Өзіңді тексер! I тарау

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 1 тарау: Геометрияның алғашқы мәліметтері. 40–43-беттер.

Нені қайталаймыз

Бірінші тарау бойынша жиырма сұрақтан тұратын тест: түзу, нүкте, кесінді, сәуле, бұрыш, сыбайлас және вертикаль бұрыштар. Әр сұрақты өзің шығар, содан кейін ғана кеңесті қара. Оқулықта жауап A, B, C, D төрт нұсқаның ішінен таңдалады, сондықтан әр сұрақта әріпті де, мәнін де атаймыз.

💡 Тұрып қалсаң, кішкентай сурет сал. Геометрияда жауаптың жартысы көбіне сызбада көрініп тұрады.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан әріпті болжатпаңыз, сурет салып, санатыңыз. 4–10-сұрақтарға тор көзді парақ пен қарындаш жеткілікті.

Жаттығуларды шығарамыз

Түзулер мен нүктелер

№ 1

Бір нүкте арқылы неше түзу жүргізуге болады? A) Ешқандай. B) Біреу. C) Екі. D) Шексіз көп.

Қалай ойлаймыз. Нүкте мен сызғышты елестет. Сызғышты нүктенің айналасында қалауыңша бұруға болады.

Шешуі. Сызғышты нүктенің айналасында кез келген бұрышқа бұрамыз, әр орын жаңа түзу береді. Мұндай орындар шексіз көп.

Жауабы: D, шексіз көп.

№ 2

Екі нүкте арқылы неше түзу жүргізуге болады? A) Шексіз көп. B) Екі. C) Біреу. D) Ешқандай.

Қалай ойлаймыз. Бұл аксиома: екі нүкте арқылы түзу өтеді және ол жалғыз.

Шешуі. Сызғышты екі нүктеге қой. Сызғыштың орны біржақты анықталған, басқа түзу шықпайды.

Жауабы: C, біреу.

№ 3

Екі түзудің ең көп ортақ нүктесі қанша болуы мүмкін? A) Ешқандай. B) Біреу. C) Екі. D) Шексіз көп.

Қалай ойлаймыз. Егер екі түзудің екі ортақ нүктесі болса, № 2 аксиомасы бойынша бұл – бір түзудің өзі. Демек, екі түрлі түзудің бір нүктеден артық ортақ нүктесі болмайды.

Шешуі. Екі түрлі түзу не қиылыспайды (0 нүкте), не бір нүктеде қиылысады. Бір нүктеден артық ортақ нүкте болуы мүмкін емес.

Жауабы: B, біреу.

№ 4

Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүктенің әртүрлі жұптары арқылы қанша түзу жүргізуге болады? A) Біреу. B) Екі. C) Үш. D) Шексіз көп.

Қалай ойлаймыз. Үш нүктенің жұптары: $A$ мен $B$, $B$ мен $C$, $A$ мен $C$.

Шешуі. Әр жұп өз түзуін береді, олар әртүрлі, себебі нүктелер бір түзудің бойында жатпайды. Жұптар үшеу шығады.

Жауабы: C, үш.

№ 5

Кез келген үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын төрт нүктенің әртүрлі жұптары арқылы ең көп қанша түзу жүргізуге болады? A) 4. B) 6. C) 8. D) 12.

Қалай ойлаймыз. Нүктелер жұптарын санаймыз. Түзулердің ең көп саны ешбір үш нүкте бір түзуде жатпағанда шығады.

Шешуі. Бірінші нүктені қалған үшеуімен қосуға болады, екіншіні тағы екеуімен (біріншісімен бұрын қостық), үшіншіні біреуімен. Барлығы $3+2+1=6$ жұп. Формула: $\frac{4\cdot 3}{2}=6$.

Жауабы: B, 6 түзу.

№ 6

Кез келген үшеуі бір түзудің бойында жатпайтын бес нүктенің әртүрлі жұптары арқылы ең көп қанша түзу жүргізуге болады? A) 5. B) 10. C) 15. D) 20.

Қалай ойлаймыз. № 5-тегі сол тәсіл, тек нүкте бесеу.

Шешуі. $4+3+2+1=10$, немесе $\frac{5\cdot 4}{2}=10$.

Жауабы: B, 10 түзу.

№ 7

Үш түзудің жұптық қиылысу нүктелерінің ең көп саны қанша болуы мүмкін? A) Біреу. B) Екі. C) Үш. D) Шексіз көп.

Қалай ойлаймыз. Әр түзу жұбы біреуден артық қиылысу нүктесін бермейді. Үш түзуден үш жұп шығады.

Шешуі. $a$, $b$, $c$ түзулері: $ab$, $bc$, $ac$ жұптары. Егер ешбір үшеуі бір нүктеден өтпесе және ешқайсысы параллель болмаса, үшбұрыштың төбелеріндей үш түрлі нүкте шығады.

Жауабы: C, үш.

