§ 20. Екі шеңбердің өзара орналасуы

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 4 тарау: Шеңбер. Геометриялық салулар. 119–125-беттер.

Нені үйренесің

• Екі шеңбердің орналасу тәсілдерін атауды: бір-бірінен тыс, біреуі екіншісінің ішінде, жанасатын, қиылысатын.
• Орналасуын үш сан бойынша анықтауды: $R_1$, $R_2$ радиустары және центрлердің арақашықтығы $d$.
• Сырттай және іштей жанасуды ажыратуды.
• $d > R_1 + R_2$ болғанда шеңберлердің қиылыспайтынын, ал $d = R_1 + R_2$ болғанда жанасатынын дәлелдеуді.
• Екі шеңберде жатқан нүктелердің ең кіші және ең үлкен арақашықтығы туралы есептерді шығаруды.

Ой қозғау

• Шеңбер дегеніміз не? Жазықтықтың бір нүктеден (центрден) бірдей қашықтықта жатқан барлық нүктелері (қашықтық — радиус).
• Үшбұрыш теңсіздігі дегеніміз не? Үшбұрыштың кез келген қабырғасы қалған екі қабырғасының қосындысынан кіші: $a < b + c$. Бүгін бұл бізге керек болады.
• Суреттегі екі нүктенің арақашықтығын қалай табады? Сызғышты немесе циркульді қойып, олардың арасындағы кесіндіні өлшейді.
• «$R_1 - R_2$ радиустарының айырымы» дегеніміз не? Үлкен радиустан кішісін алып тастаймыз, сондықтан $R_1 > R_2$ болса, айырым әрдайым оң.

Тақырыпты талдаймыз

Қатар жатудың бес тәсілі

Парақта екі шеңбер сал. Олардың ортақ нүктелерінің саны әртүрлі болуы мүмкін.

Ортақ нүктесі жоқ. Мұнда екі жағдай бар: шеңберлер бір-бірінен тыс жатады (орындықтың екі басындағы екі доңғалақ сияқты) немесе біреуі екіншісінің ішінде (суға түскен тастан тараған толқындар сияқты).

Бір ортақ нүктесі бар. Сонда шеңберлер жанасады. Әрқайсысы екіншісінен тыс жатса, жанасу сыртқы болады, қатар жатқан екі тиын сияқты. Кіші шеңбер үлкенінің ішінде жатып, оны іштен жанаса, жанасу ішкі болады.

Екі ортақ нүктесі бар. Шеңберлер қиылысады, эмблемадағы екі сақина сияқты.

Егер шеңберлердің центрі ортақ болса, олар центрлес деп аталады (нысана, ағаш кесіндісіндегі жылдық сақиналар).

📌 Екі әртүрлі шеңбердің 0, 1 немесе 2 ортақ нүктесі болуы мүмкін. Үш және одан көп ортақ нүктесі болуы мүмкін емес.

Бәрін үш сан шешеді

Шеңберлердің радиустары $R_1$ және $R_2$, оның үстіне $R_1 \ge R_2$, ал центрлердің арақашықтығы $O_1O_2 = d$ болсын. Орналасу тек осы сандарға байланысты.

💡 Есте сақтау оңай: алдымен $d$-ны радиустар қосындысымен салыстыр (бұл «сырттан» туралы), содан кейін айырымымен (бұл «ішінен» туралы).

⚠️ Жиі кететін қате. Шеңберлердің ортақ нүктесі болмаса, олар міндетті түрде бір-бірінен тыс жатады деген сөз емес. Біреуі екіншісінің ішінде, матрёшка сияқты, жатуы мүмкін. Қосындыны да, айырымды да міндетті түрде тексер.

$d > R_1 + R_2$ болғанда неге ортақ нүкте жоқ

Бұл — параграфтың бірінші теоремасы. Оны қадам-қадаммен дәлелдейік.

