§ 6. Бұрыштардың шамасын өлшеу

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 тарау: Геометрияның алғашқы мәліметтері. 33–40-беттер.

Нені үйренесің

• Градус, минут және секунд дегеннің не екенін түсінуді.
• Бұрышты транспортирмен өлшеуді және берілген шамалы бұрышты салуды.
• Градустық шаманың екі қасиетін білуді: тең бұрыштардың шамалары тең, ал қосындының шамасы шамалардың қосындысына тең.
• Берілген шарт бойынша сыбайлас бұрыштарды және сәулелер құрайтын бұрыштарды табуды.
• Сағат тілдері мен доңғалақтың бұрылу бұрышын есептеуді.

Ой қозғау

• Қандай бұрыш тік бұрыш деп аталады? Өзінің сыбайлас бұрышына тең бұрыш. Ол дәптер парағының бұрышындай.
• Сыбайлас бұрыштар дегеніміз не? Бір қабырғасы ортақ, ал қалған екі қабырғасы түзу құрайтын бұрыштар.
• Бұрыштың биссектрисасы деп нені айтады? Бұрыштың ішінен өтіп, оны екі тең бұрышқа бөлетін сәуле.
• Екі сыбайлас бұрыштың қосындысы неге тең? Жазыңқы бұрышқа, яғни $180^\circ$-қа.

Тақырыпты талдаймыз

Бұрышты қалай өлшейміз

Кесіндінің ұзындығын былай өлшейміз: бірлікті (сантиметрді) аламыз да, ол неше рет сыйғанын санаймыз. Бұрыштармен де дәл солай. Бірлік ретінде жазыңқы бұрыштың жүз сексеннен бір бөлігіне тең бұрыш алынады. Оның шамасы — бір градус, былай жазылады: $1^\circ$.

$AOB$ бұрышын өлшеу үшін $OA$ сәулесінен бастап бірлік бұрыштарды бірінен соң бірін саламыз да, неше бұрыш сыйғанын санаймыз. Егер соңғы сәуле $OB$-мен беттессе, онда $n$ саны — бұрыштың шамасы: $\angle AOB = n^\circ$.

Ал соңғы сәуле $OB$-ға жетпей қалса ше? Онда бірлік бұрышты 60 тең бөлікке бөледі. Бір бөлігі — бір минут, $1'$. Осылай дәлірек өлшеуге болады. Минут та жетпесе, минутты 60 бөлікке бөледі: бұл — секунд, $1''$.

📌 $1^\circ = 60'$, $1' = 60''$. Бұрыштың шамасы — бұрышқа сыятын градустардың (қажет болса, минуттар мен секундтардың) саны.

Мысалы, $\angle AOB = 25^\circ 15' 32''$ жазуы былай оқылады: $AOB$ бұрышының градустық шамасы 25 градус 15 минут 32 секунд.

🌟 «Алпыстап» санауды ежелгі Вавилонда жақсы көрген. Сондықтан сағат 60 минутқа, минут 60 секундқа бөлінеді, ал дөңгелекті біз $360^\circ$-қа бөлеміз.

Транспортир

Бұрышты өлшейтін ең қарапайым құрал — транспортир. Оқулық суретінде $OB$, $OC$, $OD$ сәулелері $OA$ сәулесімен $60^\circ$, $90^\circ$ және $120^\circ$ бұрыш жасайды.

Қалай қолданамыз: транспортирдің центрін бұрыштың төбесіне, нөлдік белгісін бұрыштың қабырғасына дәл келтір де, екінші қабырға шкаланы қиып өтетін жердегі санды оқы. Виртуал транспортирмен байқап көр.

Градустық шаманың екі қасиеті

📌 1-қасиет. Тең бұрыштардың градустық шамалары тең болады.

📌 2-қасиет. Бұрыштар қосындысының градустық шамасы олардың градустық шамаларының қосындысына тең болады.

Осыдан бірден шығады: бұрыштар айырымының градустық шамасы олардың шамаларының айырымына тең. Егер $OC$ — $AOB$ бұрышының ішіндегі сәуле болса, онда $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$, ал градустармен де бәрі қосылады.

