§ 5. Бұрыштарға амалдар қолдану. Бұрыштардың теңдігі

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 тарау: Геометрияның алғашқы мәліметтері. 25–33-беттер.

Нені үйренесің

• Бұрышты сәуледен бастап салуды және «бұрыш бұрышқа тең» дегеннің мағынасын түсінуді.
• Бұрыштарды салыстыруды, қосуды және азайтуды.
• Сүйір, тік, доғал және жазыңқы бұрыштарды ажыратуды; биссектрисаны табуды.
• Вертикаль бұрыштардың тең болатынын дәлелдеуді.
• Қиылысқан түзулердің арасындағы бұрышты табуды және қандай түзулердің перпендикуляр болатынын білуді.

Ой қозғау

• Бұрыш дегеніміз не? Ортақ бастауы бар екі сәуледен тұратын фигура. Сәулелер — бұрыштың қабырғалары, ортақ нүкте — төбесі.
• Қандай бұрыштар сыбайлас деп аталады? Олардың бір қабырғасы ортақ, ал қалған екі қабырғасы бір түзуде жатып, бір-бірінің жалғасы болады.
• Жазыңқы бұрыш дегеніміз не? Қабырғалары бір түзудің бойында жатып, бір-бірін түзуге дейін толықтыратын бұрыш.
• Бұрыштың ішінен сәуле жүргізсек, неше бөлік шығады? Екі жаңа бұрыш, олар үлкен бұрыштың ішіне симады.

Тақырыпты талдаймыз

Бұрышты қалай саламыз және бұрыштар қашан тең болады

Қағаздан бұрышты қиып алдық делік. Оның төбесін сәуленің бастауына қой, бір қабырғасын осы сәуленің бойымен жат. Екінші қабырғасы сәуленің бір жағына қарай жатады. Міне, осылай бұрышты сәуледен бастап саламыз.

Егер бір бұрышты екіншісінің үстіне қойғанда қабырғалары беттесіп кетсе, онда бұрыштар тең. Былай жазамыз: $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$.

📌 1-аксиома. Жартыжазықтықтағы әрбір сәуледен бастап берілген бұрышқа тең тек бір ғана бұрышты салуға болады.

📌 2-аксиома. Барлық жазыңқы бұрыштар тең болады.

Үлкен және кіші

$AOB$ бұрышын $O_1A_1$ сәулесінен бастап $O_1B_1$ сәулесі жатқан жаққа қарай салайық. Егер оның екінші қабырғасы $A_1O_1B_1$ бұрышының ішіне түссе, онда $\angle AOB < \angle A_1O_1B_1$. Оқылуы: $AOB$ бұрышы кіші, ал $A_1O_1B_1$ бұрышы үлкен.

Бұрыштар қандай болады

• Тік бұрыш — өзінің сыбайлас бұрышына тең бұрыш. Ол дәптер парағының бұрышындай.
• Сүйір бұрыш — тік бұрыштан кіші.
• Доғал бұрыш — тік бұрыштан үлкен, бірақ жазыңқы бұрыштан кіші.

Өзің байқап көр: тік бұрыш шыққанша сәулені бұр.

Биссектриса — «екіге бөлуші»

Бұрыштың биссектрисасы — бұрыштың ішінен өтіп, оны екі тең бұрышқа бөлетін сәуле. Қағаз бұрышын диагональ бойымен дәл бүктегенде, бүктелген сызық биссектриса болады.

Бұрыштардың қосындысы мен айырымы

$AOB$ бұрышының ішінен $OC$ сәулесін жүргізейік. Екі бұрыш шықты: $AOC$ және $COB$. Сонда $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$. Бұл — бұрыштардың қосындысы. Ал $AOC$ және $COB$ бұрыштарының әрқайсысы — $AOB$ бұрышы мен екіншісінің айырымы: $\angle AOC = \angle AOB - \angle COB$.

