angle OAC=\angle OBD$ — $a\parallel b$ және $AB$ қиюшысы кезіндегі ішкі айқыш бұрыштар.
5. Үшбұрыштар қабырғасы мен оған іргелес екі бұрышы бойынша тең. Демек, $CO=OD$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 15.15

Екі параллель түзудің қиюшымен жасайтын ішкі айқыш бұрыштарының биссектрисалары параллель, яғни параллель түзулердің бойында жататынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Ішкі айқыш бұрыштар тең, демек, олардың жартылары да тең. Жартылар биссектрисалар үшін дәл ішкі айқыш бұрыштар болады.

Шешуі. Берілгені: $a\parallel b$, $c$ қиюшысы оларды $A$ және $B$ нүктелерінде қияды; $AK$ және $BL$ — ішкі айқыш бұрыштардың биссектрисалары. Дәлелдеу керек: $AK\parallel BL$.

1. Параллель $a$, $b$ түзулерінде ішкі айқыш бұрыштар тең. Әрқайсысын $2\alpha$ деп белгілейміз.
2. Биссектрисалар оларды тең екіге бөледі, сондықтан $\angle KAB=\angle LBA=\alpha$.
3. $KAB$ және $LBA$ бұрыштары — $AK$, $BL$ түзулері мен $AB$ қиюшысынан жасалған ішкі айқыш бұрыштар (қиюшының екі жағында жатыр).
4. Олар тең, демек, белгі бойынша $AK\parallel BL$.

Жауабы: дәлелденді.

C деңгейі

№ 15.16

Қандай да бір түзу екі параллель түзудің біреуін қиып өтсе, онда ол екіншісін де қиып өтетінін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Қарама-қарсысынан ойлаймыз: қиып өтпесе не болар еді.

Шешуі. Берілгені: $a\parallel b$, $c$ түзуі $a$ түзуін $A$ нүктесінде қияды. Дәлелдеу керек: $c$ түзуі $b$ түзуін қияды.

1. $c$ түзуі $b$ түзуін қимайды, яғни $c\parallel b$ дейік.
2. Сонда $A$ нүктесі арқылы $b$-ға параллель екі әртүрлі түзу, $a$ және $c$, өтеді.
3. Бұл параллель түзулер аксиомасына қайшы: түзудің сыртындағы нүкте арқылы тек бір ғана параллель түзу өтеді.
4. Демек, жорамал қате, ал $c$ түзуі $b$ түзуін қияды.

Жауабы: дәлелденді.

№ 15.17

Үшінші түзуге параллель екі түзу өзара параллель болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Тағы да қарама-қарсысынан, ортақ нүкте арқылы.

Шешуі. Берілгені: $a\parallel c$, $b\parallel c$. Дәлелдеу керек: $a\parallel b$.

1. $a$ және $b$ түзулері $M$ нүктесінде қиылысады дейік (олар беттеспейді).
2. Сонда $M$ нүктесі арқылы $c$-ға параллель екі әртүрлі түзу, $a$ және $b$, өтеді.
3. Бұл параллель түзулер аксиомасына қайшы.
4. Демек, $a$ және $b$ қиылыспайды, яғни $a\parallel b$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 15.18

15.10-суреттегі бір бұрыштың $a$ және $b$ қабырғалары екінші бұрыштың сәйкесінше $c$ және $d$ қабырғаларына параллель. Осы бұрыштардың теңдігін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $b$ түзуі $c$ түзуін қияды. Бұрышты $b$ және $c$ қиылысқанда пайда болатын бұрышпен екі рет сәйкес бұрыштар ретінде салыстырамыз.

Шешуі. (Мұнда $(a,b)$ бұрышының қабырғалары $a$ және $b$, ал $(c,d)$ бұрышының қабырғалары $c$ және $d$, мұнда $a\parallel c$, $b\parallel d$.) Берілгені: $a\parallel c$, $b\parallel d$. Дәлелдеу керек: бұрыштар тең.

