§ 3. Кесінділердің ұзындығын өлшеу

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 тарау: Геометрияның алғашқы мәліметтері. 16–20-беттер.

Нені үйренесің

• Кесіндінің ұзындығы мен екі нүктенің арақашықтығы деген не екенін түсіндіруді.
• Кесіндіні сызғышпен өлшеп, нәтижесін сантиметр мен миллиметрмен жазуды.
• Өлшеудің «қалдықпен» қалай жүретінін, ондық үлестердің қайдан шығатынын түсінуді.
• Ұзындықтың екі қасиетін қолдануды: тең кесінділердің ұзындықтары тең, қосындының ұзындығы ұзындықтардың қосындысына тең.
• Басқа екі нүктенің арасында жатқан нүкте мен кесіндінің ортасы туралы есептерді шығаруды.

Ой қозғау

• Түзудің бойына 5 см және 6 см кесінділерді қатар салсақ, не шығады? Бір ұзын кесінді, оның ұзындығы $5+6=11$ см.
• 1 см-де неше миллиметр бар? Ал 1 дм-де ше? 1 см-де 10 мм, 1 дм-де 100 мм.
• Екі кесіндіні сызғышсыз қалай салыстырамыз? Бірін екіншісінің үстіне бастары сәйкес келетіндей етіп қоямыз: ұшы алысқа кеткені ұзынырақ. Ұштары сәйкес келсе, кесінділер тең.

Тақырыпты талдаймыз

Ұзындық — бұл «өлшем неше рет сыйды»

Партаның ұзындығын білгің келе ме? «Өлшем» аласың (алақан, жіп, метрлік таяқ) да, оның неше рет сыйғанын санайсың. Мұндай өлшемді бірлік кесінді деп атайды. Кесіндінің ұзындығы — оң сан: ол бірлік кесінді мен оның бөліктерінің берілген кесіндіге неше рет сыйғанын көрсетеді.

$AB$ кесіндісін $OE$ бірлік кесіндісімен өлшейік. $OE$-ні $A$ нүктесінен $AB$ сәулесінің бойына қайта-қайта орналастырамыз.

Қалдықты не істейміз? Бірлік кесіндіні 10 тең бөлікке бөлеміз де, қалдықты оныншы үлестермен өлшейміз. Оныншы үлес $CB$-ға дәл 6 рет сыйса, $AB = 2{,}6$ болады. Тағы да құйрық қалса, оныншы үлесті тағы 10-ға бөлеміз, осылай жалғаса береді. Ондық бөлшектер осылай туады.

💡 Кейде процесс аяқталады (ұзындық — ақырлы ондық бөлшек), кейде аяқталмайды (шексіз бөлшек). Егер бірлікті $q$ тең бөлікке бөлсек, ал сондай $p$ бөлік кесіндіге сыйса, ұзындық $\frac{p}{q}$ болады. Мысалы, $q=3$, $p=8$ болғанда $\frac{8}{3}$ шығады.

Ұзындық және арақашықтық

$AB$ кесіндісінің ұзындығын $A$ және $B$ нүктелерінің арақашықтығы деп те атайды. Біз жай ғана $AB$ деп жазамыз: бұл жазу кесіндінің өзін де, оның ұзындығын да білдіреді. Мағынасына қарай оқы: «$AB=5$ см» — «$AB$ кесіндісінің ұзындығы 5 см» деген сөз.

Сызғыш, рулетка және километрлер

Дәптерде біз сызғышпен өлшейміз: сантиметр мен миллиметр (сантиметрдің оныншы үлесі). Жерде рулетка қолданады: бірлігі — метр, $1\text{ м}=100\text{ см}$. Үлкен арақашықтықты, мысалы, Алматыдан Астанаға дейінгіні километрмен өлшейді: $1\text{ км}=1000\text{ м}$.

Ұзындықтың екі қасиеті

📌 1-қасиет. Тең кесінділердің ұзындықтары тең болады. 2-қасиет. Кесінділердің қосындысының ұзындығы олардың ұзындықтарының қосындысына тең: егер $C$ нүктесі $AB$ кесіндісінің бойында жатса, онда $AB = AC + CB$.

Ал кесінділер айырымының ұзындығы неге тең? 2-қасиеттен шығады: $CB = AB - AC$. Яғни айырымның ұзындығы ұзындықтар айырымына тең (үлкенінен кішісін азайтамыз).

