§ 19. Түзу мен шеңбердің өзара орналасуы
Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 4 тарау: Шеңбер. Геометриялық салулар. 113–119-беттер.
Нені үйренесің
- Түзу мен шеңбердің қанша ортақ нүктесі болатынын анықтауды: бірде-бір, бір немесе екі.
- Жанама мен қиюшыны ажыратуды.
- Шеңбер центрінен түзуге дейінгі қашықтықты радиуспен салыстырып, түзудің қалай орналасқанын айтуды.
- Жанаманың қасиетін есте сақтауды: жанама жанасу нүктесіне жүргізілген радиусқа перпендикуляр.
- Бір нүктеден жүргізілген жанама кесінділердің тең екенін білуді және есептерде қолдануды.
Ой қозғау
- Нүктеден түзуге дейінгі қашықтық дегеніміз не? Нүктеден түзуге түсірілген перпендикулярдың ұзындығы.
- Перпендикуляр мен көлбеудің қайсысы қысқа? Бір нүктеден жүргізілгенде перпендикуляр кез келген көлбеуден қысқа.
- Шеңбердің радиусы деген не? Центрден шеңбердің кез келген нүктесіне дейінгі кесінді; бір шеңбердің барлық радиустары тең.
- Тікбұрышты үшбұрыштар қашан гипотенузасы мен катеті бойынша тең болады? Біреуінің гипотенузасы мен катеті екіншісінің гипотенузасы мен катетіне тең болса.
- Екі әртүрлі түзудің неше ортақ нүктесі болуы мүмкін? Бірде-бір немесе бір.
Тақырыпты талдаймыз
Кездесудің үш тәсілі
Түзу мен шеңбер бір-бірінен алыс кетуі, әрең тиіп өтуі немесе қиылысуы мүмкін.
- Ортақ нүктесі жоқ. Түзу шеңберден алыс өтеді.
- Бір ортақ нүктесі бар. Түзу шеңберді жанайды дейді, ал түзудің өзі шеңберге жанама деп аталады. Ортақ нүкте — жанасу нүктесі.
- Екі ортақ нүктесі бар. Түзу шеңберді қияды, ал түзудің өзі қиюшы деп аталады. Түзу мен шеңбер қиылысады дейді.
💡 Автокөліктің доңғалағын елестет. Шеңбер жолға әр сәтте бір нүктесімен тиеді. Ал салмақтан сығылған шина жолмен өз бөлігімен «қиылысады».
Бәрін центрге дейінгі қашықтық шешеді
$d$ — $O$ центрінен түзуге дейінгі қашықтық (перпендикулярдың ұзындығы), $R$ — шеңбердің радиусы болсын.
📌 $d$ мен $R$-ді салыстыр: $d > R$ — ортақ нүктесі жоқ; $d = R$ — түзу шеңберді жанайды; $d < R$ — түзу мен шеңбер қиылысады.
Алғашқы екі жағдайды дәлелдейміз, үшіншісін дәлелдеусіз қабылдаймыз.
$d > R$ болғанда неге ортақ нүкте жоқ. $O$ нүктесінен $a$ түзуіне $OA$ перпендикулярын түсірейік. $a$ түзуінің кез келген басқа $B$ нүктесінен салынған $OB$ көлбеуі $OA$ перпендикулярынан ұзын, ал $OA > R$. Демек, түзудің кез келген нүктесінен $O$ нүктесіне дейінгі қашықтық $R$-ден үлкен, сондықтан ол нүкте шеңберде жата алмайды.
Жанаманың қасиеті
📌 Теорема. Шеңберге жанама осы шеңбердің жанасу нүктесіне жүргізілген радиусына перпендикуляр болады.
Неге? Жанама үшін центрден түзуге дейінгі қашықтық радиусқа тең. Ал түзуге дейінгі қашықтық — перпендикуляр. Демек, $OA$ перпендикуляры жанасу нүктесі $A$-ға жүргізілген радиустың өзі.
🌟 Доңғалақтың жолмен тегіс домалайтыны да осыдан: жанасу нүктесіндегі радиус жолға әрқашан тік бұрыш жасап тұрады.
Бір нүктеден жүргізілген екі жанама
📌 Теорема. Шеңберден тыс жатқан нүктеден осы шеңберге жүргізілген жанамалардың кесінділері тең болады.