$AOB$ және $CO_1D$ екі бұрышын қосу үшін екіншісін $OB$ қабырғасынан бастап $A$ мен $D$ нүктелері $OB$ түзуінің екі жағында жататындай етіп саламыз. $AOE$ бұрышы шығады — бұл қосынды.

💡 Азайтуды да осы үлгімен анықта: үлкен бұрыштан кішісін салып, не қалғанын қарап көр.

Теорема: вертикаль бұрыштар тең болады

Қиылысқан екі түзу төрт бұрыш құрайды. Қабырғалары бір-бірін түзуге дейін толықтыратын бұрыштар вертикаль бұрыштар деп аталады.

📌 Теорема. Вертикаль бұрыштар тең болады.

🌟 Бұл теореманы курстағы алғашқы теорема дейді: осыған дейін біз тек анықтама беріп, аксиома қабылдадық, ал мұнда алғаш рет басқа фактілерге сүйеніп, бір фактіні дәлелдедік.

Түзулер арасындағы бұрыш және перпендикуляр

Қиылысқан екі түзу қиылысу нүктесінде төрт сәулеге бөлініп, төрт бұрыш құрайды. Түзулер арасындағы бұрыш — олардың ең кішісі. Сондықтан ол ешқашан тік бұрыштан үлкен болмайды.

Егер түзулер арасындағы бұрыш тік бұрыш болса, онда түзулер перпендикуляр деп аталады: $a \perp b$. Дәптердегі торкөз сызықтары дәл осылай қиылысады.

⚠️ Жиі кететін қате. Түзулер арасындағы бұрыш доғал болуы мүмкін деп ойлайды. Бірақ төрт бұрыштың ең кішісі алынады. Көрші екі бұрыштың қосындысы 180°, сондықтан олардың бірі 90°-тан аспайды. Яғни түзулер арасындағы бұрыш ешқашан доғал болмайды.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан қағаздан бұрыш қиып алғызып, суреттегі бірнеше бұрыштың «тең, үлкен, кіші» екенін сонымен тексерткізіңіз. Бұл кез келген түсіндіруден пайдалырақ.

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай бұрыштар тең бұрыштар деп аталады? Біреуін екіншісінің үстіне қойғанда қабырғалары беттесетін бұрыштар.
• Бұрыштардың теңдігі қалай белгіленеді? Теңдік таңбасымен: $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$.
• Бір бұрыш басқа бұрыштан кіші болса, нені білдіреді? Егер оны екінші бұрыштың сәулесінен бастап салсақ, екінші қабырғасы үлкен бұрыштың ішіне түседі. Былай жазады: $\angle AOB < \angle A_1O_1B_1$.
• Қандай бұрыштарды сүйір, тік, доғал дейміз? Сүйір — тік бұрыштан кіші. Тік — өзінің сыбайлас бұрышына тең. Доғал — тік бұрыштан үлкен, бірақ жазыңқы бұрыштан кіші.
• Бұрыштың биссектрисасы деп нені айтады? Бұрыштың ішінен өтіп, оны екі тең бұрышқа бөлетін сәуле.
• Екі бұрыштың қосындысы мен айырымы қалай анықталады? Қосынды: екінші бұрышты біріншісінің қабырғасынан бастап, ортақ қабырғаның екі жағында жататындай етіп саламыз; шыққан жаңа бұрыш — қосынды. Айырым: үлкен бұрыштан кішісін саламыз, қалғаны — айырым. $AOB$ бұрышының ішінен $OC$ сәулесін жүргізсек, $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.
• Вертикаль бұрыштар туралы теореманы тұжырымдаңдар. Вертикаль бұрыштар тең болады.
• Қиылысқан түзулер арасындағы бұрыш деп нені айтады? Түзулердің қиылысу нүктесінде құралған бұрыштардың ең кішісін.
• Қандай түзулер перпендикуляр түзулер деп аталады? Тік бұрыш жасап қиылысатын түзулер.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 5.1

Торкөз қағазға салынған а)–ж) бұрыштарының (5.10-сурет) ішінен тең бұрыштарды атаңдар.