$d < R_1 - R_2$ болғандағы теореманың екінші бөлігі дәл осылай дәлелденеді. Үлкен шеңберден $C$ нүктесін аламыз ($O_1C = R_1$). Сонда $O_2C \ge O_1C - O_1O_2 = R_1 - d > R_2$. Демек, $C$ тағы да екінші шеңберде жатпайды, ал кіші шеңбер үлкенінің ішінде түгел жатыр.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан сұраңыз: «Үстелде екі тиын жатыр, центрлерінің арақашықтығы радиустар қосындысынан артық. Олар қиылыса ала ма?» Өз сөзімен жауап беріп, тиындармен көрсетсін. Дәлелдеудің мәні осы суреттің өзі.

Шеңберлер қашан жанасады

Екінші теорема: егер центрлердің арақашықтығы радиустардың қосындысына немесе айырымына тең болса, шеңберлер жанасады.

$d = R_1 + R_2$ болған жағдайдың дәлелдеу идеясы. $O_1O_2$ кесіндісінде $O_1C = R_1$ болатындай $C$ нүктесін белгілейік. Сонда $O_2C = d - R_1 = R_2$, демек $C$ нүктесі екі шеңберде де жатады. Бірінші шеңбердің кез келген басқа $D$ нүктесі үшбұрыш теңсіздігі бойынша $O_2D > O_1O_2 - O_1D = R_2$ береді, яғни ол екінші шеңберде жоқ. Ортақ нүкте дәл біреу, ал жанасу сыртқы.

$d = R_1 - R_2$ жағдайы да осылай талданады, тек $C$ нүктесін $O_1O_2$ сәулесінен аламыз. Сонда жанасу ішкі болады.

💡 Заңдылықты байқадың ба? Жанасу нүктесі әрдайым центрлер арқылы өтетін түзуде жатады. Бұл есептерде есте сақтауға ыңғайлы.

Үшінші теорема дәлелдеусіз қабылданады: егер $d < R_1 + R_2$ және $d > R_1 - R_2$ болса, шеңберлер екі нүктеде қиылысады.

Өзіңді тексер

• Екі шеңбер бір-біріне қатысты қалай орналасуы мүмкін? Бір-бірінен тыс, біреуі екіншісінің ішінде, жанасады (сырттай немесе іштей), қиылысады.
• Екі шеңбердің неше ортақ нүктесі болуы мүмкін? Бірде-бір, бір немесе екі.
• Қандай шеңберлерді жанасатын, қандай шеңберлерді қиылысатын деп атайды? Жанасатын шеңберлердің дәл бір ортақ нүктесі, қиылысатын шеңберлердің екі ортақ нүктесі бар.
• Қандай шеңберлер центрлес деп аталады? Центрі ортақ шеңберлер.
• Бір шеңбер қашан екіншісінің сыртқы аймағында, қашан ішкі аймағында жатады? $d > R_1 + R_2$ болғанда сыртқы аймағында. $d < R_1 - R_2$ болғанда ішкі аймағында.
• Шеңберлер қашан сырттай, қашан іштей жанасады? $d = R_1 + R_2$ болғанда сырттай, $d = R_1 - R_2$ болғанда іштей.
• Шеңберлер қашан қиылысады? $R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$ болғанда.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 20.1

а) Ортақ нүктесі жоқ; ә) центрлес; б) сырттай жанасатын; в) іштей жанасатын; г) қиылысатын екі шеңбер салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Мұнда бәрін центрлердің арақашықтығы шешеді. Радиустарды таңда да, центрлерді кестедегідей орналастыр.

Шешуі.

1. а) Радиустары 2 см және 3 см, центрлері 7 см қашықтықта ($7 > 5$). Шеңберлер бір-бірінен тыс. Былай да болады: радиустары 5 см және 2 см, центрлері 1 см қашықтықта ($1 < 3$): кішісі үлкенінің ішінде.
2. ә) Циркульдің инесін бір нүктеге қойып, әртүрлі радиуспен, мысалы 2 см және 3 см радиуспен екі шеңбер жүргіз.
3. б) Радиустары 3 см және 2 см, центрлері 5 см қашықтықта.
4. в) Радиустары 4 см және 2 см, центрлері 2 см қашықтықта.
5. г) Радиустары 3 см және 2 см, центрлері 4 см қашықтықта (1 мен 5 арасында).

Жауабы: суреттер жоғарыдағыдай («Тақырыпты талдаймыз» бөліміндегі суреттерді қара).