🌟 XVIII ғасырдың соңында Францияда ұзындық өлшемдерін ретке келтіру қажет деп шешті. Метр осылай пайда болды. Бұрын әр елдің өз «аршыны», «футы» мен «сажені» болды да, саудагерлерге өте қиын еді.

⚠️ Жиі кететін қате. Әртүрлі бірліктегі сандарды қосады: $3\text{ см}+15\text{ мм}=18$. Алдымен бір бірлікке келтір: $30\text{ мм}+15\text{ мм}=45\text{ мм}$.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан үйдегі кез келген затты екі рет өлшетіңіз: сызғышпен және «өзінің өлшемімен» (қадам, алақан). Сонда «бірлік кесінді» түсінікті болады.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Кесіндінің ұзындығы деп нені айтамыз? Бірлік кесінді мен оның бөліктерінің берілген кесіндіге неше рет сыйғанын көрсететін оң санды.
• Кесіндінің ұзындығы қалай белгіленеді? Кесіндінің өзі сияқты: $AB$ кесіндісінің ұзындығы $AB$ деп жазылады.
• Кесіндінің ұзындығы қалай өлшенеді? Бірлік кесіндіні кесіндінің басынан бастап орналастырады. Бөлік қалса, бірлікті 10 тең бөлікке бөліп, қалдықты оныншы, сосын жүзінші үлестермен және т.с.с. өлшейді.
• Екі нүктенің арақашықтығы деп нені айтамыз? Осы нүктелерді қосатын кесіндінің ұзындығын.
• Кесінділердің ұзындығы үшін қандай қасиеттер орындалады? Тең кесінділердің ұзындықтары тең. Кесінділер қосындысының ұзындығы ұзындықтар қосындысына тең (ал айырымның ұзындығы ұзындықтар айырымына тең).

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 3.1

Сызғышты қолданып, ұзындығы: а) 6 см; ә) 18 мм; б) 1 дм болатын кесінділерді салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Сызғыштың бөлімдерінде адаспау үшін алдымен бәрін бір бірлікке келтір.

Шешуі. а) Сызғыштың нөлін $A$ нүктесіне қойып, «6» бөлімін белгіле, $B$ нүктесі шығады, $AB=6$ см. ә) $18\text{ мм}=1\text{ см }8\text{ мм}=1{,}8$ см: 1 см-ден кейін тағы 8 ұсақ бөлім белгіле. б) $1\text{ дм}=10\text{ см}$: «10» белгісіне дейінгі кесінді.

Жауабы: ұзындығы 6 см, 18 мм (яғни 1,8 см) және 10 см үш кесінді.

№ 3.2

Торкөз қағазға 3.4-суретте көрсетілгендей $AB$, $CD$, $EF$ кесінділерін салыңдар. Олардың ұзындығын сызғыш көмегімен өлшеңдер.

Қалай ойлаймыз. Сурет торкөзде: алдымен нүктелерді тор бойынша қоямыз, сосын қосамыз. $AB$ үшін $A$-дан 2 тор оңға және 2 жоғары; $CD$ үшін 4 оңға және 2 жоғары; $EF$ үшін 4 оңға және 1 жоғары.

Шешуі. Тор көзі 5 мм болса (қарапайым дәптердегідей), тор диагональдары бойынша: $AB=2\sqrt2$ тор $\approx 2{,}8$ тор, яғни шамамен 14 мм; $CD=\sqrt{20}\approx4{,}5$ тор, шамамен 22 мм; $EF=\sqrt{17}\approx4{,}1$ тор, шамамен 21 мм. Өз сызғышыңмен осыған жуық мәндер аласың, 1 мм қателік қалыпты.

Жауабы: шамамен $AB\approx14$ мм, $CD\approx22$ мм, $EF\approx21$ мм (тор көзі 5 мм дәптерде).

№ 3.3

3.5-суретте $AB=CD$, $AC=6$ см. $BD$-ны табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AC$ мен $BD$-ны бөліктердің қосындысы етіп жазып, салыстырамыз.

Шешуі. Берілгені: $AB=CD$, $AC=6$ см. Табу керек: $BD$.

1. $AC=AB+BC$.
2. $BD=BC+CD$.
3. $AB=CD$ болғандықтан, оң жақтары тең, демек $BD=AC=6$ см.

Жауабы: $BD=6$ см.