Тік бұрыш $90^\circ$-қа тең. Сүйір бұрыш $90^\circ$-тан кіші. Доғал бұрыш $90^\circ$-тан үлкен, бірақ $180^\circ$-тан кіші. Жазыңқы бұрыш $180^\circ$-қа тең. Бұрыштың градустық шамасын көбіне бұрыштың өзіндей етіп белгілейді: $\angle AOB = 30^\circ$. Кейде оны грек әріптерімен де белгілейді, мысалы, $\varphi$, $\psi$.

⚠️ Жиі кететін қате. Транспортир шкаласын қай жақтан оқу керегін шатастырады. Оның екі шкаласы бар. Нөлі сен нөлдік белгіге беттестірген бұрыш қабырғасында жатқан шкаланы оқы.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Балаға транспортир беріп, бұрыштың шамасын алдымен «көзбен» бағалатып, содан кейін өлшетіңіз. «Көзмөлшермен» бағалау — осы сабақтың басты дағдысы (6.6-жаттығуды қараңыз).

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Бұрыштарды өлшеу бірлігі ретінде нені алады? Жазыңқы бұрыштың жүз сексеннен бір бөлігіне тең бұрышты.
• Градус деген не? Бірлік бұрыштың, яғни жазыңқы бұрыштың жүз сексеннен бір бөлігінің шамасы. Белгіленуі $1^\circ$.
• Минут деген не? Градустың алпыстан бір бөлігі: $1' = \frac{1}{60}^\circ$.
• Секунд деген не? Минуттың алпыстан бір бөлігі: $1'' = \frac{1}{60}'$.
• Бұрыштың градустық шамасы қалай өлшенеді? Бір қабырғадан бастап бірлік бұрыштарды салып, неше бұрыш сыйғанын санаймыз. Қалған бөлікті минутпен, содан кейін секундпен өлшейміз.
• Бұрыштың градустық шамалары үшін қандай қасиеттер орындалады? Тең бұрыштардың градустық шамалары тең. Бұрыштар қосындысының градустық шамасы олардың градустық шамаларының қосындысына тең.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 6.1

а) $AOC$; ә) $AOB$; б) $AOD$; в) $AOE$; г) $BOD$; ғ) $BOC$; д) $BOE$ бұрышының градустық шамасын табыңдар (6.2-сурет).

Қалай ойлаймыз. Суреттегі сәулелер торкөз сызықтары мен диагональдар бойымен жүреді. Тік пен көлденең $90^\circ$ жасайды, диагональ тік бұрышты тең екіге бөледі.

Шешуі.

1. $OA$ (жоғары) және $OC$ (оңға) сәулелері перпендикуляр: $\angle AOC = 90^\circ$.
2. $OB$ диагоналі $AOC$ бұрышын тең екіге бөледі: $\angle AOB = 45^\circ$, $\angle BOC = 45^\circ$.
3. $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.
4. $OA$ және $OE$ сәулелері бір тік түзудің бойында қарама-қарсы жаққа жатыр: $\angle AOE = 180^\circ$.
5. $\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.
6. $\angle BOE = \angle BOC + \angle COE = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$.

Жауабы: а) $90^\circ$; ә) $45^\circ$; б) $135^\circ$; в) $180^\circ$; г) $90^\circ$; ғ) $45^\circ$; д) $135^\circ$.

№ 6.2

6.3-суретте бейнеленген $AOB$, $AOC$, $AOD$, $BOC$, $BOD$, $COD$ бұрыштарының градустық шамаларын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр сәулені $OA$ сәулесіндегі нөлдік белгіден бастап транспортир шкаласы бойынша оқимыз. Содан кейін айырымдарды өзіміз есептейміз.

Шешуі.

1. Шкала бойынша: $OB$ — $40^\circ$, $OC$ — $70^\circ$, $OD$ — $160^\circ$. Демек $\angle AOB = 40^\circ$, $\angle AOC = 70^\circ$, $\angle AOD = 160^\circ$.
2. Қалған бұрыштар — айырымдар: $\angle BOC = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ$, $\angle BOD = 160^\circ - 40^\circ = 120^\circ$, $\angle COD = 160^\circ - 70^\circ = 90^\circ$.

Жауабы: $40^\circ$, $70^\circ$, $160^\circ$, $30^\circ$, $120^\circ$, $90^\circ$.

