§ 18. Шеңбер және дөңгелек

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 4 тарау: Шеңбер. Геометриялық салулар. 107–113-беттер.

Нені үйренесің

• Шеңбер мен дөңгелекті ажыратуды және олардың элементтерін атауды: центр, радиус, хорда, диаметр.
• Диаметрдің радиустан екі есе ұзын екенін есте сақтауды.
• Центрлік бұрыш, доға және дөңгелек секторы дегенді түсінуді.
• Теореманы қолдануды: хордаға перпендикуляр диаметр оны қақ бөледі.
• Нүктеден шеңберге дейінгі қашықтыққа берілген есептерді шығаруды.

Ой қозғау

• Теңбүйірлі үшбұрыш пен әртүрлі қабырғалы үшбұрыштың айырмашылығы неде? Теңбүйірлі үшбұрыштың екі қабырғасы тең.
• Кесінді дегеніміз не? Түзудің екі нүктесінің арасындағы бөлігі, нүктелердің өздерін қоса алғанда.
• Қандай бұрышты тік бұрыш дейді? $90^\circ$ бұрышты.
• Тең үшбұрыштардың айырмашылығы неде? Орналасуынан басқа еш нәрседе: оларды бір-біріне қабаттастыруға болады.
• Тікбұрышты үшбұрыштардың тең екенін қалай дәлелдеуге болады? Екі катеті бойынша немесе гипотенузасы мен катеті бойынша.

Тақырыпты талдаймыз

Циркуль қалай сызады

Циркульдің ұшын $O$ нүктесіне қой, аяқтарын 3 см-ге ашып, сызық жүргіз. Сызықтың әрбір нүктесі $O$-дан дәл 3 см қашықтықта болды. Анықтама осы ғана.

📌 Шеңбер — берілген $O$ нүктесінен бірдей $R$ қашықтықта жатқан жазықтықтың барлық нүктелері. $O$ нүктесі — центр, $R$ қашықтығы — радиус. Центрді шеңбер нүктесімен қосатын кез келген кесінді де радиус деп аталады.

📌 Дөңгелек — шеңбер мен оның ішіндегі барлық нүктелер: центрден артық емес $R$ қашықтықта жатқан барлық нүктелер. Шеңбер — сызық, ал дөңгелек — бүтіндей «тоқаш».

💡 Тиын фигура ретінде — дөңгелек, ал оның жиегі — шеңбер. Қарбыз бүтін күйінде шарға ұқсайды, ал кесіп қарасаң, дөңгелек көрінеді.

Хорда және диаметр

Шеңбердің кез келген екі нүктесін қосатын кесінді — хорда. Егер хорда центр арқылы өтсе, оны диаметр дейді. Демек, диаметр — ең ұзын хорда және ол радиустан дәл екі есе ұзын: $d = 2R$.

⚠️ Жиі кететін қате. Диаметр — «кез келген ұзын хорда» емес, тек центр арқылы өтетін хорда. Және бір шеңбердің диаметрлері шексіз көп: центр арқылы қалағаныңша түзу жүргізуге болады.

Теорема: хордаға перпендикуляр диаметр

📌 Теорема. Шеңбердің хордасына перпендикуляр диаметр осы хорданы қақ бөледі.

Хорда — көлденең ағаш, ал диаметр — оған тік бұрыш жасап тұрған бағана деп елестет. Бағана дәл ортасына тіреледі.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан шеңбер сызып, хорда жүргізуін, сосын қағазды шеңбер өзімен-өзі беттесетіндей етіп бүктеуін сұраңыз. Бүктелген сызық центр арқылы өтеді және (хорда перпендикуляр болса) хорданың ортасынан да өтеді.

Центрлік бұрыш, доға және сектор

Төбесі шеңбердің центрінде жатқан бұрышты центрлік бұрыш дейді. Оның қабырғалары шеңбер бойынан сызықтың бір бөлігін кеседі — бұл доға, ал дөңгелекте «пицца» кесегін — дөңгелек секторын кеседі.