№ 3.4

3.5-суретте $AC=BD$, $AC=10$ см, $CD=4$ см. $BC$ кесіндісінің ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AC$ мен $BD$-ны тағы да бөліктерге жіктейміз. $AC=BD$ теңдігі $AB=CD$ екенін көрсетеді.

Шешуі.

1. $AC=AB+BC$ және $BD=BC+CD$. $AC=BD$ болғандықтан, $AB=CD=4$ см.
2. $BC=AC-AB=10-4=6$ см.

Жауабы: $BC=6$ см.

B деңгейі

№ 3.5

$C$ нүктесі түзудегі $A$ мен $B$ нүктелерінің арасында жатыр. Егер: а) $AC=2$ см, $CB=3$ см; ә) $AC=3$ дм, $CB=4$ дм; б) $AC=12$ м, $CB=5$ м болса, $AB$ кесіндісінің ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Нүкте басқа екі нүктенің арасында жатса, бүкіл кесіндінің ұзындығы бөліктер ұзындықтарының қосындысына тең.

Шешуі. $AB=AC+CB$. а) $2+3=5$ см. ә) $3+4=7$ дм. б) $12+5=17$ м.

Жауабы: а) 5 см; ә) 7 дм; б) 17 м.

№ 3.6

Түзудің бір жағында $OE=5$ см, $EF=30$ мм, $FG=15$ мм, $GH=11$ см кесінділері орналасқан. а) $OF$; ә) $OH$; б) $EG$; в) $FH$ кесінділерін табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен бәрін сантиметрге ауыстырамыз: $EF=3$ см, $FG=1{,}5$ см. Сосын қатар жатқан керекті кесінділерді қосамыз.

Шешуі. а) $OF=OE+EF=5+3=8$ см. ә) $OH=OE+EF+FG+GH=5+3+1{,}5+11=20{,}5$ см. б) $EG=EF+FG=3+1{,}5=4{,}5$ см. в) $FH=FG+GH=1{,}5+11=12{,}5$ см.

Жауабы: а) 8 см; ә) 20,5 см; б) 4,5 см; в) 12,5 см.

№ 3.7

$A$, $B$ және $C$ нүктелері бір түзуге тиісті. Егер $AB=4$ см, $AC=7$ см, $BC=3$ см екені белгілі болса, онда $A$, $B$, $C$ нүктелерінің қайсысы қалған екеуінің арасында жатыр?

Қалай ойлаймыз. Түзудегі үш нүктенің бірі қалған екеуінің арасында жатады, сонда ең ұзын арақашықтық қалған екеуінің қосындысына тең.

Шешуі. Ең ұзын кесінді $AC=7$. Тексереміз: $AB+BC=4+3=7=AC$. Демек, $A$ мен $C$ арасында $B$ нүктесі жатыр.

Жауабы: $B$ нүктесі $A$ мен $C$ арасында жатыр.

№ 3.8

Егер $AB=2$ см, $BC=3$ см, $AC=4$ см болса, онда $A$, $B$, $C$ нүктелері бір түзудің бойында жатуы мүмкін бе?

Қалай ойлаймыз. Нүктелер бір түзуде жатса, үлкен кесінді қалған екеуінің қосындысына тең.

Шешуі. Ең ұзын кесінді $AC=4$. Қалған екеуінің қосындысы $2+3=5\ne4$. Шарт орындалмайды.

Жауабы: жоқ, жатуы мүмкін емес.

№ 3.9

$A$, $B$ және $C$ нүктелері бір түзуге тиісті. Егер $AC=3$ см, $BC=5$ см болса, онда $B$ нүктесі $AC$ кесіндісіне тиісті ме?

Қалай ойлаймыз. $B$ нүктесі $AC$ кесіндісінде жатса, $BC$ кесіндісі $AC$-ның бөлігі болар еді де, одан ұзын бола алмас еді.

Шешуі. $BC=5>AC=3$. Бөлік бүтіннен үлкен болмайды, демек $B$ нүктесі $AC$ кесіндісінде жатпайды.

Жауабы: жоқ, тиісті емес.

№ 3.10

Егер үлкен $AB$ кесіндісінің ұзындығы $AC$ мен $BC$ кесінділері ұзындықтарының қосындысынан кіші болса, онда $A$, $B$, $C$ нүктелері бір түзудің бойында жатуы мүмкін бе?