№ 6.3

Транспортир көмегімен шамалары $10^\circ$, $30^\circ$, $70^\circ$, $100^\circ$, $150^\circ$ болатын бұрыштарды салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр бұрыш үшін бір әрекетті қайталаймыз: сәуле, транспортир, белгі, екінші сәуле.

Шешуі. Әр шама $\varphi$ үшін ($10^\circ$, $30^\circ$, $70^\circ$, $100^\circ$, $150^\circ$):

1. $OA$ сәулесін жүргіз.
2. Транспортирдің центрін $O$ нүктесіне, нөлдік белгісін $OA$ сәулесіне қой.
3. Шкаладан $\varphi$ санын тауып, $B$ нүктесін қой.
4. $OB$ сәулесін жүргіз. $AOB$ бұрышы $\varphi$-ге тең. $10^\circ$, $30^\circ$, $70^\circ$ бұрыштары сүйір, $100^\circ$ және $150^\circ$ бұрыштары доғал. Мұны көзбен тексеріп көр.

Жауабы: бес бұрыш салынды; $\angle AOB = 10^\circ,\ 30^\circ,\ 70^\circ,\ 100^\circ,\ 150^\circ$.

№ 6.4

Торкөз қағазға 6.4-суретте көрсетілгендей $AB$ сәулесін салыңдар. $AB$ сәулесінен: а) $45^\circ$; ә) $90^\circ$-қа тең $BAC$ бұрышын салыңдар.

Қалай ойлаймыз. Торкөзде $45^\circ$ және $90^\circ$ бұрыштарды транспортирсіз-ақ аламыз: $90^\circ$-ты екі торкөз сызығы, $45^\circ$-ты торкөздің диагоналі береді.

Шешуі. а) (а суреті) $AB$ сәулесі диагональ бойымен жүреді: оңға 3 және жоғары 3. Ол көлденеңмен де, тікпен де $45^\circ$ жасайды. $BAC = 45^\circ$ болу үшін $AC$ сәулесін көлденең оңға (3 торкөз) аламыз. Не болмаса тік жоғары. ә) (ә суреті) $AB$ сәулесі оңға 3 және жоғары 1 жүреді. $90^\circ$ үшін қадамды бұрамыз: «солға 1, жоғары 3» (немесе «оңға 1, төмен 3»). Сонда $AC$ — $AB$-ға перпендикуляр.

Жауабы: а) $AC$ — көлденең (немесе тік) бағытта, $\angle BAC = 45^\circ$; ә) $AC$ — «солға 1, жоғары 3» бағытында, $\angle BAC = 90^\circ$.

B деңгейі

№ 6.5

Батыс пен солтүстік-шығыс бағыттарының арасындағы бұрыш шамасы неге тең?

Қалай ойлаймыз. Компасты көз алдыңа келтір: солтүстік пен батыс перпендикуляр, солтүстік-шығыс — солтүстік пен шығыстың дәл ортасында.

Шешуі.

1. Батыстан солтүстікке дейін $90^\circ$.
2. Солтүстіктен солтүстік-шығысқа дейін $45^\circ$ (бұл — солтүстік пен шығыс арасындағы тік бұрыштың жартысы).
3. Қосамыз: $90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Жауабы: $135^\circ$.

№ 6.6

Торкөз қағазға 6.5-суретте көрсетілгендей бұрыштарды салыңдар. «Көзмөлшермен» олардың градустық шамасын бағалаңдар. Өздеріңнің бағалауларыңды транспортир көмегімен өлшеу арқылы тексеріңдер.

Қалай ойлаймыз. Алдымен белгілі бұрыштармен салыстыр: $45^\circ$, $90^\circ$, $135^\circ$.

Шешуі. а) $AB$ және $AC$ сәулелері жоғары оңға қарай кетеді. $AB$ оңға 2 және жоғары 1 жүреді (еңісі аз), $AC$ тіктеу: оңға 1 және жоғары 3. Олардың арасындағы бұрыш тік бұрыштан кіші, шамамен $45^\circ$. ә) $AC$ сәулесі жоғары солға, $AB$ жоғары оңға кетеді. Олардың арасындағы бұрыш доғал, шамамен $135^\circ$. Транспортирмен тексерсең, жақын мән шығады.