👨👩👧 Ата-анаға. Екі қарындаш пен дөңгелек қақпақ алыңыз. Қарындаштарды екеуі де қақпаққа тиіп, бір нүктеде қиылысатындай етіп қойыңыз. Осы нүктеден қақпаққа дейінгі қашықтықты әр қарындаш бойымен өлшеңіз: екеуі бірдей шығады.
⚠️ Жиі кететін қате. «Жанама» мен «қиюшыны» шатастырады. Есіңде болсын: жанама шеңберге бір нүктеде тиеді, ал қиюшы шеңберді екі нүктеде кеседі.
Түсінгеніңді тексер
Өзіңді тексер
- Түзу мен шеңбер бір-біріне қатысты қалай орналасуы мүмкін? Ортақ нүктесі болмауы, бір ортақ нүктесі немесе екі ортақ нүктесі болуы мүмкін.
- Қандай түзуді жанама, қандай түзуді қиюшы деп атайды? Жанаманың шеңбермен дәл бір ортақ нүктесі болады, қиюшының — екеу.
- Түзу мен шеңбердің ортақ нүктесі қашан болмайды? Центрден түзуге дейінгі қашықтық радиустан үлкен болғанда.
- Түзу шеңберді қашан жанайды? Осы қашықтық радиусқа тең болғанда.
- Түзу мен шеңбер қашан қиылысады? Центрден түзуге дейінгі қашықтық радиустан кіші болғанда.
Жаттығуларды шығарамыз
A деңгейі
№ 19.1
Түзу шеңберді қияды. Осы түзу мен берілген шеңбермен шектелген дөңгелектің қиылысуынан шыққан фигура қалай аталады?
Қалай ойлаймыз. Түзу шеңберді екі нүктеде қияды. Түзудің дөңгелектің ішіндегі бөлігі осы екі нүктемен шектелген.
Шешуі. Бұл — ұштары шеңберде жататын кесінді. Мұндай кесіндіні хорда деп атайды.
Жауабы: хорда.
№ 19.2
а) Шеңбердің ішінде; ә) шеңберден тыс; б) шеңбердің бойында жатқан нүкте арқылы берілген шеңберге неше жанама жүргізуге болады?
Қалай ойлаймыз. Жанаманың шеңбермен дәл бір ортақ нүктесі болады, ал қалған бөлігі әрдайым шеңберден тыс жатады.
Шешуі. а) Ішкі нүкте арқылы өтетін кез келген түзу шеңберді екі нүктеде қияды, жанама жоқ. ә) Сыртқы нүктеден екі жанама жүргізуге болады (олар $B_1$ және $B_2$ нүктелері бар суретте көрінеді). б) Шеңбердің бойындағы нүкте арқылы бір жанама өтеді: осы нүктедегі радиусқа перпендикуляр түзу.
Жауабы: а) біреу де емес; ә) екеу; б) біреу.
№ 19.3
Берілген түзуді берілген нүктеде жанайтын неше шеңбер жүргізуге болады?
Қалай ойлаймыз. Жанасу нүктесіндегі радиус түзуге перпендикуляр. Демек, центр түзуге осы нүктеде жүргізілген перпендикулярда жатады.
Шешуі. $a$ түзуі және оның бойында $A$ нүктесі берілсін. Центр $a$ түзуіне $A$ нүктесінде жүргізілген перпендикулярда жатады, ал радиус $A$ нүктесіне дейінгі қашықтыққа тең. Осы перпендикулярдың кез келген нүктесі ($A$-дан басқасы) жарайды: әрқайсысы өз шеңберін береді. Мұндай нүктелер шексіз көп.
Жауабы: шексіз көп.
№ 19.4
Берілген түзуді берілген нүктеде жанайтын берілген радиуспен неше шеңбер жүргізуге болады?
Қалай ойлаймыз. 19.3-тегідей, бірақ енді радиус белгіленген.
Шешуі. Центр түзуге $A$ нүктесінде жүргізілген перпендикулярда, $A$-дан $R$ қашықтықта жатады. Осы перпендикуляр бойынша мұндай қашықтықты түзудің екі жағына да салуға болады: екі нүкте, яғни екі шеңбер шығады.