Қалай ойлаймыз. № 3.7 ережесін еске түсір: түзуде үлкен кесінді қалған екеуінің қосындысына тең.

Шешуі. Үш нүкте бір түзуде жатса, олардың бірі қалған екеуінің арасында жатады, сонда $AB=AC+BC$ (ең үлкен кесінді — қалған екеуінің қосындысы). Ал шарт бойынша $AB<AC+BC$. Қарама-қайшылыққа келдік.

Жауабы: жоқ, жатуы мүмкін емес.

№ 3.11

$AB=10$ см, $BC=5$ см кесінділері түзудің бойында жатыр. Егер: а) $B$ нүктесі $A$ мен $C$ нүктелерінің арасында; ә) $C$ нүктесі $A$ мен $B$ нүктелерінің арасында жатса, $AC$ неге тең?

Қалай ойлаймыз. Екі жағдайды сызамыз: нүктелердің орнына қарай қосамыз немесе азайтамыз.

Шешуі. а) $AC=AB+BC=10+5=15$ см. ә) $C$ нүктесі $A$ мен $B$ арасында, демек $AB=AC+CB$, одан $AC=AB-CB=10-5=5$ см.

Жауабы: а) 15 см; ә) 5 см.

№ 3.12

$AB$ мен $CD$ кесінділері $O$ нүктесінде қиылысады және сол нүктеде қақ бөлінеді. $AO=2CO$ екені белгілі. $AB$ мен $CD$ кесінділерін салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. «Қақ бөлінеді» дегеніміз — $O$ нүктесі әр кесіндінің ортасы, сондықтан $AB=2AO$ және $CD=2CO$.

Шешуі.

1. $AB=2\cdot AO$, $CD=2\cdot CO$.
2. $AO=2CO$, сондықтан $AB=2\cdot2CO=4CO$.
3. $CD=2CO$, демек $AB=2\cdot CD$.

Жауабы: $AB=2CD$, $AB$ кесіндісі екі есе ұзын.

№ 3.13

Екі кесіндінің қосындысы 6 см-ге тең, ал олардың айырымы 2 см. Кесінділердің ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қосындыдан айырымды алсақ, екі кіші кесінді қалады.

Шешуі. Үлкені $x$, кішісі $y$ болсын. $x+y=6$, $x-y=2$. Қоссақ: $2x=8$, $x=4$. Сонда $y=6-4=2$. Тексеру: $4+2=6$, $4-2=2$.

Жауабы: 4 см және 2 см.

№ 3.14

Ұзындығы 15 м болатын $AB$ кесіндісінде $C$ нүктесі белгіленген. а) $AC$ кесіндісі $BC$ кесіндісінен 3 м-ге ұзын; ә) $AC$ кесіндісі $BC$ кесіндісінен екі есе ұзын; б) $AC$ мен $BC$ кесінділері ұзындықтарының қатынасы $2:3$ болса, $AC$ мен $BC$ кесінділерінің ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Қысқа бөлікті $x$ деп белгілеп, екіншісін сол арқылы жазамыз. Сосын $AC+BC=15$.

Шешуі. а) $BC=x$, $AC=x+3$. $x+x+3=15$, $2x=12$, $x=6$. $BC=6$ м, $AC=9$ м. ә) $BC=x$, $AC=2x$. $3x=15$, $x=5$. $BC=5$ м, $AC=10$ м. б) Кесінді $2+3=5$ бөлікке бөлінген, бір бөлік $15:5=3$ м. $AC=2\cdot3=6$ м, $BC=3\cdot3=9$ м.

Жауабы: а) $AC=9$ м, $BC=6$ м; ә) $AC=10$ м, $BC=5$ м; б) $AC=6$ м, $BC=9$ м.

№ 3.15

Түзудің бойынан $AB=3$ см, $BC=5$ см, $CD=4$ см болатындай $AB$, $BC$ және $CD$ кесінділері орналасқан. $AB$ мен $CD$ кесінділері орталарының арақашықтығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AB$ кесіндісінің ортасы $M$, $CD$ кесіндісінің ортасы $N$ болсын. $M$-нен $N$-ге дейінгі жол үш бөліктен тұрады.

Шешуі.

1. $MB=\frac{AB}{2}=1{,}5$ см.
2. $BC=5$ см.
3. $CN=\frac{CD}{2}=2$ см.
4. $MN=1{,}5+5+2=8{,}5$ см.