№ 20.2

Радиусы 3 см-ге тең шеңбер және оның центрінен 5 см қашықтықта жатқан $A$ нүктесі берілген. Центрі $A$ нүктесі болатын және берілген шеңбермен: а) сырттай; ә) іштей жанасатын екінші шеңбердің радиусын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Центрлердің арақашықтығы $d = 5$ см. Сырттай жанасқанда: $d = R_1 + R_2$. Іштей жанасқанда: $d$ радиустардың айырымына тең.

Шешуі.

1. а) Сырттай жанасу: $5 = 3 + r$, сондықтан $r = 2$ см.
2. ә) Іштей жанасу: центрі $A$ болатын шеңбер үлкенірек болуы керек (әйтпесе ол берілген шеңберді орай алмайды, өйткені $d = 5$ радиус 3-тен үлкен). Сонда $5 = r - 3$, бұдан $r = 8$ см.

Жауабы: а) 2 см; ә) 8 см.

№ 20.3

Екі шеңбердің центрлерінің арақашықтығы 5 см. Егер радиустары: а) 2 см және 3 см; ә) 2 см және 2 см болса, олар бір-біріне қатысты қалай орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Радиустардың қосындысы мен айырымын тауып, $d = 5$ санымен салыстыр.

Шешуі.

1. а) $2 + 3 = 5 = d$. Сырттай жанасады.
2. ә) $2 + 2 = 4 < 5$. Арақашықтық радиустар қосындысынан үлкен, ортақ нүктелері жоқ, шеңберлер бір-бірінен тыс жатыр.

Жауабы: а) сырттай жанасады; ә) ортақ нүктелері жоқ, бір-бірінен тыс орналасқан.

№ 20.4

Екі шеңбердің центрлерінің арақашықтығы 2 см. Егер олардың радиустары: а) 3 см және 5 см; ә) 2 см және 5 см болса, олар бір-біріне қатысты қалай орналасқан?

Қалай ойлаймыз. Енді $d$ кішкентай, сондықтан радиустардың айырымына қараймыз.

Шешуі.

1. а) Айырым $5 - 3 = 2 = d$. Іштей жанасады.
2. ә) Айырым $5 - 2 = 3 > 2 = d$. Кіші шеңбер үлкенінің ішінде түгел жатыр, ортақ нүктелері жоқ.

Жауабы: а) іштей жанасады; ә) ортақ нүктелері жоқ, біреуі екіншісінің ішінде.

📕 Оқулықтың соңындағы жауаптарда 20.4 ә) үшін «ортақ нүктелері жоқ, бір-бірінен тыс орналасқан» деп басылған, бірақ дұрысы «ортақ нүктелері жоқ, біреуі екіншісінің ішінде жатыр»: радиустары 2 және 5 болғанда айырым $5 - 2 = 3$, ал $d = 2 < 3$, демек кіші шеңбер үлкенінің ішінде. «Бір-бірінен тыс» деген сөз алдыңғы жаттығудың 20.3 ә) жауабына тән.

№ 20.5

Радиустары 4 см және 6 см болатын шеңберлер: а) сырттай; ә) іштей жанасса, олардың центрлерінің арақашықтығы неге тең?

Шешуі.

1. а) Сырттай жанасу: $d = 4 + 6 = 10$ см.
2. ә) Іштей жанасу: $d = 6 - 4 = 2$ см.

Жауабы: а) 10 см; ә) 2 см.

B деңгейі

№ 20.6

20.8-суретте сақина деп аталатын фигура кескінделген. Осы фигураның анықтамасын тұжырымдаңдар.

Қалай ойлаймыз. Сақина бауырсаққа немесе шайбаға ұқсайды: сыртқы жиегі және «тесігі» бар. Екі шекара да центрі ортақ шеңбер.

Шешуі. Центрі $O$, сыртқы радиусы $R$, ішкі радиусы $r$ ($r < R$) болсын. $X$ нүктесі сақинада жатады, егер оның $O$ нүктесіне дейінгі қашықтығы $r$-ден кем емес және $R$-ден артық емес болса: $r \le OX \le R$.

Жауабы: сақина — центрлері ортақ екі шеңбердің арасындағы жазықтық бөлігі (шеңберлерімен қоса), яғни ортақ центрден $r$-ден $R$-ге дейінгі қашықтықта жатқан нүктелер жиыны.