Жауабы: а) шамамен $45^\circ$; ә) шамамен $135^\circ$.

№ 6.7

$60^\circ$-қа тең $AOB$ бұрышының ішінде $OC$ сәулесі орналасқан. $BOC$ бұрышынан $30^\circ$ артық болатын $AOC$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Кіші бұрышты $x$ деп белгілеп, теңдеу құрамыз: екі бөліктің қосындысы бүкіл бұрышқа тең.

Шешуі.

1. $\angle BOC = x$ болсын. Сонда $\angle AOC = x + 30^\circ$.
2. $\angle AOC + \angle BOC = \angle AOB$, яғни $x + 30^\circ + x = 60^\circ$.
3. $2x = 30^\circ$, $x = 15^\circ$.
4. $\angle AOC = 15^\circ + 30^\circ = 45^\circ$.

Жауабы: $45^\circ$.

№ 6.8

$45^\circ$-қа тең $AOB$ бұрышының ішінде $OC$ сәулесі орналасқан. $BOC$ бұрышынан екі есе артық болатын $AOC$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $\angle BOC = x$ болсын, сонда $\angle AOC = 2x$.

Шешуі.

1. $x + 2x = 45^\circ$, демек $3x = 45^\circ$, $x = 15^\circ$.
2. $\angle AOC = 2\cdot 15^\circ = 30^\circ$.

Жауабы: $30^\circ$.

№ 6.9

$120^\circ$-қа тең $AOB$ бұрышының ішінде $OC$ сәулесі орналасқан. $BOC$ бұрышынан $30^\circ$ кіші болатын $AOC$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $\angle AOC = x$ болсын, сонда $\angle BOC = x + 30^\circ$.

Шешуі.

1. $x + (x + 30^\circ) = 120^\circ$, демек $2x = 90^\circ$, $x = 45^\circ$.
2. Тексеру: $\angle BOC = 75^\circ$, $45^\circ + 75^\circ = 120^\circ$.

Жауабы: $45^\circ$.

№ 6.10

$120^\circ$-қа тең $AOB$ бұрышының ішінде $OC$ сәулесі орналасқан. $AOC$ бұрышынан үш есе артық болатын $BOC$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $\angle AOC = x$ болсын, сонда $\angle BOC = 3x$.

Шешуі.

1. $x + 3x = 120^\circ$, демек $4x = 120^\circ$, $x = 30^\circ$.
2. $\angle BOC = 3\cdot 30^\circ = 90^\circ$.

Жауабы: $90^\circ$.

№ 6.11

$38^\circ$-қа тең бұрышпен сыбайлас бұрыштың шамасы неге тең?

Қалай ойлаймыз. Сыбайлас бұрыштардың қосындысы жазыңқы бұрышқа, яғни $180^\circ$-қа тең.

Шешуі. $180^\circ - 38^\circ = 142^\circ$.

Жауабы: $142^\circ$.

№ 6.12

Егер сыбайлас бұрыштың бірі екіншісінен екі есе үлкен болса, онда сыбайлас бұрыштардың градустық шамаларын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Кіші бұрыш $x$ болсын, сонда үлкені $2x$. Олар бірігіп $180^\circ$ береді.

Шешуі.

1. $x + 2x = 180^\circ$, $3x = 180^\circ$, $x = 60^\circ$.
2. Үлкені: $2\cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Жауабы: $120^\circ$ және $60^\circ$.

№ 6.13

а) Біріншісі екіншісінен $30^\circ$-қа артық; ә) айырымы $40^\circ$-қа тең; б) біріншісі екіншісінен төрт есе кіші; в) өзара тең болатын екі сыбайлас бұрыштың градустық шамаларын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. Әр жағдайда бір бұрышты $x$ деп алып, екіншісін сол арқылы өрнектейміз. Қосынды әрқашан $180^\circ$.

