§ 8. Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 2 тарау: Үшбұрыштар. 48–53-беттер.

Нені үйренесің

• Үшбұрыштар теңдігінің белгісі дегеніміз не және ол не үшін керек екенін түсіндіруді.
• Бірінші белгіні тұжырымдауды: екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш.
• Үшбұрыштардың теңдігін осы белгі бойынша дәлелдеуді және не неге тең екенін жазуды.
• Есептерден «жасырынған» тең үшбұрыштар жұбын тауып, одан қабырғалар мен бұрыштар туралы қорытынды жасауды.

Ой қозғау

• Қандай үшбұрыштарды тең деп атайды? Бір-бірінің үстіне қойғанда дәл түсетін үшбұрыштарды. Сонда барлық сәйкес қабырғалары мен бұрыштары тең болады.
• Екі қабырғаның арасындағы бұрыш дегеніміз не? Осы қабырғалардың ортақ нүктесінде төбесі бар бұрыш. $AB$ және $AC$ қабырғалары үшін бұл — $A$ бұрышы.
• «$AB$ және $DE$ кесінділері тең» дегенді қалай жазамыз? $AB = DE$.
• Берілген сәуледен бұрыш салуға бола ма? Иә, екі жарты жазықтықтың кез келгеніне, және берілген шамалы бір ғана бұрыш.
• Тақырыпқа дайындық (№ 7.20). Егер бір үшбұрыштың қабырғасы мен оған іргелес бұрышы екінші үшбұрыштың қабырғасы мен бұрышына тең болса, үшбұрыштар тең бола ма? Жоқ, бұл аз: бір ортақ қабырғасы мен бұрышы бар, бірақ екінші қабырғасының ұзындығы әртүрлі үшбұрыштарды салуға болады.

Тақырыпты талдаймыз

Үшбұрышты «көшіру» үшін қанша мәлімет керек

Елестетші, сен $ABC$ үшбұрышын сызып отырсың, мұнда $AB = 5$ см, $AC = 4$ см, ал $A$ бұрышы $60^\circ$. Алдымен сызғышпен $AB$ кесіндісін саласың, сосын транспортирмен $60^\circ$ бұрышты, содан кейін екінші сәуледе $4$ см белгілейсің. $B$ мен $C$ нүктелерін қосу қалды.

Сыныптасың да дәл солай істейді, және екі сызба дәл келеді. Үшінші қабырғаны да, қалған екі бұрышты да ешкім берген жоқ, олар өздігінен шықты. Белгінің идеясы осы.

📌 Үшбұрыштар теңдігінің белгісі — бұл теорема: егер бірнеше шарт орындалса (алтауы емес!), онда үшбұрыштар тең.

Бірінші белгі

📌 Теорема (бірінші белгі). Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш екінші үшбұрыштың сәйкесінше екі қабырғасына және олардың арасындағы бұрышқа тең болса, онда бұл үшбұрыштар тең болады.

Қысқаша: қабырға, бұрыш, қабырға (ҚБҚ).

Мұны қалай дәлелдейміз

Идеясы қарапайым: бір үшбұрышты екіншісінің үстіне қойып, бәрінің дәл түскенін тексереміз.

⚠️ Жиі кететін қате. Бұрыш осы қабырғалардың арасында болуы керек. Егер екі қабырға тең болып, бұрыш олардың арасында жатпаса, қорытынды жасалмайды: мұндай үшбұрыштар әртүрлі болуы мүмкін (мысалын № 8.18-де талдаймыз).

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан «5 см, бұрыш, 4 см» деген бір ереже бойынша қағаздан екі үшбұрыш қиып алып, бірін екіншісінің үстіне қойғызып көріңіз. Белгі тұжырымдаманы жаттағаннан гөрі осылай жақсы есте қалады.

«Теңдіктерді жазу» дегеніміз не

$\triangle ABC = \triangle DEF$ теңдігін әріптердің реті бойынша оқу керек: $A$ төбесі $D$ төбесіне, $B$ төбесі $E$ төбесіне, $C$ төбесі $F$ төбесіне сәйкес келеді. Бірінші белгі үшін былай жаз: $AB = DE$, $AC = DF$, $\angle A = \angle D$.