1. $b$ қабырғасын $c$ түзуімен $K$ нүктесінде қиылысқанша созамыз.
2. $a\parallel c$, ал $b$ — қиюшы болғандықтан, $a$ мен $b$ арасындағы бұрыш $K$ нүктесіндегі $c$ мен $b$ арасындағы бұрышқа тең (сәйкес бұрыштар).
3. Енді $b$ және $d$ түзулері параллель, ал $c$ — олардың қиюшысы. $K$ нүктесіндегі $c$ мен $b$ арасындағы бұрыш $c$ мен $d$ арасындағы бұрышқа тең (тағы да сәйкес бұрыштар).
4. Нәтижесінде: $(a,b)$ бұрышы $(c,d)$ бұрышына тең.

Жауабы: дәлелденді: қабырғалары сәйкесінше параллель және бағыттас бұрыштар тең.

№ 15.19

15.11-суреттегі бір бұрыштың $a$ және $b$ қабырғалары екінші бұрыштың сәйкесінше $c$ және $d$ қабырғаларына параллель. Осы бұрыштардың қосындысы $180^\circ$-қа тең болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. 15.18-дегідей, бірақ бір жұп қабырға қарама-қарсы жаққа бағытталған, сондықтан теңдік емес, $180^\circ$ қосынды шығады.

Шешуі. Берілгені: $a\parallel c$, $b\parallel d$ (15.11-суретте $a$ мен $c$ бағыттас, ал $b$ мен $d$ қарама-қарсы бағытталған). Дәлелдеу керек: $(a,b)$ бұрышы $+$ $(c,d)$ бұрышы $=180^\circ$.

1. $b$ қабырғасын $c$ түзуімен $K$ нүктесінде қиылысқанша созамыз.
2. $a$ және $c$ параллель, $b$ — қиюшы. Бірінші бұрыштың төбесіндегі $(a,b)$ бұрышы мен $K$ нүктесіндегі $c$ және $b$-ның бірінші бұрыш төбесінен қарама-қарсы жаққа бағытталған бөлігі арасындағы бұрыш — ішкі тұстас, олардың қосындысы $180^\circ$.
3. Бұл соңғы бұрыш $(c,d)$ бұрышына тең: олар $b\parallel d$ және $c$ қиюшысы кезіндегі сәйкес бұрыштар.
4. Орнына қойсақ: $(a,b)$ бұрышы $+$ $(c,d)$ бұрышы $=180^\circ$.

Жауабы: дәлелденді.

Жаңа білімді меңгеруге дайындалыңдар

№ 15.20

Қандай да бір үшбұрыш салыңдар. Транспортирдің көмегімен оның бұрыштарын өлшеңдер және олардың қосындысын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл — § 16 алдындағы тәжірибе. Жауап әрдайым «шамамен $180^\circ$» болып шығады.

Шешуі. Бұрыштары, мысалы, шамамен $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$ үшбұрыш саламыз. Бұрыштарды транспортирмен өлшейміз (төмендегі бұрышты бұрап жаттығып көр).

Қосамыз: $50^\circ+60^\circ+70^\circ=180^\circ$. Сенде $179^\circ$ немесе $181^\circ$ шығуы мүмкін: бұл — өлшеу қателігі.

Жауабы: үшбұрыш бұрыштарының қосындысы шамамен $180^\circ$ болып шығады (бұл § 16-да дәлелденеді).

Жадынама

• Параллельдік белгісі: ішкі айқыш бұрыштар тең, демек, түзулер параллель. Салдарлары: сәйкес бұрыштар тең; ішкі тұстас бұрыштар $180^\circ$ береді; екі түзу де үшінші түзуге перпендикуляр.
• Аксиома: түзудің сыртындағы нүкте арқылы өзіне параллель біреуден артық түзу өтпейді.
• Кері теорема: параллель түзулерде ішкі айқыш және сәйкес бұрыштар тең, ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы $180^\circ$.
• Тәсілдер: «қарама-қарсысынан» (15.16, 15.17), қиылысу нүктесіндегі тең үшбұрыштар (15.9, 15.14), сыбайлас және вертикаль бұрыштарға көшу.

Шағын тест