№ 8

Төрт түзудің жұптық қиылысу нүктелерінің ең көп санын анықтаңдар. A) 4. B) 6. C) 8. D) 12.

Қалай ойлаймыз. Тағы жұптарды санаймыз, енді түзулердің жұптарын: $3+2+1$.

Шешуі. $\frac{4\cdot 3}{2}=6$.

Жауабы: B, 6 нүкте.

№ 9

Бес түзудің жұптық қиылысу нүктелерінің ең көп санын анықтаңдар. A) 5. B) 10. C) 15. D) 20.

Қалай ойлаймыз. Бес түзудің жұптары № 6-дағы бес нүктенің жұптарындай көп.

Шешуі. $\frac{5\cdot 4}{2}=10$.

📌 $n$ түзу үшін қиылысу нүктелерінің ең көп саны $\frac{n(n-1)}{2}$-ге тең. Дәл осынша түзуді $n$ нүктенің жұптары арқылы жүргізуге болады, егер ешбір үшеуі бір түзуде жатпаса.

Жауабы: B, 10 нүкте.

Кесінділер мен сәулелер

№ 10

Түзуде 4 нүкте белгіленген. Осы нүктелер кесіндінің ұштары болатын қанша кесінді шығады? A) 3. B) 4. C) 5. D) 6.

Қалай ойлаймыз. Кесіндіні екі ұшы анықтайды. Демек, тағы нүктелер жұптарын санаймыз.

Шешуі. $A$, $B$, $C$, $D$ нүктелері. Кесінділер: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$. Олар алтау: $3+2+1=6$.

Жауабы: D, 6 кесінді.

№ 11

$OA$ сәулесінің бойында $OA$ кесіндісінен кіші $OB$ кесіндісі орналасқан. Үш нүктенің қайсысы қалған екеуінің арасында жатыр? A) $A$. B) $O$. C) $B$. D) Мүмкін емес.

Қалай ойлаймыз. Үш нүкте де басы $O$ болатын бір сәуледе жатыр. Басына жақыны – ара қашықтығы кіші нүкте.

Шешуі. $OB<OA$, сондықтан $B$ нүктесі $O$-ға $A$-дан жақын. Сәуледегі реті: $O$, $B$, $A$. $O$ мен $A$ арасында $B$ тұр.

Жауабы: C, $B$ нүктесі.

№ 12

Түзу бойында тізбектеліп $AB$, $BC$ және $CD$ кесінділері орналасқан: $AB=3$ см, $BC=5$ см, $CD=4$ см. $AB$ мен $CD$ кесінділері ортасының арақашықтығын табыңдар. A) 6,5 см. B) 7,5 см. C) 8,5 см. D) 10,5 см.

Қалай ойлаймыз. $A$ нүктесін нөлге қойып, нүктелердің координаталарын санап шық. Содан кейін ортасын тап.

Шешуі. $A=0$, $B=3$, $C=8$, $D=12$. $AB$-ның ортасы $1{,}5$ нүктесінде, $CD$-ның ортасы $(8+12):2=10$ нүктесінде. Арақашықтық $10-1{,}5=8{,}5$ см.

Жауабы: C, 8,5 см.

Бұрыштар

№ 13

Берілген бұрышқа сыбайлас қанша бұрыш бар? A) 1. B) 2. C) 3. D) 4.

Қалай ойлаймыз. Бұрыштың екі қабырғасы бар. Кез келгенін төбесінен әрі қарай жалғастыруға болады.

Шешуі. $AOB$ бұрышы. $OA$ қабырғасын $O$ нүктесінен әрі қарай жалғастырсақ, оған сыбайлас бұрыш шығады. $OB$ қабырғасын жалғастырсақ, екінші сыбайлас бұрыш шығады. Басқа тәсіл жоқ.

Жауабы: B, екі бұрыш.

№ 14

Сыбайлас бұрыштың бірі $30^\circ$. Екінші бұрышын табыңдар. A) $30^\circ$. B) $60^\circ$. C) $120^\circ$. D) $150^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Сыбайлас бұрыштардың қосындысы $180^\circ$.

Шешуі. $180^\circ-30^\circ=150^\circ$.

Жауабы: D, $150^\circ$.

№ 15

Сыбайлас бұрыштың бірі екіншісінен $90^\circ$-қа үлкен. Осы бұрыштарды табыңдар. A) $90^\circ$, $180^\circ$. B) $30^\circ$, $120^\circ$. C) $60^\circ$, $150^\circ$. D) $45^\circ$, $135^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Кіші бұрышты $x$ деп белгілейік. Сонда үлкені $x+90^\circ$.

Шешуі. $x+(x+90^\circ)=180^\circ$, осыдан $2x=90^\circ$ және $x=45^\circ$. Екінші бұрыш $45^\circ+90^\circ=135^\circ$.

Жауабы: D, $45^\circ$ және $135^\circ$.