№ 20.7

20.9-суретте сектор деп аталатын фигура кескінделген. Осы фигураның анықтамасын тұжырымдаңдар.

Қалай ойлаймыз. Сектор — дөңгелектің бір бөлігі, пиццаның немесе бәліштің бір кесегі сияқты.

Шешуі. $O$ центрінен $OA$ және $OB$ екі радиусы жүргізілген. Олар дөңгелекті екі бөлікке бөледі. Осындай әр бөлік радиустарымен қоса сектор деп аталады.

Жауабы: сектор — дөңгелектің екі радиуспен және олардың ұштарының арасындағы шеңбер доғасымен шектелген бөлігі.

№ 20.8

Екі шеңбердің центрлерінің арақашықтығы $d$ және ол $R_1$ мен $R_2$ радиустарының қосындысынан үлкен. Осы шеңберлерде жатқан нүктелердің ең кіші және ең үлкен арақашықтықтарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Шеңберлер бір-бірінен тыс жатыр. Ең жақын және ең алыс нүктелер жұбы центрлер арқылы өтетін түзуде жатады.

Шешуі.

1. $O_1$ центрінен $O_2$ центріне қарай жүреміз. Бірінші шеңбер $O_1$-ден $R_1$ қашықтықта аяқталады, екіншісі $O_2$-ге дейін $R_2$ қашықтықта басталады.
2. Ең кіші арақашықтық: $d - R_1 - R_2$ (шеңберлердің арасындағы саңылау).
3. Ең үлкені: басқа жағынан алғанда $R_1 + d + R_2$.

Жауабы: ең кішісі $d - R_1 - R_2$, ең үлкені $d + R_1 + R_2$.

№ 20.9

Екі шеңбердің центрлерінің арақашықтығы $d$ және ол $R_1$ мен $R_2$ радиустарының айырымынан кіші $R_1 - R_2$ ($R_1 > R_2$). Осы шеңберлерде жатқан нүктелердің ең кіші және ең үлкен арақашықтықтарын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Енді кіші шеңбер үлкенінің ішінде жасырынған. Тағы да центрлер арқылы өтетін түзудің бойымен қараймыз.

Шешуі.

1. Кіші шеңберге ең жақыны — центрлерге қатысты үлкен шеңбердің сол жағында жатқан нүктесі: $R_1 - d - R_2$.
2. Ең алысы: қарама-қарсы жағы, $R_1 + d + R_2$.

Жауабы: ең кішісі $R_1 - R_2 - d$, ең үлкені $R_1 + R_2 + d$.

№ 20.10

Егер бір інжу тастың радиусы 5 мм болса, ұзындығы 50 см моншақ дайындау үшін неше інжу тасы керек болады?

Қалай ойлаймыз. Інжу тастары қатарға тізіліп, бір-біріне тиіп тұр. Әрқайсысы өз диаметрінің ұзындығын алады.

Шешуі.

1. Бір інжу тастың диаметрі: $2 \cdot 5 = 10$ мм $= 1$ см.
2. Моншақтың ұзындығы 50 см, демек, інжу тастары $50 : 1 = 50$.

Жауабы: 50 інжу тасы.

C деңгейі

№ 20.11

Центрлері $O_1$, $O_2$ нүктелері болатын екі шеңбер $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $\angle O_1AO_2 = \angle O_1BO_2$ болатынын дәлелдеңдер (20.10-сурет).

Қалай ойлаймыз. Осы бұрыштар жататын екі үшбұрышты тауып, үшбұрыштардың тең екенін дәлелде.

Шешуі. Берілгені: центрлері $O_1$, $O_2$ болатын шеңберлер $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. Дәлелдеу керек: $\angle O_1AO_2 = \angle O_1BO_2$.

1. $O_1A = O_1B$ — бірінші шеңбердің радиустары.
2. $O_2A = O_2B$ — екінші шеңбердің радиустары.
3. $O_1AO_2$ және $O_1BO_2$ үшбұрыштарының $O_1O_2$ қабырғасы ортақ.
4. Демек, $\triangle O_1AO_2 = \triangle O_1BO_2$ үш қабырғасы бойынша.
5. Тең үшбұрыштардың сәйкес бұрыштары тең: $\angle O_1AO_2 = \angle O_1BO_2$. Дәлелдеу керегі де осы еді.