Шешуі. а) $x + (x + 30^\circ) = 180^\circ$, $2x = 150^\circ$, $x = 75^\circ$. Бұрыштар $75^\circ$ және $105^\circ$. ә) $x + (x + 40^\circ) = 180^\circ$, $2x = 140^\circ$, $x = 70^\circ$. Бұрыштар $70^\circ$ және $110^\circ$. б) $x + 4x = 180^\circ$, $5x = 180^\circ$, $x = 36^\circ$. Бұрыштар $36^\circ$ және $144^\circ$. в) $x + x = 180^\circ$, $x = 90^\circ$. Екі бұрыш та тік.

Жауабы: а) $105^\circ$ және $75^\circ$; ә) $110^\circ$ және $70^\circ$; б) $36^\circ$ және $144^\circ$; в) $90^\circ$ және $90^\circ$.

№ 6.14

а) $2 : 3$; ә) $3 : 7$; б) $11 : 25$; в) $22 : 23$ қатынаста болатындай екі сыбайлас бұрыштың градустық шамаларын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $m : n$ қатынасы бұрыштар $m$ және $n$ бірдей бөліктен тұратынын білдіреді. Барлығы $m+n$ бөлік, оларға $180^\circ$ келеді.

Шешуі. а) $2 + 3 = 5$ бөлік. Бір бөлік $180^\circ : 5 = 36^\circ$. Бұрыштар: $2\cdot 36^\circ = 72^\circ$ және $3\cdot 36^\circ = 108^\circ$. ә) $3 + 7 = 10$ бөлік. Бір бөлік $18^\circ$. Бұрыштар: $54^\circ$ және $126^\circ$. б) $11 + 25 = 36$ бөлік. Бір бөлік $5^\circ$. Бұрыштар: $55^\circ$ және $125^\circ$. в) $22 + 23 = 45$ бөлік. Бір бөлік $4^\circ$. Бұрыштар: $88^\circ$ және $92^\circ$.

Жауабы: а) $72^\circ$ және $108^\circ$; ә) $54^\circ$ және $126^\circ$; б) $55^\circ$ және $125^\circ$; в) $88^\circ$ және $92^\circ$.

№ 6.15

Шамасы $30^\circ$ болатын $BOC$ бұрышы — өлшемдері сәйкесінше $60^\circ$ және $90^\circ$ болатын $AOB$ мен $COD$ бұрыштарының ортақ бөлігі (6.6-сурет). $AOD$ бұрышын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. $AOD$ бұрышы $AOB$ және $COD$ бұрыштарынан тұрады, бірақ $BOC$ бөлігі екі рет есептелген. Артығын алып тастаймыз.

Шешуі.

1. $\angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.
2. $\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ$. (Немесе бірден: $60^\circ + 90^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.)

Жауабы: $120^\circ$.

№ 6.16

Вертикаль бұрыштардың биссектрисаларының арасындағы бұрыш неге тең?

Қалай ойлаймыз. Вертикаль бұрыштар тең. Әрқайсысы $2\alpha$ болсын. Биссектрисалар оларды тең екіге бөледі, сонда үш бөлікті қосу керек.

Шешуі.

1. $AB$ және $CD$ түзулері $O$ нүктесінде қиылысады, $AOC$ және $BOD$ — вертикаль бұрыштар, әрқайсысы $2\alpha$.
2. $AOC$ бұрышының биссектрисасы $OC$ сәулесімен $\alpha$ бұрыш жасайды, $BOD$ бұрышының биссектрисасы $OB$ сәулесімен $\alpha$ бұрыш жасайды.
3. $COB$ бұрышы $AOC$-ға сыбайлас, демек $\angle COB = 180^\circ - 2\alpha$.
4. Биссектрисалардың арасындағы бұрыш: $\alpha + (180^\circ - 2\alpha) + \alpha = 180^\circ$.
5. Демек, биссектрисалар бір түзудің бойында жатады.

Жауабы: $180^\circ$ (вертикаль бұрыштардың биссектрисалары жазыңқы бұрыш құрайды, яғни бір түзуде жатады).

№ 6.17

6.7-суретте бейнеленген $AOB$, $AOC$, $AOD$, $BOC$, $BOD$, $COD$ бұрыштарының шамасы неге тең?

Қалай ойлаймыз. Сурет транспортирге ұқсайды: барлық сәулелер $OA$-дан бастап шкала бойынша кетеді. Әр сәуле қай белгіде тұрғанын оқимыз, қалғаны — айырымдар.