📌 Шеңбер доғасының градустық шамасы деп оған сәйкес центрлік бұрыштың градустық өлшемін айтады. Градустық шамалары бірдей доғалар тең доғалар деп аталады. Сектор үшін де солай: оның градустық шамасы центрлік бұрышқа тең.

🌟 Бүтін дөңгелек — $360^\circ$. Егер пиццаны 8 тең кесекке кессең, әрбір сектордың бұрышы $360^\circ : 8 = 45^\circ$ болады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай фигура шеңбер деп аталады? Центр және радиус дегеніміз не? Шеңбер — берілген нүктеден бірдей қашықтықта жатқан жазықтықтың барлық нүктелері. Бұл нүкте — центр, қашықтық — радиус; центрді шеңбердің нүктесімен қосатын кесінді де радиус деп аталады.
• Қандай фигура дөңгелек деп аталады? Оның центрі мен радиусы дегеніміз не? Дөңгелек — берілген нүктеден берілген қашықтықтан артық емес қашықтықта жатқан жазықтықтың барлық нүктелері. Дөңгелектің центрі мен радиусы оны шектейтін шеңбердікімен бірдей.
• Хорда және диаметр дегеніміз не? Хорда — шеңбердің екі нүктесін қосатын кесінді. Диаметр — центр арқылы өтетін хорда.
• Бір шеңбердің диаметрі мен радиусы қалай байланысқан? Диаметр радиустан екі есе үлкен: $d=2R$.
• Шеңбердің ең үлкен хордасы не болады? Диаметр.
• Хордаға перпендикуляр диаметр оны қандай қатынаста бөледі? Қақ бөледі, яғни $1:1$ қатынасында.
• Қандай бұрыш центрлік бұрыш деп аталады? Төбесі шеңбердің центрінде жататын бұрыш.
• Шеңбердің доғасы дегеніміз не? Центрлік бұрыштың ішінде орналасқан шеңбердің бөлігі.
• Дөңгелек секторы дегеніміз не? Центрлік бұрыштың ішінде орналасқан дөңгелектің бөлігі.
• Шеңбер доғасының градустық шамасы дегеніміз не? Сәйкес центрлік бұрыштың градустық өлшемі.
• Қандай доғалар тең деп аталады? Градустық шамалары тең доғалар.
• Дөңгелек секторының градустық шамасы дегеніміз не? Оның центрлік бұрышының градустық өлшемі (ол осы сектордың доғасының шамасымен бірдей).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 18.1

а) Центрі $O$ нүктесі және радиусы $R$ болатын дөңгелекте; ә) центрі $O$ нүктесі және радиусы $R$ болатын дөңгелектің сыртында жатқан $A$ нүктелері қандай теңсіздікті қанағаттандырады?

Қалай ойлаймыз. Дөңгелек — центрден $R$-ден артық емес қашықтықта жатқан барлық нүктелер. Одан алыс жатқанның бәрі — сыртында.

Шешуі. а) Дөңгелектегі нүкте (ішінде немесе шекарасында): центрге дейінгі қашықтық радиустан артық емес, яғни $OA \le R$. ә) Дөңгелектің сыртындағы нүкте: ол центрден $R$-ден алыс, яғни $OA > R$.

Жауабы: а) $OA \le R$; ә) $OA > R$.

№ 18.2

Қандай да бір берілген нүктеден өтетін радиустары бірдей шеңберлердің центрлерінің геометриялық орны қандай фигураны құрайды?

Қалай ойлаймыз. $A$ нүктесі берілсін, радиус — $R$. Мұндай шеңбердің $O$ центрі $A$ нүктесінен дәл $R$ қашықтықта жатады.

Шешуі. Егер радиусы $R$ шеңбер $A$ нүктесінен өтсе, онда $OA = R$. Демек, мұндай $O$ центрлердің барлығы $A$ нүктесінен $R$ қашықтықта жатады. Ал бұл — центрі $A$, радиусы $R$ болатын шеңбердің анықтамасы.