Жауабы: екеу.
№ 19.5
Шеңберге жанама мен жанасу нүктесінен жүргізілген радиус қандай бұрыш жасайды?
Қалай ойлаймыз. Бұл тікелей жанаманың қасиеті туралы теорема.
Шешуі. Жанама жанасу нүктесіне жүргізілген радиусқа перпендикуляр.
Жауабы: $90^\circ$.
B деңгейі
№ 19.6
Егер шеңбердің радиусы 3 см және шеңбердің центрінен түзуге дейінгі қашықтық: а) 2 см; ә) 3 см; б) 4 см болса, түзу мен шеңбердің өзара орналасуы қандай?
Қалай ойлаймыз. $d$ қашықтығын $R = 3$ см радиуспен салыстыр.
Шешуі. а) $d = 2 < 3 = R$: түзу мен шеңбер қиылысады. ә) $d = 3 = R$: түзу шеңберді жанайды. б) $d = 4 > 3 = R$: ортақ нүктелері жоқ.
Жауабы: а) қиылысады; ә) жанасады; б) ортақ нүктелері жоқ.
№ 19.7
Торкөз қағазға $A$ нүктесі арқылы берілген шеңберге жанама жүргізіңдер (19.5-сурет).
Қалай ойлаймыз. Жанама $OA$ радиусына перпендикуляр. Сондықтан радиус жүргізіп, $A$ нүктесі арқылы оған тік бұрыш жасайтын түзу саламыз. Торкөзде тік бұрыш оңай шығады: $(a;,b)$ векторын $90^\circ$-қа бұрсақ, $(-b;,a)$ векторы шығады.
Шешуі. Тор көзімен санаймыз, координаталар басы тордың сол жақ төменгі бұрышында. а) Центр $O(3;,4)$, $A(2;,5)$ нүктесі. $OA = (-1;,1)$ векторы. Оған перпендикуляр вектор — $(1;,1)$: жанама $A$ арқылы тор көздерінің диагоналімен өтеді, мысалы $(0;,3)$ және $(3;,6)$ түйіндері арқылы.
ә) Центр $O(3;,3)$, $A(2;,5)$ нүктесі. $OA = (-1;,2)$ векторы, оған перпендикуляр вектор — $(2;,1)$: жанама $A$ нүктесінен 2 тор көзге оңға және 1 тор көзге жоғары кетеді (кері жаққа: 2 көзге солға және 1 көзге төмен), мысалы $(0;,4)$, $(2;,5)$, $(4;,6)$ түйіндері арқылы.
Жауабы: салу: $A$ нүктесіндегі жанама — $OA$ радиусына $90^\circ$ бұрыш жасайтын түзу (а — тор көздерінің диагоналімен, ә — «2 көзге оңға, 1 көзге жоғары» еңіспен).
№ 19.8
Торкөз қағазға $A$ нүктесі арқылы берілген шеңберге жанама жүргізіңдер (19.6-сурет).
Қалай ойлаймыз. $T$ жанасу нүктесі үшін $OT \perp TA$. Торкөзде мұндай нүктелер — тордың түйіндері, оларды таңдау арқылы табуға болады: шеңберде жататын және $T$ төбесіндегі бұрыш тік болатын түйін іздейміз.
Шешуі. а) $O(3;,3)$, $A(5;,3)$, радиусы $\sqrt{2}$ тор көз. Жанасу нүктелері — $T_1(4;,4)$ және $T_2(4;,2)$ түйіндері. Тексеру: $OT_1 = (1;,1)$ және $T_1A = (1;,-1)$ векторлары перпендикуляр (скалярлық көбейтінді $1 - 1 = 0$). $AT_1$ және $AT_2$ түзулерін жүргіземіз. ә) Суретті ыңғайлы болу үшін бір көзге жоғары жылжытайық: $O(3;,3)$, $A(2;,6)$, радиусы $\sqrt{5}$. Жанасу нүктелері — $T_1(1;,4)$ және $T_2(4;,5)$. $T_2$ үшін тексеру: $OT_2 = (1;,2)$, $T_2A = (-2;,1)$, скалярлық көбейтінді $-2 + 2 = 0$. $T_1$ үшін: $OT_1 = (-2;,1)$, $T_1A = (1;,2)$, $-2 + 2 = 0$.