№ 16

Сыбайлас бұрыштың бірі екіншісінен үш есе кіші. Осы бұрыштарды табыңдар. A) $45^\circ$, $135^\circ$. B) $60^\circ$, $120^\circ$. C) $30^\circ$, $90^\circ$. D) $15^\circ$, $45^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Кіші бұрыш $x$, үлкені $3x$. Екеуі бірігіп жазыңқы бұрыш береді.

Шешуі. $x+3x=180^\circ$, $4x=180^\circ$, $x=45^\circ$. Үлкен бұрыш $3\cdot45^\circ=135^\circ$.

Жауабы: A, $45^\circ$ және $135^\circ$.

№ 17

Сыбайлас бұрыштың бірі екіншісінің $20%$-ын құрайды. Осы бұрыштарды табыңдар. A) $20^\circ$, $160^\circ$. B) $45^\circ$, $135^\circ$. C) $60^\circ$, $120^\circ$. D) $30^\circ$, $150^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Үлкен бұрышты $y$ деп белгілейік. Сонда кішісі $0{,}2y$, себебі $20%=0{,}2$.

Шешуі. $y+0{,}2y=180^\circ$, $1{,}2y=180^\circ$, $y=150^\circ$. Кіші бұрыш $0{,}2\cdot150^\circ=30^\circ$. Тексеру: $30:150=0{,}2$, яғни $20%$.

Жауабы: D, $30^\circ$ және $150^\circ$.

№ 18

Екі түзу қиылысқанда пайда болған вертикаль бұрыштардың қосындысы $150^\circ$. Осы түзулердің арасындағы барлық бұрышты табыңдар. A) $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$. B) $30^\circ$, $150^\circ$, $30^\circ$, $150^\circ$. C) $75^\circ$, $105^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$. D) $50^\circ$, $130^\circ$, $50^\circ$, $130^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Вертикаль бұрыштар тең. Демек, олардың әрқайсысы қосындының жартысына тең.

Шешуі. Әр вертикаль бұрыш $150^\circ:2=75^\circ$. Оған сыбайлас бұрыштар $180^\circ-75^\circ=105^\circ$. Барлығы төрт бұрыш: $75^\circ$, $105^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$.

Жауабы: C, $75^\circ$, $105^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$.

№ 19

20 мин-та сағаттың минуттық тілі қандай бұрышқа бұрылады? A) $30^\circ$. B) $60^\circ$. C) $90^\circ$. D) $120^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Тілдің толық айналымы 60 мин-та болады, бұл $360^\circ$. Бір минутқа неше градус келетінін тап.

Шешуі. Бір минутта $360^\circ:60=6^\circ$. 20 минутта $6^\circ\cdot20=120^\circ$. Тағы да оңай: 20 мин – сағаттың үштен бірі, ал $360^\circ:3=120^\circ$.

Жауабы: D, $120^\circ$.

№ 20

13 сағ 30 мин болғанда сағаттың минуттық және сағаттық тілдері қандай бұрыш жасайды? A) $90^\circ$. B) $120^\circ$. C) $135^\circ$. D) $150^\circ$.

Қалай ойлаймыз. 13:30-да әр тіл қайда тұрғанын 12 цифрынан бастап градуспен санап тап. Сағаттық тіл бір сағатта $360^\circ:12=30^\circ$-қа бұрылады, ал 30 минутта $15^\circ$-қа.

Шешуі. Минуттық тіл 30 минутта, яғни 6 цифрында тұр: жоғарыдан $30\cdot6^\circ=180^\circ$. Сағаттық тіл 13:30-да бір сағат пен тағы жарты сағат жүрді: жоғарыдан (12 цифрынан, ол 0 сағат) $30^\circ+15^\circ=45^\circ$. Олардың арасындағы бұрыш $180^\circ-45^\circ=135^\circ$.

⚠️ Жиі кететін қате. Сағаттық тіл дәл цифрда тұрмайды, ол үнемі жылжып отырады. 13:30-да ол 1 мен 2 цифрларының ортасында. Егер оны 1-ге қойсаң, $150^\circ$ шығады, ал бұл дұрыс емес.

Жауабы: C, $135^\circ$.

Жадынама

• Аксиома. Екі нүкте арқылы жалғыз түзу өтеді. Сондықтан екі түрлі түзудің бір нүктеден артық ортақ нүктесі болмайды.
• Жұптарды санау. $n$ нүкте арқылы өтетін түзулерді де, $n$ түзудің қиылысу нүктелерін де, $n$ нүктесі бар түзудегі кесінділерді де $\frac{n(n-1)}{2}$ формуласымен санайды (егер «ерекше» сәйкестіктер болмаса).
• Сыбайлас бұрыштар. Олардың қосындысы $180^\circ$. Бір бұрыш $x$ болса, екіншісі $180^\circ-x$.
• Вертикаль бұрыштар тең. Олардың қосындысы бір бұрыштан екі есе көп.
• Сағат. Минуттық тіл минутына $6^\circ$, сағаттық тіл минутына $0{,}5^\circ$ айналады.