Жауабы: шеңбер (центрі берілген нүктеде, радиусы сондай).

№ 18.3

Шеңбердің центрі арқылы неше диаметр жүргізуге болады?

Қалай ойлаймыз. Бір нүкте арқылы неше түрлі түзу өтеді?

Шешуі. Центр арқылы кез келген түзуді жүргізуге болады, және әрқайсысы өз диаметрін береді. Мұндай түзулер шексіз көп.

Жауабы: шексіз көп.

№ 18.4

Диаметрі радиусынан 55 мм үлкен болатын шеңбердің диаметрін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Диаметр екі радиусқа тең. Егер ол «радиус плюс 55 мм» болса, онда бір радиус дәл осы 55 мм.

Шешуі. Радиусы $r$ мм болсын. Диаметр $2r$ және ол $r + 55$ те. $2r = r + 55$ теңдеуінен $r = 55$ мм шығады. Сонда $d = 2 \cdot 55 = 110$ мм.

Жауабы: 110 мм.

№ 18.5

Қарбыз екі тең бөлікке бөлінді. Кесілген бөліктегі шеңбердің радиусы 15 см. Қарбыздың диаметрі қандай болып еді?

Қалай ойлаймыз. Екі тең жартыға центр арқылы кескенде бөлінеді. Кесіктегі дөңгелек — қарбыздың ең кең қимасы.

Шешуі. Қарбыздың диаметрі кесіктегі шеңбердің диаметріне тең: $2 \cdot 15 = 30$ см.

Жауабы: 30 см.

№ 18.6

Киіз үй — көшпенділердің ежелден келе жатқан тұрғын үйі (18.6, а-сурет). Өлшемдері бойынша киіз үйлер әртүрлі болады. Егер киіз үйдің: а) шаңырағының диаметрлері 1 м; 1,2 м; 1,4 м; 2 м (18.6, ә-сурет) болса; ә) керегесінің диаметрлері 5 м; 6 м; 7 м; 10 м (18.6, б-сурет) болса, онда олардың радиустарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Радиус — диаметрдің жартысы: $R = d : 2$.

Шешуі. а) $1 : 2 = 0{,}5$; $1{,}2 : 2 = 0{,}6$; $1{,}4 : 2 = 0{,}7$; $2 : 2 = 1$. ә) $5 : 2 = 2{,}5$; $6 : 2 = 3$; $7 : 2 = 3{,}5$; $10 : 2 = 5$.

Жауабы: а) 0,5 м; 0,6 м; 0,7 м; 1 м; ә) 2,5 м; 3 м; 3,5 м; 5 м.

🌟 Шаңырақ — киіз үйдің жоғарғы жағындағы дөңгелек тесік, үй мен отбасының белгісі. Ол Қазақстанның елтаңбасында да бейнеленген.

№ 18.7

Кішкентай жартышеңберлердің әрқайсысының диаметрі (18.7, а-сурет) үлкен жартышеңбердің радиусына тең. Егер үлкен жартышеңбердің диаметрі $d$ болса, кішкентай жартышеңберлердің радиусы неге тең болады? Мұндай фигураны Архимед арбелос деп атаған, «αρβυλος» грек сөзі — етікшінің пышағы (18.7, ә-сурет) дегенді білдіреді.

Қалай ойлаймыз. Алдымен үлкен жартышеңбердің радиусын тап, сонан соң кішкентайының диаметрі мен радиусын.

Шешуі.

1. Үлкенінің радиусы: $d : 2 = \dfrac{d}{2}$.
2. Кішкентайының диаметрі осы радиусқа тең: $\dfrac{d}{2}$.
3. Кішкентайының радиусы: $\dfrac{d}{2} : 2 = \dfrac{d}{4}$.

Суретпен тексеру: қатар тұрған екі кішкентай жартышеңбер диаметрлерінің қосындысы $\dfrac{d}{2}+\dfrac{d}{2}=d$, яғни үлкеннің бүкіл ұзындығы.