Жауабы: $A$ нүктесінен екі жанама жүргізіледі: а) жағдайында $A$ және $(4;,4)$, $(4;,2)$ түйіндері арқылы; ә) жағдайында $A$ және $T_1$, $T_2$ арқылы (суретті қара).
№ 19.9
Екі түзу шеңберді қарама-қарсы диаметрлі нүктелерде жанайды. Осы түзулердің өзара орналасуы қандай?
Қалай ойлаймыз. Диаметрі қарама-қарсы нүктелер — диаметрдің ұштары. Осы нүктелердегі жанамалар туралы не айта аламыз?
Шешуі. $AB$ — диаметр, $a$ және $b$ — $A$ мен $B$ нүктелеріндегі жанамалар болсын. $OA$ және $OB$ радиустары бір түзуде жатады (диаметр). Әр жанама осы диаметрге перпендикуляр: $a \perp AB$ және $b \perp AB$. Бір түзуге перпендикуляр екі түзу параллель болады.
Жауабы: параллель.
№ 19.10
19.7-суретте кескінделген екі шеңберді жанайтын қанша түзу жүргізуге болады?
Қалай ойлаймыз. Шеңберлер бір-бірінен тыс жатыр, үстелдегі екі табақ сияқты. Екеуін айналдыра керілген жіпті елестет.
Шешуі. Екі сыртқы жанама екі шеңберді де бір жағынан қамтып, «жоғарыдан» және «төменнен» өтеді. Тағы екі ішкі жанама «диагональ» бойымен жүріп, шеңберлердің арасында қиылысады (шеңберлерді өздерінің әртүрлі жағында қалдырады).
Жауабы: 4.
C деңгейі
№ 19.11
$AB$ жанама кесіндісінің ұзындығын табыңдар (19.8-сурет). Торкөз қабырғасы 1-ге тең.
Қалай ойлаймыз. $B$ — жанасу нүктесі, демек $OB \perp AB$. $OBA$ үшбұрышы тікбұрышты: гипотенузасы $OA$, катеті $OB = r$. Пифагор теоремасы бойынша $AB^2 = OA^2 - r^2$.
Шешуі. а) $O$ центрі мен $A$ нүктесі көлденеңінен 3 көзге, тігінен 2 көзге ажыраған, радиусы 2 көзге тең. $OA^2 = 3^2 + 2^2 = 13$, $AB^2 = 13 - 4 = 9$, $AB = 3$. ә) Центр мен $A$ көлденеңінен 4 көзге, тігінен 1 көзге ажыраған, радиусы 1-ге тең. $OA^2 = 16 + 1 = 17$, $AB^2 = 17 - 1 = 16$, $AB = 4$.
Жауабы: а) 3; ә) 4.
№ 19.12
Екі шеңберге ортақ ішкі жанамаларының $AB$ және $CD$ кесінділері тең болатынын дәлелдеңдер (19.9-сурет).
Қалай ойлаймыз. Ішкі жанамалар шеңберлердің арасында қиылысады. Қиылысу нүктесінен әр шеңберге екі жанама кесіндісі жүргізіледі, олар тең.
Шешуі. $AB$ және $CD$ жанамалары $P$ нүктесінде қиылыссын. Мұнда $A$, $C$ — бірінші шеңбермен жанасу нүктелері, $B$, $D$ — екінші шеңбермен. Сонда $PA = PC$ (бірінші шеңберге бір $P$ нүктесінен жүргізілген жанамалар) және $PB = PD$ ($P$ нүктесінен екінші шеңберге жүргізілген жанамалар). $P$ нүктесі $A$ мен $B$ арасында және $C$ мен $D$ арасында жатыр, сондықтан $AB = PA + PB$ және $CD = PC + PD = PA + PB$. Демек, $AB = CD$.
Жауабы: дәлелденді.
№ 19.13
Екі шеңберге ортақ сыртқы жанамаларының $AB$ және $CD$ кесінділері тең болатынын дәлелдеңдер (19.10-сурет).
Қалай ойлаймыз. Сыртқы жанамалар шеңберлерден тыс $P$ нүктесінде қиылысады. Тағы да бір нүктеден жүргізілген жанамалардың теңдігі көмектеседі.