🌟 «Үстіне қойып салыстыру» идеясын ежелгі гректер ойлап тапқан. Евклидтің «Бастамаларында» (б.з.б. шамамен 300 жыл) бұл белгі дәл осылай дәлелденген. Бүгінде геодезистердің де жұмысы осыған сүйенеді: олар өзеннің арғы жағына өтпей-ақ арақашықтықты өлшейді.

Белгіні таңда

Түсінгеніңді тексер

Өзіңді тексер

• Қандай теоремалар үшбұрыштар теңдігінің белгілері деп аталады? Үшбұрыштардың тең болуы үшін олардың тек кейбір қабырғалары мен бұрыштарының теңдігі жеткілікті екенін айтатын теоремалар.
• Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісін тұжырымда. Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш екінші үшбұрыштың екі қабырғасына және олардың арасындағы бұрышқа тең болса, онда үшбұрыштар тең.
• $ABC$ және $DEF$ үшбұрыштары үшін бірінші белгі бойынша теңдіктерді жаз («Өздерің жазыңдар» тапсырмасы). $AB = DE$, $AC = DF$, $\angle A = \angle D$. Басқа үштіктер де келеді, тек бұрыш қабырғалардың арасында тұрса болды, мысалы $AB = DE$, $BC = EF$, $\angle B = \angle E$.

Жаттығуларды шығарамыз

A деңгейі

№ 8.1

Егер $AB = DE$, $AC = EF$ және $A$ бұрышы $E$ бұрышына тең болса, онда 8.2-суретте кескінделген үшбұрыштар тең бола ма?

Қалай ойлаймыз. Қараймыз: $A$ бұрышы $AB$ мен $AC$ арасында, ал $E$ бұрышы $DE$ мен $EF$ арасында тұр. Демек, тең қабырғалар тең бұрыштарды «құшақтап» тұр.

Шешуі. $ABC$ және $DEF$ үшбұрыштарында: $AB = DE$, $AC = EF$, $\angle A = \angle E$. $A$ бұрышы $AB$ және $AC$ арасында жатыр, $E$ бұрышы $ED$ және $EF$ арасында. Бұл — бірінші белгі, сондықтан үшбұрыштар тең. Әріптердің реті: $A \to E$, $B \to D$, $C \to F$, яғни $\triangle ABC = \triangle EDF$.

Жауабы: иә, тең.

№ 8.2

Егер $KL = NM$, $\angle 1 = \angle 2$ болса, онда 8.3-суреттегі $KLN$ және $NMK$ үшбұрыштары тең бола ма?

Қалай ойлаймыз. Ортақ қабырғаны тап. Ол — $KN$ диагоналі: ол бір үшбұрышта да, екіншісінде де бар.

Шешуі. $\triangle KLN$ және $\triangle NMK$ үшбұрыштарын салыстырамыз:

1. $KL = NM$ (берілген);
2. $KN = NK$ (ортақ қабырға);
3. $\angle 2 = \angle 1$ (берілген): 2-бұрыш $KL$ мен $KN$ арасында, 1-бұрыш $NM$ мен $NK$ арасында жатыр. Демек, бірінші белгі бойынша $\triangle KLN = \triangle NMK$.

Жауабы: иә, тең.

№ 8.3

8.3-суретте $KL = NM = 4$ см, 1-бұрыш 2-бұрышқа тең, $KM = 3$ см. $LN$ ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. № 8.2-ден үшбұрыштар тең. Олардың сәйкес қабырғалары да тең, тек қайсысы қайсысына сәйкес екенін түсіну керек.

Шешуі. $\triangle KLN = \triangle NMK$ теңдігінде $K$ төбесі $N$ төбесіне, $L$ төбесі $M$ төбесіне, $N$ төбесі $K$ төбесіне сәйкес келеді. Демек, $LN$ қабырғасы $MK$ қабырғасына сәйкес. Сондықтан $LN = MK = 3$ см.

Жауабы: $LN = 3$ см.

№ 8.4

Егер $BH \perp AC$ және $AH = CH$ болса, онда 8.4-суреттегі $ABH$ және $CBH$ үшбұрыштары тең бола ма?

Қалай ойлаймыз. Перпендикуляр екі тік бұрыш береді. $BH$ қабырғасы ортақ.