Жауабы: 8,5 см.

№ 3.16

Түзудің бойынан $AB=60$ мм, $AC=100$ мм болатындай $A$ нүктесінен бір бағытта $AB$ мен $AC$ кесінділері орналасқан. а) $BC$ кесіндісінің ұзындығын; ә) $A$ нүктесінен $BC$ кесіндісінің ортасына дейінгі қашықтықты; б) $AB$ мен $AC$ кесінділері орталарының арақашықтығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі кесінді де $A$-дан бір жаққа кетеді, демек $B$ нүктесі $A$ мен $C$ арасында жатыр (60 саны 100-ден кіші).

Шешуі. а) $BC=AC-AB=100-60=40$ мм. ә) $BC$ ортасы — $M$ нүктесі, $BM=20$ мм. $AM=AB+BM=60+20=80$ мм. б) Орталары: $K$ — $AB$-ның ортасы, $AK=30$ мм; $L$ — $AC$-ның ортасы, $AL=50$ мм. $KL=50-30=20$ мм.

Жауабы: а) 40 мм; ә) 80 мм; б) 20 мм.

№ 3.17

$A$, $B$, $C$ үш ауыл түзу жол бойында орналасқан. $A$ мен $B$ ауылдарының арақашықтығы 2 км, ал $A$ мен $C$ арасы 5 км. $B$ мен $C$ ауылдарының арақашықтығы неге тең? Есептің неше шешімі бар?

Қалай ойлаймыз. $B$ ауылы $A$-ның кез келген жағында тұра алады. Екі жағдайды да сызамыз.

Шешуі.

1. $B$ нүктесі $A$ мен $C$ арасында: $BC=AC-AB=5-2=3$ км.
2. $A$ нүктесі $B$ мен $C$ арасында: $BC=AB+AC=2+5=7$ км. Басқа орналасу жоқ, демек екі шешім бар.

Жауабы: $BC=3$ км немесе $BC=7$ км; екі шешім.

№ 3.18

Сызғыш бөліктерін қолданбай, 2 м таспаның 150 см бөлігін қалай кесіп алуға болады?

Қалай ойлаймыз. $2\text{ м}=200\text{ см}$. 150 см кесіп алу керек, демек $200-150=50$ см қалады, яғни таспаның төрттен бірі. Төрттен бірін бүктеу арқылы алуға болады.

Шешуі.

1. Таспаны қақ бүк: 100 см шығады.
2. Тағы бір рет қақ бүк: төрттен бірі, 50 см шығады.
3. Осы төрттен бірін кесіп ал. Қалған бөлігі: $200-50=150$ см.

Жауабы: таспаны ортасынан бүктеп, тағы ортасынан бүктеп, шыққан төрттен бір бөлігін кесу керек; қалған бөлігі 150 см болады.

C деңгейі

№ 3.19

Түзудегі бір нүктеде бір бағытта үш тең кесінді орналасқан. Бірінші кесіндінің ұшы екінші кесіндінің ортасы, ал екінші кесіндінің ұшы үшінші кесіндінің ортасы болып келеді. Ұштары бірінші кесіндінің басы мен үшінші кесіндінің ұшы болатын кесіндінің ұзындығы 28 см. Осы кесінділердің ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Кесінділер бір нүктеден шығып, бір жаққа кетеді. Бірінші кесіндінің ұзындығы $a$ болсын. Оның ұшы екінші кесіндінің ортасы болса, екінші кесінді екі есе ұзын. Нүктелерді түзудің бойына белгілеп сыз.

Шешуі.

1. Бірінші: $0$-ден $a$-ға дейін, ұзындығы $a$.
2. Екінші: ортасы $a$ нүктесінде, ал басы $0$-де, демек ұзындығы $2a$.
3. Үшінші: ортасы $2a$ нүктесінде, басы $0$-де, демек ұзындығы $4a$.
4. Бірінші кесіндінің басынан үшінші кесіндінің ұшына дейінгі қашықтық $4a=28$ см.
5. $a=7$ см. Кесінділер: 7 см, 14 см, 28 см.

Жауабы: 7 см, 14 см және 28 см.

📕 Есептің шартында «үш тең кесінді» деп басылған, бірақ тең кесінділер үшін шарт орындалмайды (олардың орталары мен ұштары бұлайша сәйкес келмейді). Оқулықтың жауабы — 7 см, 14 см, 28 см: яғни кесінділер тең емес, ұзындықтары $1:2:4$ қатынасындай. Біз осы жауапты шығардық.