Қалай ойлаймыз. Қабырғалардың торкөз бойымен қалай жүретініне қараймыз. Бірдей салынған бұрыштарды бір-бірімен беттестіруге болады.

Шешуі.

1. а), г), ж) бұрыштары: бір қабырғасы тор сызығымен жүреді, екіншісі сол сызық бойымен 1 торкөзге, ал көлденеңінен 2 торкөзге ауытқиды. Бұрыштар бірдей салынған, демек тең.
2. ә), в), е) бұрыштары: екінші қабырғасы торкөздердің диагоналімен жүреді, яғни бойымен қанша торкөз болса, көлденеңінен де сонша. Олар тең.
3. б), ғ), д) бұрыштары: қабырғалары тор сызықтарымен жүріп, дәптер парағының бұрышындай, яғни тік бұрыш құрайды. Олар тең.

Жауабы: а), г) және ж); ә), в) және е); б), ғ) және д).

№ 5.2

5.11-суретте көрсетілген бұрыштардың қайсысы үлкен: $ABC$ ма, әлде $PQR$ ма?

Қалай ойлаймыз. Торкөздер бойынша салыстырамыз: екінші қабырға біріншіден қаншалықты тік көтеріледі.

Шешуі.

1. $ABC$ бұрышында $BC$ қабырғасы көлденеңнен өте жайлап көтеріледі: оңға қарай әр 2 торкөзге тек 1 торкөз жоғары. Бұрыш үлкен емес.
2. $PQR$ бұрышында $QR$ қабырғасы торкөздердің диагоналімен жүреді: оңға қанша, жоғары да сонша. Бұл тіктеу, бұрыш үлкен.
3. Егер $\angle ABC$-ны $QP$ сәулесінен бастап салсақ, оның қабырғасы $PQR$ бұрышының ішіне түседі, демек $\angle ABC < \angle PQR$.

Жауабы: $PQR$ бұрышы үлкен.

№ 5.3

5.12-суретте көрсетілген 1–6 бұрыштарын өсу ретімен орналастырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Алдымен тік және доғал бұрышты белгілейміз, содан кейін сүйір бұрыштарды «тіктігі» бойынша ретке келтіреміз.

Шешуі.

1. 4-бұрыш доғал (қабырғасы диагональ бойымен «артқа» кетеді): ол ең үлкені.
2. 1-бұрыш тік: ол соңынан екінші.
3. Сүйір бұрыштар: 3, 2, 5, 6. 3-бұрышта екінші қабырға біріншіге дерлік жабысып тұр (бойымен 3 торкөз, көлденеңінен 1): ол ең кішісі. Содан кейін 2 (бойымен 2, көлденеңінен 1), сосын 5 (бойымен 3, көлденеңінен 2) және 6 (диагональ).

Жауабы: 3, 2, 5, 6, 1, 4.

№ 5.4

5.13-суретте көрсетілгендей торкөз қағазға $AOB$ бұрышы мен $PQ$ сәулесін салыңдар. $PQ$ сәулесінен $AOB$ бұрышына тең $QPR$ бұрышын салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Тең бұрыш салу үшін бастапқы бұрыштағы «торкөз бойынша қадамдарды» қайталаймыз.

Шешуі (а жағдайы).

1. $OB$ сәулесі торкөздердің диагоналімен жүреді: $O$ нүктесінен оңға 3, жоғары 3. $OA$ сәулесі тор сызығымен оңға жүреді. Демек, $\angle AOB$ — көлденең мен диагональ арасындағы 45° бұрыш.
2. $PQ$ сәулесі тігінен жүреді. Одан дәл осындай бұрыш саламыз: $P$ нүктесінен жоғары 2 және оңға 2 торкөз жүреміз. Диагональдағы $R$ нүктесі шығады.
3. $PR$ сәулесін жүргіз. Тік пен диагональ арасындағы $QPR$ бұрышы да 45°.