Жауабы: $\dfrac{d}{4}$.

№ 18.8

Егер киіз үй табанының радиусы: а) 2,5 м; ә) 3 м; б) 3,5 м; в) 5 м болса, диаметрі қандай (18.8-сурет)?

Қалай ойлаймыз. Диаметр — екі радиус: $d = 2R$.

Шешуі. а) $2 \cdot 2{,}5 = 5$; ә) $2 \cdot 3 = 6$; б) $2 \cdot 3{,}5 = 7$; в) $2 \cdot 5 = 10$.

Жауабы: а) 5 м; ә) 6 м; б) 7 м; в) 10 м.

№ 18.9

Градустық шамалары: а) $90^\circ$; ә) $180^\circ$ болатын дөңгелек секторды салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сектор — екі радиуспен кесілген дөңгелек. Градустық шама — радиустар арасындағы бұрыш.

Шешуі (салу).

1. Циркульмен центрі $O$ болатын шеңбер сыз.
2. $OA$ радиусын жүргіз.
3. а) Үшбұрыштың (сызғыштың) немесе транспортирдің көмегімен $OA$-дан $90^\circ$ бұрыш сал да, екінші $OB$ радиусын жүргіз. Бұрыштың ішіндегі дөңгелек бөлігін боя: дөңгелектің төрттен бірі шықты. ә) $180^\circ$ бұрыш сал: $OA$ және $OB$ радиустары бір түзуде жатады, яғни бірге диаметр құрайды. Сектор — дөңгелектің жартысы (жарты дөңгелек).

Жауабы: а) дөңгелектің төрттен бірі; ә) жарты дөңгелек (сурет жоғарыдағы сипаттама бойынша).

B деңгейі

№ 18.10

$A$ және $B$ нүктелерінің арақашықтығы 2 см. Осы нүктелер арқылы өтетін шеңбердің мүмкін болатын ең кіші радиусын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AB$ — осындай шеңбердің хордасы. Хорда диаметрден ұзын емес.

Шешуі. Диаметр — ең үлкен хорда, демек, $2R \ge AB = 2$ см, яғни $R \ge 1$ см. $AB$ өзі диаметр болғанда радиус 1 см-ге тең.

Жауабы: 1 см.

№ 18.11

Торкөз қағазда берілген екі $A$ және $B$ нүктесі арқылы өтетін және тордың түйіндерінде орналасқан шеңбердің центрлерін кескіндеңдер (18.9-сурет: а) және ә)).

Қалай ойлаймыз. $A$ және $B$ арқылы өтетін шеңбердің центрі $A$ мен $B$ нүктелерінен бірдей қашықтықта жатады (екі қашықтық та — радиус). Мұндай нүктелер $AB$ кесіндісінің орта перпендикулярында жатады. Енді олардың ішінен тордың түйіндерін таңдау қалды.

Шешуі. Суреттегі тордың өлшемі — 6×6 тор көз. Координаталар басын тордың сол жақ төменгі бұрышына қоямын. а) $A(1;,2)$, $B(5;,2)$: кесінді көлденең, оның ортасы $(3;,2)$. Орта перпендикуляр — $x = 3$ тік сызығы. Ондағы түйіндер: $(3;,0)$, $(3;,1)$, … , $(3;,6)$, барлығы 7 нүкте. ә) $A(1;,3)$, $B(3;,1)$: ортасы $(2;,2)$, кесінді диагональ бойымен «төмен оңға» жүреді, ал перпендикуляр диагональ бойымен «жоғары оңға» өтеді: $(0;,0)$, $(1;,1)$, $(2;,2)$, … , $(6;,6)$ нүктелері, барлығы 7 түйін. $(0;,0)$ нүктесін тексерейік: $OA^2 = 1^2+3^2=10$ және $OB^2 = 3^2+1^2=10$, қашықтықтар тең.