№ 3.20

Газет парағының қалыңдығы 0,1 мм-ге тең. Газет парағын екі бүктеп, сосын тағы бүктеп, сонымен 50 рет бүктелді делік. Егер мұндай бүктеу мүмкін болса, бүктеменің қалыңдығы қандай болады?

Қалай ойлаймыз. Әр бүктеу қалыңдықты екі еселейді: $n$ рет бүктегенде $2^n$ қабат шығады.

Шешуі.

1. 50 рет бүктегенде қабат саны $2^{50}\approx1{,}13\cdot10^{15}$.
2. Қалыңдығы $0{,}1\cdot1{,}13\cdot10^{15}\approx1{,}13\cdot10^{14}$ мм.
3. Ауыстырамыз: $10^{14}$ мм — бұл $10^{11}$ м, яғни $10^{8}$ км. Шамамен $1{,}1\cdot10^{8}$ км шығады, яғни шамамен 112 миллион километр.

Салыстыру үшін: Айға дейін шамамен 384 мың километр, ал Күнге дейін — шамамен 150 миллион.

Жауабы: 1 млн км-ден астам (шын мәнінде шамамен 112 млн км).

№ 3.21

XVIII ғасырдың соңындағы әр елдің өлшем бірліктері туралы не білесіңдер? Ұзындықтың өлшем бірлігінің эталонына метрді қабылдау себебі неде?

(Хабарлама дайындаңдар.)

Қалай ойлаймыз. Бұл — хабарлама тапсырмасы, оқулықта жауабы жоқ. Міне, 4–5 сөйлемдік жоспар.

Шешуі.

1. XVIII ғасырдың соңына дейін әр елде (жиі әр қалада) өз ұзындық өлшемдері болды: Ресейде аршын мен сажень, Англияда фут пен дюйм, Францияда туаз.
2. Бұл сауда мен ғылымға кедергі келтірді: бір «фут» әртүрлі ұзындықта болды.
3. Францияда 1790-жылдары жер меридианының ұзындығын негізге алуға шешті: метр Солтүстік полюстен экваторға дейінгі қашықтықтың он миллионнан бір бөлігіне тең деп қабылданды.
4. Метрдің эталонын жасады, содан бері метр — барлық дерлік елдер қолданатын бірыңғай өлшем.
5. Өз өмірінен мысал: қазақтың ескі өлшемдері — «қарыс» (керілген саусақтар арасы) және «құлаш» (екі қолды жайғандағы ара).

Жауабы: жоғарыдағы жоспар бойынша хабарлама.

📕 Қазақша басылымның тапсырмасында «XVII ғасырдың соңы» деп басылған, бірақ метр жүйесі XVIII ғасырдың соңында (1790-жылдары) Францияда пайда болды. Сондықтан біз «XVIII ғасыр» деп жаздық.

№ 3.22

*Ортақ төбесі бар: а) екі сәуле; ә) үш сәуле; б) төрт сәуле; в) $n$ сәуле жазықтықты неше бөлікке бөледі?

Қалай ойлаймыз. Бір нүктеден шығатын сәулелерді сыз: әр жаңа сәуле бір бөлікті екіге бөледі. Бірақ ең бірінші сәуле ешнәрсені бөлмейді.

Шешуі. а) Ортақ төбесі бар екі сәуле жазықтықты 2 бөлікке бөледі. ә) Үшінші сәуле бір бөлікті кеседі, 3 шығады. б) Төртінші тағы бір бөлікті кеседі, 4 шығады. в) Әрбір келесі сәуле бір бөлік қосады, демек $n$ сәуле $n$ бөлік береді.

Жауабы: а) 2; ә) 3; б) 4; в) $n$.

Жадынама

• Бірлік кесінді — бірлік ретінде алынған кесінді. Қалдықты оныншы, жүзінші үлестермен және т.с.с. өлшейді.
• Кесіндінің ұзындығы — бірлік (және оның бөліктері) кесіндіге неше рет сыйғанын көрсететін сан.
• Нүктелердің арақашықтығы — оларды қосатын кесіндінің ұзындығы.
• Ұзындықтың қасиеттері: тең кесінділердің ұзындықтары тең; қосындының ұзындығы ұзындықтар қосындысына тең.

Шағын тест