Жауабы: дәлелденді.

№ 20.12

Центрлері $O_1$, $O_2$ нүктелері болатын екі шеңбер $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады (20.11-сурет). $O_1O_2$ түзуі $AB$ түзуіне перпендикуляр болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $O_1AB$ үшбұрышы теңбүйірлі: $O_1A = O_1B$. Теңбүйірлі үшбұрышта табанына жүргізілген биссектриса биіктік те болады.

Шешуі. Берілгені: сол шеңберлер. Дәлелдеу керек: $O_1O_2 \perp AB$.

1. 20.11-есептен $\triangle O_1AO_2 = \triangle O_1BO_2$, сондықтан $\angle AO_1O_2 = \angle BO_1O_2$.
2. Демек, $O_1O_2$ — $AO_1B$ теңбүйірлі үшбұрышындағы ($O_1A = O_1B$) $AO_1B$ бұрышының биссектрисасы.
3. Теңбүйірлі үшбұрыштың $AB$ табанына жүргізілген биссектрисасы биіктік те болады. Демек, $O_1O_2 \perp AB$.

Жауабы: дәлелденді. (Бірге центрлер сызығы $AB$ кесіндісін тең екіге бөледі.)

№ 20.13

Радиустары бірдей үш шеңбер бір-бірімен қос-қостан жанасады. Олардың центрлері дұрыс үшбұрыштың төбелері болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Радиустары тең жанасатын шеңберлер сырттай жанасады (іштей жанасу тек радиустары әртүрлі болғанда мүмкін). Сонда центрлердің арақашықтығы радиустар қосындысына тең.

Шешуі. Әр шеңбердің радиусы $R$ болсын.

1. Тең шеңберлер іштей жанаса алмайды: онда $d = R - R = 0$, ал бұл — бір шеңбердің өзі. Демек, жанасу сыртқы.
2. $O_1O_2 = R + R = 2R$, $O_2O_3 = 2R$, $O_1O_3 = 2R$.
3. $O_1O_2O_3$ үшбұрышының үш қабырғасы да тең, демек ол дұрыс үшбұрыш.

Жауабы: дәлелденді.

№ 20.14

а) Үш шеңбер; ә) төрт шеңбер; б) бес шеңбер бір-бірімен қос-қостан жанаса ма?

Қалай ойлаймыз. Салып көр. Шеңберлердің өлшемдері әртүрлі болуы мүмкін.

Шешуі.

1. а) Иә. 20.13-тегі үш тең шеңбер қос-қостан жанасады.
2. ә) Иә. 20.13-тегі үш тең шеңберді ал да, кішкентай шеңберді олардың арасындағы алаңға үшеуіне де жанасатындай етіп орналастыр. Немесе үш шеңберді үлкен шеңбердің ішіне оған жанастырып қой.
3. б) Жоқ. Жазықтықта қос-қостан жанасатын бес шеңберді салу мүмкін емес.

Жауабы: а), ә) иә; б) жоқ.

№ 20.15

Радиустары бірдей төрт шеңбер бір-бірімен қос-қостан жанаса ма?

Қалай ойлаймыз. Тең шеңберлердің жанасуы тек сыртқы болады, сондықтан центрлер қос-қостан $2R$ қашықтықта болуы керек.

Шешуі.

1. Үш центр қабырғасы $2R$ болатын дұрыс үшбұрыш құрайды (20.13-есеп).
2. Төртінші центр үшеуінен де $2R$ қашықтықта болуы керек, яғни осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрінде. Бірақ мұндай центрден төбеге дейінгі қашықтық $\frac{2R}{\sqrt{3}}$ тең, ол $2R$-ден кіші.
3. Демек, төртінші тең шеңберді табу мүмкін емес.

Жауабы: жоқ.

№ 20.16

а) Екі шеңбер; ә) үш шеңбер; б) төрт шеңбер; в) $n$ шеңбер қос-қостан қиылысқанда ең көп дегенде неше нүктесі болады? Сәйкес шеңберлерді салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі шеңбер 2 нүктеден артық бермейді. Неше жұп бар екенін санау қалады.