Шешуі. $ABH$ және $CBH$ үшбұрыштарында:

1. $AH = CH$ (берілген);
2. $BH$ ортақ;
3. $\angle AHB = \angle CHB = 90^\circ$, себебі $BH \perp AC$. $H$ бұрышы $AH$ және $BH$ арасында, сондай-ақ $CH$ және $BH$ арасында тұр. Бірінші белгі: $\triangle ABH = \triangle CBH$.

Жауабы: иә, тең.

№ 8.5

8.4-суретте $BH$ кесіндісі $AC$ қабырғасына перпендикуляр және $AH = CH = 2$ см, $AB = 5$ см. $BC$ қабырғасының ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. № 8.4-тен үшбұрыштар тең, демек $AB$ және $BC$ бір-біріне сәйкес келеді.

Шешуі. $\triangle ABH = \triangle CBH$, және $A \to C$, $B \to B$, $H \to H$. Сондықтан $AB = CB$, яғни $BC = 5$ см. $AH$ және $CH$ ұзындықтары бізге керек болған жоқ.

Жауабы: $BC = 5$ см.

№ 8.6

8.5-суретте $ABC$ және $DBE$ үшбұрыштарының тең бұрыштары мен тең қабырғалары көрсетілген. Тең үшбұрыштарды жазыңдар.

Қалай ойлаймыз. $\angle ABC = \angle DBE$ теңдігі қажетті бұрыштарды береді: екеуінен де ортақ $\angle DBC$ бөлігін алып тастасақ, $ABD$ және $CBE$ бұрыштарының теңдігі шығады.

Шешуі. $\triangle ABD$ және $\triangle CBE$ үшбұрыштарын қараймыз:

1. $AB = CB$ (белгіленген);
2. $BD = BE$ (белгіленген);
3. $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC$ және $\angle CBE = \angle DBE - \angle DBC$. $\angle ABC = \angle DBE$ болғандықтан, $\angle ABD = \angle CBE$. $ABD$ бұрышы $AB$ мен $BD$ арасында, $CBE$ бұрышы $CB$ мен $BE$ арасында. Бірінші белгі.

Жауабы: $\triangle ABD = \triangle CBE$.

№ 8.7

8.6-суретте $P$ нүктесі — $EF$ және $GH$ кесінділерінің ортасы. Осы суретте тең үшбұрыштар бар ма?

Қалай ойлаймыз. Егер $P$ екі кесіндінің де ортасы болса, екі жұп тең қабырға аламыз. Ал олардың арасындағы бұрыш — вертикаль бұрыш.

Шешуі.

1. $\triangle EPH$ және $\triangle FPG$: $EP = FP$, $HP = GP$, $\angle EPH = \angle FPG$ (вертикаль бұрыштар). Бірінші белгі, сондықтан олар тең.
2. $\triangle EPG$ және $\triangle FPH$: $EP = FP$, $GP = HP$, $\angle EPG = \angle FPH$ (вертикаль бұрыштар). Тең.
3. Алғашқы екі жұптан: $EG = FH$ және $EH = FG$. Сонда $\triangle EGH$ және $\triangle FHG$: $EG = FH$, $GH$ ортақ, $\angle EGH = \angle EGP = \angle FHP = \angle FHG$ (2-жұптан). Тең.
4. $\triangle EFH$ және $\triangle FEG$: $EF$ ортақ, $EH = FG$ (1-жұптан), $\angle FEH = \angle PEH = \angle PFG = \angle EFG$ (1-жұптан). Тең.

Жауабы: иә: $EPH$ және $FPG$; $EPG$ және $FPH$; $EGH$ және $FHG$; $EFH$ және $FEG$.

B деңгейі

№ 8.8

8.7-суретте $AB = AC$, $AE = AD$. $BD = CE$ екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $BD$ және $CE$ — ортақ $A$ бұрышы бар екі үшбұрыштың қабырғалары: $ABD$ және $ACE$.

Шешуі. Берілгені: $AB = AC$, $AE = AD$. Дәлелдеу керек: $BD = CE$. $\triangle ABD$ және $\triangle ACE$ үшбұрыштарын қарастырамыз:

1. $AB = AC$ (берілген);
2. $AD = AE$ (берілген);
3. $\angle A$ — ортақ. Ол $AB$ мен $AD$ арасында және $AC$ мен $AE$ арасында жатыр. Бірінші белгі бойынша $\triangle ABD = \triangle ACE$. Демек, $BD = CE$ сәйкес қабырғалар ретінде.