Шешуі (ә жағдайы). $PQ$ сәулесі де $OB$ сияқты диагональ бойымен жүреді (оңға 3, жоғары 3). $AOB$ бұрышына (45°) тең бұрыш саламыз: диагональдан не көлденеңнен, не тігінен кетуге болады. Мысалы, $P$ нүктесінен тор сызығы бойымен оңға 3 торкөз жүріп, $PR$ сәулесін аламыз. Сонда $QPR$ бұрышы $AOB$ бұрышын қайталайды.

Жауабы: а) $PR$ сәулесі $P$ нүктесінен диагональ бойымен «оңға 2, жоғары 2» жүреді; ә) $PR$ сәулесі $P$ нүктесінен тор сызығы бойымен (оңға 3) жүреді және $\angle QPR = \angle AOB$.

№ 5.5

Түзулердің арасындағы бұрыш: а) тік; ә) доғал бола ма?

Қалай ойлаймыз. Еске түсірейік: түзулер арасындағы бұрыш — төрт бұрыштың ең кішісі.

Шешуі. а) Бола алады. Түзулер перпендикуляр болғанда төрт бұрыштың бәрі тік. ә) Болмайды. Төрт бұрыштың ішінде (екі жұп вертикаль бұрыш, сыбайластардың қосындысы 180°) тік бұрыштан аспайтыны бар, дәл соны алады.

Жауабы: а) иә; ә) жоқ.

№ 5.6

Қиылысқан екі түзуде неше: а) сүйір; ә) тік; б) доғал бұрыштар болуы мүмкін?

Қалай ойлаймыз. Бұрыштар вертикаль жұптар болып орналасады. Сыбайластардың қосындысы 180°.

Шешуі. Егер түзулер перпендикуляр болмаса: екі вертикаль бұрыш сүйір, қалған екеуі доғал (сыбайластардың қосындысы 180°). Егер перпендикуляр болса: төртеуі де тік.

Жауабы: а) 2; ә) 4; б) 2 (жалпы жағдайда: екі жұп вертикаль бұрыш, сүйір және доғал; түзулер перпендикуляр болса, төртеуі де тік).

B деңгейі

№ 5.7

5.14-суретінде көрсетілген сәулелерден құралған жазыңқы бұрыштан үлкен қанша бұрыш бар?

Қалай ойлаймыз. Ортақ бастауы бар кез келген екі сәуле екі бұрыш құрайды: біреуі жазыңқы бұрыштан кіші, екіншісі үлкен (сәулелер бір түзуде жатпаса).

Шешуі.

1. Сәуле төртеу. Сәуле жұптары: $OA$–$OB$, $OA$–$OC$, $OA$–$OD$, $OB$–$OC$, $OB$–$OD$, $OC$–$OD$. Барлығы 6.
2. Әр жұп үшін екі бұрыштың бірі жазыңқы бұрыштан үлкен. Суреттегі сәулелердің ішінде бір түзуде жататын жұп жоқ: онда екі бұрыштың екеуі де жазыңқы болар еді.

Жауабы: 6.

№ 5.8

5.14-суретте бейнеленген сәулелерден құралған қанша: а) сүйір; ә) тік; б) доғал бұрыш бар?

Қалай ойлаймыз. 6 сәуле жұбын түгел қарап шығамыз. Жазыңқы бұрыштан кіші бұрыштарды санаймыз. Есте болсын: $OC$ тік, $OA$ көлденең жатыр.

Шешуі.

• $\angle AOB$ — сүйір, $\angle BOC$ — сүйір, $\angle COD$ — сүйір.
• $\angle AOC$ — тік, $\angle BOD$ — да тік.
• $\angle AOD$ — доғал.

Жауабы: а) 3; ә) 2; б) 1.

№ 5.9

Сыбайлас бұрыштар: а) сүйір; ә) тік; б) доғал бұрыш бола ма?

Қалай ойлаймыз. Сыбайлас бұрыштар бірігіп жазыңқы бұрыш, яғни 180° құрайды.