Шешуі.

1. а) Бір жұп: $2$ нүкте.
2. ә) Үш шеңбер, үш жұп: $3 \cdot 2 = 6$.
3. б) Төрт шеңбер, $6$ жұп: $6 \cdot 2 = 12$.
4. в) $n$ шеңбер: жұптар саны $\frac{n(n-1)}{2}$, нүктелер $2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$.
5. Сурет: әр жұп шеңбердің екі ортақ нүктесі болуы тиіс және ешбір үш шеңбер бір нүкте арқылы өтпеуі керек (мысалы, радиустары бірдей, центрлері жылжытылған шеңберлер).

Жауабы: а) 2; ә) 6; б) 12; в) $n(n-1)$.

№ 20.17

а) Екі шеңбер; ә) үш шеңбер; б) төрт шеңбер жазықтықты ең көп дегенде неше бөлікке бөледі? Сәйкес бөліктерді салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр жаңа шеңбер алдыңғылармен неше қиылысу нүктесі болса, сонша жаңа бөлік қосады.

Шешуі.

1. Бір шеңбер жазықтықты 2 бөлікке бөледі (іші және сырты).
2. а) Екінші шеңбер біріншісін екі нүктеде қиып, 2 бөлік қосады: $2 + 2 = 4$.
3. ә) Үшінші шеңбер алдыңғы екеуін $4$ нүктеде қиып, $4$ бөлік қосады: $4 + 4 = 8$.
4. б) Төртінші шеңбер алдыңғы үшеуін $6$ нүктеде қиып, $6$ бөлік қосады: $8 + 6 = 14$.

Жауабы: а) 4; ә) 8; б) 14.

№ 20.18

Жер мен Марс Күнді әртүрлі бұрыштық жылдамдықтармен және радиустары 150 және 228 млн км болатын дөңгелек (шамамен) орбиталар бойымен айналады (20.12-сурет). Жер мен Марстың арасындағы ең үлкен және ең кіші арақашықтықтарды табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Орбиталар — центрі Күнде жатқан екі центрлес шеңбер. Планеталар Күннен шыққан бір сәуледе болғанда ең жақын, ал қарама-қарсы жақтарда болғанда ең алыс.

Шешуі.

1. Ең кіші: $228 - 150 = 78$ млн км.
2. Ең үлкен: $228 + 150 = 378$ млн км.

Жауабы: 378 млн км және 78 млн км.

Келесі тақырыпқа дайындаламыз

№ 20.19

$A$ және $B$ нүктелерін кескіндеңдер. $A$ және $B$ нүктелеріне дейінгі қашықтықтары тең болатын нүктелерді көрсетіңдер.

Қалай ойлаймыз. Бұл — келесі параграфқа дайындық: екі берілген нүктеден бірдей қашықтықта жатқан нүктелерді іздейміз.

Шешуі.

1. $A$ мен $B$ нүктелерін қой, $AB$ кесіндісін жүргіз де, оның $M$ ортасын тап. Ол $A$ мен $B$ нүктелерінен бірдей қашықтықта.
2. $M$ арқылы $AB$ кесіндісіне перпендикуляр жүргіз. Осы перпендикулярдың кез келген нүктесі де $A$ мен $B$ нүктелерінен бірдей қашықтықта: бұл циркульдің инесін осындай нүктеге қойғанда көрінеді.
3. Басқа мұндай нүктелер жоқ.

Жауабы: $AB$ кесіндісіне перпендикуляр және оның ортасы арқылы өтетін түзудің (орта перпендикулярдың) барлық нүктелері.

Жадынама

• Шеңберлердің 0, 1 немесе 2 ортақ нүктесі болады.
• 1-теорема. Егер $d > R_1 + R_2$ немесе $d < R_1 - R_2$ болса, ортақ нүктелер болмайды.
• 2-теорема. Егер $d = R_1 + R_2$ немесе $d = R_1 - R_2$ болса, шеңберлер жанасады.
• 3-теорема. Егер $R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$ болса, шеңберлер екі нүктеде қиылысады.
• Центрлес шеңберлердің центрі ортақ.

Шағын тест