Жауабы: дәлелденді.

№ 8.9

8.7-суретте $AE = AD = 2$ см, $BE = CD = 3$ см, $BD = 4$ см. $CE$ ұзындығын табыңдар.

Қалай ойлаймыз. № 8.8-ді пайдалану үшін алдымен $AB = AC$ екеніне көз жеткізу керек.

Шешуі. $AB = AE + EB = 2 + 3 = 5$ см, $AC = AD + DC = 2 + 3 = 5$ см. Демек, $AB = AC$. № 8.8-дегідей: $\triangle ABD = \triangle ACE$, сондықтан $CE = BD = 4$ см.

Жауабы: $CE = 4$ см.

№ 8.10

8.8-суретте $AB = AD$ және $BAC$ бұрышы $DAC$ бұрышына тең. $BC = DC$ екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $AC$ — $ABC$ және $ADC$ екі үшбұрыштың ортақ қабырғасы.

Шешуі. Берілгені: $AB = AD$, $\angle BAC = \angle DAC$. Дәлелдеу керек: $BC = DC$. $\triangle ABC$ және $\triangle ADC$ үшбұрыштарында:

1. $AB = AD$ (берілген);
2. $AC$ — ортақ;
3. $\angle BAC = \angle DAC$ (берілген), ол $AB$ мен $AC$ арасында, сондай-ақ $AD$ мен $AC$ арасында жатыр. Бірінші белгі: $\triangle ABC = \triangle ADC$, демек $BC = DC$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 8.11

$AOB$ бұрышының қабырғаларынан $OC$ және $OD$ тең кесінділері алынған (8.9-сурет). Осы бұрыштың биссектрисасынан алынған кез келген $E$ нүктесі $C$ және $D$ нүктелерімен қосылған. $EC = ED$ екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Биссектриса бұрышты қақ бөледі, демек, $O$ төбесінде екі тең бұрыш аламыз. $OE$ қабырғасы ортақ.

Шешуі. Берілгені: $OC = OD$, $OE$ — $AOB$ бұрышының биссектрисасы. Дәлелдеу керек: $EC = ED$. $\triangle OCE$ және $\triangle ODE$ үшбұрыштарында:

1. $OC = OD$ (берілген);
2. $OE$ — ортақ;
3. $\angle COE = \angle DOE$, себебі $OE$ — биссектриса. Бірінші белгі: $\triangle OCE = \triangle ODE$, олай болса $EC = ED$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 8.12

8.10-суретте $AO = OB$ және $DO = OC$. $AD$ және $BC$ кесінділерінің теңдігін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $AC$ және $DB$ кесінділері $O$ нүктесінде қиылысады, демек, $O$ төбесіндегі бұрыштар вертикаль.

Шешуі. Берілгені: $AO = OB$, $DO = OC$. Дәлелдеу керек: $AD = BC$. $\triangle AOD$ және $\triangle BOC$ үшбұрыштарында:

1. $AO = BO$ (берілген);
2. $DO = CO$ (берілген);
3. $\angle AOD = \angle BOC$ вертикаль бұрыштар ретінде. Бірінші белгі: $\triangle AOD = \triangle BOC$, демек $AD = BC$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 8.13

8.11-суретте $A$ бұрышы $B$ бұрышына тең және $AD = BC$. $AC = BD$ екенін дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. $AB$ — $DAB$ және $CBA$ үшбұрыштарының ортақ қабырғасы. $AC$ және $BD$ сәйкес қабырғалар болатын үшбұрыштарды іздейміз.

Шешуі. Берілгені: $\angle DAB = \angle CBA$, $AD = BC$. Дәлелдеу керек: $AC = BD$. $\triangle DAB$ және $\triangle CBA$ үшбұрыштарында:

1. $AD = BC$ (берілген);
2. $AB$ — ортақ;
3. $\angle DAB = \angle CBA$ (берілген), ол $AD$ мен $AB$ арасында және $BC$ мен $BA$ арасында жатыр. Бірінші белгі: $\triangle DAB = \triangle CBA$, және $D \to C$, $A \to B$, $B \to A$. Сондықтан $DB = CA$.

Жауабы: дәлелденді.