Шешуі. а) Екеуі де сүйір болса, әрқайсысы тік бұрыштан кіші, ал қосындысы жазыңқы бұрыштан кіші болады. Болмайды. ә) Екі тік бұрыш бірігіп жазыңқы бұрыш береді. Иә. б) Екеуі де доғал болса, әрқайсысы тік бұрыштан үлкен, ал қосындысы жазыңқы бұрыштан үлкен болады. Болмайды.

Жауабы: а) жоқ; ә) иә; б) жоқ.

№ 5.10

5.15-суретте берілгендей торкөз қағазға $AOB$ бұрышын және оның $OC$ биссектрисасын салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Биссектриса бұрышты тең екіге бөледі. Егер бұрыштың қабырғалары бірдей ұзындықта болса, биссектриса олардың арасындағы «диагональ» болады.

Шешуі (ә жағдайы).

1. $O$ нүктесінен $OA$ сәулесі солға 1 және төмен 3 торкөз, ал $OB$ сәулесі оңға 3 және төмен 1 торкөз жүреді. Бұрыш тік, қабырғалары бірдей ұзындықта.
2. Екі қабырғаның «қадамдарын» қосамыз: солға 1, төмен 3 және оңға 3, төмен 1. Шығады: оңға 2, төмен 4. Жартысы: оңға 1, төмен 2.
3. $C$ нүктесін белгілейміз: $O$ нүктесінен оңға 1 және төмен 2 торкөз. $OC$ сәулесі — биссектриса.

Шешуі (а жағдайы). $AOB$ бұрышы тік, $OA$ оңға 4, $OB$ жоғары 4 жүреді. Биссектриса — торкөздердің диагоналі: $O$ нүктесінен оңға 2 және жоғары 2.

Жауабы: а) $OC$ — тік бұрыштың төбесінен шығатын торкөз диагоналі; ә) $C$ нүктесі $O$ нүктесінен оңға 1 және төмен 2 торкөзде жатыр.

№ 5.11

Торкөз қағазға $AOB$ мен $PQR$ бұрыштарының қосындысына тең бұрышты салыңдар (5.16-сурет).

Қалай ойлаймыз. Екінші бұрышты біріншісінің қабырғасынан бастап, екеуі бір-бірін жаппайтындай етіп саламыз.

Шешуі (а жағдайы).

1. $\angle AOB$ көлденең мен диагональ арасында (45°). $\angle PQR$ тік пен диагональ арасында (ол да 45°).
2. $PQR$ бұрышын $OB$ сәулесінен бастап сыртқы жағына саламыз. Сонда жаңа $OE$ қабырғасы тік жоғары кетеді: $E$ нүктесі $O$ нүктесінен жоғары 2 торкөзде.
3. $\angle AOE$ — тік бұрыш (45° + 45°).

Шешуі (ә жағдайы).

1. $OA$ оңға 2 және төмен 1, $OB$ оңға 2 және жоғары 2 жүреді. $QP$ оңға 3 және жоғары 1, $QR$ оңға 2 және жоғары 2 жүреді.
2. $PQR$ бұрышын $OB$ сәулесінен бастап «үстеліп қосылатындай» етіп саламыз. Жаңа $OE$ сәулесі $O$ нүктесінен оңға 1 және жоғары 3 жүреді.
3. $\angle AOE$ — ізделген қосынды.

Жауабы: а) тік бұрыш $AOE$; ә) $OE$ сәулесі «оңға 1, жоғары 3» жүретін $AOE$ бұрышы.

№ 5.12

Торкөз қағазға $ABC$ мен $PQR$ бұрыштарының қосындысына тең бұрышты салыңдар (5.17-сурет).

Қалай ойлаймыз. Бұрыштарды қосу үшін екіншісін біріншісінің қабырғасынан бастап саламыз. Торкөзде бұрыштарды қосу — сәулелердің «қадамдарын» қосу.

Шешуі (а жағдайы).