Шешуі.

1. Шкала бойынша: $\angle AOB = 40^\circ$, $\angle AOC = 120^\circ$, $\angle AOD = 140^\circ$.
2. $\angle BOC = 120^\circ - 40^\circ = 80^\circ$.
3. $\angle BOD = 140^\circ - 40^\circ = 100^\circ$.
4. $\angle COD = 140^\circ - 120^\circ = 20^\circ$.

Жауабы: $40^\circ$, $120^\circ$, $140^\circ$, $80^\circ$, $100^\circ$, $20^\circ$.

№ 6.18

Арбаның доңғалағында: а) 10 біз; ә) 12 біз (6.8-сурет) бар. Көрші екі біздің арасындағы бұрыштың шамасын табыңдар (градустық өлшемде).

Қалай ойлаймыз. Біздер толық айналымды тең бұрыштарға бөледі. Толық айналым — $360^\circ$.

Шешуі. а) $360^\circ : 10 = 36^\circ$. ә) $360^\circ : 12 = 30^\circ$.

Жауабы: а) $36^\circ$; ә) $30^\circ$.

№ 6.19

Велосипед доңғалағында: а) 18 біз; ә) 20 біз бар (6.9-сурет). Көрші екі біздің арасындағы бұрыштың шамасын табыңдар (градустық өлшемде).

Қалай ойлаймыз. Дәл солай: $360^\circ$-ты біздер санына бөлеміз.

Шешуі. а) $360^\circ : 18 = 20^\circ$. ә) $360^\circ : 20 = 18^\circ$.

Жауабы: а) $20^\circ$; ә) $18^\circ$.

№ 6.20

Доңғелекте 72 тіс бар (6.10-сурет). Көршілес екі тістің ортасын қосатын шеңбер доғасы қандай градусты құрайды?

Қалай ойлаймыз. Тістер шеңбер бойында бірдей аралықпен орналасқан. Бүкіл шеңбер — $360^\circ$.

Шешуі. $360^\circ : 72 = 5^\circ$.

Жауабы: $5^\circ$.

№ 6.21

Егер 8 тісі бар доңғалақ минутына 12 айналым жасайтын болса, онда 32 тісі бар доңғалақ минутына неше айналым жасайды (6.11-сурет)?

Қалай ойлаймыз. Бір-біріне ілінген доңғалақтар бірдей уақытта ілінісу нүктесінен бірдей санды тіс «өткізеді».

Шешуі.

1. Кіші доңғалақ бір минутта: $8 \cdot 12 = 96$ тіс.
2. Үлкен доңғалақ та бір минутта сол 96 тісті өткізеді. Оның бір айналымында 32 тіс бар.
3. $96 : 32 = 3$ айналым.

Жауабы: минутына 3 айналым.

№ 6.22

а) 3:00 сағ; ә) 6:00 сағ; б) 5:00 сағ болса, сағаттың минут және сағат тілдерінің арасы неше градус?

Қалай ойлаймыз. Циферблатта 12 сағат бар, сондықтан көрші сағаттардың арасы $360^\circ : 12 = 30^\circ$. Толық сағатта минут тілі 12-ге қарайды.

Шешуі. а) 3:00-де сағат тілі 3-те тұр: 12-ден 3-ке дейін үш бөлік, $3\cdot 30^\circ = 90^\circ$. ә) 6:00-де: $6\cdot 30^\circ = 180^\circ$. б) 5:00-де: $5\cdot 30^\circ = 150^\circ$.

Жауабы: а) $90^\circ$; ә) $180^\circ$; б) $150^\circ$.

№ 6.23

а) 20 мин; ә) 10 мин; б) 50 мин-та сағаттың минуттық тілі неше градусқа бұрылады?

Қалай ойлаймыз. 60 минутта минут тілі толық айналым, $360^\circ$ жасайды. Бір минутта: $360^\circ : 60 = 6^\circ$.

Шешуі. а) $20\cdot 6^\circ = 120^\circ$. ә) $10\cdot 6^\circ = 60^\circ$. б) $50\cdot 6^\circ = 300^\circ$.

Жауабы: а) $120^\circ$; ә) $60^\circ$; б) $300^\circ$.