№ 8.14

$B$ ауылы $A$ ауылынан оңтүстікке қарай 15 км, ал $C$ ауылы $B$ ауылынан солтүстік-шығысқа қарай 7 км қашықтықта болатындай $A$, $B$, $C$ ауылдары орналасқан. Тағы басқа $N$ ауылы $M$ ауылынан батысқа қарай 15 км, $K$ ауылы $M$ ауылынан солтүстік-батысқа қарай 7 км қашықтықта болатындай $M$, $N$, $K$ ауылдары орналасқан. $A$ және $C$ ауылдары мен $N$ және $K$ ауылдарының арақашықтықтарын салыстырыңдар.

Қалай ойлаймыз. Берілгенді екі үшбұрыш етіп жаз: $ABC$ және $MNK$. Әлем тарапын еске түсір: солтүстік пен солтүстік-шығыстың арасындағы бұрыш $45^\circ$.

Шешуі. $\triangle ABC$ үшбұрышында: $AB = 15$ км, $BC = 7$ км. $B$ нүктесінен $A$ ауылы солтүстікте, $C$ солтүстік-шығыста жатыр, сондықтан $\angle ABC = 45^\circ$. $\triangle MNK$ үшбұрышында: $MN = 15$ км, $MK = 7$ км. $M$ нүктесінен $N$ ауылы батыста, $K$ солтүстік-батыста, сондықтан $\angle NMK = 45^\circ$. Сонымен, $AB = MN$, $BC = MK$, $\angle B = \angle M$ (тең қабырғалардың арасындағы бұрыш). Бірінші белгі бойынша $\triangle ABC = \triangle MNK$, демек $AC = NK$.

Жауабы: арақашықтықтары тең.

C деңгейі

№ 8.15

Тең үшбұрыштардың сәйкесінше медианалары тең болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Тең $\triangle ABC$ және $\triangle A_1B_1C_1$ үшбұрыштарын және $A$ мен $A_1$ төбелерінен бір-бірден медиана аламыз. Осы медианалар қабырғалары болатын тең үшбұрыштар жұбын табу керек.

Шешуі. Берілгені: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$; $AM$ және $A_1M_1$ — медианалар ($M$ — $BC$ қабырғасының ортасы, $M_1$ — $B_1C_1$ қабырғасының ортасы). Дәлелдеу керек: $AM = A_1M_1$.

1. Үшбұрыштар тең болғандықтан, $BC = B_1C_1$, сондықтан жартылары да тең: $BM = B_1M_1$.
2. $\triangle ABM$ және $\triangle A_1B_1M_1$ үшбұрыштарын қарастырамыз: $AB = A_1B_1$ (тең үшбұрыштар), $BM = B_1M_1$ (1-тармақ), $\angle B = \angle B_1$ (тең үшбұрыштар).
3. $B$ бұрышы $AB$ мен $BM$ арасында, $B_1$ бұрышы $A_1B_1$ мен $B_1M_1$ арасында жатыр. Бірінші белгі: $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$, демек $AM = A_1M_1$. Басқа төбелер үшін де пайымдау дәл осындай.

Жауабы: дәлелденді.

№ 8.16

8.12-суретте $A$, $B$, $C$ нүктелері бір түзудің бойында жатыр. $D_1$ және $D_2$ нүктелері осы түзудің әртүрлі жақтарында орналасқан. Егер $ABD_1$ және $ABD_2$ үшбұрыштары тең болса, онда $BCD_1$ және $BCD_2$ үшбұрыштары да тең болатынын дәлелдеңдер.

Қалай ойлаймыз. Алғашқы екі үшбұрыштың теңдігінен $BD_1 = BD_2$ және $\angle ABD_1 = \angle ABD_2$ аламыз. Жаңа үшбұрыштардағы $B$ төбесіндегі бұрыштар осыларға сыбайлас.

Шешуі. Берілгені: $\triangle ABD_1 = \triangle ABD_2$ ($B$ нүктесі $A$ мен $C$ арасында). Дәлелдеу керек: $\triangle BCD_1 = \triangle BCD_2$.

1. Теңдіктен: $BD_1 = BD_2$ және $\angle ABD_1 = \angle ABD_2$.
2. $CBD_1$ және $ABD_1$ бұрыштары сыбайлас, демек $\angle CBD_1 = 180^\circ - \angle ABD_1$. Дәл солай $\angle CBD_2 = 180^\circ - \angle ABD_2$. Сондықтан $\angle CBD_1 = \angle CBD_2$.
3. $\triangle BCD_1$ және $\triangle BCD_2$ үшбұрыштарында: $BC$ ортақ, $BD_1 = BD_2$, $\angle CBD_1 = \angle CBD_2$. Бірінші белгі.