1. $BC$ сәулесі оңға 2 және жоғары 1 жүреді (суретте 4 және 2). $\angle ABC$ — көлденең мен осындай сәуле арасындағы бұрыш.
2. $QP$ сәулесі дәл солай жүреді: оңға 2, жоғары 1. Ал $QR$ сәулесі тігінен жүреді. Демек, $\angle PQR$ мен көлденең және $QP$ арасындағы бұрыш бірігіп тік бұрыш береді. Ал ол бұрыш $\angle ABC$-ға тең, себебі қабырғалары бірдей жүреді.
3. Сондықтан $\angle ABC + \angle PQR$ — тік бұрыш: $PQR$-ды $BC$ сәулесінен бастап салсақ, жаңа қабырға $B$ нүктесінен тік жоғары кетеді.

Шешуі (ә жағдайы).

1. $BC$ оңға 2 және жоғары 1 жүреді. $QR$ оңға 1 және жоғары 3, $QP$ оңға 1 және жоғары 1 жүреді. $PQR$ бұрышы осы екі сәуленің арасында (шамамен 27°).
2. Оны $BC$ сәулесінен $BA$ қабырғасынан кері жаққа қарай саламыз. $BE$ сәулесі шығады: оңға 3 және жоғары 4.
3. $\angle ABE$ — ізделген қосынды (шамамен 53°).

Жауабы: а) тік бұрыш ($B$ нүктесінен тік жоғары кететін сәуле); ә) $E$ нүктесі $B$ нүктесінен оңға 3 және жоғары 4 жатқан $ABE$ бұрышы.

№ 5.13

Торкөз қағазға $AOB$ мен $PQR$ бұрыштарының айырымына тең бұрышты салыңдар (5.18-сурет).

Қалай ойлаймыз. Кіші бұрышты үлкен бұрыштың ішіне қабырғаларының бірінен бастап саламыз. Қалған бөлік — айырым.

Шешуі (а жағдайы).

1. $OA$: оңға 2 және төмен 1, $OB$: оңға 2 және жоғары 2. $QR$: оңға 2 және жоғары 2, $QP$: оңға 3 және жоғары 1. $PQR$ бұрышы $AOB$ бұрышынан кіші.
2. $PQR$ бұрышын $OA$ сәулесінен бастап $AOB$ бұрышының ішіне саламыз: қабырға көлденеңінен оңға, тор сызығымен 1 торкөзге кетеді.
3. Осы көлденең мен $OB$ арасындағы бұрыш — ізделген айырым (45°).

Шешуі (ә жағдайы).

1. $OA$: оңға 2 және төмен 1, $OB$: оңға 1 және жоғары 2. $QR$ — жоғары, $QP$: оңға 2 және жоғары 1. $PQR$ бұрышы $AOB$ бұрышынан кіші.
2. $PQR$ бұрышын $OB$ сәулесінен бастап $AOB$ бұрышының ішіне саламыз: жаңа сәуле көлденеңінен оңға кетеді.
3. Оның $OA$-мен арасындағы бұрыш — айырым.

Жауабы: а) $O$ нүктесінен шығатын көлденең сәуле мен $OB$ арасындағы бұрыш (шамамен 45°); ә) көлденең сәуле мен $OA$ арасындағы бұрыш.

№ 5.14

5.19-суреттегі келесі бұрыштардың қосындысына тең бұрышты көрсетіңдер: а) $AOB$ және $COD$; ә) $BOC$ және $DOE$.

Қалай ойлаймыз. Ортақ қабырғасы бар көрші бұрыштарды қосамыз. Қосынды — шеткі қабырғалары бар бұрыш.

Шешуі. Суретте үш түзу бар: $AD$, $BE$ және $CF$, олар $O$ нүктесінде қиылысады. Демек, вертикаль бұрыштар бар: $\angle AOB = \angle DOE$, $\angle BOC = \angle EOF$, $\angle COD = \angle FOA$. а) $\angle AOB + \angle COD = \angle AOB + \angle FOA = \angle FOB$ ($FOB$ бұрышы көрші $FOA$ және $AOB$ бұрыштарынан тұрады). ә) $\angle BOC + \angle DOE = \angle BOC + \angle AOB = \angle AOC$.