Жауабы: а) $AB$ ортасы арқылы өтетін тік сызықтағы түйіндер (7 нүкте); ә) $AB$-ға перпендикуляр, оның ортасы арқылы өтетін диагональдағы түйіндер (7 нүкте).

№ 18.12

Берілген екі нүкте арқылы неше шеңбер жүргізуге болады?

Қалай ойлаймыз. Мұндай шеңбердің центрі нүктелер арасындағы кесіндінің орта перпендикулярында жатады (18.11 қара).

Шешуі. Орта перпендикулярда нүктелер шексіз көп, және әрқайсысы центр бола алады, ал радиус — $A$-ға дейінгі қашықтық. Демек, шеңберлер шексіз көп.

Жауабы: шексіз көп.

№ 18.13

Торкөз қағазда берілген $A$, $B$, $C$, $D$ нүктелері арқылы өтетін шеңбердің $O$ центрін кескіндеңдер (18.10-сурет).

Қалай ойлаймыз. $A$, $B$, $C$, $D$ — тіктөртбұрыштың төбелері. Шеңбердің центрі төрт нүктеден де бірдей қашықтықта, яғни оның қабырғаларының орта перпендикулярларында жатуы керек.

Шешуі. Суретті оқимыз: $A(1;,2)$, $B(5;,2)$, $C(5;,4)$, $D(1;,4)$. $AB$-ға орта перпендикуляр — $x=3$ тік сызығы, $BC$-ға — $y=3$ көлденең сызығы. Олар $O(3;,3)$ түйінінде қиылысады. Тексеру: $OA^2 = 2^2+1^2 = 5$, және $B$, $C$, $D$ үшін де солай. Демек, $O$ — центр, радиусы $\sqrt{5}$ тор көзге тең. Бұл — тіктөртбұрыш диагональдарының қиылысу нүктесі де.

Жауабы: $O$ — $(3;,3)$ түйіні, $ABCD$ тіктөртбұрышының центрі (диагональдардың қиылысу нүктесі).

№ 18.14

Шеңбердің $AB$ хордасы оның $OA$ радиусына тең (18.11-сурет). $AOB$ бұрышы неге тең?

Қалай ойлаймыз. $OA$ және $OB$ — радиустар. Егер $AB$ да радиусқа тең болса, $OAB$ үшбұрышының үш қабырғасы да тең.

Шешуі. $OA = OB = R$ (радиустар) және шарт бойынша $AB = R$. Демек, $\triangle OAB$ — теңқабырғалы үшбұрыш, ал теңқабырғалы үшбұрыштың бұрыштары $60^\circ$-тан.

Жауабы: $60^\circ$.

№ 18.15

$A$ нүктесі радиусы $R$ болатын шеңбердің сыртында және центрі $O$ нүктесінен $d$ қашықтықта орналасқан (18.12-сурет). $A$ нүктесінен берілген шеңбердің нүктелеріне дейінгі ең кіші және ең үлкен қашықтықтар неге тең?

Қалай ойлаймыз. $A$ мен $O$ арқылы түзу жүргіз. Ол шеңберді екі нүктеде қияды: жақын және алыс.

Шешуі. Жақын нүкте $OA$ кесіндісінде $O$-дан $R$ қашықтықта жатады, демек, $A$-дан оған дейін $d - R$. Алыс нүкте — центрдің екінші жағында: $d + R$. Шеңбердің кез келген басқа $X$ нүктесі үшін үшбұрыш теңсіздігі бойынша $AX$ осы екі санның арасында болады.

Жауабы: ең кіші $d - R$, ең үлкен $d + R$.

№ 18.16

Шеңберден тыс жатқан берілген нүктеден шеңбердің нүктесіне дейінгі ең үлкен және ең кіші қашықтықтар сәйкесінше 50 см мен 20 см. Осы шеңбердің радиусын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 18.15 бойынша: $d + R = 50$ және $d - R = 20$.