№ 6.24

а) 1 сағ; ә) 30 мин; б) 20 мин-та сағаттың сағат тілі неше градусқа бұрылады?

Қалай ойлаймыз. Сағат тілі толық айналымды 12 сағатта жасайды. 1 сағатта ол $360^\circ : 12 = 30^\circ$ жүреді.

Шешуі. а) 1 сағатта: $30^\circ$. ә) 30 минут — сағаттың $\frac{1}{2}$ бөлігі: $30^\circ : 2 = 15^\circ$. б) 20 минут — сағаттың $\frac{1}{3}$ бөлігі: $30^\circ : 3 = 10^\circ$.

Жауабы: а) $30^\circ$; ә) $15^\circ$; б) $10^\circ$.

C деңгейі

№ 6.25

Сыбайлас бұрыштардың биссектрисалары тік бұрыш жасайтынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Сыбайлас бұрыштардың қосындысы $180^\circ$. Биссектрисалар әрқайсысынан жартысын алады.

Жауабы: дәлелденді: $\angle MON = 90^\circ$.

№ 6.26

8 сағ-та Жер өзінің $SN$ осі бойымен неше градусқа бұрылады (6.12-сурет)?

Қалай ойлаймыз. Жер толық айналымды 24 сағатта жасайды. Толық айналым — $360^\circ$.

Шешуі.

1. Бір сағатта Жер $360^\circ : 24 = 15^\circ$ бұрылады.
2. 8 сағатта: $8\cdot 15^\circ = 120^\circ$.

Жауабы: $120^\circ$.

№ 6.27

Жер өз осі бойымен $90^\circ$-қа неше сағатта бұрылады (6.12-сурет)?

Қалай ойлаймыз. Бір сағатта Жер $15^\circ$ бұрылады.

Шешуі. $90^\circ : 15^\circ = 6$ сағат.

Жауабы: 6 сағатта.

Хабарлама дайындаңдар

№ 6.28

1. Бұрышты өлшеу құралының бірі — астролябия қалай пайда болды? 2. Геодезиялық жұмыстарды орындау үшін қолданылатын бұрыштық құрал теодолит қалай пайда болды?

Қалай ойлаймыз. Бұл — жоба тапсырмасы: құралды өз сөзіңмен айтып беру керек. Міне, жоспар.

Шешуі (жоспар).

1. Астролябия не: бұрыштарды өлшейді (мысалы, жұлдыздың көкжиектен биіктігін).
2. Қалай жұмыс істейді: градус шкаласы бар диск және айналатын визир-сызғыш. Жұлдызға бағыттап, бұрышты шкаладан оқисың.
3. Не үшін керек: жұлдыздар бойынша бағыт алу, уақытты және кеменің орнын анықтау. Бұл — транспортир мен қазіргі бұрыш өлшегіш құралдардың «арғы атасы».
4. Теодолит не: тірекке орнатылған оптикалық көру дүрбісі, екі бұрыштық шкаласы (көлденең және тік) бар.
5. Қалай жұмыс істейді: дүрбіні нүктеге бағыттап, бұрыштарды шкалалардан оқиды. Мұндай құралмен бұрышты секундқа дейінгі дәлдікпен өлшеуге болады.
6. Қайда қолданылады: геодезистер мен құрылысшылар жер бетіндегі бұрыштарды өлшеп, карта жасайды, жол салады, ғимарат тұрғызады. Осы параграфтағы градус, минут, секунд дәл осындай өлшеулерге керек.

Жауабы: жоғарыдағы жоспар бойынша 1–2 минуттық хабарлама.

Жадынама

• Бұрыштарды өлшеу бірлігі — градус, $1^\circ = \frac{1}{180}$ жазыңқы бұрыш.
• Тік бұрыш $90^\circ$-қа тең, жазыңқы бұрыш — $180^\circ$-қа.
• Бұрыштарды транспортирмен өлшейді және шкала бойынша салады.
• Шарт бойынша екі сыбайлас бұрышты іздесең, бір шаманы $x$ деп алып, қосындының $180^\circ$ екенін есте ұста.
• Бұрыштар айырымының градустық шамасы шамалардың айырымына тең.

Шағын тест