Жауабы: дәлелденді.

№ 8.17

Жергілікті жерде араларында түзу бойымен өтуге болмайтын $A$ және $B$ нүктелерінің арақашықтығын өлшеу үшін (8.13-сурет) $AC$ және $BC$ қашықтықтарын өлшеуге болатындай $C$ нүктесі алынады және $CD = AC$, $CE = BC$ кесінділері салынады. Сонда $E$ және $D$ нүктелерінің арақашықтығы ізделінді арақашықтыққа тең болады. Шешімді түсіндіріңдер.

Қалай ойлаймыз. $AB$ және $DE$ сәйкес қабырғалар болатын екі үшбұрыш керек: бұл $ABC$ және $DEC$.

Шешуі. $\triangle ABC$ және $\triangle DEC$ үшбұрыштарында:

1. $AC = DC$ (солай салынған);
2. $BC = EC$ (солай салынған);
3. $\angle ACB = \angle DCE$ вертикаль бұрыштар ретінде ($A$, $C$, $D$ нүктелері бір түзуде және $B$, $C$, $E$ нүктелері де). Бірінші белгі: $\triangle ABC = \triangle DEC$. Демек, $AB = DE$, ал $DE$ кесіндісін құрлықта өлшеуге болады.

Жауабы: бірінші белгі бойынша $AB = DE$, сондықтан $AB$ орнына $DE$ ұзындығын өлшеуге болады.

№ 8.18

Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы мен бір бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкесінше екі қабырғасына және бір бұрышына тең болса, онда бұл үшбұрыштардың тең болатыны дұрыс па?

Қалай ойлаймыз. Бірінші белгіде «арасында» деген сөз маңызды. Егер бұрыш тең қабырғалардың арасында жатпаса, қорытынды жасалмайды. Мұны көрсететін мысал керек.

Шешуі. $B$ бұрышын және одан сәуле алайық. Сәуледен тыс $A$ нүктесін, ал сәуледе $A$ нүктесінен бірдей қашықтықта жатқан екі $C$ және $C_1$ нүктелерін белгілейік, мысалы $B(0;0)$, $A(3;2)$, $C(1;0)$, $C_1(5;0)$: $AC = AC_1 = \sqrt{8}$. $\triangle ABC$ және $\triangle ABC_1$ үшбұрыштарында $AB$ қабырғасы ортақ, $B$ бұрышы ортақ және $AC = AC_1$. Бірақ $B$ бұрышы $AB$ мен $AC$ арасында жатқан жоқ, және үшбұрыштар әртүрлі: $BC = 1$, $BC_1 = 5$.

Жауабы: жоқ, дұрыс емес, егер тең бұрыш тең қабырғалардың арасында жатпаса.

№ 8.19

Жаңа білімді меңгеруге дайындаламыз. Бір үшбұрыштың екі бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкесінше екі бұрышына тең. Осы үшбұрыштар тең бола ма? Мысал келтіріңдер.

Қалай ойлаймыз. Пішіні бірдей кішкентай және үлкен үшбұрыштар туралы ойла.

Шешуі. Бұрыштары $60^\circ$, $45^\circ$ және $75^\circ$ болатын екі үшбұрыш алайық. Біреуінде $60^\circ$ және $45^\circ$ бұрыштарының арасындағы қабырға $5$ см, екіншісінде $10$ см. Бұрыштары тең, ал өлшемдері әртүрлі, сондықтан бір-бірінің үстіне қойғанда олар беттеспейді.

Жауабы: жоқ, міндетті емес.

Жадынама

• Тең үшбұрыштарды бір-біріне қоюға болады. Олардың барлық сәйкес қабырғалары мен бұрыштары тең.
• Бірінші белгі: екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш.
• Үш тең бұрыш үшбұрыштардың теңдігін бермейді.
• Есептердегі әдеттегі «сыйлықтар»: ортақ қабырға, вертикаль бұрыштар, кесіндінің ортасы, биссектриса, перпендикуляр.

Шағын тест