Шешуі. Бірінші теңдеуден екіншісін алайық: $2R = 50 - 20 = 30$, бұдан $R = 15$ см. (Қосымша $d = 35$ см.)

Жауабы: 15 см.

№ 18.17

$A$ нүктесі радиусы $R$ болатын шеңбердің ішінде жатыр және шеңбердің центрі $O$ нүктесінен $d$ қашықтықта орналасқан (18.13-сурет). $A$ нүктесінен берілген шеңберге дейінгі ең кіші және ең үлкен қашықтықтар неге тең?

Қалай ойлаймыз. Тағы да $OA$ түзуі: ол шеңберді $A$ нүктесінің екі жағында қиып өтеді.

Шешуі. $A$ центрден қарай қай жаққа қараса, сол жағында шеңберге дейін $R - d$ қалады. Қарама-қарсы жағында шеңберге дейін $d + R$ жүру керек (алдымен центрге дейін $d$, сосын тағы $R$).

Жауабы: ең кіші $R - d$, ең үлкен $R + d$.

№ 18.18

Шеңбердің ішінде орналасқан берілген нүктеден шеңбердің нүктесіне дейінгі ең үлкен және ең кіші қашықтықтар сәйкесінше 20 см мен 4 см. Осы шеңбердің радиусын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. 18.17 бойынша: $R + d = 20$ және $R - d = 4$.

Шешуі. Қосамыз: $2R = 24$, бұдан $R = 12$ см (және $d = 8$ см).

Жауабы: 12 см.

C деңгейі

№ 18.19

Хорданың ортасы арқылы жүргізілген диаметр осы хордаға перпендикуляр болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Бұл — біз дәлелдеген теоремаға кері теорема. $OAB$ үшбұрышында $O$ центрі $AB$ табанының $M$ ортасымен қосылған.

Шешуі. $AB$ — $O$ центрі арқылы өтпейтін хорда, $M$ — оның ортасы болсын. $OA$ және $OB$ радиустарын жүргіземіз. Сонда $\triangle OAB$ — теңбүйірлі ($OA = OB = R$), ал $OM$ — оның табанына жүргізілген медиана. Теңбүйірлі үшбұрышта табанына жүргізілген медиана биіктік те болады, демек, $OM \perp AB$. $OM$ түзуінде диаметр жатады, сондықтан хорданың ортасы арқылы өтетін диаметр оған перпендикуляр.

Жауабы: дәлелденді.

№ 18.20

18.14-суретті пайдаланып, диаметр шеңбердің ең үлкен хордасы болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Кез келген $AB$ хордасын ал да, оны $OA$ және $OB$ екі радиуспен салыстыр: олар бірге диаметрді береді.

Шешуі. $AB$ — центр $O$ арқылы өтпейтін кез келген хорда болсын. $OAB$ үшбұрышында үшбұрыш теңсіздігі бойынша $AB < OA + OB = R + R = 2R$. Ал $2R$ — диаметрдің ұзындығы. Егер хорда центр арқылы өтсе, ол өзі диаметр және $2R$-ге тең. Сонымен, кез келген хорда диаметрден ұзын емес.

Жауабы: дәлелденді.

№ 18.21

Шеңбердің тең хордалары оның центрінен бірдей қашықтықта болатынын дәлелдеңдер (18.15-сурет).

Қалай ойлаймыз. Центрден хордаға дейінгі қашықтық — $O$ нүктесінен оған түсірілген перпендикуляр. Оны екі хордаға да түсір де, тең тікбұрышты үшбұрыштарды тап.

Шешуі. $AB = CD$ болсын, ал $OH \perp AB$ және $OK \perp CD$ — центрден хордаларға дейінгі қашықтықтар. Хордаға перпендикуляр диаметр туралы теорема бойынша $H$ және $K$ нүктелері хордалардың ортасы, демек, $HB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{CD}{2} = KD$. $OHB$ және $OKD$ тікбұрышты үшбұрыштары: гипотенузалары $OB = OD = R$, катеттері $HB = KD$. Олар гипотенузасы мен катеті бойынша тең, сондықтан $OH = OK$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 18.22

Шеңбер центрінен бірдей қашықтықта жатқан хордалар тең болатынын дәлелдеңдер (18.15-сурет).