Жауабы: а) $FOB$; ә) $AOC$.

№ 5.15

Торкөз қағазға $C$ нүктесі арқылы $AB$ түзуіне перпендикуляр түзу салыңдар (5.20-сурет).

Қалай ойлаймыз. Торкөзде перпендикулярды «қадамдарды бұру» арқылы аламыз: егер $AB$ «оңға $a$, жоғары $b$» жүрсе, перпендикуляр «оңға $b$, төмен $a$» жүреді.

Шешуі (а жағдайы).

1. $AB$ түзуі диагональ бойымен жүреді: оңға 5 және жоғары 5. Қадамы «оңға 1, жоғары 1».
2. Перпендикуляр екінші диагональ бойымен жүреді: «оңға 1, төмен 1».
3. $C$ нүктесінен «оңға 1, төмен 1» қадаммен $AB$-ны қиып өткенше жүреміз; түзуді екі жағына қарай жалғастырамыз.

Шешуі (ә жағдайы). $AB$ оңға 2 және жоғары 1 жүреді. Перпендикуляр: оңға 1 және төмен 2 (немесе солға 1 және жоғары 2). $C$ нүктесінен «оңға 1, төмен 2» өлшеп, осы екі нүкте арқылы түзу жүргіземіз.

Жауабы: а) $C$ нүктесінен «оңға 1, төмен 1» қадаммен өтетін түзу; ә) $C$ нүктесінен «оңға 1, төмен 2» қадаммен өтетін түзу.

№ 5.16

Торкөз қағазға $C$ нүктесі арқылы $AB$ түзуіне перпендикуляр түзу салыңдар (5.21-сурет).

Қалай ойлаймыз. Сол «қадамдарды бұру» тәсілі: $(a;,b)\to(b;,-a)$.

Шешуі. а) $AB$ оңға 3 және жоғары 1 жүреді. Перпендикуляр оңға 1 және төмен 3 жүреді. $C$ нүктесінен осы қадамдарды өлшеп, түзу жүргіземіз. ә) $AB$ оңға 1 және жоғары 2 жүреді. Перпендикуляр оңға 2 және төмен 1 жүреді. $C$ нүктесінен осы қадамдарды өлшеп, түзу жүргіземіз.

Жауабы: а) $C$ нүктесінен «оңға 1, төмен 3» қадаммен өтетін түзу; ә) $C$ нүктесінен «оңға 2, төмен 1» қадаммен өтетін түзу.

№ 5.17

5.22-суретте көрсетілген түзудің қайсысы: а) $a$; ә) $b$; б) $c$; в) $d$ түзуіне перпендикуляр?

Қалай ойлаймыз. Бір нүктеден шығатын перпендикуляр түзулер тік бұрыш құрайды, дәл бұрыштың қабырғаларындай. Сәулелер бірдей аралықпен желпуіштей орналасқан.

Шешуі. $a$ түзуі тік, ал $e$ көлденең: олар перпендикуляр. Қалған жұптарды былай табамыз: көлденеңнің екі жағында бірдей еңіспен жатып, қосындылары 90° болатын түзулер. Мысалы, $b$ жоғарыға қарай оңға шамамен 45° бұрышпен кетеді, ал $f$ төмен қарай оңға тағы 45° бұрышпен кетеді: олардың арасы 90°. $c$ мен $g$, $d$ мен $h$ да дәл солай табылады.

Жауабы: а) $e$; ә) $f$; б) $g$; в) $h$.

C деңгейі

№ 5.18

Торкөз қағазға: а) $C$ мен $B$ (5.23, а-сурет); ә) $B$ мен $C$ (5.23, ә-сурет) бұрыштарының айырымына тең бұрышты салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Екі бұрышты да бір сәуледен бастап, бір жаққа қарай саламыз. Екінші қабырғалардың арасындағы бұрыш — айырым.

Шешуі (а жағдайы).