Шешуі. $P$ — сыртқы жанамалардың қиылысу нүктесі, $A$, $C$ — үлкен шеңбермен жанасу нүктелері, $B$, $D$ — кіші шеңбермен жанасу нүктелері болсын. Сонда $PA = PC$ және $PB = PD$. $B$ және $D$ нүктелері сәйкесінше $P$ мен $A$, $P$ мен $C$ арасында жатыр, сондықтан $AB = PA - PB$ және $CD = PC - PD = PA - PB$. Демек, $AB = CD$.
Жауабы: дәлелденді.
№ 19.14
19.11-суретте $DA$, $DB$, $DC$ — жанамалар. $D$ нүктесі $AB$ кесіндісін қандай қатынаста бөледі?
Қалай ойлаймыз. Екі шеңбер $C$ нүктесінде жанасады, $C$ арқылы ортақ жанама өтеді, ол $AB$ ортақ жанамасын $D$ нүктесінде қияды.
Шешуі. $D$ — сыртқы нүкте. $D$-дан бірінші шеңберге $DA$ және $DC$ жанамалары жүргізілген, демек $DA = DC$. Екінші шеңберге — $DB$ және $DC$, демек $DB = DC$. Сонда $DA = DB$, яғни $D$ — $AB$ кесіндісінің ортасы, ол кесіндіні $1:1$ қатынасында бөледі.
Жауабы: екі тең бөліктерге.
№ 19.15
Шеңберден тыс жатқан $M$ нүктесі арқылы $MA$ және $MB$ жанамалары жүргізілген. Шеңбердің $C$ нүктесі арқылы $MA$ және $MB$ кесінділерін сәйкесінше $K$ мен $L$ нүктелерінде қиып өтетіндей жанама жүргізілген (19.12-сурет). $KLM$ үшбұрышының периметрі $C$ нүктесінің орналасуына байланысты болмайтынын дәлелдеңдер.
Қалай ойлаймыз. Периметр — $KM + ML + KL$. $KL$-ді екі бөлікке бөл де, оларды $K$ және $L$ нүктелерінен жүргізілген жанамалармен алмастыр.
Шешуі. $KL = KC + CL$. $K$ нүктесінен шеңберге $KA$ және $KC$ жанамалары жүргізілген, демек $KC = KA$. $L$ нүктесінен $LB$ және $LC$ жүргізілген, демек $CL = LB$. Сонда периметр $P = KM + ML + KC + CL = KM + ML + KA + LB = (KM + KA) + (ML + LB) = MA + MB.$ $MA = MB$ болғандықтан ($M$ нүктесінен жүргізілген жанамалар), $P = 2MA$. Бұл шама тек $M$ нүктесі мен шеңберге байланысты, ал $C$ нүктесінің орнына байланысты емес.
Жауабы: $P_{KLM} = 2MA$, $C$ нүктесіне байланысты емес.
Келесі тақырыпқа дайындаламыз
№ 19.16
Екі шеңбердің неше ортақ нүктелері болуы мүмкін? Мүмкін жағдайларды кескіндеңдер.
Қалай ойлаймыз. Бір теңгені екіншісінің бойымен жылжытып көр: алдымен алыс, содан кейін жанасып, содан кейін үстіне шығып, ақырында біреуі екіншісінің ішінде.
Шешуі.
- Шеңберлер бір-бірінен алыс немесе біреуі екіншісінің ішінде: ортақ нүктесі жоқ.
- Жанасады (сырттай немесе іштей): бір ортақ нүкте.
- Қиылысады: екі ортақ нүкте. Беттескен шеңберлерді мұнда қарастырмаймыз (олардың ортақ нүктелері шексіз көп).
Жауабы: біреу де емес, біреу немесе екеу.
Жадынама
- Түзу мен шеңбердің үш жағдайы $d$ (центрден түзуге дейінгі қашықтық) пен $R$-ге байланысты.
- Жанама жанасу нүктесіндегі радиусқа перпендикуляр; шеңбердің бойындағы нүкте арқылы бір жанама, сыртқы нүкте арқылы екі жанама өтеді, ал ішкі нүкте арқылы біреу де өтпейді.
- Бір сыртқы нүктеден жүргізілген жанама кесінділері тең.