Қалай ойлаймыз. Бұл — 18.21 есебіне кері: енді $OH = OK$ берілген.

Шешуі. $OH \perp AB$, $OK \perp CD$ және $OH = OK$ болсын. $OHB$ және $OKD$ тікбұрышты үшбұрыштарының гипотенузалары $OB = OD = R$ тең және катеттері $OH = OK$ тең. Демек, олар тең және $HB = KD$. $H$ және $K$ — хордалардың ортасы болғандықтан (хордаға перпендикуляр диаметр оны қақ бөледі), $AB = 2HB = 2KD = CD$.

Жауабы: дәлелденді.

Хабарлама дайындаңдар

№ 18.23

Шеңбер — ертеден қалыптасқан геометриялық фигуралардың бірі. Коперник, Галилей, Кеплердің (XVII ғ.) ілімдері туралы айтыңдар.

Қалай ойлаймыз. Бұл — хабарлама тапсырмасы, жауабы жоқ. Жоспар мен тірек деректерді берейін, ал егжей-тегжейін энциклопедиядан немесе интернеттен тауып, күндерін салыстырып тексер.

Шешуі (жоспар).

1. Коперник (1473–1543): Жер және басқа планеталар Күнді айнала қозғалады; ол орбиталарды шеңбер деп есептеді.
2. Галилей (1564–1642): аспанды телескоппен бақылап, Юпитердің серіктерін көрді және Коперник идеясын қолдады.
3. Кеплер (1571–1630): планеталар шеңбер бойымен емес, эллипс бойымен қозғалатынын көрсетті. Шеңбер эллипстің дербес жағдайы болып шықты.
4. Қорытынды: «аспан — мінсіз шеңберлер» деген идея нақты заңдарға орын берді.

📕 Тапсырмада «Коперник, Галилей, Кеплердің (XVII ғ.) ілімдері» делінген, бірақ Коперник XVI ғасырда өмір сүрген (1473–1543), ал XVII ғасырға негізінен Галилей мен Кеплердің еңбектері жатады.

Жауабы: жоғарыдағы жоспар бойынша ауызша хабарлама.

Жаңа білімді меңгеруге дайындалыңдар

№ 18.24

Түзу мен шеңбердің неше ортақ нүктесі болуы мүмкін? Мүмкін жағдайларды кескіндеңдер.

Қалай ойлаймыз. Жіп-түзу мен сақина-шеңберді елестет. Жіпті жылжыт: алдымен сақинаның қасынан, сосын жанасатындай, сосын дәл сақина арқылы.

Шешуі.

• Жіп сақинадан алыс: ортақ нүкте жоқ.
• Жіп сақинаға жай ғана тиді: бір ортақ нүкте.
• Жіп сақинаны қиып өтеді: екі ортақ нүкте. Екіден артық нүкте болуы мүмкін емес. Толығырақ — келесі параграфта.

Жауабы: біреу де емес, біреу немесе екеу.

Жадынама

• Шеңбер — сызық: центрден $R$ қашықтықта жатқан барлық нүктелер. Дөңгелек — шеңбер және оның ішіндегінің бәрі.
• Радиус — центрден шеңберге дейінгі кесінді; диаметр $d = 2R$; хорда — шеңбердің екі нүктесінің арасындағы кесінді.
• Теорема. Хордаға перпендикуляр диаметр оны қақ бөледі. Керісінше: хорданың (диаметр емес) ортасы арқылы өтетін диаметр оған перпендикуляр.
• Доға, сектор, центрлік бұрыш; доға мен сектордың градустық шамасы центрлік бұрышқа тең.
• Тең хордалар центрден бірдей қашықтықта жатады, және керісінше.

Шағын тест