1. $BA$ оңға жүреді, $BC$ — оңға 1 және жоғары 3. $\angle B$ шамамен 72°.
2. $CD$ оңға жүреді, $CB$ — солға 1 және төмен 3. $\angle C$ шамамен 108°.
3. Екеуін де көлденең сәуледен бастап оңға қарай саламыз: қабырғалар «оңға 1, жоғары 3» ($B$ бұрышы) және «солға 1, жоғары 3» ($C$ бұрышы) болады. Олардың арасындағы бұрыш — ізделген $C - B$ айырымы (шамамен 37°).

Шешуі (ә жағдайы). $B$ бұрышы ($BA$ төмен және $BC$ «оңға 1, жоғары 2» арасында) — доғал, шамамен 153°. $C$ бұрышы ($CB$ мен оңға қарайтын $CD$ арасында) — шамамен 117°. Оларды осьтің бойындағы «оңға» сәуледен бастап саламыз: қабырғалар «солға 2, жоғары 1» ($B$ бұрышы) және «солға 1, жоғары 2» ($C$ бұрышы). Олардың арасындағы бұрыш — $B - C$ айырымы (шамамен 37°).

Жауабы: а) «оңға 1, жоғары 3» және «солға 1, жоғары 3» сәулелерінің арасындағы бұрыш; ә) «солға 2, жоғары 1» және «солға 1, жоғары 2» сәулелерінің арасындағы бұрыш.

№ 5.19

Егер екі бұрыш тең болса, онда оларға сыбайлас бұрыштар да тең болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Сыбайлас бұрыштар бірігіп жазыңқы бұрыш береді. Ал жазыңқы бұрыштар тең.

Шешуі.

1. Берілгені: $\angle 1 = \angle 2$; $\angle 3$ — $\angle 1$-ге сыбайлас, $\angle 4$ — $\angle 2$-ге сыбайлас. Дәлелдеу керек: $\angle 3 = \angle 4$.
2. $1$ және $3$ бұрыштары бірігіп жазыңқы бұрыш береді. $2$ және $4$ бұрыштары да солай. Ал барлық жазыңқы бұрыштар тең, демек $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4$.
3. Теңдіктің екі жағынан тең $1$ және $2$ бұрыштарын азайтамыз. $\angle 3 = \angle 4$ шығады.

Жауабы: дәлелденді: тең бұрыштарға сыбайлас бұрыштар тең.

Жаңа тақырыпты меңгеруге дайындаламыз

№ 5.20

Дөңгелектің көршілес біздерінің арасындағы бұрыш жазыңқы бұрыштың тоғыздан бір бөлігін құрайды. Дөңгелектегі біздер санын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Жазыңқы бұрыш — айналымның жартысы. Көрші біздердің арасындағы бұрыш одан 9 есе кіші.

Шешуі.

1. Ось төңірегіндегі толық айналым — екі жазыңқы бөлік. Әр жазыңқы бөлікке біздердің арасындағы 9 бұрыш симады.
2. Бүкіл шеңбер: $2\cdot 9 = 18$ осындай бұрыш, яғни 18 біз.

Жауабы: 18 біз.

№ 5.21

Сағаттың минуттық тілі 30 минутта қандай бұрышқа бұрылады?

Қалай ойлаймыз. Тіл толық шеңберді 60 минутта өтеді. 30 минут — шеңбердің жартысы.

Шешуі. Жарты айналым — жазыңқы бұрыш, яғни $180^\circ$.

Жауабы: жазыңқы бұрыш, $180^\circ$.

Жадынама

• Жартыжазықтықтағы әрбір сәуледен бастап берілген бұрышқа тең тек бір ғана бұрышты салуға болады.
• Барлық жазыңқы бұрыштар тең.
• Сыбайлас бұрыштардың қосындысы жазыңқы бұрышқа тең.
• Теорема: вертикаль бұрыштар тең болады.
• Егер екі бұрыш тең болса, онда оларға сыбайлас бұрыштар да тең.

Шағын тест